2024-2025学年辽宁省沈阳市高三年级上册期末考试（一检）数学试卷（含答案）

2024-2025学年辽宁省沈阳市高三（上）期末数学试卷（一检）

一，单选题：本题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合4="6仞比—1]<2},则集合力=（）

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}

2.函数八万）=产土的图象大致是（）

3.已知数列{a九}为等差数列，m,nfsftEN+）设p：TH+几=s+t,q：+。九=%+4，则P是4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.若禺％+鬣％2+…+印”能被5整除,则x,n的一组值可能为（）

A.%=2,n=6B.x=4,n=6C.x=8,n=4D.%=14.

n=45.已知锐角a满足3sina+4cosa=4,则tan合=（）

A士B-C—D—

A3%12

6.已知△ABC中,AC=lfBC=<3,AB=2,点P,Q是线段AB上的动点,则加•诙的取值范围是（）

A.[pl]B.[0,1]C.R,3]D.[0.3]

7.已知平面直角坐标系中不同的三点&（0,5）,BQ,0）,C（0,y）,圆心在y轴上的圆E经过A,民C三点，设点M

的坐标为（x,y）,则/点的轨迹方程为（）

A.x2=5y（y丰0）B.y2=5x（%中0）C.y2=-5x（%丰0）D.x2=-5y（y丰0）

8.三棱锥P-ABC的体积为18A/2△PBC都是等边三角形，乙PB4=NPC4=90°,则三棱锥P-

ABC的外接球的表面积为()

A.367rB.547rC.727TD.108TT

二，多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，

部分选对的得2分,有选错的得0分。

9.下列命题中正确的是()

A.已知某个家庭先后生了两个小孩,当已知两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率为：

B.马路上有依次编号为1,2,3,…，10的10盏路灯,为节约用电,某个时间段可以把其中的3盏灯关掉，但不

能同时关掉相邻的两盏,而且两端的灯也不能关掉,则满足条件的不同关灯方法有20种

C.已知Zi，z2GC,zrz2=0,则Z1，Z2中至少有一个为0

D.袋中装有8个白球,2个黑球,从中随机连续取3次,每次取一个球,取后不放回,设取出黑球个数为X,则

X〜”(10,3,2)

10.已知6,尸2分别是椭圆C：1+y2=I的左,右焦点，点2为短轴的一个端点，点M是C上的任意一点,则

下列结论成立的是()

A.1<<4

C.0<\MB\<2D.7-4/3<<7+473

S1Y1TCX,0V%V2,

12下列结论中正确的是()

{2J一乙J,%;乙，

•2

A.任取与,x2e[L+8),都有-/(x2)|<|

+/(|)+•--+fG+2k)■2一册其中keN

C.y(x)=2叶(X+2k)(k6N*)对一切X6[0,+8)恒成立

D.方程f(x)=k(k>0)有两个相异实根勺和冷，则靠<,

三，填空题：本题共3小题,每小题5分，共15分。

12.已知直线I：y-1=k(x-1)被圆C：(x-2)2+(y-2)2=r2(r>0)截得的最短弦长为贝U

V=.

1

13.已知等比数列九}的前〃项的积为〃，即7^=a1a2a3---an_1an,又已知的=4,Q=-,则〃的最大值为

14.若实数x,y满足3+5=1,设z=1(%2+y2)-20(lnx+Iny),则z的最小值为一

四，解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

△2BC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,乙48c的平分线交AC于点D,BE为4ABC的中线.若

V-3sin(B+^)—sin(B-今=0,a=1.

c=2.(1)求BE的长.

(2)求BD的长.

16.(本小题15分)

已知平行六面体ABC。-41当前。1的底面为正方形,所有棱长为2,点。1和。分别为上,下底面的中心,且

7T

乙=^A1AD=今

(1)求证：平面4BD1平面A8CD

(2)求平面与平面BCG2所成角的余弦值.

17.(本小题15分)

函数/'(x)=e2x+(a—2)ex—ax.

⑴当a=-2e时,求函数/(x)的极值和极值点.

(2)若/'(久)>a-1在久e[0,+8)上恒成立,求实数a的取值范围.

18.(本小题17分)

在平面直角坐标系尤Oy中，若在曲线E]的方程F(x,y)=。中，以(忒,科)(4为正实数)代替(x,y)得到曲线E2的

方程F(4x,2y)=0,则称曲线场,%关于原点“伸缩”，变换®y)一。久,的)称为“伸缩变换”，2称为伸缩

比.

(1)己知双曲线々的方程为4-4=1,伸缩比2求当关于原点伸缩变换后所得双曲线E2的方程.

43Z

(2)已知椭圆/：=+*=1经“伸缩变换”后得到椭圆段,若射线I：y=g(x>0)与椭圆%,外分别交

于两点A,B,且阴=求椭圆％的方程.

(3)已知抛物线公：x2=2Pty作"伸缩变换"(x,y)->(44,4y),得到EJI：x2=2Ply,其中i=

n

1,2,•••,n,若Pi=1,4n=2,求数列｛p"的通项公式.

19.(本小题17分)

油松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布,特别适合用于描述单位时间(或单位空间)内随机事件发

生的次数,例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人

数,机器出现的故障数，自然灾害发生的次数,一个产品上的缺陷数,显微镜下单位分区内的细菌分布数等，

因此,在管理科学,运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位.若随机变量X服从参数为4(4>0)

的泊松分布(记作X〜兀⑷),则其概率分布为P(X=fc)=k&N,其中e为自然对数的底数.

(1)当2>20时,泊松分布可以用正态分布来近似,当2>50时,泊松分布基本上就等于正态分布,此时可认为

X〜若X〜71(100),求P(110<X<120)的值(保留三位小数).

(2)某公司制造微型芯片,次品率为0.1%,各芯片是否为次品相互独立.以X记产品中的次品数.

①若X〜B(n,p),求在1000个产品中至少有2个次品的概率.

②若X〜A=np,求在1000个产品中至少有2个次品的概率.

通过比较计算结果,你发现了什么规律？

(3)若X〜兀(4),且P(X>1)<0.01,求4的最大值(保留一位小数).

参考数据:若X〜NO，/),则有P(〃-O-<X</Z+O-)«0.6827,P(〃-2。<X<〃+2cr)=0.9545,P(ji-

3。<X<〃+3(J)=0,9973,0.9991°0°~0.3676,0.9999"-0.3680,：~0.3678.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：集合4=｛x6N||x—1|<2｝=｛0,1,2).

故选：B.

根据已知条件,结合绝对值不等式的解法,即可求解.

本题主要考查绝对值不等式的解法,属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：••・/•(%)的定义域为R

又-sin(-x)_-sinx_

乂以X)lg[(-x)2+e]_lg[x2+«]-KX)-

・•・/(x)为R上的奇函数,，其图象关于原点对称,.•.排除B,C选项.

当x>0且x-。时,sinx>0,lg(x2+e)>0,/(%)>0,二排除D选项.

故选：A.

根据函数的奇偶性,极限思想，即可求解.

本题考查函数的性质，极限思想的应用,属基础题.

3.【答案】A

【解析】解：数列｛即｝为等差数列,其首项为的,公差为d,且m,n,s,tEN+.

若ni+n=s+t,贝!Jam+an=2al+(m+n—2)d,as+at—2al+(s+t—2)d.

则可得+厮=Gts+Clf.

所以p是4的充分条件.

若等差数列｛即｝是常数歹U，则对于任意m,n,s,tEN+.

都有C1m+—Cis+

所以p不是q的必要条件.

综上,命题p是命题q的充分不必要条件.

故选：A.

根据等差数列的性质，以及充分条件和必要条件的定义求解.

本题主要考查了等差数列的性质，考查了充分条件和必要条件的定义,属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解:C„x+C„x24------FC„xn=(x+l)n-1.

当x=2,n=6时，36—1=(33+1)(33—1)=28x26,不能被5整除.

当％=4,n=6时,56-1不能被5整除.

当％=8,n=4时,94—1=(92+1)(92—1)=82x80能被5整除.

当％=14,n=4时，154一1=(152+1)(152-1)=226x224不能被5整除.

故选：C.

由已知结合二项展开式检验各选项即可判断.

本题主要考查了二项式定理的应用,属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：因为锐角a满足3sina+4cosa=4.

所以3sina=4(1—cosa),且sina丰0.

a1—cosa3

所以tan2=b=T

故选：B.

根据三角函数公式,即可求解.

本题考查三角函数求值问题,属基础题.

6.【答案】D

【解析】解：建立直角坐标系,如图：

则线段AB的方程为，^久+y-V~3=0.

设P(m,—m)),Q(n,—n))(m,n£[0,1])-

则方•CQ=mn+3(1—m)(l—n)=3-3(m+n)+4mn<(m+n)2—3(m+n)+3.

令t=m+n,(0<t<2),则y=t2-3t+3=(t--)2+

当力=0时，即?n=n=0时，ymax=3,所以排除A,B.

当CP1CQ时.

CP-CQ=0,所以则而•诙的取值范围是[0,3].

故选：D.

建系,构建函数模型,通过函数思想，即可求解.

本题考查向量数量积的最值的求解，属中档题.

7.【答案】D

【解析】解：由已知得线段AC是动圆的直径.

故AB1CB.

所以南•诙=0.

因为4(0,5),B(x,0),C(0,y).

所以丽=(x,-5),CB=(x,-y).

所以荏・面=/+5y=0.

可得=-5y.

又2,C不重合，所以原点除外.

所以M点的轨迹方程为/=-5y(y丰0).

故选：D.

由已知得线段AC是动圆的直径,故1CB,即希•布=0,再利用向量数量积的坐标运算求解即可.

本题主要考查了动点轨迹方程,属于中档题.

8.【答案】C

【解析】解：取8C的中点为MPA中点为。，入

设正三角形的边长为。，贝"M=4M=?a.Q/V\\

因为"82=Z.PCA=90°./:斗\

所以PA为三棱锥P-ABC外接球的直径._V

又因为8C1PM,BC1AM,PMC\AM=M.

所以BC1面PAM.

所以由VPTBC=可得,/BC-S”4M=|-a-1-72a-ja=18/2.

所以a3=216,解得a=6.

所以PA=2R=672,即R=

所以三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4兀胆=727r.

故选：C.

由题意可知"84=^PCA=90。,所以PA为三棱锥P-ABC外接球的直径再结合三棱锥的体积公式和球

的表面积公式求解.

本题主要考查了三棱锥的外接球问题,属于中档题.

9.【答案】BCD

【解析】解:4。={(男，女)，(女,男),(女,女)},2={(男,女),(女,男)}.

所以P(4)=|,所以A错误.

B.Cl=20,5正确.

。.设Zi=a+bi,Z2=c+di,a,b,c,dER.

则Z1Z2=(ac—bd)+(ad+bc)i=0.

所以代二7U①，视①为关于a,b的二元一次方程组,可得代:一泞=?.

lad+be=0iadz+bed=0

所以a(c2+d2)=0,当c2+c/2=0,即Z2=0时,①有无数多个解：

当c2+d20,即Z2*0时，①有且只有唯一解a=b=0,即z1=0,因此当=0时,z]，z2中至少有一个为

0,C正确.

。从中随机连续取3次不放回,所以X服从超几何分布,所以Z)正确.

故选：BCD.

结合古典概率公式检验选项A,结合组合数公式检验选项B,结合复数的基本概念检验选项C,结合超几何分

布的概念检验选项。即可求.

本题主要考查了古典概率公式,组合数公式的应用，复数的基本概念,超几何分布的判断,属于中档题.

10.【答案】4。

„2

【解析】解：因为椭圆c的方程为：9+y2=i.

所以a=2,力=1,c=y/~3.

所以FI(—J30),F2(73,0),不妨设8(0,1),设

则IMF/=2+^-X,\MF2\=2-^-X.

■2

对A选项，因为IMF/•|MFzl=4-3/.

又0W/W4,所以1<\MFr\•\MF2\<4,所以A选项正确.

对B选项，因为丽=(-73-x,-y),=(<3-x,-y).

所以丽•丽=/+必_3=_2[-2,1],所以8选项错.

4

对C选项，因为|MB|=J%2+(y_1)2=J_3y2_2y+5.

所以当y=Te时,Wax=苧，所以C选项错误.

|MF]|_2+—%41

对。选项，因为=-1H---,又一2<%<2.

哂2—2~x

所以7—4展W第437+473,所以。选项正确.

|M921

或给=转墨=品—1，当|MF2|e[2—6,2+0]时，。正确・

故选：AD.

根据椭圆的几何性质，椭圆的焦半径公式,针对各个选项分别求解即可.

本题考查椭圆的几何性质，椭圆焦半径公式的应用，函数思想的应用,属中档题.

11.【答案】ACD

sin7rx0v%v2

1,,12的图象如图所示.

2八%L)X>L

{f

12

对于A:任取比2G[1，+8),都有1/01)-/(尤2)|W/COmax—/COmin=2-(-1)=》故A正确.

对于B：因为6)=1"(|)=今…，片+2k)=(2

所以6)+/(|)+…+/©+2k)=1口~-=2-去故B错误.

对于C：由/(%)=11/(x-2),得到/(%+2k)=&1吁⑸,即/(%)=2kf(x+2k),故。正确.

对于D：函数/(%)=k(k>0)有两个相异实根%1，上，如图所示.

111

则5<k<1且久i+次=1(%vV力

所以比=久1(1一%1)=一01-2)2+后

当(树，函数为增函数,所以及</冷故。正确.

61236x4

故选：ACD.

画出函数/(©的图象,数形结合可判断A。,由等比数列的求和公式可判断B,由=1/(x-2),得到

/(%+2k)=弓"/。),进而可判断C.

本题主要考查了分段函数的图象和性质，考查了函数的零点与方程根的关系,属于中档题.

12.【答案】2

【解析】解：因为直线/：y—l=k(x—1)经过点C：(x-2)2+(y-2)2=r2(r>0).

则C(2,2).

所以|PC|=

如果直线/被圆C截得弦长最短,贝〃1PC,那么产=2+2=4.

所以r=2.

故答案为：2.

由已知结合直线与圆相交的性质即可求解.

本题主要考查了直线与圆相交的性质的应用，属于基础题.

13.【答案】8

【解析】解：a1-4,q=^.

由已知可得即=4.(yt=铲3

则〃=a[a2a3…味1即=(1)-2-(1)-1•(|)n-3

=(l)[(-2)+(-l)+-+(n-3)]

1n(n—5)

所以*=所以当n=2或3时,6取得最大值8.

故答案为：8.

由已知结合等比数列的通项公式即可求解.

本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础题.

14.【答案】畀201n5

【解析】解：因为工+1=1,所以也=1.

xyxy

令x+y—t,则久y=t.

所以羽y可以看作小？-tm+t=0的解.

则4=t2-4t>0.

又因为x,yE(0,+oo),t>0.

所以t>4.

所以+y2)—20(In%+Iny)=-(x+y)2—xy—201n(xy)=-t2-t—201nt.

令/(%)=-x2-x—201nx(x>4).

则1(x)=X-1--=，r-20=(x+4)(x-5).

当Xe(4,5)时，尸(x)<0"(x)单调递减,当Xe(5,+8)时，/⑺>0,/"(%)单调递增.

所以当x=5时,/Q)min=/⑸=当—201n5.

即z的最小值为苧-201n5.

故答案为：y-201n5.

令x+y=t,贝！Jxy=t,所以尤,y可以看作-+t=0的解，由4>0可得t>4,贝Uz=1t2-t-201nt,

再利用导数求出z的最小值即可.

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值,属于中档题.

15.【答案】解：依题意得，^sin(B+^)-sin(S-

,—TCTC7T

=V3(sinBcos-g+cosBsin-g-)—(sinBcos-2—cosBsin

=sinB+V_3cosB=0.

解得tanB=-<3,又0<B<兀,故3=：.

(1)因为8E为中线,所以露=*而+品).

BE2=-(c2+a2+2accost)=-(4+1-2)=-.

R口V3

BE=k・

1

兀

川

-叫--V-3

(2)由SdABc=S^ABD+SABCD，得2IBIsi34a(

因为。=l,c=2,所以学旧叫=?，解得出叫=|.

4N3

【解析】(1)结合和差角公式及同角基本关系对已知等式进行化简可求B,然后结合向量数量积的性质即可

求解.

(2)结合三角形面积公式即可求解.

本题主要考查了和差角公式,三角形面积公式的应用，属于中档题.

16.【答案】解：⑴证明：因为A41=4B=4D,且44遇8=N&AD=泉所以三△44D.

所以力/=A]D=2,又0为BD中点,所以4。1BD.

因为48=AD=2,且力BAD=2,AB1AD,所以4。1BDS.AO=<2.

在424。中，因为=2,所以油=A。+A02.

所以41。140,又4。CBD=0.

所以&。1平面ABCD

因为4。u平面4/。,所以平面1平面4BCD.

(2)由(1)可知,OA,OB,。&两两垂直，VXOA,OB,芯分别为x,y,z轴正方向建立如图空间直角坐标系。-

xyz.

则/i(0,0,/2),i4(V~2,0,0),8(0,V-2,0),(7(-72,0,0).

因为。i为中心，所以。。1=A4i=(--\/-2,0,V-2)-

所以元=(-/2,-42,0),~BOl(-72,-y[2,72).

设元=(久i，%,zi)为平面O】BC的法向量.

„,(n-BC=—yplx-i—yT2y-i—0人一r/口_

则r—>L，令/=1,可得加=-1,Z1=0.

(n■BO】-+A^2ZI=0

所以元=(1,—1,0).

设记=(久2，y2，Z2)为平面BB1C]C的法向量.

因为两=(-<2,0,<2),BC=(-72,-y[2,0).

所以(布•瓦苏==0

1m-BC=—y/~2x2—jiy2=0

令％2=1,可得%=-1>Z2=1,所以沅=(1,-1,1).

设平面O1BC与平面8CGB1所成角为仇且e为锐角.

则cos8=|cos(元，记〉|=瑞=占=苧・

所以平面018C与平面8CG4所成角的余弦值为苧.

【解析】(1)结合平面垂直的判定定理即可求解.

(2)结合空间向量与空间角的求解即可求解.

本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面平行的判定定理,利用向量法求面面角，点到平面的距离是解

题的关键,考查空间立体感,逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.

17.【答案】解：因为/(x)=e2x+(a—2)/篁ax.

所以/'(%)=2e2x+(a-2)ex—a=(2e%+a)(ex—1).

(1)当a=-2e时,1(%)=2(ex-1)(%-1).

由广(%)>。得,x<o或%>i,由广(%)<o得,o<%<1.列表如下：

X(-oo,0)0(0,1)1(L+8)

“X)+0—■0+

/(%)增函数极大值减函数极小值增函数

由上表可知，函数有极大值点％=0,此时极大值为/(%)极大值=/(0)=-2e-1.

函数有极小值点％=1,此时极小值为/(%)极小值=/(I)=-e2.

(2)①当a>0时,2ex+a>0.

由/'(%)>0,得%>0,函数/(%)在［0,+8)上为增函数,即当a>0时,/(%)>a-1在［0,+8)恒成立.

所以/(%)>/(0)=a-1成立.

当Q<0时，由尸(式)=0,解得%1=In(-个或%2=0.

②当％1<如即一2<a<0时,由/'(%)>0,得正<ln(-,或%>0,由/'(%)<0,得In(-)<%<0,函数

/(%)在［0,+8)上为增函数,符合题意.

③当％1=第2,即。=一2时,/'(%)>0恒成立，函数/(%)在［0,+8)上为增函数,符合题意.

④当%1>%2,即a<一2时，由尸(%)>0,得%<0或%>ln(—^),由广(%)<0得0<%<In(—).

函数/(%)在区间(0,皿一治)上递减,在(In(-》+8)上递增,财晨in(-今)</(0)=a-l,与不等式恒成立

矛盾.

所以综上所述：当a>一2时,/(%)>a-1在汽G[0,+8)上恒成立.

所以a的范围为{a|a>-2}.

【解析】(1)先对函数求导,然后结合导数与单调性及极值关系即可求解.

(2)先对函数求导,结合导数与单调性关系分析/(%)的单调性,然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解.

本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用,还考查了由不等式恒成立求解参数范围,属于中档题.

18.【答案】(1)由条件得：孥一亨=1,整理得：[一5=1,所以石2的方程为(—*=1.

^22

(2)因为％,E?关于原点“伸缩变换”，对Ei作变换(久,y)t(Ax,Zy)(2>0),得后2：=+42y2=

4L

仅=V~2x(x>0)

联立解得点A的坐标为。,2苧).

7+y=1

y=V_2x(x>0)

联立《，解得点B的坐标为信,2空).

卒+*=1JAOA

所以=V1+2|所以1或1—称1

35/t33jA3□DA3,

所以4=2,或;l=I，因此椭圆为的方程为/+4y2=1或卷+竽=1.

2

(3)对En:/=2pny作变换(x,y)t(Anx,Any),得品+i：(Anx)=2pnAny,得/=第y.

又因为/=2pn+1y,所以pn+i=给即=(扔・

当7122时，区.』.金•…•也.％.里=《)l+2+3+...+(n-l),得=6)家n-1).

Pn-1Pn-2Pn-3「302?122

当n=1时,P1=1也适用上式,所以数列｛pn｝的通项公式pn=&家"-I)(n£N*).

【解析】(1)根据题中新定义,代入伸缩比计算即可求得.

(2)由题中新定义，代入伸缩比计算E2的方程形式,再联立求得42两点的坐标,再由两点间的距离公式建立

方程求出2即可.

(3)由题中新定义和条件可得筑=