2024-2025学年山东省济宁市嘉祥县高三第二次考试数学检测试题（附解析）

2024-2025学年山东省济宁市嘉祥县高三第二次考试数学检测试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

z=2-i-%+(xeR),

L若2+i且则x取值的集合为()

A.{2}B,{3}C.{3,7}D.{1,3}

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数的四则运算化简复数z,根据|z|=1得方程，求解即得.

「羊衲】，7;x+i(2-i)(2+i)-(x+i)(5-x)-i

【详斛】Z=2-1---7=-------------：---------=———，

2+i2+i2+i

因0=1，则合上=1，即喀早=1，

2+112+1|

可得，(5-4+1=5,解得，x=3或7.

故选：C.

2.已知集合2={加082%<1},5={y|y=2、X42},则()

A.ZU8=8B.ZU3=N

C.A[}B=BD.Zn(48)=R

【答案】A

【解析】

【分析】根据集合描述法的理解，转化为函数定义域与值域，再进行集合运算，依次判断选择支即可.

【详解】由log2》Wl解得0<x〈2；

由x<2,则0<2'<4；

所以N={x[0<x<2},5={j|0<j<4},

则4=5,且%5=卜廿<0,或y>4},

则ZU8=8,A[}B=A,/%3=0.

故选：A

3,已知sina=2sin(a+2/?),且tan/?=2,则tan(a+/)=()

A.-6B.-2C.2D.6

【答案】A

【解析】

【分析】关键是角的构造，将sina=2sin(a+2〃)构造成sin[(a+/)—〃]=2sin[(a+/)+〃],再由

正弦的和差角公式展开化简求解.

【详解】由题，sin。=2sin(a+2/?),

则sin[(a+/?)—〃]=2sin[(a+尸)+/?],

sin(a+/)cosP-cos(a+/?)sinp=2sin(a+/?)cos/?+2cos(a+/)sin/,

sin(o+/?)cosP=_3cos(a+p)sin[3,

tan(a+/)=-3tan/=-6,

故选：A.

4.宽与长的比为立匚土0.618的矩形叫做黄金矩形，它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令

2

人赏心悦目.在黄金矩形Z5CD中，BC=#—T,AB>BC,CD中点、为E,则方三的值为()

A.75-1B.75+1C.4D.2

【答案】D

【解析】

【分析】利用定义求得AB,再利用平面向量的基底法用血,方表示从而利用数量积的运算法则即

可得解.

【详解】因为在黄金矩形45CD中，BC=45-1,AB>BC>

Si---------|C

/E

AD

所以0£=1二1,故/2=2,

AB2

---»---------►----►1---►ULUULUI

而AE-AD+DE-ADH—AB,AB,AD=0，

2

---*---*--->■।----（■1---*]---*----*1----210

所以=AD+-AB\=AB-AD+-AB=0+-x22=2.

I2J22

故选：D.

cox兀

5.已知函数/（x）=4cos2-1（0〉0）,若对任意的实数"/（x）在区间上的值域均

~T~6

为[—1,3],则。的取值范围为（）

A.（0,2）B.（0,3）C.（2,+oo）D.（3,+oo）

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，再根据余弦型函数的值域与周期性可得解.

cox兀

【详解】由/（x）=4cos2—1=2coscox—+1（。〉0）,

~T~~6I3j

函数值域为[-1,3],

又对任意的实数/,/（x）在区间，J+gj上的值域均为[-1,3],

,2TIE2兀

则N——>T=——，

3（O

解得0〉3,

故选：D.

6.假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力/满足公式f=^pCSv2,其中「是空气密度，S是该飞

行器的迎风面积，v是该飞行器相对于空气的速度，C是空气阻力系数（其大小取决于多种其他因素）,

反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率尸=力.当，S不变，v比原来提高10%时，下列

说法正确的是（）

A.若C不变，则P比原来提高不超过30%

B.若C不变，则尸比原来提高超过40%

C.为使P不变，则C比原来降低不超过30%

D.为使尸不变，则C比原来降低超过40%

【答案】c

【解析】

【分析】由题意可得尸=^0CSv3,c=—,结合选项，依次判断即可.

112P

【详解】由题意，f=-pCSv\P=Jv,所以尸=]0CSv3,。=说，

A：当C不变，v比原来提高10%时，

贝I]耳=；pCS(l+10%)3v3=；pC5(l.l)3v3=1.33-|pCSv3,

所以P比原来提高超过30%,故A错误；

B：由选项A的分析知，々=L33fpCSv3,

所以P比原来提高不超过40%,故B错误；

2P2P2P

C：当“，P不变’v比原来提高10%时,。=记后=中厂O'S・泡,

所以C比原来降低不超过30%,故C正确；

D：由选项C的分析知，C比原来降低不超过30%,故D错误.

故选：C

7.已知。>0,b>0,设函数/(x)=(x—a)l°gi(x+，)，若/(x)V0,则工+工的最小值为()

2ab

A.8B.4C.2D.1

【答案】B

【解析】

【分析】由/(x)W0化简得(X+6)，-">1,就底数进行分类讨论求解得到a+b=l,最后利用常值代换法,

由基本不等式即可求得.

【详解】由/(x)40可得，(x—a)l°gL(x+»4°，即logi(x+')""Wlogp,也即

222

(x+b)"">(x+Z>)°,

因x+b>0,①当x+时，可得即得Q«1-6；

②当0<x+b<l时，可得x—Q40,即得1—bVa,

综上可得，1—b=a,即。+6=1,因。>0,6>0,

故由4+』=伍+公(4+工)=2+巴+222+21@.2=4,

ababba\ba

当且仅当。=b=!时，!取得最小值，等于4.

2ab

故选：B

23

8.已知函数/(“满足/(x+y)+/(x—y)=1/(x)/(y),/(1)=-,则下列结论不正确的是()

A./(0)=3B.函数/(2x—1)关于直线x=g对称

C./(x)+/(O)＞OD./(x)的周期为3

【答案】D

【解析】

【分析】解法一：令x=l,了=0代入判断A；令x=0,利用奇偶性和对称性的概念判断B；令〉=》判

断C；令＞=1,利用周期性的概念判断D；解法二:构造函数/(x)=3cos§x,依次验证各选项即可.

【详解】解法一：

2

令x=l,昨o,则2/(1)=1/⑴/(0),解得"0)=3,A正确；

2

令x=o,贝H=]/(o)/3=2/3，

所以/(#=/(—#，即/(x)是偶函数，

所以/(2x_l)=/(—2x+l)=/[2(l_x)_l],所以函数/(2x—l)关于直线x=；对称，B正确；

2

令》=%，贝I]/(2X)+/(0)=§/2(X)20,

令f=2x,则/(/)+/(0"0,所以/(x)+/(O"O,C正确；

令＞=1,则/(x+l)+/(x—l)=/(x)①，

所以/(x+2)+/(x)=/(x+l)②，

①②联立得了(x+2)=―/(x—1),

所以/(x+3)=-/(x),f(x+6)=-f(x+3)=f(x),即/(x)的周期为6,D错误;

解法二：

兀

构造函数/(X)=3cOSyX,

3

满足/(1)=-,且

/TTTT/TTTT)

/(x+y)+/(x-j)=3cosy(x+y)+3cosy(x-)；)=6cos-xcosyj=-/(%)/()；),

/(0)=3cos0=3,A正确；

2兀兀

/(2x-l)=3cosj(2x-l)=3cos——X------------=3cos—x-1

333

2TL12TL

因为/(2x-1)表示y=3cosx的图象向右平移-个单位，且y=3cos3-x的图象关于N轴对称，

所以/(2x—1)关于直线x=；对称，B正确；

JT

由余弦函数的图象和性质可知/(x)+/(0)=3cosjx+l>0,C正确；

271

/(x)的周期至二,D错误；

3

故选：D

二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，错

选不得分，共18分)

9.设函数/(x)=(x—l)2(x—4),则()

A.x=l是/(x)的的极小值点B./(2+x)+/(2-x)=-4

C.当0<x<]时，/(sinx)>/(sin2D.不等式—4</(2x-l)<0的解集为{x[l<x<2}

【答案】BC

【解析】

【分析】对于A：求导，利用导数判断了(x)的单调性和极值；对于B：根据解析式代入运算即可；对于

C：分析可得0<sin2x<sinx<l，结合/(x)的单调性分析判断；对于D：取特值检验即可.

【详解】对于选项A：因为/(X)的定义域为R,

且/'(X)=2(x-l)(x-4)+(x-l)-=3(%_])(%_3),

当xe(l,3)时，f(x)<0；当或xe(3,+e)时，f(x)>0；

可知/(x)在(一叫1),(3,+“)上单调递增，在(1,3)上单调递减，

所以x=l是函数/(x)的极大值点，故A错误；

对于选项B：因为/(2+x)+/(2-x)=(x+l)2(x-2)+(l—》)2(-》一2)=-4,故B正确；

TT

对于选项C：因为0<x<,,则0<sinx<l,

Msinx-sin2x=sinx(l-sinx)>0,RTWO<sin2x<sinx<1>

因为函数/(x)在(0,1)上单调递增，所以/(sinx)〉/1i/x),故C正确；

对于选项D：对于不等式—4</(2x-l)<0,

因为/13=—14―4,0),即x=；为不等式―4</(2尸1)<0的解，但》=；武1,2),

所以不等式—4</(2x—1)<0的解集不为{x|l<x<2},故D错误.

故选：BC.

10.如图，函数/(幻=刖皿5：+9)。1〉0,3>0,阳转)的图象与》轴的其中两个交点为人，B,与歹轴

交于点C,。为线段8c的中点，OB=拒0。，OA=2,40=色红，贝I］()

3

A./(x)的图象不关于直线x=8对称

B./(x)的最小正周期为12兀

C./(-%+2)的图像关于原点对称

D./(x)在［5,7］单调递减

【答案】ACD

【解析】

【分析】先写出关键点坐标，得到方程，后根据=3包构造方程组解出4。,。，得到解析式，最后

3

按照正弦型三角函数特征，结合对称性，周期性，奇偶性和单调性逐个验证即可.

【详解】由题可幺(2,0),2+-,olC(0,Zsin9),则+芈］,

\(D)\2G2)

有G|Zsin同=2+工，sin(2O+°)=0

co

2V2I(n八2A1sin2(p28

3(2。J43

7171

把l|ZsinW代入上式，得-2x——24=0,解得一二6(负值舍去),

3

71.1^+0]=。，由闸解得0=V3Zsin[—=8

「.〃；=一,/.sm

6

解得Z=,(7171、

3

对A,/⑻=§sin[kx8—=0,故A正确；

2=12

对B：/(x)的最小正周期为g一，故B错误；

6

对C：f(—X+2)=—sin—(―x+2)——=—~—sin^—,/(—x+2)为奇函数，故C正确;

对D：当5WxW7时，—<—x――<,\/(x)在[5,7]单调递减，为奇函数，故D正确.

故选：ACD.

11.在数列｛册｝中，对于任意的〃eN*都有氏〉0,且a*-%+1=%,则下列结论正确的是()

A.对于任意的“22,都有a,>1

B.对于任意的%〉0,数列｛4｝不可能为常数列

C若0</<2,则数列｛册｝为递增数列

D.若%>2,则当〃22时，2<%<%

【答案】ACD

【解析】

a1

【分析】A由递推式有〃eN*上4+i=1+1，结合4〉。恒成立，即可判断：B反证法：假设｛即｝为

an+l

常数列，根据递推式求4判断是否符合丹〉0,即可判断；C、D由〃eN*上2=%用-1，讨论

an+\

l<a"+i<2、%+i〉2研究数列单调性，即可判断.

【详解】A：由。用=2+1,对有4〉0,则4+1=2+1〉1,即任意“22都有%>1,

%+1an+\

正确;

B：由。〃+1(4+1-1)=。〃，若｛册｝为常数列且%>0,则%=2满足%>0,错误;

a1

C：由一~-%+i—I且〃£N*，

%

Q

当1<%+1<2时0<一匚<1,此时q=。2仅2T)e(0,2)且为<4，数列｛斯｝递增;

an+\

当%+1〉2时3-〉1,此时%=%(%-1)>。2>2,数列｛册｝递减;

an+i

所以0</<2时数列｛an｝为递增数列，正确；

D：由C分析知：％〉2时4+1〉2且数列｛an｝递减，即”》2时2<。"<%,正确.

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：选项B应用反证法，假设｛斯｝为常数列求通项，判断是否与%〉0矛盾；对于C、

D,将递推式变形为里」=%+1-1,讨论1<。“+1<2、%+］〉2时研究数列的单调性.

an+l

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若向量£=(3,—4)在向量3=(—2,1)上的投影向量为几3，则X等于.

【答案】-2

【解析】

【分析】根据投影向量的公式运算即可得答案.

一一a-b

【详解】向量口在向量b上的投影向量为r,

\b\

a-b(3,-4)-(-2,1)-6-4

所以丁不丁一=—2

故答案为：-2.

13.的展开式中V的系数为.(用数字作答)

【答案】20

【解析】

【分析】先求出［x—L］的展开式通项4+1=(—iyc)5-2r,然后分情况讨论5—2r=l,5-2r=3,从

而可求解.

［详解］］》_工］的第，+］项为q+i=c)5f［_工］=(-iyc；x5-2r,

令5—2r=1,解得尸=2,令5—2r=3,得7=1,

代入通项可得(x-2)5展开式中的X和十项分别为：10X和-5/，分别与/和_2相乘，

X

得(炉_2)［—1的展开式中项为10/+10x3=20》3,故》3的系数为20.

故答案为：20.

14.已知41,0),点8在曲线G:y=ln(x+1)上，若线段48与曲线M:y=1相交且交点恰为线段4B的

X

中点，则称8为曲线G关于曲线拉的一个关联点，则曲线G关于曲线M的关联点的个数为

个.

【答案】1

【解析】

/、44

【分析】根据题意，将问题转化为ln(xo+l)=-的解的个数，再构造函数/(x)=lnx—-,利用函

%0+1X

数/(X)的单调性与零点存在定理判断函数/(X)的零点个数，从而得解.

【详解】设点8的坐标为(％,In(4+1)),则线段AB的中点为蛇斗［,

由题意可知，点E在曲线上,

X

所以即ln(x

2x0+lx0+l

4

构造函数/(x)=lnx——,其中1>0,

x

由于函数N=lnx与函数y=-3在(o,+e)上为增函数，

x

所以函数/("=1!1%一3在(0,+8)上为增函数，

X

因为/(1)=_4<0,/(e2)=2-^>0,

所以函数/(x)=Inx——存在唯一零点，即ln(x0+l)=-只有一个解，

所以曲线G关于曲线M的关联点的个数为1.

故答案为：1.

四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤)

15.在V/8C中，角4民C所对边分别为。力,c.已知sm"—smC=g丈,且。=2反os5.

sin5a+c

(1)求3的大小；

(2)请从条件①②③中选出一个作为已知，使V/5C存在且唯一确定，并求出NC边上的中线长.①

3

°=同；②V4SC周长为3+26；③V4SC面积为彳G.

71

【答案】(1)

6

(2)答案见解析.

【解析】

26

【分析】(1)由正弦边角关系及余弦定理可得幺=—兀，再由已知得sinZ=sin28="2，即可求角的大

32

小；

(2)根据所选条件，先判断三角形是否唯一，再应用余弦定理求ZC边上的中线长.

【小问1详解】

/*/___/「I

在V48C中，根据题设及正弦定理，得三二=——，即1=〃+c2+bc,

ba+c

所以cos/=J且工=一!，而0<幺<兀，所以2=2兀，则0<5(吆，

2bc233

n

又。=2bcosB及正弦定理，得sin/=2sinSeos5=sin25=—，

2

显然28e(0,—兀)，则28=巴，所以3=

336

【小问2详解】

由(1)知，C=B=3,由正弦定理［J="—=,0,得a=也b=也(:，

6SIIL4SIILSsinC

选①，a=®，V4SC的3个内角确定，没有边长信息，此三角形不唯一，不能选①;

选②，V48C周长为3+26，则b=c=G,a=3,V4SC存在且唯一，

设NC边上中线8。，

A

在△AB。中，BD2=AB2+AD--2AB-AD-(-->)=3+-+-=—,所以50=叵.

24242

选③，S=-bcsinA=—b2=^-,则6=。=省,。=3,V4SC存在且唯一，

244

设/C边上中线8。，(示意图同上)

在中，BD2=AB2+AD2-2AB-AD\--)=3+-+-=—,所以5£>=叵.

24242

16.某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包.在一个不透明的袋子中装有〃个形状大小相同的

标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取加个球(机<〃)，摸完后全部放回袋中，球上所标的面

值之和为该员工所获得的红包数额.

(1)若"=4,m=2,当袋中的球中有2个所标面值为40元，1个为50元，1个为60元时，在员工所

获得的红包数额不低于90元的条件下，求取到面值为60元的球的概率；

(2)若〃=5,机=4,当袋中的球中有I个所标面值为10元，2个为20元，1个为30元，1个为40元

时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差.

3

【答案】(1)-

5

(2)期望为96；方差为104

【解析】

【分析】(1)记事件A：员工所获得的红包数额不低于90元，事件8：取到面值为60元的球，根据条件

先求尸(N),P(AB),再利用条件概率公式，即可求解；

(2)由题知X可能取值为80,90,100,110,再求出对应的概率，利用期望和方差的计算公式，即可求解.

【小问1详解】

记事件A：员工所获得的红包数额不低于90元，事件8：取到面值为60元的球,

因为球中有2个所标面值为40元，1个为50元，1个为60元，且

C】Q1_|_Q25

40+50>90,40+60>90,50+60>90,所以P(Z)=2'2_2=_,

C46

1

又尸(明所以产出■弋=g

C462尸(A)£5

6

【小问2详解】

设X为员工取得的红包数额，则X可能取值为80,90,100,110,

所以尸(X=80)=，=]尸(X=90)=：=]

JX—J

P(X=100)=-^=|,尸(X=110)=\=g,

所以E(X)=80XL+90XL+100X2+110XL=96,

5555

11?1

D(X)=(80-96)2Xj+(90-96)2x-+(100-96)2x-+(110-96)2x-=104.

17.疫情期间，为保障学生安全，要对学校进行消毒处理.校园内某区域由矩形045C与扇形OCD组成,

CM=2m,48=2晶，ZCOD=-.消毒装备的喷射角NEO=4，阴影部分为可消毒范围，要求

33

点E在弧CD上，点尸在线段48上，设4F0C=6,可消毒范围的面积为S.

(1)求消毒面积S关于0的关系式，并求出tan。的范围;

(2)当消毒面积S最大时，求tan。的值.

2J3

【答案】（1）5=271+473-6^--------，tan。©—,73

tan。3

（2）tan6）=

2

【解析】

【分析】（1）求出扇形OCE和梯形。CAF的面积，可求得S关于。的关系式，求出。的取值范围，可求得

tan。的范围；

（2）根据（1）中的函数关系式，利用导数法可求得S取最大值时，对应的tan。的值.

【小问1详解】

解：由题意可知NCOE=1—8,则扇形COE的面积为S]—3卜（26了=2兀—68,

­.­OCHAB,则NATO=NEOC=。，且ZE=------,

tan。

所以，梯形。CAF的面积为S,=4#—•二一=4#———

2tan6tan0

vtanZABO=—=—，且0＜NA8。〈巴，则NN08=色，故工＜。＜四,

AB33363

2[Jj

所以，S=S]+S,=211+443-60--------,tan（9G—,A/3,

12tan33

【小问2详解】

2「百一

解：设y=6。H--------，tan0E—,V3,

“tan夕[3

2=6sm2"22（氐mO+1）（瓜m"l）,且smejL"

sin20sin20sin20122

A

记々为锐角，且sina=Y±，

3

TT2

当一时，y<o,此时函数歹=6。+-----单调递减,

6tan。

jr2

当—时，y>o,止匕时函数歹=6夕+-----单调递增,

3tan6

所以，当sin。=@时，cos6>=->即tan£=222=也时，，取最小值，此时S取最大值.

33cos02

18.已知函数/(%)=e"+asinx—l(q£R).

(1)求曲线丁=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)若函数/(x)在x=0处取得极小值，求。的值，并说明理由.

(3)若存在正实数机，使得对任意的xe(0，M，都有/(x)<0,求。的取值范围.

【答案】(1)J=(«+l)x

(2)Q=—1

(3)(-oo,-l)

【解析】

【分析】(1)由导数的几何意义即可求解；

(2)由导数与极值的关系即可求解；

(3)根据导函数的初始值，结合导函数的图象的连续性，进行分类讨论研究，即可得到实数。的取值范围.

【小问1详解】

因为/(x)=e*+asinx-l(awR),则/⑼=0,/r(x)=ex+acosx,

故/'(O)=l+a,所以曲线丁=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程为y=(a+l)x

【小问2详解】

由⑴知/⑼=a+l,

函数/(x)在x=0处取得极小值，所以/，(0)=0,此时a=—1,

所以/'(x)=e=cosx,

设g(x)=/f(x)=ex-cosx,贝ijg'(x)=e%+sinx

(兀兀).(71兀、

因>=6，在—1，5上单调递增，y=smx在—彳，5上单调递增，

所以g'(x)=e*+sinx在图上单调递增，

g'⑺〉1屋)sm[―〉/一.1J〉0

fJIJI)

所以g(x)=/'(x)=e*-cosx在［一1］J上单调递增，

又/'(0)=0,

所以当时，/,(x)<0,当时，/,(x)>0,

即/(x)在［―彳刀］上单调递减，在I。,1］上单调递增，

所以/(x)在x=0处取得极小值，满足题意，

故。=—1,

【小问3详解】

因为/(%)=e"+〃sinx-l(a£R),则/(0)=0,/'(%)=e*+QCOSX,

当/'(0)=1+。〉0，即a>T,由函数/'(X)=e*+acosx图象的连续性可知，

必存在正实数机，使得对任意的xw(0,m),/，(%)>0,

此时/(x)单调递增，从而/(x)〉/(O)=O,不符合题意；

当/'(0)=1+。<0，即a<T，由函数/'(x)=e*+acosx图象的连续性可知，

必存在正实数机，使得对任意的xe(O，M，r(x)<0,

对应/(x)单调递减，从而/(“</(0)=0,符合题意；

当。=一1时，f(x)=ex-sinx-1,/'(x)=e*-cosx,

设〃(x)=/f(x)=er-cosx,〃(x)=e，+sinx在(0,兀)上恒为正,

所以/'("=秒—cosx在(0,兀)上单调递增，

所以在(0,兀)上/'(x)>/,(0)=0,/(x)在(0,兀)上单调递增，

从而/(x)〉/(0)=0,不合题意；

综上，。的范围是(一叫―1)

19.约数，又称因数.它的定义如下：若整数。除以整数机(机/0)所得的商正好是整数而没有余数，我们

就称。为机的倍数，称机为。的约数.设正整数。共有左个正约数，即为％,

%，…，&T，软(为<a2<"'<ak]-

(1)若a=8,求左的值；

(2)当左N4时，若{砍一为，为等比数列，求正整数。；

(3)记幺=%。2+。2a3+…+。"4，证明：A<a2-

【答案】(1)k=4

(2)a=,{k>4)

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据约数的定义确定约数的个数即可；

ac

(2)结合约数的定义可得q=1,%=一，结合等比数列的定义