2024-2025学年山西省太原市高一年级上册期末数学检测试题（附解析）

2024-2025学年山西省太原市高一上学期期末数学检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

1.与角-60。终边相同的角是（）

A.60°B.1200C.240°D.300°

2.已知sinOcos。〉。，且|cose|=cos。则角夕是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

3.函数了=JlTogzX的定义域为（

A.（0,+e）B.（-℃,2]C.（0,2]D.[2,+co

4.a>:是sine>的（）

42

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3

5.函数/（无）=原-：的零点所在的区间为（）

A.(0,1)B.（1，2）C.(2,3)D.（3,4）

6.已知(-兀,0),且sin6・cose=-,则sin。+cos。=()

8

A.好B._V5RA/6V6

Vz•----D.

2F2~~r

7.已知a,且tana=3,tan夕=2,贝!Ja+/=()

5712兀-3715K

A.—B.—C.—D.

1234~6

8.若实数b,。满足.a=log3兀：，6=In兀，c=In2，则-()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

二、多选题（本大题共1小题）

9.已知/（x）=3tan2x,则下列结论正确的是（）

A.“X）的最小正周期7=兀

B.的定义域为jx卜与+

C.〃X）的值域为[-1,1]

D./（x）是奇函数

三、单选题（本大题共1小题）

10.已知/（x）=log〃x（a>0,且"1）,则下列结论正确的是（）

A.当a>l时,〃x）在（0,+句上是增函数

B.不等式八句<0的解集是（0,1）

C./（x）的图象过定点（1,0）

D.当°=2时，/（x）的图象与g（x）=0.01x的图象有且只有一个公共点

四、多选题（本大题共2小题）

11.函数/（x）=Nsin（0x+e）（N>O,0>O,-7i<e<O）的部分图象如图所示，则下列结论

A.函数的最小正周期7

B.函数/（x）图象关于直线尤=1+今（左eZ）对称

C.把函数“X）的图象向左平移己个单位长度，得至脑口）=然出。尤的图象

11jr1Qjr

D.〃x）在[0,句上恰有3个零点，则实数。的取值范围是-^，―

|lnx|,0<x<e

12.已知函数/（'）=/4，若方程/（x）=〃有四个不同的实数解玉，巧,

-------x+4,%2e

、ee

覆，X4,且满足X]<匕，则下列结论正确的是（）

A.0<«<1B.2xx+x2e[2A/2,3)

G22

C.再+9+/+Z£4e+2,5eH■—D.玉工2%3%4(3e,4e)

五、填空题（本大题共4小题）

13.已知扇形的圆心角为120°,半径为3,则扇形的面积是.

14.已知函数/（x）=log3X与歹=g（x）互为反函数，则g（2）=.

15.已知函数/（x）=2sin（ox+胃-1侬＞0）在（0,兀）上恰有两个零点，则实数0的取值

范围为.

16.已知实数x,y满足6川+工=:5/+1叮=_,则彳=.

六、解答题（本大题共5小题）

31

17.(1)求1幅：-]1幅9+皿42+23的值;

(2)已知Ig3=alg2,试用。表示logflZ.

18.已知角。的顶点在坐标原点O,始边与x轴非负半轴重合，其终边经过点

P。，-4）.

(1)求sincr,cos6Z,tana的值；

cos兀一a

(2)求一

sin

兀

19.已知0</?<a<5,且tana=2,cos(a-^)=|.

⑴求sin2a的值；

(2)求cos2夕的值.

20.已知函数/(x)=lg(l+x)+lg(l-x).

⑴判断“X）的奇偶性，并说明理由；

（2）判断“X）在（0,1）上的单调性，并证明你的判断;

（3）对任意feR,若/三恒成立，求实数机的取值范围.

21.已知函数/（》）=sinf2x+^\,其中xeR.

(1)求使成立的X取值范围；

⑵若函数g(x)=cos(2x+1],且对任意的X],Xze1,0],当X]<x?时，都有

/(xJ-〃X2)<g(xJ-g(X2)成立，求实数/的最小值.

答案

1.【正确答案】D

【分析】由终边相同的角的定义计算即可得.

【详解】与角-60。终边相同的角为-60。+360。次小€2）,

当a=1时，有-60°+360°xl=300°,其他选项检验均不成立.

故选：D.

2.【正确答案】A

【分析】由条件得到sin。>O,cos0>0判断.

【详解】解：因为sin0cos、>0,且|cose|=cos。,

所以sin。>O,cos。>0,

所以。是第一象限角，

故选：A

3.【正确答案】C

【分析】根据具体函数的特征，列式求函数的定义域.

【详解】函数的定义域需满足不等式即bgzXVl,

即0<x42,所以函数的定义域为（0,2].

故选：C

4.【正确答案】D

【分析】结合充分条件与必要条件的定义举出反例即可得.

【详解】当:时，如x=7t,有sin兀=0<,

42

工.V2.r.（5兀）V3V2

当sina>—时n，如sin-----=—>-------，

2I3J22

故a>：是sina>变的既不充分也不必要条件.

42

故选：D.

5.【正确答案】C

【分析】得出函数的单调性后借助零点的存在性定理即可得.

【详解】由/（x）=E故"X）在（0,+司上单调递增，

X/（2）=ln2--<l--<0,/（3）=ln3---ln3-l>0,

3

故函数〃工）=1-；的零点所在的区间为（2,3）.

故选：C.

6.【正确答案】B

【分析】先由夕©（-兀,0）,且sin0-cos0=-,判断出O,cos0<0,再利

8

用平方关系求解.

【详解】解：因为（-无,0）,且sine-cos8=：,

8

所以一兀，一^bsin。<O,cos0<0

贝Usin9+cos9=-J（sine+cos>丫_-71+2sin^-cos9=——盛,

故选：B

7.【正确答案】C

【分析】求得tan（a+0,然后结合角范围可得.

【详解】由已知戊+月£（0,兀），

tana+tan/33+2

tan(a+,)=-1

1-tanatan01-3x2

故选：C.

8.【正确答案】A

【分析】利用对数函数的性质可判定构造函数/（'）=?,利用导数研究其单

调性可判定。,少

In71

【详解】因为。>log33=l,6>lne=l,利用换底公式可知。_历3_1,,.小，

——=--------=--------<.1Q<,

bIn7iIn3

构造函数/(x)=¥=/'(x)=T^(x>0),

显然0<x<e时，r（x）>0,则〃切=/在（0同上单调递增,

x>e时，r（x）<0,则〃x）=/在（e,+<»）上单调递减,

l

所以由五<2<e=/（占卜分lnji</（2）=程，即ln"Gln2,

所以6<c,综上Q<6<C.

故选：A

难点点睛：观察式子发现利用对数函数的性质可判定即底数大于1时，底数越大

图象在第一象限内越平缓，步骤上可以由换底公式计算；对于后两项对比可以构造

/（x）=¥，通过其单调性进行对比即可.

9.【正确答案】BD

【分析】结合正切函数的性质逐项判断即可得.

【详解】对A：由f（x）=3tan2x,故〃无）的最小正周期7，故A错误;

对B：由题意得：2x手三+k兀（k€,即xw：+勺（左eZ）,

故〃x）的定义域为卜卜故B正确；

对C:由>=1211X€11,故/（X）的值域为R,故C错误；

对D：小）的定义域为“卜号+号左1],

f（-x）=3tan[2x（-尤）]=-3tan2x=/（-尤）,

故"X）是奇函数，故D正确.

故选：BD.

10.【正确答案】AC

【分析】对A、B、C,结合对数函数性质逐项判断即可得，对D,将函数图象交点

个数转化为研究函数的零点个数，借助零点的存在性定理即可判断.

【详解】对A：当°>1时，〃X）在（0,+e）上是增函数，故A正确；

对B：当”>1时，log^x<0,则xe（O,l）,当0<a<l时，xe（l,+oo）,故B错误；

对C：/（l）=logfll=0,故C正确；

对D：当a=2时，/（x）=log2x,令，（x）=log2x_0.01x,

有/!（l）=log21-0.01=-0.01<0,/?（2）=log22-0.01x2=1-0.02=0.98>0,

101010

/?（2）=log22-0.01x2=10-10.24=-0.24<0,

故在（1,2）及（2,2）上都至少有一根，

即/（弓的图象与8（力=0.05的图象在（1,2）及（22。）上都至少有一个交点，

故D错误.

故选：AC.

11.【正确答案】BC

【分析】由图象可得函数解析式，借助正弦型函数的性质逐项分析即可得.

【详解】由图可得/=2,7=2x]一[一.]]=兀，贝彳=2,

有2x-+(p=--\-2kn(kGZ),即9=-—+2kn(kGZ),

326

由一兀<。<0,故°=一p即/（x）=2sin12x.J,

6

对A：由7=h，故A错误;

对B：令2x-.=]+Mi（左eZ）,解得x=1+g（左eZ）,故B正确;

对C：把函数〃x)的图象向左平移方个单位长度，

I兀兀)

可得g(x)=2sin[2x+2x五—/J=2sin2x,故C正确；

对D：当x£[0,。]时，2x--G—,2a—,

6|_66

贝U有2兀42。一T三T<3兀，即1”3ir4。〈1竺97r，故D错误.

61212

故选：BC.

12.【正确答案】ACD

【分析】作出函数>=/(X)的图象和直线了=。后直接判断A,由图象确定否,尤2,尤3户4

的关系及范围，然后利用对勾函数性质判断BC,结合二次函数性质判断D.

【详解】作出函数了=/1)的图象，，再作出直线V=。，如图，由TnX|=ln%得

XjX2=1,

由对称性得W+X4=4e,且l<z<e,e<x3<2e,

/(e)=1,因此0<°<1,A正确；

2Xl+x2^—+x2>2^2,当且仅当马=行时等号成立，

2

又％=1时，2匹+马=3,%。时，2再+/=—+e>3,

e

因此由对勾函数性质可得2西+%€[2行透+2),B错；

e

同理由对勾函数性质得再+%=x,+—e(2,e+-),因此%+%+马+匕e(4e+2,5e+』],

ekQ)

c正确;

因为贝（]》也%匕=%（46-%）=-（斗-2e）2+4e?e（3e：4e2）,D正确.

故选：ACD.

13.【正确答案】3兀

【分析】先将角度转化成弧度制，再利用扇形面积公式计算即可.

0TT177

【详解】扇形的圆心角为120。，即grad,故扇形面积S=sxgx32=3万.

故答案为.3万

14.【正确答案】9

【详解】由反函数的性质可得x=bg3g(x)，即g(x)=3",

故g⑵=32=9.

故9.

15.【正确答案】(2,|

【分析】结合正弦型函数的图象与性质计算即可得.

【详解】令/'(x)=2sin[0x+[j-l=O,则sin(0x+j=g,

当xe(0,7i)时，a)x+^G^,(tm+^,

工附上r〃目13兀兀,17兀

由寇思可得――<CDTI+—<——,

666

解得2<。(即实数0的取值范围为卜,|.

故答案为.J,|

16.【正确答案】-/e-1

e

【分析】原等式可分别变形为e*"+尤+l=g,v2+lny2=1,可构造函数

/(x)=x+ln无，结合函数单调性可得，即可得解.

【详解】由:/+lny=1,即/+21取=1,即/+1取2=：,

335

由e㈤+x=±,gpeI+1+x+l=-+l=-,

222

令/(x)=x+lnx,则〃x)在定义域内单调递增,

有/(eI+1)=eI+1+lneI+l=eI+l+x+l=|,/(j；2)=/+Inj2=1,

x

故*=/,故彳e」1.

ye

故答案为

e

关键点睛：本题关键在于构造函数/(x)=x+lnx,结合单调性从而得出67=丁.

".【正确答案】⑴r⑵髭

【分析】借助对数的运算性质计算即可得.

31

【详解】（1）原式二1。82'—log23+,+l

⑵“贵Ig3+21g2

Ig3+lg2

Hg2+21g2_a+2

〃lg2+lg2a+1

434

18.【正确答案】（l）sina=—《,cosa=一,tantz——

53

⑵-1

【分析】（1）借助三角函数的定义计算即可得；

（2）借助辅助角公式计算即可得.

【详解】（1）••・角］终边经过点尸（3,-4）,，|PO|=5,

.434

/.sma=——,cosa=-,tana=——；

553

一cosasna3

(2)原式==-cosa

cosadana5

4

19.【正确答案】（1）不

(2)i

【分析】（i）借助二倍角公式与三角函数基本关系将弦化为切计算即可得;

（2）结合三角函数基本关系与三角恒等变换计算即可得.

TT

【详解】(1),/tana=2,且0<a<—,

2

.cc.2sinacosa2tana4

则sm2a=2smacosa=——-------=——----=—

sina+cosatana+15

TTTT

(2)v0</?<«<—,.\0<«-/?<—,

=sin(a-0)=|

cos>

sma0°八7i

,/tana------=2,sina+cosa=1,0<a<—,

cosa2

贝!I5cos2a=1,即cosa=——,sintz=

55

cos£=cos[a-((/-£)]=cosacos(a-£)+sinasin(a-〃)

,3

cos2尸=2cos~?-l=1.

20.【正确答案】（1）偶函数，理由见解析

（2）单调递减，证明见解析

⑶卜2,T）U（1,2]

【分析】（1）借助奇函数的定义判断即可得；

（2）由符合函数的性质可直接判断，借助函数单调性的定义即可证明;

（3）结合函数的单调性与奇偶性计算即可得.

【详解】（1）函数/（x）为偶函数，理由如下：

[l+x>0

由题意得〈,.,.-1<X<1,

[l-x>0

二函数〃X）的定义域为（-1,1）,关于原点对称，

又•••/（一X）=1g（1-X）+1g（1+X）=/（x）,/（X）为偶函数;

（2）函数/（无）在（0,1）上单调递减