2024-2025学年四川省绵阳市高二年级上册期末数学质量检测试卷（含解析）

2024-2025学年四川省绵阳市高二上学期期末数学质量检测试卷

一、单选题：（本题共8小题，每题5分，共40分）

1.（5分）抛物线>=4/的焦点坐标是（）

A.（0,1）B.（1,0）C.（0,—）D.（―,0）

'16，'16）

2.（5分）已知点/（2,1,-1）关于y轴的对称点为瓦则|蓝|等于（）

A.3V2B.2V6C.2D.2乘

3.（5分）我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三

年级的人数比为3：4：3,要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则

应抽取的一年级学生的人数为（）

A.52B.48C.36D.24

v2

4.（5分）若直线/过点（-3,-2）,且与双曲线:-y2=i过第一和第三象限的渐近线互

4

相垂直，则直线/的方程为（）

A.2x+y-8=0B.2x+;v+8=0C.2x-y+8=0D.2x-y-6=0

5.（5分）安排甲，乙，丙三位志愿者到编号为1,2,3的三个教室打扫卫生，每个教室恰好

安排一位志愿者，则甲恰好不安排到3号教室的概率为（）

2311

A.-B.-C.-D.-

3443

6.（5分）已知直线/：fcc+y+2-左=0过定点点尸（x,>）在直线2x-y+l=0上，^\\MP\

的最小值是（）

A.5B.V5C.学D.y

7.（5分）已知M（-2,0）,圆C：N-4x+y2=0,动圆P经过M点且与圆C相切，则动圆

圆心P的轨迹方程是（）

A.N—?=l（X>1）B.y-/=l（x>V3）

C.3D.-3-//=1

8.（5分）已知尸i,F2是椭圆C：5+，=l（a>6>0）的左、右焦点，2是。的下顶点，直线

—>—>

3入与C的另一个交点为4且满足％则C的离心率为（）

二、多选题：（本题共3小题，每题6分，共18分）

（多选）9.（6分）一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有1〜9这9个数

字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事

件“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件2,“从中任意抽取1张

卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件C.则下列说法正确的是（）

A.事件/与事件C是互斥事件

B.事件8与事件。是对立事件

C.事件/与事件2相互独立

D.P（NUB）=P（A）+P（B）

（多选）10.（6分）已知抛物线产=22x（p>0）的焦点尸到准线的距离为4,直线/过点厂

且与抛物线交于/（xi,力），B（及，》）两点，若M（m,2）是线段48的中点，则（）

A.p=4

B.抛物线的方程为f=16x

C.直线/的方程为y=2x-4

D.|/8|=10

（多选）11.（6分）如图，已知斜三棱柱N5C-4SG中，NB力C=5=y,^CAAX=p

4B=4C=1,44i=2,点。是21c与3G的交点，则下列结论正确的是（）

A.AO=^AB+AC+AA^)B.\AO\=^

C.AO1BCD.平面/8C_L平面818CG

三、填空题：（本题共3小题，每题5分，共15分）

12.（5分）两平行直线Zi：（2x+3j+l=0,/2：x+（a-2）y+a=0的距离为.

13.（5分）己知1,xi,血，X3,g这5个数的平均数为3,方差为2,则为,冷，冷，g这4

个数的方差为.

14.（5分）已知圆。：x2+y2=9,椭圆C：[+[=1的左、右焦点分别为吊，尸2，。为坐标

原点，P为椭圆C上一点，直线OP与圆。交于点M,N,若|尸尸小|尸尸2尸4,则1PM"?网

四、解答题：（第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）

15.（13分）已知圆”与y轴相切，其圆心在x轴的负半轴上，且圆M被直线x-y=O截得

的弦长为2a.

（1）求圆M的标准方程；

（2）若过点P（0,3）的直线/与圆M相切，求直线/的方程.

16.（15分）在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，

国球运动再掀热潮.现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（五局三胜制），其中每局中甲

获胜的概率为右乙获胜的概率为g每局比赛都是相互独立的.

（1）求比赛只需打三局的概率；

（2）已知甲在前两局比赛中获胜，求甲最终获胜的概率.

17.（15分）高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将

测试结果按如下方式分成五组，第一组[13,14）,第二组[14,15）...第五组[17,18],如

图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

（1）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好

的人数.

（2）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数和中位数（精确到0.01）.

（3）设机，"表示该班两个学生的百米测试成绩，已知加，«e[13,14）U[17,18],求事

件“加-川＞2”的概率.

18.（17分）如图所示，直角梯形4BCD中，AD//BC,ADLAB,AB=BC=24D=2,四边形

E0CF为矩形，CF=W,平面矶1cF_L平面4BCD.

（1）求证：。尸〃平面4BE；

(2)求平面4BE与平面瓦吆夹角的余弦值;

(3)在线段OF上是否存在点P使得直线8尸与平面N3E所成角的余弦值为手，若存在,

求出线段5尸的长度，若不存在，请说明理由.

77

22—

19.(17分)已知双曲线C：a一力=1(。＞°，b〉0)的左、右焦点为居、尸2,虚轴长为4VL

离心率为鱼，过。的左焦点B作直线/交C的左支于4、8两点.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若4%=4企，求6的大小；

(3)若M(-2,0),试问：是否存在直线/,使得点M在以43为直径的圆上？请说明理

由.

答案与试题解析

题号12345678

答案CDCBABCA

一、单选题：(本题共8小题，每题5分，共40分)

1.(5分)抛物线y=4f的焦点坐标是()

A.(0,1)B.(1,0)C.(0,—)D.(―,0)

'16，'16)

【分析】把抛物线夕=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标.

解：抛物线y=4N的标准方程为/=%,p=*开口向上，焦点在》轴的正半轴上，

故焦点坐标为(0,3)，

16

故选：C.

【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x2的方程化为

标准形式，是解题的关键.

2.(5分)已知点N(2,1,-1)关于y轴的对称点为8,则|蓝|等于()

A.3V2B.2V6C.2D.2甚

―>

【分析】根据点对称的性质可得点2的坐标，由两点间的距离公式可得|48|.

解：由题意，点/(2,1,-1)关于〉轴的对称点为2(-2,1,1),

由两点间的距离公式可得|/同=J(-2—2/+(1-1尸+(-1—1)2=275.

故选：D.

【点评】本题考查点关于y轴的对称点的坐标的求法及空间中两点间的距离公式的应用，

属于基础题.

3.(5分)我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三

年级的人数比为3：4：3,要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则

应抽取的一年级学生的人数为()

A.52B.48C.36D.24

【分析】根据给定条件，利用分层抽样的抽样比列式计算即得.

解：用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人

数为：豆缶X12°=36・

故选：C.

【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题.

4.（5分）若直线/过点（-3,-2）,且与双曲线:-俨=i过第一和第三象限的渐近线互

相垂直，则直线/的方程为（）

A.2x+y-8=0B.2x+jH-8=0C.2x-y+8=0D.2x-y-6=0

【分析】由双曲线方程写出其渐近线方程，根据两直线垂直求出直线/的斜率，由点斜式

即得I的方程.

解：直线/过点（-3,-2）,且与双曲线=1过第一和第三象限的渐近线互相垂直,

如图，由J-y=1可知双曲线在第一和第三象限的渐近线方程为：y=lx,

直线I与之垂直，则直线I的斜率为-2,

又直线I过点（-3,-2）,故直线I的方程为y+2=-2（x+3）,即2x+y+8=0.

故选：B.

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线方程的求法，是基础题.

5.（5分）安排甲，乙，丙三位志愿者到编号为1,2,3的三个教室打扫卫生，每个教室恰好

安排一位志愿者，则甲恰好不安排到3号教室的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

3443

【分析】基本事件总数〃=题=6,甲恰好不安排到3号教室包含的基本事件个数

m=6题=4,由此能求出甲恰好不安排到3号教室的概率.

解：安排甲，乙，丙三位志愿者到编号为1,2,3的三个教室打扫卫生,

每个教室恰好安排一位志愿者，

基本事件总数n=Al=6,

甲恰好不安排到3号教室包含的基本事件个数m=C；题=4,

则甲恰好不安排到3号教室的概率为尸=竺=：=；.

n63

故选：A.

【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，

是基础题.

6.(5分)已知直线/：fcc+产2f=0过定点环点尸(x,y)在直线2x-y+l=0上，则

的最小值是()

A.5B.V5C.学D.y

【分析】先求定点，再根据点到直线距离公式求解点到直线上动点距离最小值即可.

解：由fcv+y+2-后=0得>2=左(1-x),所以直线/过定点-2),

依题意可知附尸|的最小值就是点M到直线2x->+1=0的距离，

由点到直线的距离公式可得|MP|加八==V5.

V4+1

故选：B.

【点评】本题考查的知识要点：点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的理解能力和

计算能力，属于基础题.

7.(5分)已知M(-2,0),圆Cx2-4x+y2^0,动圆P经过M点且与圆C相切，则动圆

圆心尸的轨迹方程是()

2

A.9―9=1(X>1)B.y-y=1(x>V3)

C.9一片=1D.--/=1

33z

【分析】由题意，得到圆。的圆心和半径，设出动圆P的半径，分别讨论动圆尸与圆。相

内切和外切两种情况，结合双曲线的定义以及a,b,c之间的关系，列出等式进行求解即

可.

解：易知圆C的标准方程为(x-2)2+y2=4,

所以圆C是以C(2,0)为圆心，2为半径的圆，

不妨设动圆尸的半径为r,

若动圆P与圆C相内切，

此时圆C在动圆P内，

可得|PM=r,|PC尸r-2

所以1PM-\PC\=2<\MC\=4,

则动点P是以M,C为焦点的双曲线的右支，

此时a=l,c=2,

所以6=Vc2—a2=V3,

则动圆圆心尸的轨迹方程为N—1=1（%>1）,

若动圆P与圆C相外切，

可得1PM=r,|PC|=r+2

所以|PC|-|PM=2<|MC|=4,

则动点P是以M,C为焦点的双曲线的左支，

此时4=1,0=2,

所以b=Vc2—a2=V3,

则动圆圆心尸的轨迹方程为-1=1（XS-1）,

综上，动圆圆心P的轨迹方程为N—9=1.

故选：C.

【点评】本题考查轨迹方程，考查了逻辑推理和运算能力.

8.（5分）已知尸2是椭圆C：5+，=l（a>b>0）的左、右焦点，2是。的下顶点，直线

—>―>

AF2与C的另一个交点为4且满足尸遇1%3,则C的离心率为（）

【分析】利用椭圆的定义及勾股定理用a表示出|/尸1|，在中求出coM,再

在△/尸1尸2中，通过余弦定理得到IF1F2E与层的关系，即可求出离心率.

解：如图，2尸1|=|比囹=。，令磔尸2尸机，则14gl=2a-加，

222

F\A1：.FiA±FiBf^\AB\=|^|+|5^|,

2

即（加+。）=（2。-次）2+Q2,得血二年，

则⑷^匚手|/5|=a+ga=1|a,

4a

在RtA^FiB中,有cosA==磊=g,

—5

在△AF1尸2中，由余弦定理得：尸1尸2『=|4F1E+|4尸2『—2|4%|•|力/21cos4

•?!2/4a、2,2a、2o4a2a44o

•-4c=（T）+（-）-2xTxTx-=-a^

解得£=v.

a5

故选：A.

【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查焦点三角形的解法，是中档题.

二、多选题：（本题共3小题，每题6分，共18分）

（多选）9.（6分）一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有1〜9这9个数

字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事

件/,“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件瓦“从中任意抽取1张

卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件C.则下列说法正确的是（）

A.事件N与事件C是互斥事件

B.事件2与事件C是对立事件

C.事件/与事件8相互独立

D.P（ZUB）=P（/）+P（2）

【分析】利用互斥事件的定义判断4利用对立事件的定义判断8;利用相互独立事件的

定义判断C;利用古典概型、列举法判断。.

解：一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有1〜9这9个数字（每张卡片

上标1个数），

“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件/,“从中任意抽取1张卡

片，卡片上的数字不超过6”记为事件B,

“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件C.

样本空间为。={1,2,3,4,5,6,7,8,9},

A={2,5,8},B={\,2,3,4,5,6},C={7,8,9}.

:/nc={8},...事件/与事件。不是互斥事件，故/错误；

：3UC={1,2,3,4,5,6,8,9},3nC=0,

；•事件B与事件C为对立事件，故8正确；

•.•P(PB)="P(^)=|=pP(B)=1=t>

：.P(AB)=P(/)P(8),即事件N与事件3相互独立，故C正确；

•••PG4UB).

：.P(AUB)*P(/)+P(B),故。错误.

故选：BC.

【点评】本题考查互斥事件、对立事件、相互独立事件、古典概型、列举法等基础知识，

考查运算求解能力，是基础题.

(多选)10.(6分)已知抛物线产=2px(p>0)的焦点下到准线的距离为4,直线/过点厂

且与抛物线交于/(xi,勿)，B(X2,方)两点，若M(m,2)是线段的中点，则()

A.p=4

B.抛物线的方程为f=16x

C.直线/的方程为y=2x-4

D.\AB\=\0

【分析】由焦点到准线的距离可求得〃=4,则可判断/正确，3错误；利用斜率坐标计算

公式几何中点坐标计算公式可求得直线/的斜率，从而求得I的方程，可判断C正确；勿+理

—2(xi+x2)-8=4,所以XI+X2=6从而|48|=|4F|+|8F|=XI+X2+4=10判断£>正确.

解：根据题意及抛物线的几何性质可得p=4,故N正确；

故抛物线的方程为产=8x,焦点尸(2,0),故3错误；

又yj=8%i，y|=8%2，且2)是48的中点，

；・"+/=4,：.y\-y|=8刀1-8x2,

二皿=」=2,.•.直线/的方程为y=2x-4.故C正确；

X1-X2yi+72

♦yi+y2=2(xi+x2)8=4,..XI+X2=6,

：.\AB\^\AF\+\BF\=xx+xi+A=10,故。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查抛物线的几何性质，点差法的应用，化归转化思想，属中档题.

(多选)11.(6分)如图，已知斜三棱柱48C-4131G中，NB4C=],^BAA1=等，/.CAAX=全

NB=/C=1,44i=2,点。是8C与3cl的交点，则下列结论正确的是（）

一[TTT

A.Z0="B+"+44i)B.|初=当

C.AO.LBCD.平面4BC_L平面BiBCG

―>

【分析】利用空间向量的线性运算,逐步把4。用基向量表示出来即可判断/；对于3,C,

,T_>TTT_>.,

D,则可以选择AB=a,AC=b,44i=c为平面的一组基，分别用a,b,c表示出相关向

量，再运用向量数量积的运算律求向量模长和验证向量垂直，即可判断5,C；对于。项，

—>—>

计算推得再由即可证得4E，平面55。。1,最后由线面垂直得

面面垂直即可.

解：对于/,因4。=AB+B0=AB+^AC-AB+AA^=^AB+AC+AA£）,故/正确；

T—TTTT

对于2,不妨设4B=a,4C=b,=c,贝|{a,b,c}构成空间的一个基底.

—>~—>—>~-—>—>—>

则依题意：1@1=1勿=1，1。1=2，联b=0,b,c=1,a-c=-1,

,T1T—T

由A可得，AO=—(ci+b+c),

贝！J|Z0|2=1(a2+b2+c2+2a•b+2b•c+2a.c)=|,即|A0|二'，故5正确；

TT—TT1T7->7-»1

对于C,因=b-ctf故Z。,BC=Q(a+b+c),(b—a)—~(-1+1+1+1)=1W0,

故c错误；

对于。，如图取3c的中点E,连接

因为45=/C,£为8C的中点，所以

5L.AE-BBi=：（a.c+b-c）=-1+1）=0,故有/£_L83i,

因为BC,豳U平面2bBeci，

所以NE_L平面SBCG,又4BU平面NBC,

故平面4BC_L平面33CG,即D正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查空间向量的线性运算及数量积运算，属中档题.

三、填空题：（本题共3小题，每题5分，共15分）

12.（5分）两平行直线/i：ax+3y+l=0,I2：x+（a-2）y+a=0的距皆为—^―

【分析】利用平行线求解。，结合距离公式求解即可.

解：由/1〃/2时，求出。=3,由此能求出直线/1与/2之间距离.

解析：当"/2时,有昨（?二评，

解得。=3,/i：3%+3y+l=0,I2：x+y+3=0,即3x+3y+9=0,

**•直线/i与h之间距禺为d=J.；2=

故竽

【点评】本题考查两直线间距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意距离公式的

合理运用.

13.（5分）已知1,Xl,X2,X3,X4这5个数的平均数为3,方差为2,则Xl,X2,X3，X4这4

个数的方差为

【分析】根据1,XI,X2,X3,X4这5个数的平均数求出XI,X2,X3,X4这4个数的平均数，

再利用公式计算出说+君+岩+德=54和X1,必%3,X4这4个数的方差.

1Z04-

解：因为1,X”X2,X3,X4这5个数的平均数为3,方差为2,

所以3（%i+盯+%3+%4+1）=3,即Xl+%2+X3+X4=14,

所以Xl，X2,X3，%4这4个数的平均数为土=[X（/+到+%3+久4）=/

所以"2,+A+i-32=2,即弓+%+用+公=54,

所以Xl，X2，X3，X4这4个数的方差为：（£+%；+用+公）一元2=3义54-6）2=1|.

故*

【点评】本题考查了平均数，方差的计算公式，是基础题.

14.（5分）已知圆。：/+产=9,椭圆C：9+1=1的左、右焦点分别为B,尸2,O为坐标

原点，尸为椭圆。上一点，直线O尸与圆O交于点M,N,若1PBi・|列囹=4,贝!

=6.

【分析】利用尸碎+|刊囹=2°求出。尸|,然后将1PM』尸网转化为|。网2_Q砰求解即可.

解：根据已知圆。：9+产=9,椭圆C：!+1=1的左、右焦点分别为尸1，/2,

作图如下,

222

令点P（X0,次）,因为|P%|+\PF2\=2an\PFr\+\PF2\+2\PF1\\PF2\=4a,

并且根据题意知1PBM尸尸21=4,所以（久o+c）2+羽+（久0-c）2+亦+8=4a2,

因此君+羽=2a2-c2-4

=10-3-4

=3,

所以|PM|•|PN|=（|OM|-\OP\X\ON\+\OP\）=\OM\2-\OP\2=9一（君+赤）=6.

故6.

【点评】本题考查圆与圆锥曲线综合应用，属于中档题.

四、解答题：（第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）

15.（13分）已知圆M与夕轴相切，其圆心在x轴的负半轴上，且圆M被直线x-y=0截得

的弦长为2夜.

（1）求圆M的标准方程；

（2）若过点P（0,3）的直线/与圆M相切，求直线/的方程.

【分析】（1）根据弦长及圆的几何性质求出圆心半径得解；

（2）分类讨论直线的斜率是否存在，根据点到直线距离等于半径得解.

解：⑴因为圆心在x轴的负半轴上，所以设圆环（x-a）2+产=八（0<0）

又圆M与y轴相切，所以同=r,即r=-a.

圆心0）到直线x-y=0的距离为号，

所以（空）2+（应）2=。2,解得。=一2,则r=2.

故圆的标准方程为G+2）2+产=4.

（2）由（1）知，圆心为M（-2,0）,r=2,

因为22+32>4,所以点尸在圆M外，过圆M外一点作圆M的切线，其切线有2条.

①当/的斜率左不存在时，直线/的方程为x=0,

圆心M（-2,0）到直线x=0的距离为2,

所以直线x=0与圆M相切.

②当/的斜率左存在时，设/的方程为y=fcr+3,即fcc-y+3=0,

则圆心M到/的距离d=展粤=2,解得k=2，

J1+H12

此时/的方程为5x-12y+36=0.

综上，I的方程为5x-12j+36=0或x=0.

【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于中档题.

16.（15分）在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，

国球运动再掀热潮.现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（五局三胜制），其中每局中甲

获胜的概率为右乙获胜的概率为g每局比赛都是相互独立的.

（1）求比赛只需打三局的概率；

（2）已知甲在前两局比赛中获胜，求甲最终获胜的概率.

【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式可解；

（2）根据相互独立和时间事件乘法公式可解.

解：（1）设事件/="甲前三局都获胜”，事件3="乙前三局都获胜”，

2228

则P(B)*X：X；卷P(A)=|x-X-

3327,

比赛只需打三局的概率为：P=P(AU8)=P⑷+P(B)=^=1,

(2)甲需要打三局的概率为：Pi=g,

甲需要打五局的概率为：P3=1xix|=^,

甲需要打四局的概率为：P2=

则甲最终获胜的概率为：P=g+/捺=||,

【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题.

17.(15分)高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将

测试结果按如下方式分成五组，第一组［13,14),第二组［14,15)…第五组［17,18］,如

图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

(1)若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好

的人数.

(2)请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数和中位数(精确到0.01).

(3)设机，”表示该班两个学生的百米测试成绩，已知加，"引13,14)U［17,18］,求事

件"|帆-川>2”的概率.

【分析】(1)根据频率分布直方图能求出成绩在［14,16)内的人数，由此得到该班在这次

百米测试中成绩为良好的人数.

(2)由频率分布直方图能求出众数落在第二组［15,16)内，由此能求出众数；数据落在

第一、二组的频率是0.22V0.5,数据落在第一、二、三组的频率是0.6>0.5,所以中位数

一定落在第三组中，假设中位数是x,则0.22+G-15)x0.38=0.5,由此能求出中位数.

(3)成绩在［13,14)的人数有2人，成绩在［17,18)的人数有3人，由此能求出结果.

解：(1)根据频率分布直方图知成绩在［14,16)内的人数为：

50x0.18+50x0.38=28人.

...该班在这次百米测试中成绩为良好的人数为28人.

(2)由频率分布直方图知众数落在第三组[15,16)内，

众数是誓=15.5.

:数据落在第一、二组的频率=b0.04+b0.18=0.22<0.5,

数据落在第一、二、三组的频率=1x0.04+1x0.18+1X0.38=0.6>0.5,

二中位数一定落在第三组中，

假设中位数是x,则0.22+(%-15)x0.38=0.5,

解得x=詈-15.74,

...中位数是15.74.

(3)成绩在[13,14)的人数有50x0.04=2人，

成绩在[17,18)的人数有；50x0.06=3人，

设相，〃表示该班两个学生的百米测试成绩

,:m,«e[13,14)U[17,18],

事件“恤-川>2”的概率

殁3

片可/

【点评】本题考查众数、中位数的求法，考查概率的计算，是中档题，解题时要认真审题,

注意频率分布直方图的合理运用.

18.(17分)如图所示，直角梯形4BCD中，AD//BC,ADLAB,AB=BC=24D=2,四边形

即CF为矩形，CF=V3,平面E£>CF_L平面4BCD

(1)求证：。尸〃平面48£；

(2)求平面与平面EF3夹角的余弦值；

(3)在线段。尸上是否存在点尸，使得直线2P与平面/BE所成角的余弦值为手，若存在,

求出线段5尸的长度，若不存在，请说明理由.

C

A

B

【分析】(1)取。为原点，所在直线为X轴，所在直线为Z轴建立空间直角坐标系,

T—TTTT

求出平面/2E的法向量n与向量DF,根据DF・n=O证明DF_Ln；从而证明。下〃平面/BE；

(2)求平面8所的法向量拓，再计算平面/AB与平面EEB所成锐二面角的余弦值;

——T->

(3)设DP=LDF,Xe[O,1],求向量BP与平面ABE的法向量n所成角的余弦值，列出方

―>

程解方程得九的值，从而求出IBPM勺值.

解：(1)证明：取。为原点，所在直线为x轴，DE所在直线为Z轴建立空间直角坐标

系,

如图所示;

贝1)4(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,V3),F(-1,2,V3),

BE=(-1,-2,V3),AB=(0,2,0),

设平面45E的法向量为］=(x,y,z),

.(―x—2y+V3z=0

,(2y=0

不妨设几=(V3,0,1),

又茄=(-1,2,V3),

DF・n=—V3+0+V3=0,

TT

：.DF±n；

又；DFQ平面4BE,

9〃平面N5£；

(2)9：BE=(-1,-2,V3),BF=(-2,0,V3),

设平面BEF的法向量为zn=（Q,b,c）,

.f—a—2b+V3c=0

1—2a+V3c=0

令c=4,贝l]q=2B,b=V3,

m=(2V3,V3,4),

—»—»

A|cosei=|^V|=105VH

2xV3131

平面ABE与平面EFB夹角的余弦值是穹;

—>—>_

(3)