2024-2025学年四川省某中学初三年级开学摸底考试数学试题（含解析）

2024-2025学年四川省篇|中学市初三年级开学摸底考试数学试题试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.已知二次函数y=（x+a）（x-a-1）,点P（x0,m）,点Q（1,n）都在该函数:图象上，若mVn,则xo的取值范

围是（）

r1

A.O<xo<lB.O<xo〈l且xoW一

一2

C.xo<O或xo>lD.O<xo<l

2.某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概

率是（）

4321

A.—B.—C.—D.一

5555

3.如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（）

4.如图，平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG,若ZBAE=40°,ZCEF=15°,

则ND的度数是（）

A.65°B.55°C.70°D.75°

5.如图，在平面直角坐标系xOy中，△4笈。由4ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为（）

A.(0,1)B.(1,-1)D.(1,0)

6.-2的相反数是（

A.-2

7.计算3尤2y+孙3的结果是（

A.5炉B.6/6/y

8.如图，在平面直角坐标系中，P是反比例函数y=七的图像上一点，过点P做轴于点。，若△OPQ的面

积为2,则上的值是（

A.-2

9.李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序

是（）

已知：如图，在AABC中，点D,E,F分别在边AB,AC,BC±,且DE//BC,DF//AC,

求证：AADESADBF.

证明：①又♦.•DF//AC,②•「DE//BC,③.•./A=4DF,④.•./ADE=4,.-.AADE-ADBF.

RF

A.③②④①B.②④①③C.③①④②D.②③④①

10.计算（x-2）（x+5）的结果是

A.x2+3x+7B.x2+3x+10C.x2+3x—10D.x2—3x—10

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.阅读以下作图过程：

第一步：在数轴上，点O表示数0,点A表示数1,点B表示数5,以AB为直径作半圆（如图）；

第二步：以B点为圆心，1为半径作弧交半圆于点C（如图）；

第三步：以A点为圆心，AC为半径作弧交数轴的正半轴于点M.

请你在下面的数轴中完成第三步的画图（保留作图痕迹，不写画法），并写出点M表示的数为

12.如图，已知正方形边长为4,以A为圆心，AB为半径作弧BD,M是BC的中点，过点M作EMLBC交弧BD

于点E,则弧BE的长为.

13.如图，数轴上点A表示的数为a,化简：a+J/—4a+4=

-1-----1_।--->

042

14.若代数式/口在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为

15.举重比赛的总成绩是选手的挺举与抓举两项成绩之和，若其中一项三次挑战失败，则该项成绩为0,甲、乙是

同一重量级别的举重选手，他们近三年六次重要比赛的成绩如下（单位：公斤）：

年份2015年上2015年下2016年上2016年下2017年上2017年下

选手半年半年半年半年半年半年

甲290（冠军170（没获292（季军135（没获298（冠军）300（冠军

奖）奖）

乙285（亚军）287（亚军）293（亚军292（亚军）294（亚军）296（亚军

如果你是教练，要选派一名选手参加国际比赛，那么你会选择（填“甲”或"乙”），理由是

16.已知正比例函数的图像经过点M（_：■匚（二厂力口心二J如果二'二:'那么二」-.（填“〉”、

“=，，”v，，）

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）解方程：1+4=当£

3-xx~-3%

19.（8分）北京时间2019年3月10日0时28分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功将中星6C

卫星发射升空，卫星进入预定轨道.如图，火星从地面C处发射，当火箭达到A点时，从位于地面雷达站。处测得ZM

的距离是6切？，仰角为42.4°；1秒后火箭到达3点，测得。3的仰角为45.5°.（参考数据：sin42.4。沏.67,cos42.4°=0.74,

tan42.4%0.905,sin45.5-0.71,cos45.5°=：0.70,tan45.5°=1.02）

（I）求发射台与雷达站之间的距离CD-,

（n）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果精确到0.01）?

20.（8分）已知：关于x的方程X?-（2m+l）x+2m=0

（1）求证：方程一定有两个实数根；

(2)若方程的两根为Xi,X2,且|X1|=|X2|,求m的值.

21.(8分)如图，在平面直角坐标系中有RtAABC,ZA=90°,AB=AC,A(-2,0),B(0,1).

(1)求点C的坐标；

(2)将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B\C正好落在某反比例函数图象上.请求

出这个反比例函数和此时的直线的解析式.

(3)若把上一问中的反比例函数记为yi,点B，，。所在的直线记为y2,请直接写出在第一象限内当yi<yz时x的取

值范围.

22.(10分)如图，关于x的二次函数y=x?+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)和点B与y轴交于点C(0,3),抛

物线的对称轴与x轴交于点D.

(1)求二次函数的表达式；

(2)在y轴上是否存在一点P,使4PBC为等腰三角形？若存在.请求出点P的坐标；

(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，

以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到

何处时，AMNB面积最大，试求出最大面积.

23.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3,0),点B(0,373).点O为原点.动点C、D分别

在直线AB、OB上，将ABCD沿着CD折叠，得△BCD.

(I)如图1,若CD1AB,点B，恰好落在点A处，求此时点D的坐标；

(II)如图2,若BD=AC,点B，恰好落在y轴上，求此时点C的坐标；

(III)若点C的横坐标为2,点B，落在x轴上，求点B，的坐标(直接写出结果即可).

24.某化妆品店老板到厂家选购A、5两种品牌的化妆品，若购进A品牌的化妆品5套，5品牌的化妆品6套，需要

950元；若购进A品牌的化妆品3套，8品牌的化妆品2套，需要450元.

(1)求A、8两种品牌的化妆品每套进价分别为多少元？

(2)若销售1套A品牌的化妆品可获利30元，销售1套3品牌的化妆品可获利20元；根据市场需求，店老板决定

购进这两种品牌化妆品共50套，且进货价钱不超过4000元，应如何选择进货方案，才能使卖出全部化妆品后获得最

大利润，最大利润是多少？

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、D

【解析】

分析：先求出二次函数的对称轴，然后再分两种情况讨论，即可解答.

详解：二次函数尸Cx+a）（X-a-1）,当y=0时，xi=-a,&=。+1,•,.对称轴为：x=%々=；

当尸在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，由机<〃，得：O<xoW；；

当尸在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，由加〈小得：<xo<l.

综上所述：m<n,所求xo的取值范围O<xo<l.

故选D.

点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏.

2、B

【解析】

试题解析：列表如下:

男1男2男3女1女2

男1—一VV

男2一一VV

男3——VV

女1VVV一

女2VVV—

二共有20种等可能的结果，P（一男一女）=一=一.

205

故选B.

3、D

【解析】

分析：先根据多边形的内角和公式（w-2）T80。求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点,

并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360。求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减

去3即可得解.

详解：：五边形的内角和为(5-2)T80o=540。，.•.正五边形的每一个内角为540。+5=18。，如图，延长正五边形的两

边相交于点0,则Nl=360°-18°x3=360°-324。=36。，360°-?36°=l.V已经有3个五边形，二1-3=7,即完成这一圆环

还需7个五边形.

故选D.

点睛：本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意

需要减去已有的3个正五边形.

4、A

【解析】

分析：首先求出NAEB,再利用三角形内角和定理求出NB,最后利用平行四边形的性质得/D=/B即可解决问题.

详解：：四边形ABCD是正方形，

ZAEF=90°,

ZCEF=15°,

ZAEB=180o-90O-15o=75°,

VZB=180。-/BAE-ZAEB=180。-40。-75。=65。，

四边形ABCD是平行四边形，

ZD=ZB=65°

故选A.

点睛：本题考查正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决

问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.

5、B

【解析】

试题分析：根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心.

试题解析：由图形可知，

对应点的连线CC，、AA，的垂直平分线过点（0,-1）,根据旋转变换的性质，点（1,-1）即为旋转中心.

故旋转中心坐标是P（1,-1）

故选B.

考点：坐标与图形变化一旋转.

6、B

【解析】

根据相反数的性质可得结果.

【详解】

因为-2+2=0,所以-2的相反数是2,

故选B.

本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键.

7、D

【解析】

根据同底数幕的乘除法运算进行计算.

【详解】

3x2y2.x3y24-xy3=6x5y4-^xy3=6x，y.故答案选D.

本题主要考查同底数幕的乘除运算，解题的关键是知道：同底数幕相乘，底数不变，指数相加.

8、C

【解析】

根据反比例函数k的几何意义，求出k的值即可解决问题

【详解】

解：：过点P作PQ，x轴于点Q,AOPQ的面积为2,

k

.•.|万|=2,

Vk<0,

/.k=-l.

故选：C.

本题考查反比例函数k的几何意义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

9、B

【解析】

根据平行线的性质可得到两组对应角相等，易得解题步骤；

【详解】

证明：②•.•DE//BC,

④,/ADE=4,

①又：DF//AC,

③../A=/BDF,

」.△ADEsADBF.

故选B.

本题考查了相似三角形的判定与性质；关键是证明三角形相似.

10、C

【解析】

根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可.

【详解】

（口-2）（口+5）=口：+5口-2口-10=口：+兀-10.

故选：c.

考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、作图见解析，V15+1

【解析】

解：如图，点M即为所求.连接AC、BC.由题意知：A8=4,BC=1.为圆的直径，.../ACB=90。，贝|

AM=AC=y]AB2-BC2=A/42-12=而，；•点M表示的数为止+1.故答案为715+1.

点睛：本题主要考查作图-尺规作图，解题的关键是熟练掌握尺规作图和圆周角定理及勾股定理.

12、至

3

【解析】

延长ME交于R由〃是的中点,MF±AD,得到产点为的中点，即AF=-AD,则ZAEF=30°,得到ZBAE=30°,

2

再利用弧长公式计算出弧BE的长.

【详解】

延长ME交于尸，如图，是的中点，点为的中点，§PAF=-AD.

2

r好生“30”.42万

5L'：AE=AD,：.AE=2AF,：.ZAEF=30°,：.ZBAE=30°,.,.弧3E的长=-------=—.

1803

2万

故答案为——•

3

H•元•R

本题考查了弧长公式：.也考查了在直角三角形中，一直角边是斜边的一半，这条直角边所对的角为30度.

180

13、1.

【解析】

直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可.

【详解】

由数轴可得：0<a<l,

贝Ia+Va2-4a+4=a+V（2-a）2=a+（1-a）=1.

故答案为1.

本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a的取值范围是解题的关键.

14、x<l

【解析】

根据二次根式有意义的条件可求出X的取值范围.

【详解】

由题意可知：1-xNO,

/.x<l

故答案为：xWl.

本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是利用被开方数是非负数解答即可.

15、乙乙的比赛成绩比较稳定.

【解析】

观察表格中的数据可知：甲的比赛成绩波动幅度较大，故甲的比赛成绩不稳定；乙的比赛成绩波动幅度较小，故乙的

比赛成绩比较稳定，据此可得结论.

【详解】

观察表格中的数据可得，甲的比赛成绩波动幅度较大，故甲的比赛成绩不稳定；乙的比赛成绩波动幅度较小，故乙的

比赛成绩比较稳定；

所以要选派一名选手参加国际比赛，应该选择乙，理由是乙的比赛成绩比较稳定.

故答案为乙，乙的比赛成绩比较稳定.

本题主要考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越

小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.

16、>

【解析】

分析：根据正比例函数的图象经过点M(-1,1)可以求得该函数的解析式，然后根据正比例函数的性质即可解答本

题.

详解：设该正比例函数的解析式为产质，则1=-1鼠得：左=-0.5,0.5尤J.•正比例函数的图象经过点A(xi,

yi)、B(xi,yi),xi<xi,

故答案为〉.

点睛：本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解答.

三、解答题(共8题，共72分)

17、无解.

【解析】

两边都乘以x(x-3),去分母，化为整式方程求解即可.

【详解】

解：去分母得：N-3尤-N=3x-18,

解得：尤=3,

经检验x=3是增根，分式方程无解.

题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出x的值

后不要忘记检验.

18、（1）证明见解析；（2）四边形AEMF是菱形，证明见解析.

【解析】

（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证AABEgAADF；

（2）由于四边形ABCD是正方形，易得/ECO=/FCO=45。，BC=CD；联立（1）的结论，可证得EC=CF,根据等腰

三角形三线合一的性质可证得0C（即AM）垂直平分EF；已知OA=OM,则EF、AM互相平分，再根据一组邻边相

等的平行四边形是菱形，即可判定四边形AEMF是菱形.

【详解】

（1）证明：：四边形ABCD是正方形，

；.AB=AD,ZB=ZD=90°,

在RtAABE和RtAADF中，

AD=AB

'AF=AE，

.".RtAADF^RtAABE（HL）

；.BE=DF；

（2）四边形AEMF是菱形，理由为：

证明：：四边形ABCD是正方形，

NBCA=/DCA=45°（正方形的对角线平分一组对角），

BC=DC（正方形四条边相等），

VBE-DF（已证），

•,.BC-BE=DC-DF（等式的性质），

即CE=CF,

在义COE和ACOF中，

CE=CF

<ZACB=ZACD,

oc=oc

.".△COE^ACOF(SAS),

.,.OE=OF,

又OM=OA,

/.四边形AEMF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，

：AE=AF,

平行四边形AEMF是菱形.

19、(I)发射台与雷达站之间的距离CD约为4.44k”；(II)这枚火箭从A到3的平均速度大约是0.5Um/s.

【解析】

(1)在口3ACD中，根据锐角三角函数的定义，利用/ADC的余弦值解直角三角形即可；(11)在口3BCD和RtAACD

中，利用/BDC的正切值求出BC的长，利用/ADC的正弦值求出AC的长，进而可得AB的长，即可得答案.

【详解】

CD

(I)在Rt^ACD中，DA=6km,ZADC=42.4°,cos/ADC=--0.74,

AD

CD=ADcos^ADC=6xcos42.4°«4.44(km).

答：发射台与雷达站之间的距离CO约为4.44k〃.

(II)在RMBCD中，CD=4.44km,ZBDC=45.5°,tan^BDC=,

BC-CDtanNBDC=4.44x^45.5°x4.44x1.02=4.5288(km).

,*,在Rt公ACD中，sinNADC-.......,

AD

AC—AD•sinNADC=6xs加42.4°x4,02(km).

・・.AB=BC-AC=4.5288-4.02=0.5088«0.51(km).

答：这枚火箭从A到3的平均速度大约是0.51版/s.

本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键.

20>(1)详见解析；(2)当xiK),X2N0或当xEO,X2WO时，m=—；当xiK),X2SO时或xEO,X2K)时，m=--.

22

【解析】

试题分析：(1)根据判别式△")恒成立即可判断方程一定有两个实数根；

(2)先讨论XI,X2的正负，再根据根与系数的关系求解.

试题解析：(1)关于x的方程X?-(2m+l)x+2m=0,

(2m+l)2-8m=(2m-1)2之0恒成立，

故方程一定有两个实数根；

(2)①当xiK),X2N0时，即xi=X2,

△=(2m-1)2=0,

解得m=—；

2

②当Xl>o,X2<0时或Xl<0,X2>0时，即Xl+X2=o,

.*.xi+x2=2m+l=0,

解得：m=--；

2

③当Xl<o,X2<0时，即-Xl=-X2,

△=(2m-1)2=0,

解得m=—；

2

综上所述：当xiNO,X2K)或当xSO,X2WO时，m=—；当xiK),X20O时或x£0,X2K)时，m=--.

22

2K(1)C(-3,2)；(2)yi=-,y=--x+3；(3)3<x<l.

x23

【解析】

分析：

(1)过点C作CN±x轴于点N,由已知条件证RtACAN^RtAAOB即可得到AN=BO=1,CN=AO=2,NO=NA+AO=3

结合点C在第二象限即可得到点C的坐标；

(2)设△ABC向右平移了c个单位，则结合(1)可得点ClB，的坐标分别为(-3+c,2)、(c,1),再设反比例函数

的解析式为yi=8，将点C，，B，的坐标代入所设解析式即可求得c的值，由此即可得到点C—B，的坐标，这样用待定系

x

数法即可求得两个函数的解析式了；

(3)结合(2)中所得点C-B，的坐标和图象即可得到本题所求答案.

详解：

(1)作CNLx轴于点N,

ZCAN=ZCAB=ZAOB=90°,

AZCAN+ZCAN=90°,ZCAN+ZOAB=90°,

.,.ZCAN=ZOAB,

VA(-2,0)B(0,1),

；.OB=1,AO=2,

在RtACAN和RtAAOB,

ZACN=ZOAB

ZANC=ZAOB,

AC=AB

ARtACAN^RtAAOB(AAS),

AAN=BO=1,CN=AO=2,NO=NA+AO=3,

又・・,点C在第二象限，

AC(-3,2)；

(2)设△ABC沿x轴的正方向平移c个单位，则C(-3+c,2),贝1J(c,1),

设这个反比例函数的解析式为：力=幺，

X

又点。和B，在该比例函数图象上，把点。和B，的坐标分别代入yi=-,得-l+2c=c,

X

解得c=l,即反比例函数解析式为yi=9,

X

此时C(3,2),B，(1,1),设直线BC的解析式y2=mx+n,

3m+n=2

•<，

6m+n=l

一1

m=——

・•.《3,

n=3

直线CB的解析式为y2=-1x+3；

(3)由图象可知反比例函数yi和此时的直线的交点为C，(3,2),B'(1,1),

.•.若yiVy2时,则3Vxe1.

点睛：本题是一道综合考查“全等三角形”、“一次函数”、“反比例函数”和“平移的性质”的综合题，解题的关键是：(1)

通过作如图所示的辅助线，构造出全等三角形R3CAN和R3AOB；(2)利用平移的性质结合点B、C的坐标表达出

点C，和B，的坐标，由点C，和B，都在反比例函数的图象上列出方程，解方程可得点C，和B，的坐标，从而使问题得到解

决.

22、(1)二次函数的表达式为：y=x2-4x+3；(2)点P的坐标为：(0,3+30)或(0,3-30)或(0,-3)或(0,

0)；(3)当点M出发1秒到达D点时，AMNB面积最大，最大面积是1.此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处

或点N在对称轴上x轴下方2个单位处.

【解析】

(1)把A(1,0)和C(0,3)代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；

(2)先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当APBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；

②BP=BC；③PB=PC；分别根据这三种情况求出点P的坐标；

(3)设AM=/ijDN=2t,由AB=2,得BM=2-t,SAMNB=-x(2-t)x2t=-t2+2t,把解析式化为顶点式，根据二

2

次函数的性质即可得△MNB最大面积；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x

轴下方2个单位处.

【详解】

解：(1)把A(1,0)和C(0,3)代入y=x2+bx+c,

\+b+c=Q

。=3

解得：b=-4,c=3,

...二次函数的表达式为：y=x2-4x+3；

(2)令y=0,则x2-4x+3=0,

解得:x=l或x=3,

AB(3,0),

.•.BC=30,

点P在y轴上，当APBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1,

①当CP=CB时,PC=30,OP=OC+PC=3+30或OP=PC-OC=30-3

APi(0,3+30),P2(0,3-372);

②当PB=PC时，OP=OB=3,

；.P3(0,-3)；

③当BP=BC时，

VOC=OB=3

此时P与O重合，

；.P4(0,0);

综上所述，点p的坐标为：(0,3+30)或(0,3-372)或(-3,0)或(0,0)；

(3)如图2,设AM=t,由AB=2,得BM=2-t,则DN=2t,

.".SAMNB=-x(2-t)x2t=-t2+2t=-(t-1)2+l,

2

当点M出发1秒到达D点时，AMNB面积最大，最大面积是1.此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在

对称轴上x轴下方2个单位处.

S2

23、(1)D(0,6)；(1)C(11-673，11M-18)；(3)B'(1+而，0),(1-屈，0).

【解析】

(1)设OD为x,贝|BD=AD=3若—x，在RTAODA中应用勾股定理即可求解；

(1)由题意易证△BDCs^BOA,再利用A、B坐标及BD=AC可求解出BD长度，再由特殊角的三角函数即可求解；

(3)过点C作CELAO于E,由A、B坐标及C的横坐标为1,利用相似可求解出BC、CE、OC等长度；分点B，在A

点右边和左边两种情况进行讨论，由翻折的对称性可知BC=B'C,再利用特殊角的三角函数可逐一求解.

【详解】

(I)设OD为x,

;点A(3,0),点B(0,36)，