2024-2025学年天津某中学九年级（上）期末数学试卷

2024-2025学年天津一中九年级（上）期末数学试卷

一.选择题（共12小题）

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

2.一元二次方程2/-x=3化成一般形式后，二次项的系数是2,则常数项是（）

A.2B.-1C.3D.-3

3.若包=土，则也N■等于（）

58a

A.3B.上C.旦D.9

5358

4.如图，O。中，弦AB与CO交于点M而中点，ZBAD=45°,则NC4。的度数是（）

5.如图，点尸（8,6）在△ABC的边AC上，在第一象限内将△ABC缩小到原来的工，得到B'C

6.下列二次函数的图象与x轴没有交点的是（）

A.y=3/+9xB.y=x2-2x-3

C.y=2）+4x+5D.y=-了+以-4

7.如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2加时，水面宽4m，水面宽度增加（

A.ImB.2mC.3mD.6m

8.已知圆锥的母线长为6,将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120。，则该圆锥的底面半

径是（）

A.1B.2C.2D.3

32

9.如图，已知△ABC中，ZACB=90°,将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC',连接8C',连接CE,

则CE的最大值为（）

A.4V2B.2V2+Ic.2V2+2D.2V5+2

10.如图1和图2,己知点尸是O。上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线

甲：如图1,连接OP,以点尸为圆心，连接并延长再在04上截取A2=0P；

乙：如图2,作直径B4,在。。上取一点B（异于点P,A）,过点尸作N8PC=NA,则直线PC即为

所求.

对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（）

A.甲、乙两人的作法都正确

B.甲、乙两人的作法都错误

C.甲的作法正确，乙的作法错误

D.甲的作法错误，乙的作法正确

11.图是由8个小正方形组成的网格，则在△AB。，AACD,△EAF中，与△ABC相似的有（）

C.3个D.4个

12.如图是二次函数y^a^+bx+cQWO）的图象的一部分,给出下列命题：①a6c＜0；©9a-3b+c=Q；

⑤4ac-必＜0.其中正确的命题有（

C.3个D.4个

二.填空题（共6小题）

13.计算：tan45°+V3sin60o

14.一元二次方程无（x+2）=3的解是

15.如图，在△ABC中，ZBAC=60°,则

为两条平行的弦，CD=6.则这两条平行弦之间的距离为

17.已知二次函数＞=/-2灰+2庐-4。（6,c为常数）的图象经过不同两点A（1-6,机），B（2b+c,m）,

且该二次函数的图象与无轴有公共点.则6+c的值为

18.如图是由小正方形组成的6X6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，。。经过A,B,画图过程用虚

线表示.

(1)在图(1)中画BC的中点。；

(2)如图(2),延长至格点/处，连接CE

①直接写出//的度数，ZF=(度)；

②尸为CF上一点，连接8P,将尸B绕点8顺时针旋转90°得到。8,并简要说明.

三.解答题(共7小题)

19.已知关于x的方程(2加+3)x+m~+3m-4=0.

(1)求证：无论机取何值，该方程总有两个不相等的实数根;

(2)若方程有一个根是x=2,求机的值.

20.如图，四边形ABC。内接于。0,ZBAD=90°,BC=CD，使得CE=CZ),交的延长线于点E.

(1)求证：AB=AE-,

(2)若AD=DE=2,求。。的直径.

21.如图：四边形ABCZ)内接于AB为的直径，点C平分加，且/A8C+/OCE=90°.

(1)求证：CE为。0的切线；

(2)若CE=4,DE=2,求AD

22.如图，从甲楼A8的楼顶A,看乙楼CO的楼顶C,看乙楼(C£>)的楼底。；已知甲楼的高AB=40:w.求

乙楼C。的高度.(结果精确到1优)

C

23.如图，在矩形ABC。中，AB=10cm,P从点A开始沿A8向终点8以Icvw/s的速度移动，与此同时,

如果尸、0分别从A、B同时出发，当点。运动到点C时，设运动时间是fs.

(1)f为何值时，PB=BQ?

(2)/为何值时，尸。的长度为lOcvw?

(3)设五边形APQCZ)的面积为当f为何值时，五边形APQCD的面积最小？最小面积为多少？

24.如图1,在正方形ABC。中，AB=8,以点O为圆心，作半径长为5的半圆。，交AB的延长线于点F,

点M(点〃在点N的左侧).将半圆。绕点E逆时针旋转,记旋转角为a(0°<aW90°)，点厂的对

应点为点尸.

图2备用图

当EF'经过点N时.

①求a的度数；并求EN的长;

②连接尸尸，求尸P与官的长度；(6取1.7,it取3)

(2)在旋转过程中，若半圆。与正方形A8CD的边相切，请直接写出点A到切点的距离.

25.如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=-/-2x+c与无轴交于A(-3,0)和8两点，与y

轴交于点C.

(1)求C点的坐标;

(2)连接8C,。为抛物线上一点，当/。BC=N8C。时;

(3)如图2所示,点H(h,])为第二象限内一动点，经过H的两条直线/1与/2分别与抛物线y=-lx2

均有唯一的公共点E和尸(点E在点尸的左侧)，直线EF与y轴交于点G,连接HG、HM,当/MHG

=30°时

图1

2024-2025学年天津一中九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

题号1234567891011

答案BDACACBCCAB

题号12

答案D

一.选择题（共12小题）

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.£B.Oa.

【解答】解：A.该图形是轴对称图形,不符合题意；

该图形既是轴对称图形又是中心对称图形

C.该图形是轴对称图形，不符合题意；

D.该图形是轴对称图形，不符合题意.

故选：B.

2.一元二次方程2，-彳=3化成一般形式后,二次项的系数是2,则常数项是（）

A.2B.-1C.3D.-3

【解答】解：-x=5,

2x2-x-2=0,

二次项的系数是2,则常数项是-3.

故选：D.

3.若包=电，则也N■等于（）

58a

A.3B.AC.AD.A

5358

【解答】解：•.•且=旦,

58

8

5

b^b

则"_4

a5

8

故选:A.

4.如图,OO中,弦AB与CO交于点MCD中点，/84。=45°,则NCAO的度数是)

130°C.120°D.110°

【解答】解：・・・/衣4。=45°

：.ZBCD=45°,

VZAMC=15°，

：.ZB=ZAMC-ZBCD=15°-45°=30°,

：.ZB=ZD=30°,

丁点A为。。弧中点,

：.ZD=ZACD=30°,

4c=180°-30°-30°=120°.

故选：C.

5.如图，点尸（8,6）在△ABC的边AC上，在第一象限内将△ABC缩小到原来的」,得到B'C

2

()

【解答】解：：点尸(8,6)在△ABC的边AC上，在第一象限内将△ABC缩小到原来的工,

2

点尸在A'C上的对应点P的坐标为：(4,2).

故选：A.

6.下列二次函数的图象与I轴没有交点的是()

A.y=3x2+9xB.y=x2-2x-3

C.y=2x^+4x+5D.y=-x2+4x-4

【解答】解：*.*y=3x2+3x=3x(x+3),

・••抛物线与x轴有交点，A选项不符合题意.

Vy=x2-2x-3=(x-2)(x+1),

・•・抛物线与兀轴有交点，B选项不符合题意.

*.*y=2X3+4X+5=8(x+1)2+7,

・••抛物线与x轴没有交点，。选项符合题意.

Vy=-/+4x-6=-(x+2)2,

・••抛物线与x轴有交点，。选项不符合题意.

故选：C.

7.如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2加时，水面宽4加，水面宽度增加()

A.ImB.2mC.3mD.6m

【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴X通过A8,则通过画图可得知。为原点,

抛物线以y轴为对称轴，且经过A,

根据为4米可知：。4=。8=2米，抛物线顶点C坐标为(6,

设顶点式>="2+2,把A点坐标（-4,

抛物线解析式为>=-0.5/+2,

当水面下降2.8米，通过抛物线在图上的观察可转化为:

当y=-2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，

可以通过把y=-5.5代入抛物线解析式得出：

-2.4=-0.5尤4+2,

解得：x=±3,

8X3-4=8,

所以水面下降2.5加，水面宽度增加7米.

故选：B.

8.已知圆锥的母线长为6,将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120。，则该圆锥的底面半

径是（）

A.1B.2C.2D.3

32

【解答】解：设底面圆的半径是，，120KX6

180

解得r=8,

故选：C.

9.如图，已知△ABC中，ZACB=90°,将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC',连接,连接CE,

则CE的最大值为（）

A.4A/2B.2V2+Ic.2V2+2D.2V5+2

【解答】解：取A8的中点R连接CE

:将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC',

；.AC=AC=4,

是8C的中点，

EF是△ABC的中位线，

：.EF=1AC=2,

5

在Rt^ABC中，ZACB=9Q°,

'AB=VAC2+BC3=742+72=4y，

；F为AB中点，

.•.CF=AAB=3A/2）

2

在△£人?中，

■:CEWEF+CF,

：.CEW2+1近,

的最大值为2+3加，

故选：C.

10.如图1和图2,已知点尸是。。上一点，用直尺和圆规过点尸作一条直线

甲：如图1,连接。尸，以点尸为圆心，连接并延长。4再在04上截取A2=0P；

乙：如图2,作直径E4,在。。上取一点B（异于点P,A）,过点尸作NBPC=NA,则直线PC即为

所求.

对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（）

A.甲、乙两人的作法都正确

B.甲、乙两人的作法都错误

C.甲的作法正确，乙的作法错误

D.甲的作法错误，乙的作法正确

【解答】解：甲正确.

理由：如图1中，连接必.

'：AP=PO=AO,

・•・AAOP是等边三角形，

：.ZOPA=ZOAP=60°,

9：AB=OP=AP,

：.NAPB=ZABP,

•・•ZOAP=ZAPB+ZABP,

：.ZAPB=ZABP=30°,

・・・NOP3=90°,

・•・OP±PB,

・・・尸3是OO的切线，

乙正确.

理由：TAP是直径，

ZABP=90°,

ZAPB+ZPAB=90°,

'：ZBPC=ZBAP,

：.ZAPB+ZBPC=90°,

ZAPC=90°,

・•・OP_LPC,

・••尸。是。。的切线，

故选：A.

rz

图1图2/

11.图是由8个小正方形组成的网格，则在△ABO,AACD,△EAF中，与△A8C相似的有（）

E

BCD

【解答】解：由题意可得：ZABC^ZEAF^135°,

设小正方形的边长为a,则AE=A8=&a,BD=2a,

J.AC//DE,

：.AABCsAEBD,

•.,^L_/3=BD,ZABC=AABC,

BCvAB

：.AABCsADBA,

故选：B.

12.如图是二次函数y=ax2+bx+cQWO）的图象的一部分,给出下列命题：①。历＜0；③9a-3b+c=O；

@m（am+b）为任意实数）；⑤4ac-房＜0.其中正确的命题有（）

C.3个D.4个

【解答】解：•••抛物线开口向上,

，〃〉0,

•.•抛物线的对称轴是直线x=-旦=-6,

2a

**•b=2a>0,

・・•抛物线交于y轴的负半轴，

：.c<7,

abc<0,①说法正确；

■:b=2a,

・・・②说法错误；

・・•抛物线与x轴交于(8,0),

・••抛物线与x轴的另一个交点是(-3,6),

9a-3b+c=2,③说法正确；

・・,抛物线的对称轴是直线1=-1,且开口向上，

函数最小值为a-b+c,

an^+bm+c^a-b+c,

.♦・m(am+b)-b,④说法正确；

,/抛物线与x轴有两个交点，

b1-4〃c>0，

6ac-Z?2<0,⑤说法正确；

故选：D.

二.填空题(共6小题)

13.计算：tan45°+J§sin60°=—.

一2一

【解答】解：tan45°+标也60。

=1+近文叵

2

=3+3

2

_7

2

故答案为：回.

2

14.一元二次方程x(X+2)=3的解是xi=l,X2=-3

【解答】解：x(x+2)=3,

X6+2X=3,

X4+2X+1=2,

(x+1)2=7,

x+l=±2,

；.X3=1,X2=-3.

15.如图，在△ABC中，ZBAC=60°,则100°

【解答】解：：△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△AOE,

.\ZCA£=40°,

VZBAC=60°,

AZBAE^ZBAC+ZCAE^60°+40°=100°.

故答案为：100°.

16.圆。的半径为5,AB,C£＞为两条平行的弦，8=6.则这两条平行弦之间的距离为1或7

【解答】解：连接。4,OC,交CD于F,

当A8和C。在圆心的同侧时，如图所示，

"JOELAB,OFLCD,

.11

..皿或杷=3，CF室D=2,

根据勾股定理，得

0E=7A02-AE2=VS2-46=3'OF=VOC2-CF7=752-42=4,

贝ijEF=OF-OE=4.

当AB和CD在圆心的两侧时，如图所示,

C.EFLCD,

\'OE±AB,OFLCD,

.11

••AEjAB=6，CF室D=2，

根据勾股定理，得

0E=VA02-AE2=VS2-42=3-OF=VOC2-CF4=752-22=4，

则EF=0F+0E=8.

故答案为：1或7.

17.已知二次函数y=x2-261+2/-4c(6,c为常数)的图象经过不同两点A(1-6,m),B(2b+c,m),

且该二次函数的图象与X轴有公共点.则b+c的值为3.

【解答】解：,抛物线经过不同两点A(1-b,m),m),

抛物线对称轴为直线尤=-<b^l-b+2b+c)

26

即6=1+b+c,整理得c=6-6,

2

:抛物线与X轴有交点，

A=C-2b)2-7(2庐-7c)

=4/-7廿+16c

=-4心+16(/?-1)

=-4(/?-8)2,

・•・-4(b-2)22o,

:.b=3,c=b-1=1,

Z?+c=6+l=3.

故答案为：5.

18.如图是由小正方形组成的6X6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，。。经过A,B,画图过程用虚

线表示.

（1）在图（1）中画黄的中点

（2）如图（2）,延长至格点歹处，连接CF.

①直接写出/尸的度数，/F=45（度）；

②尸为CF上一点，连接BP,将PB绕点、B顺时针旋转90°得到QB,并简要说明.

图（1）图（2）

【解答】解：（1）如图1中，点。即为所求;

图1

⑵@'：BC=27+42=3V5i/24+42=6V5i/27+62=7V10，

：.BC=BF,BC2+BF2=CF^,

.♦.△BCF是等腰直角三角形，

.•.ZF=45°；

故答案为:45；

②如图2中，线段8。即为所求.

图2

三.解答题(共7小题)

19.已知关于x的方程/-(2/77+3)x+iv1+3m-4=0.

(1)求证：无论相取何值，该方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程有一个根是尤=2,求相的值.

【解答】解：(1)..,关于龙的方程％2-(2/77+5)x+nr+3m-4=0,

AA=[-(2/M+3)]2-4X2X(m2+3m-4)=25>0,

无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根；

(2)把尤=2代入得:22-(2m+7)X2+m2+7m-4=0,

解得：〃?=-8或m=3.

20.如图，四边形ABC。内接于O。，/BAD=90°,BC=CD.使得CE=CD交的延长线于点E.

(1)求证：AB=AE；

(2)若AD=DE=2,求。。的直径.

【解答】(1)证明：如图，连接AC.

••,BC=CD.

ZBAC=ZEAC,

：.CB=CD.

,:CE=CD,

：.CB=CE,ZE=ZCDE,

,：ZABC+ZADC=ZADC+ZCr)£=180o,

ZABC=ZCDE=ZE,

在△ABC和△AEC中，

'NABC=NE

-ZBAC=ZEAC>

AC=AC

AAABC^AAEC(AAS),

：.AB=AE；

(2)解：连接8D

9：ZBAD=90°,

・•・・8。是。。的直径.

由（1）可得AB=AE.

VAD=Z）E=2,

.*.AE=AB=4,

在中，BD=7AB5+AD2=2V3,

•••OO的直径为2代.

21.如图：四边形A8CD内接于OO,为。。的直径，点C平分DB，且/A8C+NQCE=90°.

(1)求证：CE为。。的切线；

(2)若CE=4,DE=2,求AD

:四边形ABC。内接于O。，

ZABC+ZADC=ZADC+ZCDE=180°,

VZABC+ZDCE=90°,

：.ZDCE+ZCDE=90°,

：.ZCED=90°,

〈AB为。。的直径，

ZADB=90°,

；.NCED=/ADB,

J.BD//CE,

・・,点C是而的中点，

・•・OCLBD,

：.OCLCE,

・・・。。是。0的半径，

・・・CE为。。的切线；

(2)解：设0。与3。交于点G,

由(1)知：ZE=ZGDE=ZGCE=90°,

・•・四边形即GC是矩形，

:・GC=DE=2,CE=DG=4,

：.BG=DG=3,

'：OA=OB,

：.0G是△A3。的中位线，

：.AD=20G,

在RtZXOGB中，根据勾股定理得：

OB2=(?G4+BG2,

A0(^=(0C-3)2+45,

・•・OC=5,

：.OG=OC-CG=5-2=3,

：.AD=2OG=6.

22.如图，从甲楼AB的楼顶A,看乙楼CO的楼顶C,看乙楼(CO)的楼底0;已知甲楼的高A3=40加.求

乙楼的高度.(结果精确到1根)

c

□

□

□

□

□

□

□

□

□

///^/////D//

【解答】解：如图，过A作AELCO于E,

\'AB±BD,CD1BD,

四边形ABOE是矩形，

DE=AB=40m,

在RtAAED中，AE=—些—=40_=40y3_；

tan60°v38

在RtZkACE中，CE=AE・tan30°=迎巨义返=丝,

333

CD=DE+CE=40+^-^53(m).

5

答：乙楼C£＞的高约为53m.

C

-□

-□

后□

□

□

□

□

□

□

/〃//////、/)

23.如图，在矩形ABC。中，AB^lQcm,尸从点A开始沿AB向终点B以lon/s的速度移动，与此同时,

如果尸、Q分别从A、B同时出发，当点0运动到点C时，设运动时间是fs.

(1)，为何值时，PB=BQ2

(2)f为何值时，PQ的长度为10c加？

(3)设五边形APQC£＞的面积为Sew?,当f为何值时，五边形APQC。的面积最小？最小面积为多少？

【解答】解：(1)由已知得AP=/an,BQ=2tcm,

VAB=10cm,

：.PB=AB-AP=(10-r)cm,

■;PB=BQ,

10-t=2t,

解得

8

.'.t为也"S时；

3

(2)在Rt^PBQ中，由勾股定理得：(10-f)2+(3力2=1()2,

解得及=4,四=5(不合题意，舍去)，

...当f为45时，尸。的长度等于10c%；

1

(3)由题意得，S矩形ABCD=10X12=120(cm),S^PBQ=—PB'BP=^-+\Qt,

28

62

二S五边形APQC。=5长方形ABC。-S"BQ=12。-(-e+lOr)=t-10r+120=(r-5)+95,

,当点Q运动到点C时，两点停止运动，

...20W6,

...当f为5s时，五边形APQCD的面积最小7.

24.如图1,在正方形ABC。中，AB=8,以点。为圆心，作半径长为5的半圆。，交A2的延长线于点R

点〃(点M在点N的左侧).将半圆。绕点E逆时针旋转，记旋转角为a(0°<aW90°)，点P的对

应点为点P'.

图1图2备用图

(1)如图2,在旋转过程中，当EP经过点N时.

①求a的度数；并求EN的长；

②连接"'，求W与际的长度；(«取1.7,it取3)

(2)在旋转过程中，若半圆。与正方形A8CD的边相切，请直接写出点A到切点的距离.

【解答】解：(1)①如图2,连接8N,则EN=2矶，

:点M,N是弧EF的三等分点，

7

•'•ZNBF=^-x180°=60°，

,:BE=BN,

：./BEN=ZBNE,

,：/NBF=NBEN+NBNE,

:./BEN=3Q°,即a=3O°；

.15

••BL=yBE-1--

FT2^3

',EL-，

，EN=4EL=5%；

②根据题意得：/FBN=5/FEN=60°,

X

二籥的长为6°兀53二比5；

1802

如图3,过点F'于点W,

图3

在RtZxEP'W中，/BEN=3O°,

o

・・・F，W二二5，

•••EW=6«，

•••VF=10-577.

•••FF'2=F'V2-¥F3=200-100V3«*30J

即FF，=F'W2-WF6=5>/6-6V2;

V30>52,

:.FF>同的长度；

(2)解：点A到切点的距离为百石或J元或3

有三种情况讨论：

当半圆。与。相切时，如图4：设切点为点G,交AB与点、H,

图4

/HGC=/GCB=/CBH=9Q°,

四边形GCBH为矩形，

.•.GH=BC=8,

：.OH=GH-OG=3,

；•EH=V0E2-0H2=752-62=4'

:.BH=BE-EH=2,

：.AH=AB-BH=7,

；•AG=VGH2+AH8=7113；

当半圆。与A。相切时，如图5：设切点为点G,过点E作EHLOG,

图5

VZA=ZAGH=