第04讲 拓展一 第四章 指数函数与对数函数中的新定义题（原卷版）

第04讲拓展一第四章指数函数与对数函数中的新定义题目录TOC\o"1-1"\h\u指数函数与对数函数新定义题（小题） 1指数函数与对数函数新定义题（解答题题） 3指数函数与对数函数新定义题（小题）1．（23-24高二下·辽宁大连·期末）已知函数，若数列为递增数列，则称函数为“数列保增函数”，已知函数为“数列保增函数”，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2024·重庆九龙坡·三模）正整数的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时，.其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（

）（参考数据：，，）A．10 B．9 C．8 D．73．（23-24高二下·山东滨州·期末）已知表示不超过实数的最大整数，例如：，，若函数其中，则的值域为（

）A． B． C． D．4．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知表示不超过的最大整数，例如，，，定义：若在上恒成立，则称为函数在上的“面积”.函数在上的“面积”之和与下面哪个数最接近（

）（注①：“面积不重复计算”；②）A．7.3 B．7.7 C．8.7 D．9.35．（23-24高三下·江西·开学考试）142857被称为世界上最神秘的数字，，所得结果是这些数字反复出现，若，则（

）A． B．C． D．6．（多选）（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）定义区间的长度为，记函数（其中）的定义域的长度为，则下列说法正确的有（）A．B．的最大值为C．在上单调递增D．给定常数，当时，的最小值为7．（多选）（23-24高一上·山东日照·期末）对，表示不超过的最大整数，如，，，通常把，叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数．下列说法正确的是（

）A．，B．，C．，若，则D．，使成立8．（23-24高一下·贵州毕节·期末）定义：二阶行列式；三阶行列式的某一元素的余子式指的是在中划去所在的行和列后所余下的元素按原来的顺序组成的二阶行列式.现有三阶行列式，若元素1的余子式，则；记元素2的余子式为函数，则的单调减区间为.9．（23-24高一上·江苏南通·期末）若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方膨胀区间.函数的2次方膨胀区间为；若函数存在4次方膨胀区间，则的取值范围是.指数函数与对数函数新定义题（解答题题）1．（24-25高一上·上海·单元测试）已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，有成立．(1)函数，其中，判断是否属于集合？说明理由；(2)设函数，其中（且），若函数的图像与的图像有公共点，证明：．(3)求证函数（且）不属于集合．2．（24-25高一上·上海·随堂练习）设的反函数为．定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”．(1)判断函数是否满足“和性质”，并说明理由；(2)求所有满“和性质”的一次函数．3．（23-24高一下·甘肃·期末）定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，那么称为A，B两点间的曼哈顿距离.(1)已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离不大于5，那么的取值范围是多少？(2)已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离恒大于3，那么的取值范围是多少？(3)若点在函数图象上且，点的坐标为，求的最小值并说明理由.4．（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质.(1)判断下列函数是否具有性质，并说明理由.①；②.(2)已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.（用含字母的式子表示）5．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对于在区间上有意义的函数，若满足对任意的，，有恒成立，则称在上是“友好”的，否则就称在上是“不友好”的.现有函数.(1)当时，判断函数在上是否“友好”；(2)若函数在区间上是“友好”的，求实数的取值范围.6．（23-24高一上·广西贺州·期末）设区间是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点，例如的“不动点”满足，即的“不动点”是.设函数，．(1)若，求函数的不动点；(2)若函数在上存在不动点，求实数的取值范围．7．（23-24高一上·