2024年高考数学专项复习：椭圆（解析版）

专题15椭圆

考情概览

命题解读考向考查统计

1.高考对椭圆的考查，重点是椭圆的定义和弦长2022・新高考I卷，16

(1)椭圆的定义、几何图形、标准方椭圆的离心率2023・新高考I卷,5

程。2022•新高考II卷，16

直线与椭圆的应用

(2)椭圆的简单几何性质(范围、对2023•新高考n卷，5

称性、顶点、离心率)。

(3)直线和椭圆的位置关系及综合应椭圆的轨迹方程2024•新高考n卷，5

用。

2024年真题研析

命题分析

2024年高考新高考I卷椭圆的考查体现在大题中，后续专题会解读。II卷考查了椭圆的轨迹方程求法,

难度较易。椭圆是圆雉曲线的重要内容，高考主要考查椭圆定义的运用、椭圆方程的求法以及椭圆的简单

几何性质，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，因方法多，试题灵活，在各种题型中均有体现。

预计2025年高考还是主要考查椭圆的定义和离心率。

试题精讲

一、单选题

1.(2024新高考n卷6)已知曲线C：x2+y2=16(y>0),从C上任意一点尸向x轴作垂线段PP,P'

为垂足，则线段PP的中点〃的轨迹方程为()

2222

A.—+—=1(>>。)B.土+匕=1(…)

164168

2222

C.^+―=1(y>0)D.^+―=1(y>0)

164168

【答案】A

【分析】设点由题意，根据中点的坐标表示可得尸(x，2y),代入圆的方程即可求解.

【详解】设点则尸(x,%),P'(x,0),

因为初为PP的中点,所以％=2y,BPP(x,2y),

又夕在圆/+/=i6(y>0)上,

丫22

所以％2+4必=16(y>0),即0+-=l(y>0),

164

22

即点”的轨迹方程为2+-=i(y>o).

164

故选:A

近年真题精选

一、单选题

22

1.(2023新高考I卷•5)设椭圆q:3+/=1(。＞1),c?:二+/=1的离心率分别为华,e?.若e2=百6，则a=

a4

()

A.38B.V2c.V3D.4e

3

【答案】A

【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.

【详解】由02=瓜"得e；=3e：,因此上l=3x",而。＞1,所以”=翌1.

4a3

故选：A

2

2.(2023新高考H卷-5)己知椭圆C:?+/=l的左、右焦点分别为耳，耳，直线V=x+加与C交于/,

8两点，若△片/8面积是面积的2倍，则加=().

A2R正「亚D二

3333

【答案】C

【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用A＞0,求出“范围，再根据三角形面积比得到关于加的方程，

解出即可.

y=x+m

【详解】将直线v=x+加与椭圆联立■x2,消去J可得4,+6加x+3加之一3=o,

—+y7=1

13/

因为直线与椭圆相交于48点，则A=36加2-4X4(3,2

>m-3)>0,解得-2<m<29

设片到N5的距离4,F2到AB距离4,易知片(-Ao),/^(V2,0),

-y/2+m/V2+m

则4

2=^T~

-yl2+m

V

DAF[AB

=l+OT|，=2＞解得机=-包或-3夜（舍去），

Viifi1-^

NAF2AB|V2+m||v2+m|3

故选：c.

二、填空题

22

3.(2022新高考I卷•16)已知椭圆C:=+与=l(a>6>0),C的上顶点为N,两个焦点为耳，用,离心率

ab~

为。.过耳且垂直于“巴的直线与C交于。，£两点，|。引=6,则ZUDE的周长是.

【答案】13

22

【分析】利用离心率得到椭圆的方程为3+5=1,即3x2+4/」2c2=0,根据离心率得到直线/耳的斜

率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线DE的方程：x=^y-c,代入椭圆方程

3父+4/一⑵2=0,整理化简得到：13/-664-%2=0,利用弦长公式求得c=q,得a=2c=根据对

称性将的周长转化为△月。E的周长，利用椭圆的定义得到周长为44=13.

【详解】••椭圆的离心率为e=.•.椭圆的方程为

a2

22

+=1，即3x?+-12c?=0,不妨设左焦点为耳，右焦点为耳，如图所示,•“工=a,OF2=c,a=2c,

/华。=’△州名为正三角形，•••过耳且垂直于4月的直线与C交于D,E两点，OE为线段N耳的垂

直平分线，.••直线。£的斜率为浮，斜率倒数为6，直线。E的方程：x=^y-c,代入椭圆方程

3X2*8+4/-12C2=0,整理化简得到：13/一6疯y-9c2=0,

判别式A=仅人『+4*13义%2=6?X16XC2,

“郎=J1+(G)1乂一刃=2xa=2x6x4x/=6,

13㈤-13

・•・c=—,得。=2c=—,

84

•••OE为线段/鸟的垂直平分线，根据对称性，AD=DF2,/£=%,.,.△/口?的周长等于DE的周长，

利用椭圆的定义得到△月。£周长为

\DF2\+\EF2\+\DE\=|DF21+|EF2卜I0不用£耳\=\DFt|+|。周+|E玛+|E用=2a+2a=4a=13.

故答案为：13.

22

4.（2022新高考II卷-16）已知直线/与椭圆一+一=1在第一象限交于4,8两点，/与x轴，y轴分别交于

o3

M,N两点，且|K4|=|N3|,|ACV|=2VL贝心的方程为.

【答案1x+应y—2A/2=0

【分析】令48的中点为E，设/（国，乂），利用点差法得到左OE也B=-g，设直线=b+%

k<0,m>0,求出M、N的坐标，再根据|ACV|求出左、m,即可得解；

【详解】［方法一卜弦中点问题：点差法

令48的中点为£,设4（再,必），85,%）,利用点差法得到勺上也B=-g，

设直线Z8：V=b+",k<0,m>0,求出〃、N的坐标，

再根据|M7V|求出后、m,即可得解；

解：令48的中点为E,因为|加留=的4，所以|ME|=|NE|,

2222

设/（%,%）,双%,%）,则工+2L=i,三+江=1,

6363

所以立一立+正一应=0,即（%一%）（西+，2）15+匕）（弘一%）=0

663363

所以即左右1，设直线/B:y=⑪+w,k<0,m>0,

—％2）（玉+%2）22

m1

令x=0得）=加，令）=0得x=_£,HPAfi-poj,N（0，M，

所以E,mm

2k9'2

m

=解得一坐或后=变（舍去），

m222

~2k

X|ACV|=2V3,即|M2V|=J〃?2+=2道,解得加=2或加=-2（舍去）,

【方法二］:直线与圆锥曲线相交的常规方法

解：由题意知，点E既为线段43的中点又是线段MN的中点,

设）（占,必），B（x2,y2）,设直线b+用，k<0,m>0,

则川卜?,oj,N(O,m),因为|MV|=2君，所以[0同=百

y=kx+m

联立直线AB与椭圆方程得:x2y2消掉y得(1+2左2)%2+4成x+2/_6=0

—+—=1'

[63

其中A=(4mA:)2-4(1+2k2)Q2m2-6)>0,演+马=-j-

••.AB中点E的横坐标演=-洋2mkm

:.xF=---------

1i2.K，又“hr万，£1+2/2k

•・,左<0,m>0,:.k=-^^,又\OE\=](-gy+(")2=G，解得m=2

所以直线AB:y=-*x+2,即x+W-2亚=0

必备知识速记

一、椭圆的定义

平面内与两个定点耳，区的距离之和等于常数2“（2。>|耳8|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆

的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c,定义用集合语言表示为：

｛尸||期|+1PF21=2a（2a>|耳后|=2c>0）｝

注意：当2a=2c时，点的轨迹是线段；

当2a<2c时，点的轨迹不存在.

二、椭圆的方程、图形与性质

焦点的位

焦点在X轴上焦点在y轴上

置

G

Zj

图形

RiO

s;w

2222

标准方程会+台1(…>0)>"=1(…>0)

统一方程mx2+ny2=l(m>0,n>0,mH)

(X=QCOS6、r/、[x=tZCOS^-w,/、

参数方程\八招为参数(。£[0,2加)八，。为参数(6£[0,2加)

[y=bsind[y=bsin0

第一定义到两定点K、F2的距离之和等于常数2a,^\MFt\+\MF2\=2a(2a>|丹丹|)

范围-a<x<a^-b<y<b-b<x<bS.-a<y<a

顶点A1(-a,0)、A](a,0)A】（0,—Q）、A，2（0,Q）

B|(O,-6)、B2(O,6)B1(-6,0)、B2(6,0)

轴长长轴长=2q,短轴长=2b长轴长=2a,短轴长=2b

对称性关于X轴、y轴对称，关于原点中心对;称

焦点耳（-c,0）、巴（c,0）耳（0,-c）、鸟（O,c）

焦距耳玛=2c(c2=a2-b2)

e=~=J

离心率JZZZr?(o<e<i)

aV4a=\a=Va

准线方程

c

>1,外>1一外

点和椭圆

=10点（%/。堆椭圆《上=10点(%,%)在椭圆4上

a2b2'22

的关系ab

<1内<1内

+碧^=1((工0Jo)为切点)2^+等=］（（/,%）为切点）

abab

切线方程

对于过椭圆上一点（X。,%）的切线方程，只需将椭圆方程中/换为x°X,「换为

可得

切点弦所

在的直线号+萼=1（点（%,%）在椭圆外）理+等=1（点（x°,%）在椭圆夕卜）

abab

方程

空T4ax=4明，

(i)cos=（8为短轴的端点）

=sin®=/tang=口」焦点在X轴上

(T)S.F\F?

1c|x0］,焦点在琏由上11”

:落

口

隹占二角

形面积

7当尸片W在长轴端点时，（4%）inin=b2

(

［当尸片国在短轴端点时，（42）inax=di2

4写点三角形中一般要用到的关医;是

〕町1+

MF2|=2a（2a>2c）

^\PFWPF^smZ^PF

S-t；）

222

\FA|=\PFt\+\PF2\-2\PF.11PgicosN片尸鸟

上焦半径：|儿阴|=〃-"0

左焦半径：1儿闵=〃+%

下焦半径：\MFx\=a+ey0

焦半径又焦半径：1儿外|=a-%

焦半径最大值a+c,最小值

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=2上（最短的过焦点的弦）

通径

a

设直线与椭圆的两个交点为力（西,必），S（x2,j2）,kAB=k,

2

贝|J弦长|/同=Jl+左2上一司=Jl+左2J（X]+x2）-

弦长公式=J1+/J（必+”）2—4/立=J1+左2M

Vk\a\

（其中a是消j后关于x的一元二次方程的%2的系数，A是判别式）

【椭圆常用结论】

1、过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为二.

a

①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点.

②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点.

距离的最大值为a+c,距离的最小值为a-c.

2、椭圆的切线

22

①椭圆三+马=1（a>6>0）上一点尸（%,%）处的切线方程是岑+绰=1；

abab

22

②过椭圆\+A=l（a>6>0）外一点尸（x0,%）,所引两条切线的切点弦方程是写+理=1；

abab

22

③椭圆餐+马=1（a>6>0）与直线4v+8y+C=0相切的条件是4/+笈〃=c?.

ab

名校模拟探源

一、单选题

22

1.（2024•湖北荆州•三模）已知椭圆C：±+*=1的一个焦点为（0,2）,则后的值为（）

8k

A.4B.8C.10D.12

【答案】D

【分析】利用椭圆的标准方程与焦点位置即可得解.

【详解】由题意得，°?=4,a2=k9b2=S9所以左=4+8=12.

故选：D.

222

2.（2024•山东烟台•三模）若椭圆二+二=1与椭圆/+［=1（6>1）的离心率相同，则实数6的值为

43b2

（）

A.B.-C.—D.-

3324

【答案】A

【分析】由离心率相等列出关于6的方程求解即可.

222

【详解】若椭圆二+匕=1与椭圆x?+A=l（b>l）的离心率相同，

43b2

贝！］9=丝］，解得6=名8>1满足题意.

4b23

故选：A.

22

3.（2024•江西九江•三模）已知椭圆。:1+与=1（0>6>0）的左右焦点分别为片，鸟，过片且倾斜角为£的

ab6

直线交。于第一象限内一点A.若线段";的中点在歹轴上,△/耳的面积为26,则。的方程为（）

22

A.—+y2=1B.土+匕=1

332

22

cD.二+匕=1

96

【答案】D

【分析】根据题意得到Rt△，片与，NAn鸟=?,，设|，8|=%，其它边全部用t表示，运用面积为2G构造

方程求出t.再用椭圆定义求出a,进而求出c,b即可.

【详解】如图,为线段与耳的中点,3为线段/的中点,.•.08〃/8，又轴，.轴.

在RM"；鸟中，ZAF,F2=2,设|/用=乙则|明|=2仆片引=①.入/；£的面积为2名,

6

—xyfit'x.t=2A/3,Z=2.2a=[%胤+]/周=3/=6,a=3,

22

2。=FE=6t=2>/3,c=V3,b2=-c2=6，则C的方程为—+—=1.

96

故选：D.

o\F2）X

4.（2024•河南•三模）已知椭圆C:j+4=l（a>6>0）的右焦点为p，短轴长为26,点"在椭圆上，若

ab

II的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为（）

A.3B.4C.1D.2

【答案】D

【分析】利用椭圆的几何性质得到关于凡c的方程组，解之即可得解.

【详解】依题意，椭圆短轴长为26，得b=5贝！］/-C2=62=3,

5L\MF\的最大值是最小值的3倍，即a+c=3（a-c）,

所以a=2c,所以a=2,c=l,则其焦距为2c=2.

故选：D

22

5.（2024•浙江绍兴•三模）已知直线>=息（左*0）与椭圆C：餐+1r=l（a>6>0）交于A,B两点，以线

段为直径的圆过椭圆的左焦点£,若阳旬=2山同，则椭圆C的离心率是（）

A.如B.-C.—D.-

2439

【答案】C

【分析】由题意可得四边形/片88为矩形，结合椭圆定义与勾股定理可将闺旬+|耳刈分别用。和。表示，即

可得离心率.

【详解】取右焦点《，连接/耳、BF2,由耳在以线段为直径的圆上，

故";，幽，结合对称性可知四边形/耳利为矩形，有|/£|=忸用，

有OA=OB=OK=c,又店4|=2闺却，

由阳+山砰=（24，则寓闻=¥°,寓同=^c,

由椭圆定义可得出旬+H阊=2。，

故寓/+闺8=苧,+竽c=^c=2<

19

_c_2_45

则e一°一6布-3.

丁

故选：c.

y

22

6.（2024•江西鹰潭•三模）已知椭圆C:^+方=1（。＞6＞0）的左、右焦点分别为耳耳，倾斜角为45°且过

原点的直线/交椭圆于两点.若=|4月设椭圆的离心率为e,则e?=（）

A.V2-1B.2-V2

C.V3-1D.3-V3

【答案】B

【分析】根据题意|九亚|=|耳巴『2c,得到四边形g九例为矩形，由直线/过原点且倾斜角为45°,在

和△MO片中，利用余弦定理计算得|龙名|,|5|,结合椭圆的定义2a=|龙阴|+阿周,求得离心率，进而计算

出e2.

【详解】如图所示，

因为卜内用=2c,且。分别为MN和丹外的中点，|。叫=|。阊=|ON|=|O耳|=c,所以四边形鹤吟

为矩形，

又直线/过原点且倾斜角为45°,即NMO月=45°,NMO£=135°,且为等腰三角形，

所以，在中，根据余弦定理可得=/+1-2xcxcxcos45°=（2-&）/,BP\MF^=42-42c,

同时，在△河?片中，根据余弦定理可得=c?+c?-2xcxcxcosl35°=（2+亚）＜?,即=也+亚。,

所以2.=附+颇|=12-后c+j2+缶,可得e=：=_______2_______

,2-夜+J2+后

)_2]=_________4_________=2_2、

、业-V?+也+J2-y[2++2+y[22+V?

故选：B.

7.（2024•天津河西•三模）已知片，鸟是椭圆和双曲线的公共焦点，尸是它们的一个公共点，且

JT

ZF\PF-,若椭圆的离心率为，，双曲线的离心率为e?,则e；+e；的最小值为（）

A.3+6B.C.D.4

22

【答案】C

2222

【分析】设椭圆和双曲线的方程分别为：1+3=1，3-a=1，易得吊-6：=城+片=。2,设

axa2b2

\PF\=m\PF^=n,利用椭圆和双曲线的定义得到加=%-%，”=%+出，然后在△尸片与中，利用余弦定理

13

得到=+==4,然后利用基本不等式求解.

e\,2

【详解】解：如图所示：

2222

设椭圆和双曲线的方程分别为：\+%=1,=1，

axa2b2

由题意得-b；=a；+b；=c2,

设归耳|=mJPZ1=〃,贝!J加+〃=2%,〃一加二2出，

解得加=a1-a2,n=a1+a29

在△尸片与中，由余弦定理得：阳写『=|尸耳『+「周2一21尸耳.尸用.cos/耳尸鸟,

即（2c）2=_42）2++“2）2_（〃1一〃2）（〃1+Q2），化简得4c2=Q；+3"；,

134

贝！IF+T=4,

eie2

所以e；+H（e；+©,+；

7

当且仅当与=等，即£=岛2时，等号成立；

q%

故选：c

22

8.2024・四川•三模）已知椭圆C:±+4=l（6>0）的左、右焦点分别为耳外，点P是椭圆上一点，若△尸大大

4b

的内心为〃，连接尸M并延长交X轴于点。，且1PMi=@。阳|,则椭圆的短轴长为（）

A.2B.2亚C.2A/3D.巫

3

【答案】D

PR2a

【分析】合理构建图形，利用角平分线定理和等比定理得到才=丁，再求短轴长度即可.

QF12c

如图，连接孙,3,在△理。和△因0中，

利用角平分线定理可得命=最=最="

由等比定理可得n=n箸=11，从而,=孚人手

故椭圆的短轴长为26=生色，故B正确.

3

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是合理构建图形，然后利用角平分线定理和等比定理

PF、2a

得到景=丁，再求解短轴长度即可.

QF22C

9.（2024•广东汕头•三模）已知椭圆C：.+《=1的两个焦点分别为耳，F2,P是C上任意一点，则下

列不正确的是（）

A.C的离心率为gB.|「用的最小值为2

C.|尸娟J尸闾的最大值为16D.可能存在点尸，使得/月盟=65。

【答案】D

【分析】求出椭圆C的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的性质逐项分析计算即可.

22

【详解】椭圆C：上+匕=1的长半轴长。=4,短半轴长6=2石，半焦距c="q=2,

1612

CI

对于A,。的离心率？=一=大，A正确;

a2

\PF^PF^2a

对于B,由<I，,,,,,得。一<?4|尸片区a+c,因此|对京=。=2,B正确;

||咫卜|尸81142c

对于C,|母；卜|桃区（点"见）2=。2=16,当且仅当1=1尸£1=4时取等号，c正确;

I尸片『+|时『一|大耳『(2"-(2c>1

对于D,当P不在x轴上时,cosNF'PF2=

2|尸£||尸粒2|尸用|呷

24241

=4西分而-1=5,当且仅当四目呷=4取等号,

当P在x轴上时，cos/耳时=1,上述不等式成立，因此/耳尸耳最大为60。，D错误.

故选：D

22

10.（2024•河北衡水•模拟预测）已知椭圆C:>3=l（a>6>0）的左、右焦点分别为耳匕过名向圆

x2+/=%2引切线交椭圆于点只。为坐标原点，若依尸闫0闾，则椭圆的离心率为（）

A.yB.立C.正D.1

2233

【答案】C

【分析】先画出图形，由|。尸|=|。闾=|。周得郎，尸匕，进而得OM//W，「周=2|。闾=6,然后由椭圆

的定义可得%=27,由勾股定理.j从而即可得到离心率.

【详解】由题意画出图形，如下图：

设切点为M,连接两，由已知尸|=|0周=|。耳.••尸片，时,

-.■OM±PF2,.-.OM//PF,,又。是百丹的中点，

圆/+/=%的半径为*

\PF^\=2\OM\=b,\PF2\=2a-b,

22

11.（2024・浙江•三模）已知椭圆「:♦+彳=1（。>6>0）的左、右焦点分别为耳，F2,过耳的直线/与椭

ab

圆「相交于/、8两点，与y轴相交于点C连接耳C,F、A.若O为坐标原点，F.CVF.A,

SCAOFz=2s则椭圆「的离心率为（）

A厢口石rV10n行

551010

【答案】A

【分析】由三角形面积关系得出优。=务=寓q,再由勾股定理及椭圆定义求出L利用余弦定理及

cos/AFzK+COSZCF2O=0求解即可.

【详解】设内z|=t,由SACOF?=2s△阳鸟

可得S△那玛=2s5=4s△第B,由于△片eg与/等高，

c

在△CQ。中，cos/CgO=—,

一2a

vCOSZAF2FX+cosZCT^O=0,

/.cosZAF^=-

2a

—a2c

在△ZB与中，cos”片J叫:型

acla

c2*4_VTo

化简可得2〃=5/,解得e=

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题关键点之一根据三角形面积关系得出|£C|=|4C|=4乙其次需要根据

cos//g耳+COSZCF2O=0建立a,。关系.

二、多选题

22

12.（2024•河南开封•三模）椭圆C:言^+。=1（加＞0）的焦点为耳，F2,上顶点为，，直线/月与C的

TT

另一个交点为3,若—飞，则（）

A.C的焦距为2B.C的短轴长为2G

c.c的离心率为出

D.Zi/B&的周长为8

2

【答案】ABD

TTbh2m2

【分析】根据/片/耳=5以及椭圆的对称性可得3=9进而可求解Q=2,6=百,c=1,即可

a2Jm2+1

根据选项逐一求解.

7T

【详解】由于/片/鸟=；,所以/片40=/。48=工,

O

兀AO

故cos/F[AO=cos—=

6AFXV77Fa2

2

b2m2

因此w=,故加2=3,

am2+1

22

所以椭圆C：1=1,Q=2,6==1

43

对于A,焦距为2c=2,故A正确，

对于B,短轴长为26=2e，B正确，

J

对于C,离心率为e=£Q=C错误，

a2

对于D,△/陷的周长为4a=8,D正确,

故选：ABD

13.(2024・全国•模拟预测)已知长轴长、短轴长和焦距分别为加、2b和2c的椭圆。，点N是椭圆。与其

长轴的一个交点，点2是椭圆。与其短轴的一个交点，点耳和修为其焦点，/8,8片.点尸在椭圆。上,

7T

若ZF2PF、,贝U()

A.a,b,。成等差数列

B.a,b,c成等比数列

C.椭圆。的离心率6=括+1

D.A/B4的面积不小于A尸耳鸟的面积

【答案】BD

【分析】

AB选项，根据垂直关系得到凝G3B=T,求出/=%,得到A错误，B正确；C选项，根据/=的得到

c2+ac-a2=0,进而求出离心率；D选项，计算出和△尸片外的面积，作差法结合基本不等式求出答

案.

22

【详解】AB选项，椭圆方程为1+==1,不妨设/(a,0),8(0,6),

ab

故月(-c，°),

因为且直线/瓦8月的斜率存在，所以心也"T,

即=故a/,c成等比数列，A错误，B正确;

C选项，因为",b?=ac,所以/+ac—/=0,

2

方程两边同除以/得，e+e-l=o,解得0=匚主后，负值舍去,

2

故离心率为e=1二二C错误；

2

D选项，由椭圆定义得|尸片|+户到=2°,1片/=2c,

因为《尸百=三，所以|尸片「+|尸周2_归耳归闻=402,

\PFl\+\PF2\=2a两边平方得|尸团2+1尸工「+21尸胤.|咋|=4/,

故3M悭|=4吃&小=9周.熙成=孚,

s”即=^\AF\-\OB\=^a+cYb=ab+^c<

又廿=ac,且〃>c,由基本不等式得

处；儿一［2=1.（〃+c_2b）=t（Q+c—2V^）>0,

2

所以邑1=若归>b>SW2即dBK的面积不小于△亚外的面积，D正确.

故选：BD

22万

14.（2024•河南•三模）己知椭圆C:二+乌=l（a>6>0）经过点尸（虚,1）,且离心率为先.记C在尸处的

ab-2

切线为/,平行于OP的直线/'与C交于n,B两点,则（）

22

A.C的方程土+匕=1

42

B.直线OP与/的斜率之积为-1

C.直线OP,/与坐标轴围成的三角形是等腰三角形

D.直线P4,P8与坐标轴围成的三角形是等腰三角形

【答案】ACD

【分析】根据题干列出方程组，解方程组可判断A；根据直线与椭圆相切的可求出直线/的方程即可判断

B,C；通过计算后"+%=0可判断D.

CVI

a2a=2

2122

【详解】7+/】，•.6=应，椭圆方程为：±+乙=1,故A正确;

r42

ab2=b2+c2c=yj2

取椭圆方程的右半部分得：好卜一手,则

如图，因为点尸在第一象限,

，1人一丫1x21

—X

y二一2---<2------=-

18-2x2

一〉一；,故B错误

贝!]APOM为等腰三角形，故C正确;

[近+

y=x+m

,722

AB:y=----x+m,<，消y可得/+亚加x+加2-2=0,

222

%-1

[42

二1歹2-1

x+x=xx=m2-2,k-Uk

r212»PA丁~PB玉-V2x?—5/2

逝〜1

—-—西+加-1—x,+TH-1

22+（加一2）（西+12）—2J5m+2V2

=0

X]—y/2X?y/2

尸4PB与坐标轴围成的三角形是等腰三角形，故D正确.

故选：ACD

15.（2024・全国•二模）已知圆O：工2+/=3经过椭圆。：4+，=1（a>b>0）的两个焦点片，F2,

ab

且尸为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点，且△尸片耳的面积为1,则下列结论正确的是（）

A.椭圆C的长轴长为2B.椭圆C的短轴长为2

C.椭圆。的离心率为gD.点尸的坐标为（g,平

I33J

【答案】BD

【分析】根据圆的方程确定。的值，