2024年中考数学基础题型提分练：以平行四边形为背景的证明与计算（含解析）

专题21以平行四边形为背景的证明与计算

考点分析

【例1】(2024•重庆中考真题)在口ABC。中，BE平分/ABC交AD于效E.

(1)如图1,若N£>=30°，AB=&，求的面积;

(2)如图2,过点力作交加的延长线于点凡分别交典宽于点G,H,且AB=AF.求证:

ED-AG=FC.

3

【答案】(1)-；(2)证明见解析.

2

【解析】

(1)解：作3O_LA。于。，如图1所示：

,/四边形46切是平行四边形,

AAD//BC,AB//CD,AB=CD,ZABC=ZD=30°.

AZAEB=ZCBE,ZBAO=ZD=30°，

BQ=^AB=^-，

•；BE平分/ABC,

：.ZABE=ZCBE,

ZABE=ZAEB,

AE=AB=«，

AABE的面积=LAEX50=LXCX直=9；

2222

(2)证明：作A。_LBE交卯的延长线于R垂足为0,连接版PE,如图2所示:

•,AB=AE，AQ1BE,

：.ZABE=ZAEB,BQ=EQ,

：.PB=PE，

ZPBE=ZPEB，

ZABP=ZAEP，

VAB//CD,AFYCD,

.'.AF±AB,

•••NBAF=90°«

*.•AQ±BE,

：.ZABG=ZFAP,

ZABG=NFAP

在A4BG和AMP中，=A/

ZBAG=ZAFP=90°

AABG三AAFP(ASA),

AG=FP,

VAB//CD,AD//BC,

•••NABP+ZBPC=180°，ZBCP=ZD,

：ZAEP+NPEr)=180°，

/.ZBPC=/PED,

ZBCP=ND

在ABPC和APED中，＜NBPC=APED,

PB=PE

：.MPC岂APED(AAS),

PC=ED,

ED-AG=PC-AG=PC-FP=FC.

图2

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、

线段垂直平分线的性质等学问；娴熟驾驭平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键.

【例2】（2024•山东初二期末）在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结BE.

图①图②图③

（感知）如图①，过点A作AFLBE交BC于点F.易证AABFg4BCE.（不须要证明）

（探究）如图②，取BE的中点M,过点M作FGLBE交BC于点F,交AD于点G.

（1）求证：BE=FG.

（2）连结CM,若CM=1,则FG的长为.

（应用）如图③，取BE的中点M,连结CM.过点C作CGLBE交AD于点G,连结EG、MG.若CM=3,则四

边形GMCE的面积为.

【答案】（1）证明见解析；（2）2,9.

【解析】

感知：：四边形ABCD是正方形，

.\AB=BC,ZBCE=ZABC=90°,

.*.ZABE+ZCBE=90

VAF±BE,

.\ZABE+ZBAF=90°,

ZBAF=ZCBE,

在4ABF和ABCE中,

NBAF=ZCBE

<AB=BC

ZABC=ZBCE=9Q°

.".△ABF^ABCE(ASA)；

探究：(1)如图②，

图②

过点G作GPXBC于P,

四边形ABCD是正方形，

.\AB=BC,ZA=ZABC=90°,

四边形ABPG是矩形，

.\PG=AB,；.PG=BC,

同感知的方法得，ZPGF=ZCBE,

在△PGF和4CBE中，

ZPQF=ZCBE

<PQ=BC,

ZPFG=ZECB=90°

.".△PGF^ACBE(ASA),

.\BE=FG；

(2)由(1)知,FG=BE,

连接CM,

VZBCE=90",点M是BE的中点，

；.BE=2CM=2,

：.PG=2,

故答案为：2.

应用：同探究(2)得，BE=2ME=2CM=6,

.\ME=3,

同探究(1)得,CG=BE=6,

VBEXCG,

11

••S四边彩CBQIF—CGXME=-X6X3=9,

22

故答案为：9.

【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定

和性质，直角三角形的性质，娴熟驾驭相关的性质与定理、推断出CG=BE是解本题的关键.

考点集训

1.(2024•四川初三期末)在矩形ABCD中，AB=12,P是边AB上一点，把aPBC沿直线PC折叠，顶点B的

对应点是点G,过点B作BELCG,垂足为E且在AD上，BE交PC于点F.

(1)如图1,若点E是AD的中点，求证：4AEB也ADEC；

(2)如图2,①求证:BP=BF；

②当AD=25,且AEVDE时，求cosNPCB的值；

【答案】(1)证明见解析；(2)①证明见解析；②也；③108.

10

【解析】

(1)在矩形ABCD中，NA=ND=90°,AB=DC,

；E是AD中点，

/.AE=DE,

AB=DC

在AABE和ADCE中，＜NA=/D=90°,

AE=DE

.'.△ABE^ADCE(SAS)；

(2)①在矩形ABCD,ZABC=90°,

,/ABPC沿PC折叠得到△GPC,

ZPGC=ZPBC=90°,ZBPC=ZGPC,

VBE±CG,

・・・BE〃PG,

・・・NGPF=NPFB,

JNBPF;NBFP,

ABP=BF；

②当AD=25时，

VZBEC=90°,

AZAEB+ZCED=90°,

VZAEB+ZABE=90°,

・・・ZCED=ZABE,

VZA=ZD=90°,

/.△ABE^ADEC,

,AB_DE

••=,

AECD

设AE=x,

DE=25-x,

.1225-x

••------9

X12

/.x=9或x=16,

VAE<DE,

.\AE=9,DE=16,

ACE=20,BE=15,

由折叠得，BP二PG,

・・・BP=BF=PG,

VBE//PG,

.,.△ECF^AGCP,

.EF_CE

••一,

PGCG

设BP=BF=PG=y,

15-y_20

y-25

在RSPBC中，PC=25碗,cosZPCB=—=

3PC10

③如图，连接FG,

・.,BF〃PG,BF=PG=BP,

aBPGF是菱形，

・・,BP〃GF,

NGFE=NABE,

AAGEF^AEAB,

.EF_AB

,•而一瓦，

：.BE•EF=AB•GF=12X9=108.

【点睛】

此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相像三角形的判定和性质，折

叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键.

2.(2024•甘肃中考真题)如图，在正方形ABCQ中，点石是的中点，连接。石，过点A作AGLED

交DE于点F,交CD于点G.

(1)证明：AADG^ADCE；

(2)连接6/，证明：AB=FB.

AD

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

证明：（1）•.•四边形A3CD是正方形,

ZADG=ZC=90°,AD=DC^

又；AG±DE,

ZDAG+ZADF=90°=ZCDE+ZADF，

ZDAG^ZCDE,

^ADG^ADCECASA）

（2）如图所示，延长。石交AB的延长线于",

•.•E是3C的中点,

:.BE=CE,

又­,•NC=ZHBE=90°,ZDEC=ZHEB，

ADCE咨AHBE(ASA),

:.BH=DC=AB,

即6是AH的中点，

又：ZAFH=90°，

Rt/\AFH中，BF=-AH=AB.

2

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要留意三角形

间的公共边和公共角，必要时添加适当协助线构造三角形.

3.(2024•黑龙江初三)如图，矩形中，AB=6,BC=4,过对角线劭中点。的直线分别交四，5边于

点E,F.

(1)求证：四边形应如是平行四边形；

(2)当四边形应如是菱形时，求跖的长.

4^/13

【答案】(1)证明见解析；(2)

3

【解析】

(1)证明：••,四边形ABCD是矩形，0是BD的中点,

.,.ZA=90°,AD=BC=4,AB〃DC,0B=0D,

Z0BE=Z0DF,

在ABOE和ADOF中，

ZOBE=ZODF

OB=OD

ZBOE=ZDOF

.,.△BOE^ADOF(ASA),

.；EO=FO,

四边形BEDF是平行四边形；

(2)当四边形BEDF是菱形时，BDXEF,

设BE=x,则DE=x,AE=6-x,

在RtZ\ADE中，DE2=AD2+AE2,

.1.X2=42+(6-X)2,

13

解得：x=—,

3

,•,BD=VAD2+AB2=2岳,

VBD±EF,

E0=-OB2=，

，EF=2E0=t叵.

3

点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，娴熟驾驭矩形的

性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键

4.（2024•四川中考真题）如图，在四边形A3CD中，ADHBC,延长3c到E使CE=BC,连接AE

交CD于悬F,点尸是CD的中点.求证：

（1）AADF^AECF.

（2）四边形ABC。是平行四边形.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

证明：（1）VAD//BC,

/.ZDAF=ZE,

:点尸是CD的中点，

DF=CF,

ZDAF=ZE

在AADF与AECF中，＜NAFD=NEFC,

DF=CF

AADF^AECF(AAS)；

(2)：AAD产gAECF,

AD=EC,

,：CE=BC,

AD=BC,

,：AD/IBC,

，四边形ABCD是平行四边形.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形判定定理，解题的关键是娴熟驾驭全等三角形的判定和性

质、平行四边形判定定理.

5.(2024•山东初二期末)已知，如图，在口ABCD中，延长DA到点E,延长BC到点F,使得AE=CF,连

接EF,分别交AB,CD于点M,N,连接DM,BN.

(1)求证：△AEMg^CFN；

(2)求证：四边形BMDN是平行四边形.

【答案】证明见解析

【解析】

证明：(1):四边形ABCD是平行四边形，/.AB/7DC,AD/7BC.

.-.ZE=ZF,ZDAB=ZBCD.

NEAM=NFCN.

又：AE=CF

/.△AEM^ACFN(ASA).

(2),由(1)AAEM^ACFN

/.AM=CN.

又,:四边形ABCD是平行四边形

.\AB£CD

；.BM£DN.

/.四边形BMDN是平行四边形.

6.(2024•黑龙江中考真题).已知：在矩形A3CZ)中，8。是对角线，4石，皮)于点E,CFLBD于

点F；

(1)如图1,求证：AE=CF；

(2)如图2,当NAD3=30°时，连接CE,在不添加任何协助线的状况下，请干脆写出图2中四个

三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形A3C。面积的：.

8

【答案】(1)详见解析；(2)AA5石的面积=2^8尸的面积=Zk3CE的面积=AA。歹的面积=矩形

ABCD面积的」.

8

【解析】

(1)证明：•..四边形A3CD是矩形，

:.AB=CD,AB//CD,AD//BC,

：.ZABE=ZCDF,

：于点E，中，3。于点/，

ZAEB=NCFD=90。,

ZABE=ZCDF

在AABE和&CDF中，＜NAEB=ZCFD,

AB=CD

：.AABE^ACDF(AAS),

：.AE=CF-

(2)解：AA3石的面积=4。。尸的面积=ABCE的面积=AADF的面积=矩形ABC。面积的L

8

理由如下：

AD//BC,

ZCBD=ZADB=3Q°,

VZABC=90°,

/.ZABE=6Q°，

•/AE±BD,

：.ZBAE=30°,

：.BE^-AB,AE^-AD,

22

/\ARE的面积=—BExAE——x—ABx—AD——ABxAD——矩形ABCD的面积,

222288

VAABE^ACDF,

二△CDF的面积=:矩形A3CD的面积；

作5c于G,如图所示：

NCBD=30°,

：.EG=-BE=-x-AB=-AB,

2224

二ABCE的面积=工3C义EG=工3C义工AB=工3C*A3=:矩形ABC。的面积，

22488

同理：的面积=1矩形A3CD的面积.

8

本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中30。角所对的直角边等于斜边的一半,

敏捷应用矩形的性质证全等，娴熟驾驭直角三角形30。角的性质是解题的关键.

7.（2024•浙江中考真题）如图，矩形EFG”的顶点E,G分别在菱形ABC。的边A。，BC±,顶点

F、H在菱形A3CD的对角线瓦）上.

D

：R郑,

VBG=DE,

.\AE=BG,AE〃BG,

・・・四边形ABGE是平行四边形，

二•AB=EG,

VEG=FH=2,

.,.AB=2,

・•・菱形ABCD的周长=8.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键.

8.（2024•山西试验中学初三月考）如图1,在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DPVCP）,ZAPB=90°.将

△ADP沿AP翻折得到AAD'P,P＞的延长线交边AB于点M,过点B作BN〃MP交DC于点N.

0上______________y___c4…4-----*__C

AMBAMB

图1图2

（1）求证：AD2=DP«PC；

（2）请推断四边形PMBN的形态，并说明理由；

叩

（3）如图2,连接AC,分别交PM,PB于点E,F.若空=L求,」的值.

AD2/IE

、EF4

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形PMBN是菱形，理由见解析；（3）-----二一

AE9

【解析】

解：（1）过点P作PGLAB于点G,

DPNC

AGMB

图1

・・・易知四边形DPGA,四边形PCBG是矩形，

・・・AD=PG,DP=AG,GB=PC

NAPB=90

ZAPG+ZGPB=ZGPB+ZPBG=90°,

ZAPG=ZPBG,

・•・AAPG^APBG,

・PGGB

**AGPG?

.•.PG2=AG-GB,

即AD2=DP*PC；

(2)VDP/7AB,

ZDPA=ZPAM,

由题意可知：NDPA=NAPM,

・•.ZPAM=ZAPM,

,/ZAPB-ZPAM=ZAPB-ZAPM,

即NABP=NMPB

.二AM'PM,PM=MB,

.\PM=MB,

又易证四边形PMBN是平行四边形,

・・・四边形PMBN是菱形；

可设DP=k,AD=2k,

由(1)可知：AG=DP=k,PG=AD=2k,

VPG=AG*GB,

.'.4k2=k-GB,

AGB=PC=4k,

AB=AG+GB=5k,

•・・CP〃AB,

AAPCF^ABAF,

・CFPC_4

**AF-AB-5?

,AF5

••,

AC9

又易证：△PCEs^MAE,AM=-AB=-fc,

22

CE_PC_4k_8

•'­AE~AM~5~5

K

2

.AE5

AC13'

5520

EF=AF-AE=-AC-———AC,

913117

2°AC

・EJi"=4

AAC9'

13

【点睛】

本题考查相像三角形的综合问题，涉及相像三角形的性质与判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线

的性质等学问，综合程度较高，须要学生敏捷运用所学学问.

9.(2024•抚顺市雷锋中学初三月考)在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EFLAB交BD于点F,取

FD的中点G,连接EG、CG,如图(1),易证EG=CG且EGLCG

E图⑶

(1)将4BEF绕点B逆时针旋转90°,如图(2),则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请干脆

写出你的猜想.

(2)将4BEF绕点B逆时针旋转180。，如图(3),则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系.请写

出你的猜想，并加以证明.

【答案】(1)EG=CG;EG_LCG(2)EG=CG；EG±CG,证明见解析.

【解析】

解：(1)EG=CG,EG±CG.

(2)EG=CG,EG±CG.

证明：延长FE交DC延长线于M,连MG.

•?ZAEM=90°,ZEBC=90°,ZBCM=90°,

...四边形BEMC是矩形.

.,.BE=CM,ZEMC=90°,

由图（3）可知,

・.・BD平分NABC,ZABC=90°,

/.ZEBF=45°,

又・.・EF_LAB,

•••△BEF为等腰直角三角形

.\BE=EF,ZF=45°.

AEF=CM.

VZEMC=900,FG=DG,

1

・・・MG二一FD二FG.

2

\'BC=EM,BC=CD,

.'EM=CD.

VEF=CM,

・・・FM=DM,

又,.・FG=DG,

ZCMG=-ZEMC=45°,

2

NF=NGMC.

FG=MG

•・•在4GFE与AGMC中(=ZGMC,

EF=CM

AAGFE^AGMC(SAS).

1•EG=CG,NFGE=NMGC.

VZFMC=90°,MF=MD,FG=DG,

.'.MG±FD,

.••NFGE+NEG归90。,

AZMGC+ZEGM=90°,

即NEGC=90°,

•\EG_LCG.

【点睛】

此题综合考查了旋转的性质及全等三角形的推断和性质，如何构造全等的三角形是难点，因此难度较大.

考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质.

10.（2024•广东初三期中）（1）如图1,在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF

=BE,求证：CE=CF；

（2）如图2,在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，假如NGCE=45°,请你利用（1）的结

论证明：GE=BE+GD；

（3）运用（1）（2）解答中所积累的阅历和学问，完成下题：

如图3,在直角梯形ABCD中，AD〃BC（BOAD）,ZB=90°,AB=BC,E是AB上一点，且NDCE=45°,

BE=4,DE=10,求直角梯形ABCD的面

【答案】（1）、（2）证明见解析（3）108

【解析】

（1）如图1,在正方形//力中,

,:BC=CD,NB=NCDF,BE=DF,

:*XCBE零△CDF,

：.CE=CF；

（2）如图2,延长/〃至凡蟆DF=BE,连接5

由(1)知△侬零/物，

/BCE=NDCF.

：./BCE+NECD=/DCF+/ECD

即/瓦F三乙9徵=90。,

又,：/GC&4T,:./GCF二NGCS,

'：CE=CF,NGCE=/GCF,GC=GC,

：.丛ECG四△FCG,

：.GE=GF,

：.GE=DF+GD=BE+GD-,

(3)过C作CFLAD的延长线于点F.则四边形ABCF是正方形.

止仍-止12-4=8,

设止x,则/氏12-x,

依据（2）可得：DE=BE+D六4+x,

在直角△力庞中，四+力庆班S则8,（12-x）2=（4+x）2,

解得：尸6.

则DE=4+6=10.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及正方形的性质，解决本题的关键是留意每个题目之间的

关系，正确作出协助线.

11.（2024•湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB=4,BC=6.若不变更矩

形ABCD的形态和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正

半轴上随之上下移动.

(1)当N0AD=30°时，求点C的坐标；

21

⑵设AD的中点为M,连接OM、MC,当四边形OMCD的面积为一时，求0A的长；

2

(3)当点A移动到某一位置时，点C到点0的距离有最大值，请干脆写出最大值，并求此时cos/OAD的值.

【答案】(1)点C的坐标为(2,3+28)；(2)OA=30；(3)0C的最大值为8,cos/OAD=(.

【解析】

⑴如图1,过点C作CELy轴于点E,

:矩形ABCD中，CD±AD,

ZCDE+ZAD0=90°,

XVZ0AD+ZAD0=90°，

.,.ZCDE=Z0AD=30°,

,在RtZkCED中，CE=；CD=2,DE=y/cD2-CE2=273.

在Rtz^OAD中，Z0AD=30°，

1

，OD=—AD=3,

2

.,.点C的坐标为(2,3+273);

⑵为AD的中点,

=

••DM3jSADCM~6,

21

又S四边形OMCD=，

2

._9

••SAODM=—,

2

••SAOAD=9?

设OA=x、OD=y,则/+丫2=36,—xy=9,

2

x2+y2=2xy,即x=y,

将x=y代入x2+y2=