2025高考数学二轮复习：三角函数及图象性质应用 专项训练【含答案】

2025高考数学二轮复习-专题09三角函数及图象性质应用-专项训练

五年考情•探规律

考点五年考情(2020-2024)命题趋势

考点01三角函数2024甲卷

概念2023北京卷终边角问题以及同角三角函

2021甲卷北京卷数关系是高考的一个方向

20201IIIII

20241II卷

考点02三角函数恒三角函数恒等变换是高考数

20231II卷

等变形学高频考点，常考是二倍角

2022II卷

公式的应用

20211卷

2024北京天津1II甲卷

2023甲乙卷

考点03三角函数图三角函数图象伸缩变换及图

像及性质2022北京甲1卷象定区间最值极值问题是高

考的重难点

2021北京甲1卷

20201III卷

20231II卷

三角函数中3的范围问题三

考点04三角函数综

2022甲卷角函数综合性质应用的重难

合应用

点

2020北京卷

分考点2精准练1

考点01三角函数概念

1.（2020年高考课标口卷）若a为第四象限角，则（）

A.cos2a>0B.cos2«<0C.sin2a>0D.sin2a<0

2.（2020年高考课标口卷）已知。e（O,兀）,且3cos2a-8cosa=5,则sina=

（）

/jl\COSOL

3.（2021年高考全国甲卷）若。£0,彳，tan2a=；；一；一,贝ijtana=（）

12J2-sma

A715R下nV15

A.--------£>.-----U.------JJ.--------

15533

TT

4.（2020年高考课标口）已知2tan。-tan（例—）=7,贝！JtanQ（）

4

A.-2B.-1C.1D.2

5.（2024•全国•高考甲卷）已知=6,则tan[a+[=（）

cosa-sina<4）

A.25/3+1B.273-1C.—D.1-^/3

2

二填空

6.(2021高考北京・)若点A(cos6,sin。)关于》轴对称点为B(cos(0+^),sW+^)),写出

66

夕的一个取值为一.

7.(2023年北京卷)已知命题P：若名尸为第一象限角，且。>,，则

tan«>tan/?.能说明。为假命题的一组尸的值为。=,/3=

考点02三角函数恒等变形

1(2024•全国•高考I卷)已知cos(a+/?)=八tanatan/=2,则cos(o-7?)=()

m

A.—3mB.CD3m

3-T

2.（2023年新课标全国口卷）已知5111（0-/?）=，工05151口/?=1,贝IJCOS（2C+2A）=

36

)

77

A.B.C.D.

99

3.（2023年新课标全国口卷）已知e锐角，cosa=¥史,e•a

则sin—=().

42

43—y[5B-1+小©3-A-1+75

/5D.

8844

4.(2021年新高考口卷＜^tan，=-2,则吧±吧”)=(

)

sin0+cos0

A--B.--C.-D.-

5555

5.（2022新高考全国II卷・）若sin（a+夕）+cos（。+夕）=20cosor+—sin,则

()

A.tan(a—月)=1B.tan(a+£)=l

Ctan(a-y5)=_lD.tan(a+/?)=-l

二填空

6.(2024・全国•高考II卷)已知。为第一象限角，6为第三象限角，tana+tan/=4,

tanatan0=V2+1,贝ljsin(a+分)=.

考点03三角函数图像及性质

1（2024•全国・高考I卷）当xi［0,2加时，曲线，=sin*与y=2sinl3%--^-的交点个数

为（）

A.3B.4C.6D.8

2.（2024•北京・高考真题）设函数〃x）=sins（0>O）.已知7•&）=-1,f（x,）=l,且

归-引的最小值为会则。=（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2024•天津高考真题）已知函数"x）=sin31s+£］（0>O）的最小正周期为兀.则

“X）在-春已的最小值是（）

A.-BB.--C.0D.-

222

二、多选题

4.（2024•全国•高考II卷）对于函数/Q）=sin2x和g（x）=sin（2x-：）,下列说法中正确

4

的有（）

A.Ax）与g（x）有相同的零点B.Ax）与g（x）有相同的最大值

C.7（x）与g（x）有相同的最小正周期D./（x）与g（x）的图象有相同的对称轴

A.B.C.D.V3

22~2~T

6.（2023年全国甲卷）函数y=/（x）的图象由函数y=cos（2x+tj的图象向左平移［

个单位长度得到，则y=/（x）的图象与直线y=的交点个数为（）

A.1B.2C.3D.4

7.（2021年新高考口卷•）下列区间中，函数”x）=7sin1x-空单调递增的区间是

（）

7T

8.（2020年高考课标口卷）设函数/（x）=cos（0x+；）在［-兀，兀］的图像大致如下图，则

6

人X）的最小正周期为

（）

lOn7兀-4兀37r

A.-----B.—C.—D.—

9.（2022高考北京卷一）已知函数/（xXcosG-sin",则

()

71（7171\

A./⑺在~2上单调递减B.八元）在一*五上单调递增

（

）在伏彳）上单调递减71

C."XD.〃九）在；,二上单调递增

U12J

3111

10.（2022年高考全国甲卷）已知瓦乃=cosIc=4sin"则

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

11.(2022新高考全国I卷・)记函数/(%)=sin［0x+?J+0(0>0)的最小正周期为

T.若g<T<»,且y=/(x)的图象关于点］£,2］中心对称，则=

()

2

2

(2021高考北京・)函数/(x)=cosx-cos2x是

A.奇函数，且最大值为2偶函数，且最大值为2

99

C.奇函数，且最大值为-偶函数，且最大值为京

8

二填空

13.(2024,全国,高考甲卷)函数〃x)=sinx-代COSX在［0,可上的最大值是.

14.(2024•北京高考真题)在平面直角坐标系无0y中，角。与角月均以兔为始边，它

TT7T

们的终边关于原点对称若cekw,贝IJcosp的最大值为______.

o3

15.(2021年高考全国甲卷)已知函数/(x)=2cos3x+0)的部分图像如图所示，贝嗨

足条件|7(x)—/卜?1］〃%)—的最小正整数x为.

13

12

16.(2020年高考课标口卷)关于函数加尸sinx+--有如下四个命题：

①/(x)的图像关于了轴对称.

②/(x)的图像关于原点对称.

TT

③/（x）的图像关于直线卡万对称.

④/（x）的最小值为2.

其中所有真命题的序号是.

考点04三角函数综合应用

1.（2022年高考全国甲卷数学）设函数f（x）=sin（s+在区间（0,兀）恰有三个极值

点、两个零点，则。的取值范围是（）

一513、「519、一（138］<1319一

于"

A*_367B.l_36JC.1—63」D.1—66_

2.（2020北京高考・）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（万Day）.历史上，求

圆周率万的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔•卡西的

方法是：当正整数〃充分大时，计算单位圆的内接正6〃边形的周长和外切正6〃边

形（各边均与圆相切的正6〃边形）的周长，将它们的算术平均数作为2万的近似

值.按照阿尔・卡西的方法，万的近似值的表达式是

().

,(.30°30°)

B.6nsin------1-tan----

(〃nj

二填空

3.（2023年新课标全国口卷）已知函数/'（xbcosm:-1（。>0）在区间［0,2可有且仅有

3个零点，则3的取值范围是.

4.（2023年新课标全国口卷）已知函数/（x）=sin（a）x+0）,如图/,8是直线y=1■与

曲线y=/（x）的两个交点，若|4回=［贝厅（兀）=.

三解答题

5(2023年北京卷)设函数/(x)=sinscosQ+cossine]a)>Q,\(p\<—

(1)若/(0)=—乎，求9的值.

TT27t(2兀、

⑵已知了⑴在区间-上单调递增，/ly1=1,再从条件①、条件②、

条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数/⑴存在，求。,0的值.

条件①:呜)=刀；

(兀、

条件②：/—w=-1;

TT7T

条件③：/⑴区间—万，一§上单调递减.

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件

分别解答，按第一个解答计分

参考答案与详细解析

五年考情­探规律

考点五年考情(2020-2024)命题趋势

考点01三角函数2024甲卷

概念2023北京卷终边角问题以及同角三角函

2021甲卷北京卷数关系是高考的一个方向

20201IIIII

20241II卷

考点02三角函数恒三角函数恒等变换是高考数

20231II卷

等变形学高频考点，常考是二倍角

2022II卷

公式的应用

20211卷

2024北京天津1II甲卷

2023甲乙卷

考点03三角函数图三角函数图象伸缩变换及图

像及性质2022北京甲1卷象定区间最值极值问题是高

考的重难点

2021北京甲1卷

202013卷

20231II卷

三角函数中3的范围问题三

考点04三角函数综

2022甲卷角函数综合性质应用的重难

合应用

点

2020北京卷

分考点•精准练1

考点01三角函数概念

1.（2020年高考课标口卷理科•第2题）若a为第四象限角，则

A.cos2a>0B.cos2a<0C.sin2a>0D.sin2a<0

【答案】D

3yr

【解析】方法一：由。为第四象限角，可得一+2左»»+2左肛左wZ,

所以3万+4k兀<2。<4〃+4左匹keZ

此时2。的终边落在第三、四象限及丁轴的非正半轴上，所以sin2a<0

故选：D.

方法二：当。=——时，cos2a=cos>0,选项B错误;

6

2n

当a=——时，cosla=cos<0,选项A错误;

由a在第四象限可得：sin6Z<0,cosa>Q,则sin2a=2sinacosa<0,选项C

错误，选项D正确；故选：D.

2.（2020年高考课标口卷）已知。£（。,兀），且3cos2a-8cosa=5,贝！Jsina=

【答案】A

【解析】3cos2a—8cosa=5,得6cos?a—8cosa—8=0，

乂aGsinctr=A/1-COS2a-.故选：A.

coscr

3.（2021年高考全国甲卷）若a£10弓卜an2a=,则tana=

2-sin

()

715V5V15

A・-----D,---Cr.----Un.-----

15533

CCS(7

【答案】A【解析】tan2a=J

2-sma

入sinla2sinacos。cos。

/.tan2a=--------=------------——=----------,

cos2al-2sina2-sino

(八九、八2sin。1.1

a£|~r~9cosaw0,••,角牛sincc——,

I2)l-2sin2c^2—sino4

L——A/15，sina生

/.cosa=vl-sina=---，/.tana=-----=----改选：AA.

4cosa15

TT

4.（2020年高考课标口）已知2tan6-tan（e+一尸7,则

4

tand=

()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】2tand—tan(6+X]=7,2tan"匕"+1=7,

I4j1-tan^

令"tanO/wl,贝iJ2”?=7,整理得/_牝+4=0,解得/=2,即

1-t

tan0=2.故选：D.

5.（2024.全国.高考甲卷）已知=拒,则tan[c+j]=（）

cosa-sina<4J

A.2有+1B.273-1C.—D.1-73

2

【答案】B

【分析】先将c°sa弦化切求得tana,再根据两角和的正切公式即可求解.

cosa-sma

【详解】因为c°s”=6

cosa-sma

所以丁」一=A/3,ntana=l-3所以ta4a+?]=警之一2有-1,故选：B.

1-tana3k471-tana

二填空

6.（2021高考北京一）若点A（cos6»,sin。）关于》轴对称点为8（cos（e+£）,sinG+5））,写出

66

8的一个取值为—.

【答案】.（满足。=--Fkjr,kuZ即可）

121，

【解析】A（cos6,sin。）与8cosj,sinj关于》轴对称，即

7F

仇。十:关于y轴对称，

6

jrS%

0+-+0=7V+2k7V,keZ,则。=左〃+—,keZ,当左=0时，可取夕的一个

612

值为||

故答案为：一（满足。=左〃+——,左€2即可）.

1212

7.（2023年北京卷）已知命题P：若d尸为第一象限角，且。>力，贝IJ

tantz>tan/?.能说明?为假命题的一组a,4的值为。=,，=

【答案】①.下②.彳

43

【解析】因为/（"=tanx在“3上单调递增，若0<%<闻<5,则

tana0<tan/30,

取a=2勺兀+a0,/?=2%兀+4温,女2eZ,

贝ijtano=tan（2勺7i+%）=tan%,tan/?=tan（2&7i+4）=tan4,即

tana<tan/?,

令匕>&,则夕_/?=（2勺兀+%）_（2&兀+4）=2（/兀+（%_凤），

因为2（左一左2）兀22兀，一卷<%—凡<。，贝［J

3九

a-/3=2{k{-^2）7i+（cr0-^）>—>0,

即左,左2，则a>/.

TT7TQjrjr

不妨取匕=1«2=。，%=^，片=曰，即。=彳4=§满足题意.故答案为：

9兀71

不与■

考点02三角函数恒等变形

1（2024•全国•高考I卷）已知cos（a+/）=机,tanatan/?=2,则cos（。一尸）=（）

777m

A.-3mB.——C.-D.3m

33

【答案】A

【分析】根据两角和的余弦可求cosacos尸,sintzsin"的关系，结合tanatan尸的值可求

前者，故可求cos(a-0的值.

［详解］因为cos(a+0="所以cosacos分一sinasin4=m,

而tantan/?=2,所以sinasin分=2cosccos/?,

故cosacos/3-2cosacos力=祇艮|］cosacos0=-m,

从而sinasin/?=—2机,故cos=-3根，

故选：A.

2.(2023年新课标全国口卷•第8题)已知sin(a—/?)=Lcoscrsin/?=’，贝ij

36

cos(2a+27?)=

().

7117

A.-B.-C.—D.----

9999

【答案】B

【解析】因为sin(。一尸)=sinacos尸一cosisin，=，,而cosasin/?二!，因此

36

sincrcospQ――1,

2

…/m・Q.A2

则sm(。+p)=sinacosp+cosasmp=—,

21

所以cos(2a+2/7)=cos2(i+/7)=l-2sin2(a+A)=l-2x(§)2=—.故选：B

2.(2023年新课标全国口卷)已知。锐角，cosa=S5,则sin0=

42

).

A3—y/5D—1+y/5c3—y/5n—1+y/5

A......-B...........-C.........-D...........-

8844

【答案】D

解析:因为cosa=l-2•2q=匕逝，而a为锐角，

24

解得：sin4=(3-V5_(向1)_君-1.故选：D.

2Vk4^^=二

2.(2021年新高考口卷•港tan。=-2,则咬式匕汽电=

sin0+cos0

()

【答案】C

解析:将式子进行齐次化处理得:

sin9(1+sin29)sin0fsin20+cos20+2sin0cos0)

--------------------------------------------=sing(sin9+cos8)

sin0+cos0sin9+cos6

sm/sme+cos。)tan夕+tan。4-22%、出厂

=-------3----------z-L=------------z——=---------=-，故选C.

sin"。+cos*1+tan^61+45

5.(2022新高考全国^卷•)若sin(a+夕)+cos(。+夕)=2Ccos卜+7卜in/?,则

()

A.tan(q_0=lB.tan(a+0=l

Ctan(of-y5)=-lD.tan(a+£)=-l

【答案】C

【解析】由已知得:

sinacos（3+cosasin£+cosacos/一sinasin£=2（cos二一sina）sin力,

即：sinacos/3-coscrsin/?+cosacos/?+sinorsin/?=0,

即：sin（a-0+cos（a-/?）=O所以tan（a-〃）=-l,故选:

C

二填空

6.(2024・全国•高考II卷)已知。为第一象限角，仅为第三象限角，tana+tan尸=4,

tanatan0=V2+1,贝ljsin(a+0)=.

【答案】一述

3

【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tan(a+£)=-2日，再缩小〃+/的范

围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答

案.

tana+tan/34

【详解】法一：由题意得tan(a+0==-2A/2

1-tanortan/31-（V2+1）

因为a2kn,2lai+]■],尸£[2mji+7i,2〃wr+^3兀-j,k,meZ,

2

贝lja+力£（（2"1+2左）兀+兀,（2"2+2左）兀+2兀），k,meZ,

又因为tan（a+/?）=-20<O,

贝IJa+夕E]（2"t+2女）兀+g,（2m+2女）兀+2兀j,k,meZ,贝IJsin（a+£）<0,

则si"—2叵联立sir?（a+尸）+cos2（6r+/?）=1,解得sin（a+尸）=-2f.

cos（a+0/

法二：因为a为第一象限角，口为第三象限角，贝卜。sa>0,cos£<0,

coscr1ncos夕—1

cosa-f——=/=cosp--/-=-,—

Vsin26z+cos2a,1+tan2ay/sin2/3+cos2/3^/1+tan2/3

贝Ijsin(cif+/?)=sinacos/?+coscsin力=cosacos力(tana+tan/7)

_々_4__4__4_2>/2

—4Acoscccosp——/~~/-―/--,~------

V1+tan2+tan2/71(tana+tan时+(tancrtan/?-l)2V42+23

故答案为：-述.

3

考点03三角函数图像及性质

1(2024•全国•高考I卷)当K[0,2加时，曲线y=sinx与y=2sin(3xf的交点个数

为()

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】画出两函数在[0,2可上的图象，根据图象即可求解

【详解】因为函数'=$也芯的的最小正周期为T=2兀，

函数y=2sin,-5的最小正周期为T=y,

所以在xe[0,2兀]上函数y=2sin13x有三个周期的图象，

在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：

由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C

2.（2024.北京.高考真题）设函数/（x）=sins（（y>0）.已知=,/（x,）=l,且

卜1-超帕勺最小值为g，则。=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【详解】由题意可知：/为/(%)的最小值点，巧为/(%)的最大值点,

则卜-即min=£=］，即7=兀，且0>0,所以0=^=2.故选：B.

71

3.(2024•天津高考真题)已知函数/(x)=sin3(DX-\——(口>0)的最小正周期为兀,则

3

“X)在卡年的最小值是()

A--TB--1C.0D-1

712兀

【答案】A【详解】/(X)=sin3CDX+—sin+7i)=-sin3a)x,由T=——二兀得

3co

2

(D--

3

兀兀

艮[]f(兀)=-sin2x,当x£时2xG

126

画出f(x)=-sin2x图象，如下图,

7E7L

由图可知，/(x)=-sin2x在上递减,

所以，当无=9时，"X)―-sin'=-也

6J、，mm32

4.(2。24.全国.高考U卷)对于函数〃Msg和ga)=sm(2xj),下列说法中正确

的有()

A./(x)与g(x)有相同的零点B./(x)与g(x)有相同的最大值

C.7(x)与g(x)有相同的最小正周期D./⑺与g(x)的图象有相同的对称轴

【答案】BC

【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.

【详解】A选项，令/Q)=sin2尤=0,解得x=g,%eZ,即为了⑴零点，

令g(无)=sin(2x-9)=0,解得x="+左eZ,即为g(x)零点，

428

显然，(x),g(x)零点不同，A选项错误；

B选项，显然/(初曲=g(X)max=1,B选项正确；

C选项，根据周期公式，/(元),g(x)的周期均为苓=兀，C选项正确；

D选项，根据正弦函数的性质AM的对称轴满足=E+T=x=g+

g(x)的对称轴满足2尤-7=E+gox="+学,％eZ,

4228

显然，(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误,故选：BC

()

A--fB--IIaT

【答案】D

(712兀]

【解析】因为/⑴=sin(s+0)在区间了q-J单调递增,

〜TtT2兀兀71rcLtE271-

所以一二-----,且刃＞0,则7=兀，w=—=2,

2362T

当X=P时，/(%)取得最小值，则2・工+e=2E—二，kwZ,

662

则e=2E—葛，keZ,不妨取左=0,则/(x)=sin12x—，

6.(2023年全国甲卷)函数y=/(x)的图象由函数＞=cos[2x+《J的图象向左平移E

个单位长度得到，则y=/(力的图象与直线y=的交点个数为

()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】因为y=cos"x+e]向左平移E个单位所得函数为

y=cos21％+个)+个=cos(2x+])=—sin2x,所以/(x)=-sin2x,

而卜夫―g显然过1°‘一£|与am两点，

作出/(%)与y=gx—g的部分大致图像如下,

_3兀_3兀-7兀„3兀3兀7兀/\,

考虑2%=----,2x=—,2%=—,即x=----,x——,x——处fr(%)与

222444v7

y=±x—］的大小关系，

22

13兀13?1-4,

y=—X--------------------<1

242

17兀17兀一4,

y=—X-------------------->1

242

所以由图可知，/(x)Vy=gx-；的交点个数为3.故选：C.

7.(2021年新高考口卷•)下列区间中，函数〃尤)=7而1-看)单调递增的区间是

)

7134四,27

A.B.D.

呜5"2

【答案】A

解析:因为函数ksinx的单调递增区间为,~争2上万+升丘Z),

71

对于函数〃%)=7sinX--,由2左左一,<2左九"+|(1£Z),

冗2冗

角军得2k7i--<x<2k7i+—(GZ),

7i27r

取％=0,可得函数“X）的一个单调递增区间为5'7

712万712万

则喝CZ，A选项满足条件，B不满足条件;

5万8%

取左=1,可得函数〃尤）的一个单调递增区间为T5T

371712万且卜甘卜5%8兀2小57187r

(Z石，CD选项均不满

足条件，故选A.

JT

8.（2020年高考课标口卷）设函数/（乃=85（5+:）在［-兀,兀］的图像大致如下图，则

6

玲）的最小正周期为

)

10717兀4兀3兀

A.——B.C.—D.——

9~632

【答案】C

4万

【解析】由图可得:函数图象过点-三-，0卜

4〃n

将它代入函数/（%）可得：COS---⑷+一=0

96

41

,0是函数/（九）图象与X轴负半轴的第一个交点,

又~9~

4万JIJI3

所以----o）-\—=-----,解得：co——

9622

_2〃_2〃_4〃

所以函数/（X）的最小正周期为至=3=可故选：C

2

9.（2022高考北京卷•）已知函数/Xx）=cos?无一sit?%,则

（）

（兀兀、（冗兀\

A.Ax）在-q上单调递减B.Ax）在-1，五上单调递增

c./*）在卜3上单调递减D./（X）在上单调递增

【答案】C解析:因为/（x）=cos2x-sin2x=cos2x.

对于A选项，当---<x<—-时，一乃<2x<—9，贝i]/（%）在上单

26

调递增，A错；

7TJT

对于B选项，当——<x<—1时，—3<2X<,,则/（九）在上不单

4122OV4127

调，B错；

7T0<2%<会，则/（%）在（0,「上单调递减，C

对于C选项，当0<x<一时,

3

对；

7T7万十，<2X<,贝1」/（X）在匕上不单调,

对于D选项，当一<%<--0'

412

D错.故选,C.

311-1M

10.（2022年高考全国甲卷）已知a==——,Z7?=