2025高考数学过关检测 立体几何 专项训练【含答案】

2025高考数学考二轮专题过关检测4立体几何-专项训练

一、选择题:本题共8小题,每小题5分洪40分在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.（2024•九省联考）设a/是两个平面，丸/是两条直线，则下列命题为真命题的是（）

A.若aA-P.m//a,l//£,贝!JmY.1

B.若mua,luB,m〃/,则a//P

C.若aC6=m,l//a,I//4则m//1

D.若/,贝!Ja-L^

2.已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,为，平面/5。,刃=2/民则异面直线CD与

四所成角的余弦值为（）

A匹B迪C”D迤

A5民5C，1010

3.在正方体ABCD-ATBICD中,G是线段BCi上一点，且46，囱。,则（）

A.BG=^BC]

B.5Ci=3GCi

C.BG=3GCi

D.G为线段BCi上任意一点

4.某保鲜封闭装置由储物区与充氮区（内层是储物区用来放置新鲜易变质物品，充氮区是

储物区外的全部空间用来向储物区输送氮气从而实现保鲜功能）构成.如图，该装置外层

上部分是半径为2的半球，下面大圆刚好与高度为3的圆锥的底面圆重合，内层是一个高

度为4的倒置小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点

重合，为了保存更多物品，充氮区的体积最小为（）

.c16n_28IT„4TC

AA4nB—C-D—

5.（2024•新高考〃,7）已知正三棱台ABC-A.BxCx的体积为学闫8=6481=2,则与平面

/8C所成角的正切值为（）

1

A

2-

C.2D.3

6.已知球O与棱长为2的正方体力BCDd山CQ的各个面都相切,加为棱。。的中点,

则平面4WC截球。所得截面的面积为（）

A71

A,3B-T

4TT

C.7TD.y

7.如图，已知四棱柱48CD431C1D1的体积为匕四边形48al是平行四边形，点E在平

面ACQAi内，且荏=:前+,宿，则三棱锥A-40c与三棱锥E-3CD的公共部分的体

44

积为（)

A-28B•五

C-28呜

8.（2022•新高考/,8）已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积

为36兀,且3<38，则该正四棱锥体积的取值范围是（）

小8百

B.至羽

c喘号］D.[18,27]

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分

9.（2022•新高考〃,11）如图，四边形ABCD为正方形，矶），平面ABCD,FB//

皮＞48=£。=20,记三棱锥E-ACD^-ABC,E-ACF的体积分别为%,%,匕,则（）

A.%=2%B.%=2%

C.V3=VI+V2D.2V3=3VI

10.在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名

叫Trulli,于1996年被收入世界文化遗产名录.现测量一个Trulli的屋顶，得到圆锥S。（其

中S为顶点。为底面圆心），母线SA的长为6m,C是母线SA上靠近点S的三等分点.从

点/到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带，灯光带的最小长度为2gm.下面说法正确的

是（）

A.圆锥SO的侧面积为12兀m2

B.过点S的平面截此圆锥所得截面面积最大值为18m2

C.圆锥SO的外接球的表面积为72兀m2

D.棱长为gm的正四面体在圆锥SO内可以任意转动

11.（2023•新高考/,12）下列物体中,能被整体放入棱长为1（单位:m）的正方体容器（容器

壁厚度忽略不计）内的有（）

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体

D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.如图，已知二面角A-EF-D的大小为45°，四边形48EE与四边形CDEb都是边长为1

的正方形，则BQ两点间的距离是.

AB

E

13.如图，在棱长为4的正方体/3CD48C1O1中,〃是棱4”上的动点,N是棱3c的中

点.当平面DiMN与平面ABCD的夹角最小时,4/=.

14.在菱形ABCD中/3=2,/。48=60°,E为AB的中点，将A/OE沿DE翻折成A41DE；

当三棱锥A『DEC的体积最大时，三棱锥Ar-DEC的外接球的表面积为.

四、解答题:本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

15.(13分)如图，四边形ABCD是正方形,口，平面ABCD,PA//EB,^.PA=AB=3.

(1)求证:CE〃平面PAD-,

⑵若BE三巴,求直线PD与平面PCE所成角的正弦值.

16.(15分)如图，四棱锥尸-45CD的底面为矩形，尸。，底面/3C2M为3c的中点/3,

AM.

(1)求证:平面R1M_L平面PBD-

(2)若尸£)=£)C=1,求四棱锥P-ABCD的体积.

17.(15分)(2024•广东佛山禅城高三调研)如图，在直三棱柱形木料/BC-481G中。为上

底面ABC上一点.

(1)经过点D在上底面ABC上画一条直线I与BiD垂直，应该如何画线,请说明理由;

(2)若BC=BBi=lKB=2,/AiBiCi\,E为AiBi的中点，求点3到平面/CiE的距离.

18.（17分）如图，在Rt△刃3中,且必="8=2,将△以3绕直角边口旋转引到

△PAC处，得到圆锥的一部分，点D是底面圆弧8c（不含端点）上的一个动点.

（1）是否存在点2使得若存在，求出NC4。的大小;若不存在,请说明理由.

（2）当四棱锥P-ABDC体积最大时,求平面PCD与平面PBD夹角的余弦值.

19.（17分）如图①，在菱形48CD中,N/3C=120°,动点瓦月分别在边上（不含端

点），且存在实数月使前=2而，沿EF将A4EF向上折起得到使得平面PE7U平面

如图②所示.

C

B

图②

⑴若BPUD,设三棱锥P-BCD和四棱锥P-BDEF的体积分别为由,%,求学；

v2

(2)当点E的位置变化时，二面角E-PF-B是否为定值?若是，求出该二面角的余弦值;若不

是,请说明理由.

专题过关检测四立体几何答案

一、选择题:本题共8小题,每小题5分洪40分在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.C解析对于A,%/可能平行、相交或异面，故A错误;对于B,a/可能相交或平行，故

B错误;对于D,a/可能相交或平行，故D错误;由线面平行性质得C正确，故选C.

2.C解析连接/凡3£（图略），设A8=l,贝I]R4=2HE=712+1<2X1义1Xcosl20°=

V3,P£=V4T3=V7,BE=V3T1=2,PB=V4T1=VK易知CD//BE,^\^ZPBE是直线

CD与PB所成的角（或其补角）.又cos/E8E=井白=空，

NXZXVbJ.U

所以直线CD与PB所成角的余弦值为噂.故选C.

3.D解析如图，：ND_L平面488/1,

.'.ADLAiB.

又犯L4iBdBQ4D=4

.：48_L平面/5i£),

/.AxBLBxD.

同理BCiLBiD

又43nBei=8,

.:瓦0,平面AiBCi.

又4Gu平面43G,

.".AiGlBiD.

故G为线段3G上任意一点.故选D.

4.B解析由题意可知内层小圆锥底面半径最大为^=8,所以充氮区的体积最小

为TX*x23+全x22x3-1x(b)2义4=等.故选B.

5.B解析（方法一）设棱台的高为九三条侧棱延长后相交于一点S正三角形/5C与正

三角形431cl的中心分别是点0,。1.连接/。,5。,易知点01在S。上.

由48=345,可知三棱锥S-AXB\CX的高为SQ=，，三棱锥S-ABC的高为5。=|瓦正三棱

台ABC-AiBiG中,A48C和△43iG均为正三角形,/3=6H山i=2,得SA

ABc=9y/3,S^A1B1C1=V5,所以X|/z-|XV3X3=学解得仁殍,

由等边三角形性质易知04=2遮,50=，=2囱,所以所求正切值为慧=1.故选8.

（方法二）设棱台的高为〃，正三角形/3C与正三角形431cl的中心分别是点。,。1,连接

。。/QB。,作AXHLAO,H为垂足.

Si=—X22=V3,^T=—X62=9V3,K-（5±+S-v+JS^S^）h,^得，设4/与平面ABC

443V3

所成角为e,

473

贝!]tan0=^-=——-——=——^77^=1•故选B.

AH40出。12片学

6.A解析设球心。到截面的距离为d,截面圆的半径为升，由K9-4CN=//-/OG得

^'S^ACM'd=^-S^Aoc-H为5AJCM=|X2V2xV3—V6,S^AOC=~X2-\/2X1=V2,^f以<7二手.又

法+-=1,所以厂=今所以平面/MC截球。所得截面的面积为故选A.

7.A解析先找两三棱锥的公共部分，由荏=：而+|宿，知]（荏一•=久宿-

硝，故丽=3竭

在CC1上取点及使得CE=3EC1,连接DE,

AB

设DEHDiC=F^4CASD=G,<ftFG,

则三棱锥尸-CDG为三棱锥O1-4DC与三棱锥E-3C。的公共部分.

:ACEFSADIDF,；呼=吗=之

'FCCE3'

.FC_3

，"1。-7，

.：点尸到平面N5CD的距离是点Di到平面N5CD的距离的

又=，A

S^CDG~4S<=BCD,

…113V

.•VF-CDG=~x-x-x=

347V——28.

8.C解析记正四棱锥高与侧棱的夹角为仇高为九底面中心到底面各顶点的距离为m.

;正四棱锥外接球的体积为36兀,,：外接球的半径7?=3.

又3W/W3B,・：cos晨;=：e停，亨］,・：/=6cos0加=/,sin6=6sin0cos仇

=

^tan0=6s］蜉s?=6cos2。,正四棱锥的底面积S底x2mx2m=2m?.

COS0

故该正四棱锥的体积K=|5底力三乂2加2%=144$11129cos%.

令X=cos2。.SCOS0^

・：sin29cos4夕=(1-cos20-cos4<9=(1-x)-x2^金.

令歹=(1-%)幺=-%312

4'3.

增;

3

32

y=-x+x单调递减.于是当X=|时J取最大值，且Vmax=-(|)+

2_4

I一27

当x=｝时y=-G)3+G)2=W，

当话时产囹+倒喘

故当％三时J取最小值高

因而「的最大值Fmax=144><^=

%的最小值/in=144x二=

644

64'

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.CD解析设AB=ED=2FB=2a,因为EDJL平面ABCD,FB〃ED,

则匕=|切除8=/2碍&)2=7,

妁=沔3以痂三吟(202=|/,连接BD交ZC于点连接EMFM,易得BD工AC.

又E£)_L平面/8CD,/Cu平面ABCD,

则EDLAC.

又EDCBD=D£D,BDu平面BDEF,^/C_L平面BDEF,

又BM=DM=^BD=V2a,HF作FGLDE于G,易得四边形BDGF为矩形，则

FG=BD=2y/2a,EG=a,

则EM=J(2a)2+(V2tz)2=46a,FM^Ja2+(V2a)2=Wa,EF=Ja2+(2V2a)2=3a,

E1^+FM2=EF2,

则EMLFM^^EFM^M-FM^Y^AC=2y/2a,

则匕=唳-跖祯+匕-既〃=，。34石尸肠=2〃3,贝1」2匕=3%,匕=3匕,匕=片+%,故A,B错误;C,D正

确.故选CD.

10.AD解析如图，设圆锥底面半径为rm,将圆锥侧面展开得到扇形4S4,在A/fC

中,45=6m,5C=2m4^=2713m,

36+4-521

贝I]cosZA'SC=-

2x6x22

所以N/SC=等所以2兀/=*x6=4兀/=2,所以圆锥的侧面积为7ix2x6=12兀(n?),故A正确.

在△4SB中,COSNZS3=S.2+SM/B2=lsinZASB==竺&易知过点5的平面截此圆

2SA'SB9\1819

锥所得截面面积最大为Ms片26®sin//S8=96x6x竿=8VI(m2),故B错误.

设圆锥SO的外接球的半径为Rm,则尺2=(50-&2+广又SO^SA2_r2=V36^4=4V2>

以尺2=(4鱼赋产+4,解得及=乎，所以圆锥SO的外接球的表面积为4近;年那),故C错

42

误.

设圆锥5。的内切球的半径为/111,则一"=；,解得/=四,设棱长为百m的正四面体的

4V2-t3

外接球的半径为nm,将该正四面体放在棱长为日m的正方体中,可知该正四面体的外

接球也是该正方体的外接球，易知。三37倒=雷，因为"7,所以棱长为遮m的

正四面体在圆锥S。内可以任意转动，故D正确.故选AD

11.ABD解析对于A选项,正方体内切球直径为1m.因为1>0.99,故A正确；

对于B选项，如图(1),正方体内部最大的正四面体棱长为34=鱼，鱼>1.4,故B正确；

图(2)

对于C选项，如图(2),因为圆柱的底面直径为0.01m(可忽略不计)，故可将高为1.8m的圆

柱看作长为1.8m的线段，而正方体的体对角线/G长为bm,且8<1.8,故C错误；

对于D选项，如图(3)①，因为圆柱体的高为0.01m(可忽略不计)，可以将该圆柱体看作直

径为1.2m的圆.设£,£G,H,/J为各棱的中点，六边形斯为正六边形，如图⑶②淇

棱长为日m,其内切圆直径的长等于的长,尸=30°，所以

FH他FG=WGH*M因为亨>1.2,故D正确.故选ABD.

图⑶①

G

图⑶②

三、填空题:本题共3小题,每小题5分洪15分.

12.73-V2解析rBD=BF+7E+^D,.".\BD\2=\BF\2+\FE\2+\ED\2+2BF-7E+2FE-

ED+2BF-ED.

由题意可知|而|=|而|=|而|=1，而•而=0,而•丽=0,前•前=lxlxcos135°=-y,

.,.而\=d3-a放B,D两点间的距离是

13］解析如图,建立空间直角坐标系，则N(2,4,0),DI(0,0,4),设M(4,0,a)(0〈aW4),

所以而=(-2,4,0,取=(2,4,-4).

设平面AMV的法向量为n=(x,y,z),

Jn-MW=0,即(-2x+4y-az=0,

ln-O=0,Hl2%+4y-4z=0,

解得

令z=8,则x=8-2%y=a+4,所以n=(8-2a,a+4,8)为平面DMW的一个法向量.

易知m=(0,0,l)为平面48CD的一个法向量.

设平面Di&W与平面ABCD的夹角为"贝I)cos0=粤=8=

阳网(8-2a)，(a+4)2+64

/2=，当。=”时,cos0取最大值，则9取最小值，所以A\M=4-^--

V5a2-24a+1445555

14.871解析如图，由余弦定理，得。£=，4。2+4E2.24D4ECOS600=V3,

2204£2+02=402,℃2+2=°2,

CE=y/BE+BC-2BEBCcos(<180-60°)二夕,所以。。£石即

AEIDE,DCIDE.

4

分别取CE,AiC的中点厂,此连接则F为RtADEC的外心，因为AOEC的面积为定值,

所以当平面平面DEC时，点4到平面DEC的距离最大，此时三棱锥4-DEC的

体积最大，又所以小£，平面DEC.由F&［分别为C&4C的中点，得尸加〃4旦

所以9,平面DEC,易知M是三棱锥4-OEC的外接球的球心.因为

4c2=4E2+CE2=I+7=8,所以所求外接球的表面积5=4兀(")=8兀

四'解答题:本题共5小题，共77分解答应写出文字说明'证明过程或演算

步骤.

15.(1)证明因为四边形48co是正方形，

所以BC//AD.

又40u平面EID,3c0平面PAD,

所以8C〃平面PAD.

同理£8〃平面PAD.

又所以平面E3C〃平面PAD.

又CEu平面EBC,所以CE〃平面PAD.

(2)解以/为原点40484尸所在直线分别为x轴、了轴、z轴，建立空间直角坐标系如

图所示.

所以而=(3,0,-3),而=(3,3,-3),建=(0,3,-2).

设平面PCE的法向量为m=(x,y,z),

.(m'PC=3%+3y-3z=0,

则n《一

{mPE=3y-2z=0,

解得f-孑；

令z=3,则x=lj=2,所以m=(l,2,3)为平面PCE的一个法向量.

设直线尸。与平面尸C£所成的角为6,

贝！］sin0=\cos<PD:—=—,

1J1\PD\\m\3V2XV/147'

所以直线尸。与平面尸CE所成角的正弦值为日.

16.(1)证明因为尸。，底面ABCD^AMu平面ABCD,

所以尸0_L4W.

又PB±AM,PBHPD=P,

所以平面PBD.

又4Wu平面PAM,

所以平面PAM±平面PBD.

(2)解由(1)可知/"X平面PAD,

所以

所以ADABSAABM.

设BM=x.^\4D=2x,由器=黑即彳=；，得2%2=1,解得x=^,

xiJD±.乙XN

所以AD=<2.

因为产。，底面/3CD,所以四棱锥尸-4SCD的体积为91*71乂1=冬

17.解(1)如图，连接3。,在平面ABC上作l±BD,

因为4BC-48cl为直三棱柱，所以ABi，平面ABC.

因为/u平面48C,所以BB山.

因为ILBB心BD,BBCBD=B,BBi,BDu平面所以/_L平面BBXD.

因为SDu平面AB1。,所以ILBxD.

(2)因为N45G=；,所以两两互相垂直，以囱为坐标原点，分别以

B/i,51cl,315所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则

2?(0,0,1)^4(2,0,1),£(1,0,0),Ci(0,1,0),

则瓦?=(2,0,0),瓦?=(1,0,1),南=(/,1,0).

设平面AC\E的一个法向量为m=(x,j,z),

所以『・咬%+z=。，取X=1,则

(m'EC1=-x+y=0,

设点B到平面ACXE的距离为d,则1=寄=等,

因此点8到平面/GE的距离为竽.

18.解⑴当。为圆弧8C的中点，即NGW=g时,8CLPD

证明如下：：力为圆弧BC的中点,

.：NC4O=NA4。',即AD为NCAB的平分线.

"."AC=AB,.".AD为等腰三角形CAB的高线，即AD±BC.

："PALAB,PA±AC^BDAC=A^B^Cc^ABDC,

.：口1.平面ABDC,.'.PAYBC.

「B4n/D=4.：8C_L平面PAD,

.'.BCYPD.

⑵由⑴得R为四棱锥P-ABDC的高，

:£4=4,.：当底面积SW10Moe取最大值时,四棱锥P-4BDC体积最大.

设NC/O=a,则ZSJr>=y-ct,aG(O,y),

S四边形力即。=8404£>+54刈。=3*2*2*51116X+-X2X2Xsin^-a^=2^sina+

sinW-a)]=2V^sin(a+£).

：«e(0,y),«+=Gg,^),

•:当w时,sin(a+J=l,S四边形4BDC取最大值2封

.:当四棱锥P-ABDC体积最大时,NCAD=NBAD=]

过点/在平面/ADC内作直线交圆弧8C于点E,

由题知3H尸两两垂直，