2025高考数学考点剖析：计数原理与概率统计【含答案】

2025高考数学考点剖析精创专题卷九-计数原理与概率统计

一、选择题

1.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名

组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）

2.将甲、乙等5名同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就

读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有（）

A.120种B.150种C.180种D.240种

3.在上x的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中好的系数

4.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A=｛两次的点数均为奇数｝,3=｛两次的点数之

和为8｝,则尸（川A）=（）

122

A.—B.-C.—D.一

12933

5.已知服从正态分布N（〃,cr2）的随机变量在区间〃+cr],（〃一2cr,〃+2cr]

和（〃-3cr,〃+3cr]内取值的概率分别为68.26%,95.44%和99.74%.若某校高二年级

1000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N（90,15?）,则此次考试成绩在区间

（105,120]内的学生大约有（）

A.477人B.136人C.341人D.131人

6.某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试

销，得到如下数据：

单价X

99.29.49.69.810

（元）

销量"

1009493908578

（件）

预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从这种线性相关关系，且该产品的成本是5

元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为（）

参考公式：对于一组数据（九（x2,y2）,•••,（光“,为），其回归直线y=+a的

'/一时

斜率和截距的最小二乘估计分别为g=号---------，a^y-bx.参考数据:

%2-nx—2

EZ=1

66

E^=5116,/=o.7.

i=\z=l

A.9.4元B.9.5元C.9.6元D.9.7元

7.某高中为了积极响应国家“阳光体育运动”的号召，调查该校3000名学生每周平均

体育运动时长的情况，从高一、高二、高三三个年级学生中按照4:3:3的比例进行分层

随机抽样,收集了300名学生每周平均体育运动时长（单位:小时）的数据，整理后得到如

图所示的频率分布直方图.下列说法不正确的是（）

A频率

组距

0.150

0.125

0.100

0.075

0.025

O

运动时长（小时）

A.估计该校学生每周平均体育运动时长为5.8小时

B.估计该校高一年级学生每周平均体育运动时长不足4小时的人数为300

C.估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的百分比为10%

D.估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的人数为600

8.甲、乙、丙三人参加“社会主义核心价值观”演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获

一等奖的概率分别为上，--且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少

234

有两人获得一等奖的概率为（）

7JI17

A.14B.—C.—D.—

242424

二、多项选择题

9.我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推动复工复产,下面是某地连续11天

的复工、复产指数折线图.

.%

%

%

%

%

%

%

%

根据该折线图，（）

A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加

B.在这11天期间，复产指数的增量大于复工指数的增量

C.第3天至第11天，复工指数和复产指数都超过80%

D.第9天至第11天，复产指数的增量大于复工指数的增量

/jY

10.已知x-----7=（”eN*）的展开式中共有7项，则该二项展开式中（）

、2ylx）

A所有项的二项式系数和为64B.所有项的系数和为1

C.二项式系数最大的项为第4项D,有理项共有4项

11.红、黄、蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色,已知同

一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色，等量的红色加蓝色调配出紫

色，等量的黄色加蓝色调配出绿色,现有红、黄、蓝颜料各2瓶，甲同学从6瓶中任取

2瓶颜料，乙同学再从余下的4瓶中任取2瓶颜料，两人分别进行等量调配，力表示事

件''甲同学调配出红色”，6表示事件“甲同学调配出绿色”，。表示事件“乙同学调配

出紫色”，则下列说法正确的是()

A.P(A)=B.P(C|A)=|

4__

C.P(BC)=—D.事件6与事件。相互独立

45

三、填空题

12.一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当有两个数

字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等)字a,仇ce{l,2,3,4},且

a,b,c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是.

13.已知随机变量X有三个不同的取值，分别是0,1,X,其中xe(O,l),又

P(X=O)=-,P(X=1)=~,则随机变量X方差的最小值为________.

44

14.将8张连号的门票分给5个家庭，甲家庭需要3张连号的门票，乙家庭需要2张

连号的门票，剩余的3张门票随机分给其余的3个家庭，并且甲、乙两个家庭不能连

排在一起(甲、乙两个家庭内部成员的顺序不予考虑)，则这8张门票不同的分配方法

有种.

四、解答题

15.为了解学生的周末学习时间(单位：小时)，高一年级某班班主任对本班40名学

生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图.

根据直方图所提供的信息:

⑴用分层抽样的方法在［20,25）和［25,30］中共抽取6人成立学习小组,再从该小组派3

人接受检测，求检测的3人来自同一区间的概率;

⑵估计这40名同学周末学习时间的25%分位数•

16.2020年，是人类首次成功从北坡登顶珠峰60周年，也是中国首次精确测定并公

布珠峰高程的45周年.华为帮助中国移动开通珠峰峰顶5G,有助于测量信号的实时开

通，为珠峰高程测量提供通信保障，也验证了超高海拔地区5G信号覆盖的可能性，在

持续高风速下5G信号的稳定性，在条件恶劣地区通过简易设备传输视频信号的可能

性.正如任总在一次采访中所说：“华为公司价值体系的理想是为人类服务有人曾

问，在珠峰开通5G的意义在哪里？“我认为它是科学技术的一次珠峰登顶，告诉全世

界，华为5G、中国5G的底气来自哪里.现在，5G的到来给人们的生活带来更加颠覆

性的变革，某k公司基于领先技术的支持，5G经济收入在短期内逐月攀升，该IT公

司在1月份至6月份的5G经济收入y（单位：百万元）关于月份x的数据如下表所

示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.

收入y/百万元

为5G经济收入y关

于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的结果及表中的数据，求出，关于x的回归方程，并预测该公司7月

份的5G经济收入.（结果保留小数点后两位）

（3）从前6个月的收入中抽取2个，记收入超过20百万元的个数为X,求X的分布

列和数学期望.参考数据：

之6(%-无A66

£(%一元)(%一历^(x,.-%)(«,.-E2.66

XyuDe"?C

z-1i=l21

3.5021.152.8517.70125.356.734.5714.30

其中，设M=lny,uj(Z=1,2,3,4,5,6).

参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（%,匕）（2=1,2,3,,n），其回归直线

v=px+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为2=i=l

♦(阳-元)

Z=1

a=v-jBx

17.卫生纸主要供人们生活日常卫生之用，是人民群众生活中不可缺少的纸种之一.某

品牌卫生纸生产厂家为保证产品的质量，现从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机

抽取500件进行品质鉴定，并将统计结果整理如下：

合格品优等品

甲生产线250250

乙生产线300200

（1）判断能否有99.9%的把握认为产品的品质与生产线有关；

（2）用频率近似为概率，从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取2件进行详细

检测，记抽取的产品中优等品的件数为X,求随机变量X的分布列与数学期望.

附：K2=-_〃叫*__其中ua+Hc+d

[a+b)[c+d)[a+c)[b+d)

0.100.050.0250.0100.001

k。2.7069.8415.0246.63510,828

18.毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范

城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛,为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况,

采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在75〜145分之

间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示.

（1）求频率分布直方图中。的值;

（2）由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩X近似服从正态分布

N（〃Q2）,其中〃为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表

）,。=13.现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成

绩超过135.2分的人数为匕求随机变量7的期望.（结果精确到0.01）；

（3）全市组织各校知识竞赛成绩优秀的同学参加总决赛，总决赛采用闯关的形

式进行，共有20个关卡，每个关卡的难度由计算机根据选手上一关卡的完成情

况进行自动调整，第二关开始，若前一关未通过，则其通过本关的概率为工；若

2

前一关通过，则本关通过的概率为工，已知甲同学第一关通过的概率为工，记甲

33

同学通过第〃关的概率为《，请写出£的表达式，并求出匕的最大值.

附：若随机变量X服从正态分布N(〃,cr2),则P(〃一cr<XW〃+cr)k0.6827,

P[jU-2a<X<//+2cr)«0.9545,P(〃-3cr<X<//+3cr)«0.9973.

19.篮球运动是在1891年由美国马萨诸塞州斯普林尔德市基督教青年会训练学校体育

教师詹姆士・奈史密斯博士，借鉴其他球类运动项目设计发明的.起初，他将两只桃篮钉

在健身房内看台的栏杆上，桃篮上沿离地面约3.05米，用足球作为比赛工具，任何一

方在获球后，利用传递、运拍，将球向篮内投掷，投球入篮得一分，按得分多少决定

比赛胜负.在1891年的12月21日，举行了首次世界篮球比赛，后来篮球界就将此日

定为国际篮球日.甲、乙两人进行投篮，比赛规则是：甲、乙每人投3球，进球多的一

方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球

的概率分别是L和"，且每人、每次进球与否都互不影响.

2

(1)若p=求在进行一轮比赛后甲比乙多投进2球的概率；

3

(2)若且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少

2—3

要超甲2个球，求：

①设事件C表示乙每轮比赛至少要超甲2个球，求P(C)；(结果用含。的式子表示)

②从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛?

参考答案与详细解析

一、选择题

1.答案：D

解析：依题意，用A，4表示高一的2名学生，耳，当表示高二的2名学生，则从

4名学生中随机选2名学生的选法有（4,4），（4，4），（4,4）,（4，4），

（4,4）,（4心），共6种，其中2名学生来自不同年级的选法有（本4），

49

（《耳），（A,男），（4，后），共4种，所以所求概率尸,故选D.

63

2.答案：B

解析：根据题意，分2步进行分析:

①先将甲、乙等5名同学分成3组:

dC2c2

若分成1,2,2的3组，则有=15（种）方法;

A；

de4C3

若分成1,1,3的3组，则有上止白=10（种）方法,

8

故将5人分成3组，每组至少有1人，有15+10=25（种）分组方法.

②将分好的3组对应三所大学，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有

25A；=150（种）.

3.答案：C

解析：依题意知第五项的二项式系数最大，所以一共是9项，所以〃=8,二项式展开

项的通项公式为4+1=q]—x丐，令4+1=6,得厂=4,所

以/的系数为cj-=?.故选C.

4.答案：B

解析：易知P(MA)=赵也，其中表示“两次的点数均为奇数，且两次的点数之

,(A)

和为8”，共有两种情况，即(3,5),(5,3),故“(43)=2.而〃(人)=€：；・(4=9,所以

「出用=*/故选B

5.答案：B

解析：根据题意,

尸(60<X<120)—尸(75<X<105)_0.9544-0.6826

P(105<X<120)=————U.13DV

则1000x0.1359=135.9«136,

故此次考试成绩在区间(105,120]内的学生大约有136人.

故选：B.

6.答案：B

解析：由题意，得元=,义(9+9.2+9.4+9.6+9.8+10)=9.5,

y=-x(100+94+93+90+85+78)=90,

6

孙5116—6x9.5x90_

U-7———20,

24一20.7

〉3-6x

；=i

a=90+9.5x20=280,贝U，=-20x+280.

设工厂获得利润/元，则L=(x—5)(—20x+280)=—20(x—9.5y+405,

当x=9.5时，/取得最大值.

所以当单价定为9.5元时，工厂获得最大利润，故选B.

7.答案：C

解析：对于A估计该校学生每周平均体育运动时长为

1x0.05+3x0.2+5x0.3+7x0.25+9x0.15+11x0.05=5.8(小时)，故选项A正确；

对于B,该校高一年级的总人数为3000x—--=1200,由题中频率分布直方图可知，

4+3+3

该校学生每周平均体育运动时长不足4小时的频率为(0.025+0.1)x2=0.25，

所以估计该校高一年级学生每周平均体育运动时长不足4小时的人数为

1200x0.25=300，

故选项B正确；

对于C,估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的百分比为

(0.075+0.025)义2*100%=20%,故选项C错误；

对于D,估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的人数为3000x20%=600,

故选项D正确.

故选：C.

8.答案：D

173

解析：设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是P网=3，P（B）=j,P（C）=j,

则不获一等奖的概率分别是P（A）=1-1=1,P（B）=l-|=j,

1）44

则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为：

P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）=P（A）P（JB）P（C）+P（A）P（B）P（C）+P（A）P（JB）P（C）

12311312111

二——X—X——I——X—X——I——X—x——二——,

23423423424

173

这三人都获得一等奖的概率为P（ABC）=P（A）P（3）尸（乃二万乂丁,二

4

所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率「=口+’=?.

24424

故选：D.

二、多项选择题

9.答案：CD

解析：由题图可知第8,9天复工指数和复产指数均减小，故A错误；第1天时复工指

数小于复产指数，第11天时两指数相等，故复产指数的增量小于复工指数的增量，故

B错误；由题图可知第3天至第11天，复工复产指数都超过80%,故C正确；第9

天至第11天，复产指数的增量大于复工指数的增量，故D正确.

10.答案:ACD

解析：由题意知〃=6,则X+的展开式的通项为

6

3c产=G产--2（r=0,l,2,-,6）.

对于A,所有项的二项式系数和为2$=64,故A正确;

对于B,令x=l,得+，因此所有项的系数和为［g］，不为1，故B错

误；

(1y

对于C,由二项式系数的性质，可知％+—厂的展开式中第4项的二项式系数最

大，为C：=20,故C正确；

对于D,当6-即/'=0,2,4,6时，对应的项为有理项，共有4项，故D正确.

2

故选ACD.

11.答案：AC

解析：从6瓶中任取2瓶颜料的方法数为或.

对于A,4表示事件“甲同学调配出红色”，若调出红色，需要2瓶颜料均为红色，有

C；种方法，贝UP(A)=C1=L,故A正确；

C：15

对于B,事件/发生需要2瓶颜料均为红色，事件。发生需要1瓶红色颜料和1瓶蓝

色颜料，

在事件/发生的条件下，事件。不可能发生，所以P(C|A)=0,故B错误；

对于C,若事件6发生，则甲同学取出1瓶黄色颜料和1瓶蓝色颜料，则

1

玫8)=上c'c牛=上4，此时还剩1瓶黄色颜料和1瓶蓝色颜料，2瓶红色颜料，则

或15

C11414

P(CB)=W=L^P(BC)=P(B)XP(C|B)=—x-=—,故c正确；

C^4315345

对于D,若事件C发生，则乙取了1瓶红色颜料和1瓶蓝色颜料，甲同学取了至少1

瓶黄色颜料或甲同学取了一瓶红色颜料和一瓶蓝色颜料，则

P(C)=BGc；+c；c；c；+c；c；=百=Ax±P(jBC)=±事件

CG15151545

6与事件。不相互独立，故D错误.故选AC.

三、填空题

12.答案：-

2

解析：由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321,共6个；

同理，由1,2,4组成的三位自然数有6个，由1,3,4组成的三位自然数有6个，

由2,3,4组成的三位自然数有6个，共有24个三位自然数.由1,2,3或1,3,4

组成的三位自然数为“有缘数”，共12个,所以这个三位数为“有缘数”的概率

242

13.答案：工

8

解析：由P(X=O)j…得P(X=x)j所以随机变量X的数学期

2x+1

望石(X)=V-,则方差

1(2%-3?1(2x-l?11

D(X)=X—+-----------X—+----------X—=——X.当x=

4(4j4(4j2162

时，D(X)取到最小值：，故答案为:

OO

14.答案：72

解析：设8张门票的编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8.

若甲选123,则乙可以是56,67,78共3种，此时共有3A：=18种;

若甲选234,则乙可以是67,78共2种，此时共有2A；=12种；

若甲选345,则乙可以是78共1种，此时共有A；=6种；

若甲选456,则乙可以是12共1种，此时共有A；=6种;

若甲选567,则乙可以是12,23共2种，此时共有2A；=12种；

若甲选678,则乙可以是12,23,34共3种，此时共有3A；=18种.

综上所述，不同的分配方法有18+12+6+6+12+18=72种.

四、解答题

15.答案：（1）1;

5

（2）8.75小时.

解析：⑴由图可知,40名学生中周末的学习时间在［20,25）的人数为003x5x40=6人

周末的学习时间在［25,30］的人数为0.015x5x40=3人，

从中用分层抽样抽取6人则周末的学习时间在［20,25）的有4人，记为ABCR

周末的学习时间在［25,30］的有2人记为ah

则再从中选派3人接受检测的基本事件有ABC,ABDABa，ABb<AC。，ACa，ACb，

ADa•ADb.Aab，BCD,BCa，BCb，BDa，BDb，BabCDa，CDbCab-Dab共有2°

个，

其中检测的3人来自同一区间的基本事件有ABC，ABD，AC。，BCD共有4个，

所以检测的3人来自同一区间的概率尸=&=」；

205

（2）学习时间在5小时以下的频率为0.02x5=0.1<0.25，

学习时间在10小时以下的频率为Q1+0.04X5=0.3>0.25，

所以25%分位数在区间［5,10）内,

则5+5、篙小75,

所以这40名同学周末学习时间的25%分位数为8.75小时.

16.答案：（1）丁二八/工更适宜

（2）夕=产2+。38，，65.35百万元

（3）分布列见解析，1

解析：（1）根据散点图判断，y=ce也更适宜作为5G经济收入"关于月份x的回归方

程类型；

（2）因为>=ce&，所以两边同时取常用对数，得lny=lnc+dx，设M=lny,所以

6

三）（4一口

u=\nc+dx>因为元=3.50，w=2.85-所以d=-----------------=7v^“0.380,

Z（x,.-x）217.70

Z=1

所以Inc=万一右"2.85—0.380x3.50=L52-

所以6=1.52+0.38*即Ing=1.52+0.38龙，所以$=

令X=7，得9=/52+°38、7=eL52xeZ66土4.57x14.30a65.35,

故预测该公司7月份的5G经济收入大约为65.35百万元.

（3）前6个月的收入中，收入超过20百万元的有3个，所以X的取值为0,1,2,

C21CD3C21

P(X=°)=e=5,依X=D=-^=丁P(X=2)=#=5,

~6^6

所以X的分布列为:

X012

17.答案：（1）没有;

Q

（2）分布列见解析，-

5

解析：（1）补充列联表如下:

合格品优等品总计

甲生产

250250500

线

乙生产

300200500

线

总计5504501000

根据列联表中的数据，经计算得到

犬2_1000x(250x200-250x300)2

»10.101<10.828

'—550x450x500x500

所以没有99.9%的把握认为产品的品质与生产线有关.

（2）由题意，甲生产线生产的产品中抽取优等品的频率为变

5002

乙生产线生产的产品中抽取优等品的频率为迎=2,

5005

所以估计从甲、乙生产线生产的产品中各随机抽取优等品的概率分别为工，工

25

由题意随机变量X的所有可能取值是0,1,2,3,4,

233

P(X=1)=C；x—x—=一

5510

32

p(X=2)=xC；X—x—+

现1评上55SHIM

P（X=3）心电令二

P（X=4）=[jx（|[=:，

故X的分布列为:

X01234

9337j_1

p

Too10Too525

—+lx—+2x—+3x-+4x—=-

'7100101003255

18.答案：(1)0.012；

(2)0.23；

=+

（3）pnf,A的最大值为：・

解析：（1）由频率分布直方图，得10义（0.005+。+0.019+0.03+0.02+。+0.002）=1,