2025高考数学专项复习讲义：圆中的切线方程、切点弦方程及圆系方程（高阶拓展、竞赛适用）（学生版+解析）

第03讲圆中的切线方程、切点弦方程及圆系方程

（高阶拓展、竞赛适用）

（6类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

切线长

2024年新II卷,第10题,6分圆中切线问题根据抛物线方程求焦点或准线

直线与抛物线交点相关问题

给值求值型问题

2023年新I卷，第6题,5分圆中切线问题

余弦定理解三角形

2022年新I卷，第14题,5分圆的公切线方程判断圆与圆的位置关系

2021年新I卷，第11题,5分切线长直线与圆的位置关系求距离的最值

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等，分值为5-6分

【备考策略】1.熟练掌握圆中切线问题的快速求解

2.熟练掌握圆系方程的快速求解

【命题预测】本节内容是新高考卷的拓展内容，需要大家掌握二级结论来快速解题，需强化练习

知识讲解

一、圆中切线问题

1.已知圆方程为：12+y2+6+或+/=0（2）2+石2—4尸＞0）,

若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是：

xox+yoy+D^^+E^^+F=O-,

2.已知圆方程为:/+/=72,

若已知切点P(毛,%)在圆上，则该圆过P点的切线方程为x()x+%〉=r2;

3.已知圆方程为圆：(x—af+(y—6)2=/.

⑴过圆上的由灯加点的切线方程为h一可原一①+也一为⑶一与二尸

⑵过圆外一点(九o，M)作圆的两条切线，则切点弦方程为(不―G(x—。)+(为一切⑶―1=尸

4.过圆外一点？(％,%)引圆(标准方程，一般方程)的切线长度

d=J片+必+。/+@o+F(一般方程)=J(x0-4+(%-一/(标准方程)

二、常见的圆系方程

1、同心圆圆系

(1)以(〃])为圆心的同心圆圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=2(2>0)；

⑵与圆元之+,2+Dx+Ey+尸=0同心圆的圆系方程为:犬N+,2+Dx+Ey+2=0；

2、过线圆交点的圆系

过直线Ax+为+C=0与圆/+y2+瓜+4+尸=。交点的圆系方程为：

尤2+》2+Dx+Ey+F+2(Ax+By+C)=0(2GR)；

3、过两圆交点的圆系

222

过两圆G:J+y+£)]%+£],+K=0,C2:x+y+D2X-\-E2y+F2=0

父点的圆系方程为f+,2+D、x+4y+片+4(%?+y2_|_D?X++F2)—0o(AW—1,此圆系不含

C*2:%?+y2+D?x+E2y+F2—0)

⑴特别地，当2=-1时,上述方程为一次方程，两圆相交时，表示公共弦方程;两圆相切时，表示公切线方程.

⑵为了避免利用上述圆系方程时讨论圆过。2,可等价转化为过圆C1和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:

f+J_1_D]X+£]y+片+X[(D]_I)?)%+(用一石2)y+(E_F?)]=0

考点一、过圆上一点的切线问题

典例引典

I_________________

1.(23-24高二上•四川成都,阶段练习)过点P(3,4)作圆(::f+/=25的切线/,求切线/的方程

2.(23-24高三下•福建,开学考试)过点尸。,0)的直线/与圆C:(尤-3y+(y+l)2=5相切，则直线/的方程为

A.y=x-lB.y=2x-2C.y=3-3xD.y=l-x

1.（22-23高二上•上海浦东新•期中）已知圆f+尸=8,则过点”（2,-2）的圆的切线方程为.

2.（11-12高二上•浙江杭州•期中）圆d+y2—4冗=0在点尸［百）处的切线方程为（）

A.x+y/3y-2=0B.x+yfiy-4=0

C.x—+4=0D.x—y/3y+2=0

考点二、过圆外一点的切线问题

典例引领

1.（23-24高三上•陕西西安,阶段练习）过点尸（3,-1）且与圆C：Y+y2-2x-6y+6=0相切的直线方程为一

2.（22-23高三上•湖南长沙,阶段练习）过点（3,1）作圆（x-iy+（y-2）2=4的切线，则切线方程为（）

A.3x—4y—5=0B.3x+4y—13=0

C.3x+4y-13=0或x=3D.3%一4y-5=0或1=3

3.（2023•全国•模拟预测）已知圆C:/+y2-2尤一2y+l=0,过点尸（3,2）作圆C的两条切线，切点分别为A,

B,则—ACB的正切值为（）

1.（24-25高三上•山东潍坊・开学考试）已知圆C:/+y2-2x=0,则过点尸（3,0）的圆C的切线方程是（）

A.y=±g（x-3）B.y=±2（x-3）

C.y=±^^（尤—3）D.y=+A/3（x—3）

2.（22-23高二上•湖南岳阳•期中）经过P（2,3）向圆/+「=4作切线，切线方程为（）

A.5尤—12y+26=0

B.13x-12y+10=0

C.5%-12丁+26=。或1=2

D.13x-12y+10=0或％=2

3.（2024高三・全国•专题练习）设过点尸（0,-君）与圆C:/+y2-4x_l=0相切的两条直线的夹角为a,则

cosa=

1

C.D.

99

考点三、切点弦方程

典例引领

1.（2024高三・全国•专题练习）已知圆C:（x-l）2+（y-2）2=9外一点P（T2）,过点P作圆C的两条切线,

切点分别为A和则直线A3的方程为.

2.（2024•浙江•模拟预测）过点Af（CM）作圆。|：（x-2）,+（y-2）2=1的两条切线，切点分别为A,B,则原点

。到直线的距离为（）

A.75B.72C.73D.20

1.（2023•全国•模拟预测）已知圆C：（x+l『+（y+2）2=2,点A（l,0）,若直线4/4V分别切圆C于M,N两

点，则直线的方程为（）

A.x+y-4=0B.x+y+2=0C.x-y-4=0D.x-y+2=0

2.（2024高三・全国•专题练习）已知圆。:％2+,2一2X一4丁_4=0外一点尸（-4,-1）,过点P作圆C的两条切

线，切点分别为A和则直线A5的方程为.

考点四、切线长

典例引领

1.（2024•四川攀枝花•三模）由直线上的一点P向圆（x-4『+y2=4引切线，切点为。，则|尸。的最小

值为（）

A.y/2B.2C.屈D.20

2.（2024•全国•模拟预测）已知尸为直线/：%-y+l=0上一点，过点尸作圆C:（x-l）2+y2=l的一条切线，

切点为4贝U|PA|的最小值为（）

A.1B.&C.V3D.2

1.（24-25高三上•陕西•开学考试）由直线＞=x+l上的一点向圆f+V-6x+8=0引切线，则切线段的最小

值为（）

A.3B.2A/2C.77D.m

2.（24-25高三上•湖南衡阳•阶段练习）已知圆C:（x-l『+y2=l,过直线3x+4y-13=0上的动点尸作圆C

的一条切线，切点为4则1PAi的最小值为（）

A.2B.4C.6D.3

考点五、圆中的公切线问题（含根轴）

典例引领

1.（23-24IWJ二下,山东,开学考试）圆G：/++8x—2y+9=0和圆G：/+V+6x—4y+11=0的公切线方

程是（）

A.y=-x+\B.>=一％+1或y=x+5

C.y=-x+5D.丁=%+1或y=2x+5

2.（23-24高二下•江苏盐城•阶段练习）（多选）已知直线/与圆G：（x-2y+（y-3）2=8和圆C2：

（尤+2y+（y+iy=8者B相切，则直线/的方程可能为（）

A.x+y-l=0B.x-y+5=0C.%一丁一3=0D.x-y-7=0

1.（2024・河北张家口•三模）圆G:（%-1）2+y2=1与圆C?:（x-5）2+（y-3）2=36的公切线的方程为.

2.（23-24高三下•江苏镇江•开学考试）与圆f+V=1和圆（x-A/2）2+（yy=9都相切的直线方程是

考点六、圆系方程

典例引领

1.（2024高三•全国・专题练习）已知圆系方程（尤-“if+（y-2根）2=5（meR,根为参数），这些圆的公切

线方程为.

12

2.（24-25高二上•全国,课后作业）若圆A:x+y+Dxx+6>+4=。与圆_8:尤2+了2+D2x+E2y+F2=0相交，

我们把经过圆A和圆B交点的圆称为圆A、圆2的圆系方程，其方程可设为

22

x+y~+Dyx+Ety+Fx+A^x+y^+D2x+E2y+=0（^2.—1）.根据以上信息，解决如下问题：已知圆

G：/+/+2x-3=0与C?:炉+>2_dx-5=0交于M,N两点，贝I］以政V为直径的圆的一般方程为.

1.（2023高三•全国•专题练习）（多选）已知圆O:Y+y2=4和圆M：x2+y2-4x+2y+4=0相交于A,B两

点，下列说法正确的是（）

A.所有过点AB的圆系的方程可以记为（炉+丫2-4）+力（/+丫2-4%+2,+4）=（）（其中&R,2^-1）

B.直线AB的方程为>=2x+4

C.线段A3的长为迷

5

D.两圆有两条公切线尸-2与4%+3y-10=。

1%.好题冲关.

一、单选题

1.（23-24高二上,江苏连云港,期中）圆/+/一4工=0在点尸（1,一6）处的切线方程为（）

A.x+\/3y+2=0B.x+yfiy-4=0

C.X-A/3^+4=0D.x-y/3y+2=0

2.（2023高三・全国•专题练习）过点P（-2,-3）向圆％2+y2—8x—4y+ll=0引两条切线，切点是4、勾，则

直线的方程为（）

A.6%+5y+25=0B.6x+5y—25=0

C.12x+10y+25=0D.12x+10y—25=0

二、填空题

3.（23-24高三上•浙江•阶段练习）过圆V+y2=i上点尸［一号，呼］的切线方程为.

4.（2023•天津武清•模拟预测）已知点41,0）,8（2,0）,经过点2作圆。-货+（y-2『=5的切线与V轴交于

点尸，则|AP|=.

5.（23-24高三上•湖北•开学考试）已知过点尸（3,3）作圆。:/+丁=2的切线，则切线长为.

6.（23-24高三上•河北邢台・期末）已知圆O:V+y2=4,过作圆。的切线/,则直线/的倾斜角

为.

7.（2023•江西•二模）己知圆0|：/+/=1,圆2：（A2>+）?=4.请写出一条与两圆都相切的直线方

程：.

8.（2023・河南•模拟预测）写出与圆C：a+l）2+y2=l和圆。=i都相切的一条直线的方

程.

9.（22-23高二上•河北邢台•期末）已知圆E的方程为炉+/-4.%=。，则过点P（4,3）的圆E的切线方程

为.

三、解答题

10.（2024高三•全国•专题练习）平面上有两个圆，它们的方程分别是炉+/=16和?+y2-6x+8y+24=0,

求这两个圆的内公切线方程.

一、单选题

1.（23-24高三上•广西百色,阶段练习）圆M:（x-2）2+（y-l）2=l,圆N:（x+2『+（y+1『=1,则两圆的一

条公切线方程为（）

A.x+2y=0B.4%+3y=0

C.x-2y+-\[s-0D.x+2y-y/5=0

2.（23-24高二上•江西•阶段练习）过点4（4,0）作圆C：尤?+丁_以_分=0的切线乙与V轴交于点B,过点

。（0,-2）的直线与乙，X轴及y轴围成一个四边形，且该四边形的所有顶点都在圆G上，则点G到直线8G

的距离为（）

A,包2V13

513

「6岳-8A/10C8A/I（）-2713

C.——或」一D.——或二—

135513

3.（23-24高二上•广东•期末）在平面直角坐标系宜为中，已知圆C:（尤+iy+（y_2）2=2,若圆

。:（尤-a）2+（y-l）2=2上存在点尸，由点尸向圆C引一条切线，切点为且满足|PM|=应|P。|,则实

数。的取值范围为（）

A.[-V7-1,V7-1]B.M,2]C.[-3,3]D.[-2,4]

4.（23-24高三上•广东•阶段练习）已知圆M：x2+y2+4x-6y+12=0,尸为x轴上的动点，过点P作圆M

的切线切R4,PB,切点为A,B,则四边形P4WB面积的最小值为（）

A.2B.2&C.2D.40

5.（23-24高三上•浙江・开学考试）过圆O:一+丁=9上一点尸作圆M:1）?+（y-if=1的两条切线PA,PB,

切点、为A,B,当—AP3最大时，直线A3的斜率为（）

A.-72B.72C.-1D.1

二、多选题

6.（2023•全国•模拟预测）已知圆C：（x-2）2+y2=l,P是直线/：x+y=0上的一个动点，过点尸作圆C的

切线出,PB,切点分别是A,B,则下列说法中正确的是（）

A.圆C上恰有一个点到直线/的距离为：B.切线长B4的最小值为1

2

C.|川|的最小值为&D.直线A3恒过定点

7.（2023・广西,模拟预测）已知圆C：V+y2=2,点p为直线八尤一2y-4=0上一动点，点。在圆C上,

以下四个命题表述正确的是（）

A.直线/与圆C相离

B.圆C上有2个点到直线/的距离等于1

C.过点P向圆C引一条切线PA,其中A为切点，贝1]|/训的最小值为手

D.过点尸向圆C引两条切线上4、PB,A、8为切点,则直线A3经过点

三、填空题

8.（23-24高三上•湖南衡阳•阶段练习）写出与圆（x-l）2+（y-2）2=1和圆（x+以+（y+2）?=1都相切的一条

直线的方程.

9.（23-24高二上•河北石家庄•阶段练习）过点尸向圆G：x2+y2-2x-3y+3=0作切线，切点为A,过点P

向圆C2：/+y2+3x-2y+2=0作切线，切点为8,若|如月尸8|,则动点尸的轨迹方程为

10.（23-24高三上•重庆沙坪坝•阶段练习）已知圆C:（x-3y+（y-4）2=4,过直线/：4x+3y+l=0上一动点

P作圆C的两条切线，切点分别为A,B,则|胡+网的最小值为.

1.（2024•全国•高考真题）（多选）抛物线C：产=以的准线为/,P为C上的动点，过尸作。A:Y+（y-4）2=l

的一条切线，。为切点，过P作/的垂线，垂足为8,则（）

A./与。♦相切

B.当尸，A,8三点共线时，

C.当|尸2|=2时，PA±AB

D.满足1PAi斗尸8|的点尸有且仅有2个

2.（2023•全国•高考真题）过点（。,-2）与圆/+丁-以-1=0相切的两条直线的夹角为。，贝|sina=（）

A.1B.—C.巫D.叵

444

3.（2022•全国•高考真题）写出与圆炉+y2=i和（x-3y+（y-疗=16都相切的一条直线的方

程.

4.（2021・天津•高考真题）若斜率为石的直线与V轴交于点A,与圆炉+（〉-叶=1相切于点2,则

5.（2021・全国,高考真题）（多选）已知点P在圆（元-5）2+（y-5）2=16上，点A（4,0）、B（0,2）,则（）

A.点尸到直线A3的距离小于10

B.点P到直线的距离大于2

C.当NPBA最小时，|/狎=30

D.当乙PBA最大时，|P"=3应

6.（2020•全国•高考真题）已知回M：x2+y2-2x-2y-2=0,直线/：2x+y+2=0,尸为/上的动点，过点

尸作团M的切线PA尸8,切点为当0最小时，直线AB的方程为（）

A.2x-y-l=0B.2x+y-l=0C.2x—y+l=0D.

第03讲圆中的切线方程、切点弦方程及圆系方程

（高阶拓展、竞赛适用）

（6类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

切线长

2024年新II卷,第10题,6分圆中切线问题根据抛物线方程求焦点或准线

直线与抛物线交点相关问题

给值求值型问题

2023年新I卷，第6题,5分圆中切线问题

余弦定理解三角形

2022年新I卷，第14题,5分圆的公切线方程判断圆与圆的位置关系

2021年新I卷，第11题,5分切线长直线与圆的位置关系求距离的最值

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等，分值为5-6分

【备考策略】1.熟练掌握圆中切线问题的快速求解

2.熟练掌握圆系方程的快速求解

【命题预测】本节内容是新高考卷的拓展内容，需要大家掌握二级结论来快速解题，需强化练习

知识讲解

一、圆中切线问题

4.已知圆方程为：％2+y2+6+或+/=0（02+石2—4尸＞0）,

若已知切点%）在圆上，则切线只有一条，其方程是：

XX

xQx++D°^+E，。｝+F=0;

5.已知圆方程为:/+/=',

若已知切点P(尤0，%)在圆上，则该圆过p点的切线方程为/X+=F2；

6.已知圆方程为圆：(x-ay+(y-6)2=尸.

⑴过圆上的《(知阳)点的切线方程为(%-a)(x-a)+(%-/?)(y-/2)=/.

⑵过圆外一点(九0，为)作圆的两条切线，则切点弦方程为5—a)(x—a)+(%—b)(y—〃)=/.

4.过圆外一点P(%,%)引圆(标准方程，一般方程)的切线长度

-2

d=+yl+DXQ+Ey0+F(一般方程)=^(%0-a)+(y0-bf-r(标准方程)

二、常见的圆系方程

1＞同心圆圆系

⑴以(。,6)为圆心的同心圆圆系方程:(尤—1)2+(y—价2=2(2＞0)；

(2)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0同心圆的圆系方程为:x2+y2+Dx+Ey+A=0;

2、过线圆交点的圆系

过直线Ax+By+C=0与圆元之+＞？+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为：

x2+y2+Dx+Ey+F+2(Ax+By+C)=0(2GR)；

3、过两圆交点的圆系

过两圆G：%?+y2+D]X+gy+耳=0,g+y?+D^x+E2yF2-0

父点的圆系方程为公+y?+D]X+E]y+耳+力(％2+y2+D2X+E2y+F2)—0o(/iW—1,此圆系不含

C*2:%2+y之+D2x+E2y+F2-0)

⑴特别地，当4=-1时,上述方程为一次方程，两圆相交时，表示公共弦方程;两圆相切时，表示公切线方程.

⑵为了避免利用上述圆系方程时讨论圆过。2,可等价转化为过圆G和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:

炉+J_1_D[X+&y+片+2[(D]_。2)x+(石1—62)y+(4—F?)]二。

考点一、过圆上一点的切线问题

典例引领

1.(23-24高二上•四川成都•阶段练习)过点尸(3,4)作圆C:/+y2=25的切线/,求切线/的方程

【答案】3x+4y-25=0

【分析】当直线斜率不存在时，直线方程为：x=3,由圆心到直线的距离等于半径判断；当直线的斜率存

在时：设直线方程为y-4=后"-3),由圆心到直线的距离等于半径求解.

【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为：龙=3,

圆心到直线的距离为〃=3工5=厂，不成立；

当直线的斜率存在时：设直线方程为丁-4=左(彳-3),即依-y+4-3左=0,

圆心到直线的距离等于半径为：〃=上&=5,

J—+1

解得％=-：a，所以直线方程为：=3

即3x+4y—25=0.

故答案为：3x+4y-25=0.

2.(23-24高三下•福建•开学考试)过点「。,0)的直线/与圆C1x-3)2+(y+iy=5相切，则直线/的方程为

()

A.y=x-lB.y-2x-2C.y=3-3xD.y=1-x

【答案】B

【分析】根据题意，点P在圆C上，由切线性质即可得出结果.

【详解】由点P在圆C上，又由直线尸C的斜率为上㈢=-L，

1-32

可得直线/的斜率为2,则直线/的方程为＞=2x-2.

1.(22-23高二上•上海浦东新•期中)已知圆产+丁=8,则过点M(2,-2)的圆的切线方程为.

【答案】y=x—4

【分析】根据切线与过切点的半径垂直即可求解.

【详解】点=(2,-2)在圆尤2+)2=8上,圆心为0(0,0),

心”=三爰=一1，所以切线的斜率左=1，

2—。

则过点”（2,-2）的圆的切线方程为y+2=x-2,

即y=x-4.

故答案为：y=x-4,

2.（11-12高二上•浙江杭州•期中）圆f+/-4x=0在点尸（1，⑹处的切线方程为（）

A.x+^f3y-2=0B.x+^y-4=0

C.+4=0D.x-6y+2=0

【答案】D

【分析】容易知道点尸（1,君）为切点，圆心（2,0）,设切线斜率为鼠从而2^=_1,由此即可得解.

【详解】将圆的方程Y+V-4尤=0化为标准方程得（x-2）2+y2=4,

回点尸（1,若）在圆（无一2），丁=4上，回点尸为切点.

从而圆心与点P的连线应与切线垂直.

又团圆心为（2,0）,设切线斜率为匕

回上史j=T,解得k=赵.

2-13

回切线方程为无一百y+2=0.

故选：D.

考点二、过圆外一点的切线问题

典例引领

1.（23-24高三上•陕西西安•阶段练习）过点尸（3,-1）且与圆C：无2+/一2了一6、+6=0相切的直线方程为_

【答案】片3或3x+4y-5=0

【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再分切线的斜率存在与不存在两种情况

讨论，分别求出切线方程.

【详解】圆C：x2+y2-2x-6^+6=0BP（x-1）2+（y-3）2=4,圆心为。（1,3）,半径r=2,

当切线的斜率不存在时，直线％=3恰好与圆C相切；

当切线的斜率存在时，设切线为y+l=k（x-3）,即乙一，一3左-1=0,则、=护汨厂2,

3

解得左=-=,所求切线方程为3%+4y-5=。，

4

综上可得过点P（3,-l）与圆。相切的直线方程为九=3或3%+4y-5=0.

故答案为：x=3或3x+4y—5=0

2.（22-23高三上•湖南长沙•阶段练习）过点（3,1）作圆（了-1）2+（丫-2）2=4的切线，则切线方程为（）

A.3x—4y—5=0B.3x+4y—13=0

C.3兀+4y—13=0或1=3D.3无一4丁一5=0或l=3

【答案】D

【分析】根据切线斜率是否存在分类讨论，利用圆心到切线距离等于半径可求结果.

【详解】由圆心为（1,2）,半径为2,斜率存在时，设切线为〉=左（》-3）+1,

可得左=:所以y=jx_3)+l,即3x—4y—5=0；

贝M=

斜率不存在时，彳=3,显然与圆相切,

综上，切线方程为3元-4y-5=0或x=3.

故选：D.

3.（2023•全国•模拟预测）已知圆C:x2+y2-2x-2y+l=0,过点尸（3,2）作圆C的两条切线，切点分别为A,

B,则/ACB的正切值为（）

4433

A.—B.一C.——D.-

3344

【答案】A

【分析】设出切线方程，然后根据圆心到直线的距离等于半径求出斜率，然后根据几何图形的性质得答案.

【详解】由题可得,圆C:（x-由+0-1）2=1的圆心为C（l,l）,半径牛=1.

易知切线PA,PB的斜率都存在,

设切线的方程为》一2=依尤-3）,即反一丫一3左+2=0,

一7\k-l-3k+2\\2k-l\1

，圆心C到切线的距禺d=—而淳—=本/=1，

4

解得左=0或左=§,

如图，设点8在点A下方,

4

/.tanZAPB=—

3

/、4

tan^ACB=tan(TI—X.APB^=——(提不：由圆的性质可知NAP5+NACS=TI).

另法：由题可得，圆C：a-l）2+（y-l）2=l的圆心为C（l,l）,半径厂=1.

易知直线＞=2是圆C的一条切线，不妨设切点为A,则tanNACP=2.

又tan/BCP=tan/ACP（提示：圆的切线的性质），tanZACB=------------=——-=―一

1-tan-ZACP1-2-3

故选:A.

1.（24-25高三上,山东潍坊・开学考试）已知圆C:d+y2-2x=0,则过点尸（3,0）的圆C的切线方程是（）

B.y=±2（x-3）

c

->=±*》-3）D.y=±&（x-3）

【答案】C

【分析】首先说明点在圆外，再设点斜式方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，解出即可.

【详解】将尸（3,0）代入圆方程得于+02-2x3=3＞0,则该点在圆外，

C:x2+y2-2x=0,即C:（x-l『+y2=l,则其圆心为（1,0）,半径为1,

当切线斜率不存在时，此时直线方程为x=3,显然不合题意，故舍去，

则设切线方程为：丁=无（％-3）,即丘-尸3笈=0,

则有上空=1,解得左=±立，止匕时切线方程为y=±立（》一3）.

VF+133''

故选：C.

2.（22-23高二上•湖南岳阳•期中）经过*2,3）向圆/+「=4作切线，切线方程为（）

A.5%—12y+26=0

B.13x-12y+10=0

C.5元-12y+26=0或x=2

D.13尤-12y+10=0或无=2

【答案】C

【分析】根据切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得正确答案.

【详解】（1）当切线的斜率不存在时，直线x=2是圆的切线；

（2）当切线斜率存在时，设切线方程为/：＞-3=左（》-2）,

由（0,0）到切线距离为〃=匕1=2得左="，

，左+112

止匕时切线方程为＞-3=1（》一2）即5*-12＞+26=（）.

故选：C

3.(2024高三•全国•专题练习)设过点P(0,-6)与圆C:/+y2-4x-l=0相切的两条直线的夹角为a,则

cosa=()

,1R4行__1N4A/5

9999

【答案】A

【分析】解法L如图，由题意确定圆心坐标和半径，求出sinZAPC,cosN铲C,由二倍角的余弦公式求出

cosN4PB即可求解；解法2：如图，由题意确定圆心坐标和半径，利用余弦定理求出cosNAPB即可求解;

解法3：易知切线斜率存在，利用点到直线的距离公式和斜率的定义求出tane,进而求出cosZ4PB即可.

【详解】解法1：如图，0X2+/-4X-1=O,即(尤-2>+y2=5,

则圆心C(2,0),半径r=乔，过点尸(0,-6)作圆C的切线，切点为A,B,连接AB.

因为PC=3,贝！sinZAPC=—,cosZAPC=—,

33

则cosZAPS=cos2ZAPC-sin2ZAPC=-1<0,即—APB为钝角，且«为锐角，

所以cosa=cos(7t-ZAPB)=g,

故选：A.

解法2：如图，HIx2+y2-4A--1=0,即(x-2)2+y?=5,则圆心C(2,0),半径厂=石,

过点尸(0,-君)作圆C的切线，切点为A,B,连接AB.因为PC=3,则以=PB=2,

因为以2+产产-2必.PBcosZAPB=CA2+CB2-2CA-CBcosZACB,

S.ZACB=n-ZAPB,贝!|4+4_8cos^4FB=5+5_10cosZACB,

即4-4cosZAPB=5-5cosZACB,解得cosZAPS=-j<0,

即NAPB为钝角，且。为锐角，则cosa=COS（TT-ZAPB）=1.

故选：A.

解法3：0x2+/-4x-l=0,即（x—2）2+V=5,则圆心C（2,0）,半径—石，

若切线斜率不存在，则切线方程为%=0,则圆心到切点的距离d=2<>不合题意;

若切线斜率存在，则设切线方程为丫=丘-百，即丘-y-君=0,

12%-厉_

则圆心到切线的距离d=1.1=75，解得勺=。,七=Y4，

V^+i

所以tana」，=4后=垩区,又a为锐角，

1+勺k2COS<7

由sin26Z+cos2a=l解得cosa=g.

故选：A.

考点三、切点弦方程

典例引领

1.（2024高三・全国•专题练习）已知圆。:（X-1）2+（丫-2）2=9外一点P（T,2）,过点P作圆C的两条切线,

切点分别为A和B,则直线A3的方程为.

【答案】x=-1

【分析】由二级结论：若点”（七,为）在圆外，过点”引圆的两条切线，切点为则切点弦（两切点

的连线段）所在直线的方程为（尸。）&一。）+（厂"）（%一》）=/（圆的方程为（%-域+（丫-6）2=/）,代入

即可的直线A3的方程.

【详解】由题意，切点弦AB所在直线的方程为：

（-4-l）（x-l）+（2-2）（j-2）=9,

化简得：尤=-：4

故答案为：尤=-，4

2.（2024•浙江•模拟预测）过点”（。,1）作圆0"。-2）2+0-2）2=1的两条切线，切点分别为A,B,则原点

。到直线AB的距离为（）

A.75B.72C.君D.2夜

【答案】A

【分析】首先求解四边形MAOR的外接圆的方程，再求解直线A3的方程，即可求解点到直线的距离.

【详解】由图可知，O.A1MA,OtB±MB,

则",A,Or8四点共圆，圆的直径是点M（0,l）,Q（2,2）,

jMt?!|=^22+（2-l）2=5/5,的中点坐标为1，3

所以四边形MAQB的外接圆的方程为"-1），卜-3.

即f+y2_2x_3y+2=0,圆。］+J-4x-4y+7=0,

两式相减得直线AB的方程2x+y-5=0,

_-5厂

贝!原点至IJ直线2x+y—5=0的距离d=J"。=8

V22+l2

故选：A

1.（2023•全国•模拟预测）已知圆C：（x+l『+（y+2）2=2,点4（1,0）,若直线4/4V分别切圆C于M,N两

点，则直线MN的方程为（）

A.x+y-4=0B.x+y+2=0C.x-y-4=0D.x-y+2=0

【答案】B

【分析】方法一：利用直线AC,MN,得出%v=T,在Rt^AMC中，利用几何关系求出=遍及

ZCAM=^,进而可求出点4（1,0）到直线MN的距离，再利用点到直线的距离公式即可求出结果；方法二：

利用直线为圆C和以AC为直径的圆的公共弦，求出以AC为直径的圆，即可求出结果.

【详解】由题意得直线AC垂直平分线段MN,又圆C：（x+iy+（y+2）2=2,所以圆心C（-l,-2）,一夜，

又由A（l,0）,C（-l,-2）,得直线AC的斜率七c=l，所以直线MN的斜率勺^=-1，

可设直线建V的方程为x+y+f=O,又“|=J（1+1）2+程=2"rM="AM_LCW,

在Rt^AMC中，卜jAC2_cAf2=几，sinZCW=——=^-==-,

AC2122

得到ZCAM=^,则点A(LO)到直线MN的距离d=\AM\cosZCAM

即1=?=逑，解得，=2或t=T,

722

当t=T时，直线MN与圆C相离，不符合题意，所以直线MN的方程为无+y+2=0.

一题多解因为4%加分别是圆C的切线，所以CM，AM,CNLAN,

所以点M,N在以AC为直径的圆上.因为C(-l,-2),A(l,0),

所以以AC为直径的圆的圆心为(0,-1),半径为r=JAC|=：xV22+22=近

故以AC为直径的圆的方程为Y+(y+l)2=2,又因为圆C：(x+iy+(y+2y=2,

所以直线MN的方程为V+(y+l)2-[(x+iy+(y+2)]=0,化简得尤+>+2=0,

故选：B.

2.(2024高三・全国•专题练习)已知圆C:*+丁-2x-4y-4=0外一点尸(-4,-1),过点尸作圆C的两条切

线，切点分别为A和B,则直线A3的方程为.

【答案】5x+3y-2=0

【分析】由二级结论：若点〃(尤0,%)在圆外，过点M引圆的两条切线，切点为加|,加2,则切点弦(两切点

的连线段)所在直线的方程为：xox+yoy+D-^^+E-^^-+F=0(圆的方程为苫②+丁+小+4+?二。),

代入即可的直线的方程

【详解】由题意，切点弦所在直线的方程为：

..x—4.y—1._

—4x—y—2---------4---------4=0,

22

化简得：5x+3y-2=0.

故答案为：5x+3y-2=0.

考点四、切线长

典例引领

I_____________________

1.（2024•四川攀枝花•三模）由直线y=龙上的一点P向圆（彳-4）2+丁=4引切线，切点为。，则户。|的最小

值为（）

A.72B.2C.瓜D.20

【答案】B

【分析】根据已知条件，求得|PQ|=J储一产=,/_4,由此可知-=^^=20时，|PQ|取得最小值，

由此即可求解.

由已知有：圆的圆心（4,0）,半径为厂=2,直线的一般方程为彳->=。，

设点尸到圆心的距离为则有尸QLCQ,所以|PQ|=J屋一户=&2一4,

所以d取最小值时，|PQ|取得最小值，

因为直线上点P到圆心的距离最小值为圆心到直线的距离，

所以d=*口=2叵，故|PQ|的最小值为《储-产=J8-4=2.

故选：B

2.（2024•全国•模拟预测）已知P为直线/：x-y+l=。上一点，过点尸作圆C:（x-l）2+y2=l的一条切线,

切点为4贝山尸山的最小值为（）

A.1B.0C.6D.2

【答案】A

【分析】根据已知条件，结合勾股定理以及点到直线的距离公式求解即可.

【详解】连接C4,则|PA|=7|PC|2-1，

1°+|=逝＞1

而|PC|的最小值为点C到直线/的距离d=

JF+(T)2

所以EL=J（码、1=

1.

故选：A.

1.（24-25高三上•陕西•开学考试）由直线＞=x+l上的一点向圆d+丁-6x+8=0引切线，则切线段的最小

值为（）

A.3B.2后C.77