2025届高考数学一轮复习专项训练：复数（含解析）

2025届高考数学一轮复习专题训练复数

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

2.擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知复数Z满足2—zi=l+i（i为虚数单位），则z=（）

A.-l-iB.l-iC.l+iD.-l+i

2.若i(l+z)=l,则==()

Z

A.1+iB.1—iC.iD.-i

设为虚数单位，且工

3.i=1+.2i,则1+司=()

1-ai

A.lB.百C.2D.布

2

4.已知复数4=——z2=2i,则归_22|=()

A.10B.V10C.A/2D.l

5.已知i是虚数单位，复数z满足z-i=*,则复数z的共轨复数为（）

1+i

A.2B.-2C.2iD-2i

2-”,则上一22|为（

6.已知复数ZI,Z2，Z]WZ2,若Zj,Z2同时满足I2|=1和|Z—11=1)

A.lB.6C.2D-2有

7.复数z满足z(l—2i)=2+i,则z=()

44

A.Z-jB：+iC.iD.i

55

8.在复平面内，复数z对应的点与复数，对应的点关于虚轴对称,则复数z=（）

i+1

.1i„1i„1i„1i

A____।——B.---------C___।——D______

22222222

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

2

9.已知复数马=1-3i,z2=（2-i）,Z3=H8，则（）

A.Z]+Z2=4+7iB.Z1,Z2，Z3的实部依次成等比数列

的虚部依次成等差数列

C.Ji0\Zl\=2\z2\D.4/2/3

10.已知复数2=上心■，则（）

1-i

A.z=4—iB.zz=15

C.|z-2z|-5D.z-3在复平面内对应的点位于第一象限

11.已知z-Z2为复数，则下列说法正确的是（）

A.若Z]=马，则％=Z2

B.若Z]+Z2£R,则4与z2的虚部相等

C.若ZR=0,则Z]=0或Z2=0

D.若z；+z；=0,则Z]=z?=0

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若z-（3—i）=l—2i，则z的虚部为.

13.已知i是虚数单位，化简旦的结果为.

l+2i

14.若（百+i）99=x+yi,则x+2y=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式.

,、1/兀..兀）

（1）—cos——ism—；

2144J

/八（兀..兀、

（2）——1cos—+isin—；

2l33）

(3)■sin空+ic°s刃;

211212)

77i..7兀

(4)cos---Msin——；

55

(/5厂)、C2(cos—兀+i•sin—兀

136

16.（例题）已知％=2（cos巴+isin0,z2=2\cos—+isin—j,求乎？，请把结果化为代数

2166）[33）

形式，并作出几何解释.

17.（例题）分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形

式：

（1）cos7i+isin71；

/11兀..

（2）6cos---+isin

I6

18.在复平面内，把与复数3-后对应的向量绕原点。按顺时针方向旋转60。，求与所得的向量对

应的复数（用代数形式表示）.

19.计算：

(兀..兀)兀..兀)

(1)o8cos—+ism—x2cos—+isin—；

I66；I44；

(2)2(cos"+isinx4(cos空+isin叼;

I33JI66J

(3)行(cos2400+isin2400)

(4)3(cos18°+isin18°)x2(cos54°+isin54°)x5(cos108°+isin1080).

参考答案

1.答案：A

解析：因为2—zi=l+i,所以z=*i=3?=—1—i.故选A.

-i-i2

2.答案：C

解析：由i(l+z)=l

ii(i)

贝鼻上

z-1+ii=舁(-l+芈i)(-l-i)2

故选：C.

3.答案：D

解析：因为=l+2i,则5=(l—ai)(l+2i)=l+2a+(2—a)i,

1-ai

所以〔m'解得：a=2,所以|1+济|=|1+型=庐方=百，

故选：D.

4.答案：B

解析：方法一,：由题意Z]—z2=--------2i=―——2i=l-3i,所以|z「Z2|=JIZ0=而.

1+i(l+i)(l-i)1121

故选B.

方法二：由4=1-i,得复数Z1在复平面内对应的点的坐标为A(l,-1),复数Z2在复平面内对应的

点的坐标为8(0,2),所求卜―Z21，即为—Of+C—1—21=质.故选B.

方法三：由五=与，得匕―Z21=2—2i=±2=七型=字=瓦.故选B.

11

z2|z2|1+i1+i|l+i|V2

5.答案：A

.3+i(3+i)(l-i)4-2i

解析:z-i=----=2-i

1+i2

故z=2,所以彳=2・

故选:A.

6.答案：C

解析：设z=x+yi(x,y£R)，则z—l=+z-i=x+(y-l)i,

由Iz|=1和|z—11二|z—i|,

所以炉+y2=1且(元_1)2+,2=(y—1)2+/

[3[V2

冗=---X=-

即+y2=1且x=y,解得，2或＜也

-2

y~^2V~

所以sflA/2.V2^2./或A/2V2.V2y/2.)

犷1"Z-----1------1、2--------------12—-------------1、2------1-----1)，

22222122222

则2「2=1+当—(—*别=后+"(或z「Z2=-V^—也)，

故选：C.

7.答案：D

解析：由于z（「2i）=2+i,所以2=告=曰"哥=/i.

故选:D

8.答案：A

解析：因为，=y二D=L+所以z=—工+工

i+11-i22222

9.答案：ABC

解析：因为Z2=（2—i）2=3—4i,

8+10i(8+10i)(l-i)^91.

1+i(l+i)(l-i)，

所以Z]+Z2=4-7i,

所以4+Z2=4+7i,故A正确;

因为z-z2,Z3的实部分别为1,3,9,

所以z「z2,Z3的实部依次成等比数列，故B正确;

因为4，Z2，Z3的虚部分别为-3,-4,1,

所以z「z2,Z3的虚部依次不成等差数列，故D错误；

故正确.

V10|Z1|=V10XA/1+9=2|Z2|=2X5=10,C

故选：ABC.

10.答案：ACD

…匚「上5-3i(5-3i)(l+i)5+5i-3i-3i2).,,_,,

解析：因为z=--r=—;――~~—=：~-5-----=4+1,所cc以z=44-1,所以

l-i(l-i)(l+i)1-1

22

z-z=4-i=17jyA正确,B错误.因为z—2N=Y+3i,所以|z—2彳|=5,则C正确.因为

z—3=1+i,所以z—3在复平面内对应的点为(1,1),位于第一象限，则D正确.

11.答案：AC

解析：对于A,若马=马，则Z］和Z2互为共辗复数，所以％=Z2,故A正确;

对于B,若Z】+Z2CR,则Z］与Z2的虚部互为相反数，故B错误;

对于C,若2理2=0,则上闻=回忆|=。，

所以㈤=0或闾=0,可得4=0或Z2=0,故C正确;

对于D,取Z]=l,Z2=i,可得z；+z；=1—1=0,故D错误.

故选：AC

12.答案：—L-05

2.

解析：由z-(3.i)=l.2i，可得z=U=d—2i)(3+i)=U=J_J_i，

'73-i101022

故z的虚部为—L.

2

故答案为：一工

2

13.答案：2+i

解析:

l+2i

故答案为：2+i.

14.答案：2100

\3

1.

解析：由于+—1=i,

2

7

33

、99\3

1.

贝U（6+i）99=22"+—12"i33=2"i32.i=2"i,

122~22

77

所以x=0,y=2",即%+2^=21°°.

故答案为：2100.

15.答案：（1）不是三角形式，—|cos--isin—||cos—+isin-|

2142（44）

1（71..7t}if4兀..4兀）

(2)不是三角形式,—cos—+ism—=一cos——+ism——

2（33）2（33）

if.5兀.5兀11，兀..兀）

(3)不是三角形式,—sin——+icos—=一cos—+isin——

211212）211212J

(4)是三角形式

J兀..兀、N兀..兀）

(5)不是三角形式,2cos—+ism—=，2cos—+ism—

I36）I44j

解析：(1)中间是“-”号，不是三角形式.LrCOS巴—isin巴］=，fcosF+isinF］；

2(4412(44)

4兀..4兀

(2)括号前面是负数，不是三角形式,——+1sm——

33

(3)括号内前面是正弦，后面是余弦,

if.5K.5兀11（7t..兀）

—sin——+icos——=一cos——+isin——；

211212）211212J

(4)是三角形式.

(5)括号内前后两个角不相等，不是三角形式,

J兀..兀)兀..兀、

2cos—+ism—=，2cos—+ism—.

I36；I44)

16.答案：2］22=3i，解释见解析

ELL3（兀..兀兀..兀

斛析：Z]Z2——cos—F1sin-x2cos—Fisin一

2\66）I33

^sfcos—+isin—1

I22；

=3i.

首先作与2-Z2对应的向量OZ1，OZ2,然后把向量0Z1绕点。按逆时针方向旋转;，再将其长

度伸长为原来的2倍，这样得到一个长度为3,辐角为a的向量。2.52即为积Z|Zz=3i所对应的向

量.

17.答案：(1)模尸=1,一个辐角。=兀，图见解析，cosji+isin兀二一1

(2)模r=6,一个辐角。=生，图见解析，6|cos—+isin—1=373-31

6I66)

解析：(1)复数cosji+isin兀的模厂=1,一个辐角8二兀，对应的向量如图所示.

x

所以cos兀+isin兀=一l+Oi=­l.

(2)复数61cos@+isin的模r=6,一个辐角9=生，对应的向量如图所示.

166)6

A11兀••11兀生i

所以6cos-----+isin-----=6cos—+|6sin

I666I6

=6x—+6x

2

=3+

18.答案：—

解析：4=3-四=26(cos33