2025届高考数学一轮复习专项训练：直线和圆的方程（含解析）

2025届高考数学一轮复习专题训练直线和圆的方程

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

2.擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知4(1,-2),8(2,1),经过作直线/,若直线/与线段恒有公共点，则

直线/倾斜角的范围()

7137r7171371

A

-2'TB-72

3兀71713兀

c,7tD.,71

叫T42T

2.我国古代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”，意思是说，

有一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均相切)，如图所示已

知圆。的半径为2丈，过C作圆。的两条切线，切点分别为N,若MN=&M,则对角线

A.4+2后丈B.2+尤丈

C.10-2&丈D.2+4后丈

3.已矢口点(1,—2)和在直线/:依一y—l=0(aw0)的两侧,则直线I的倾斜角的取值范围是

()

4.已知直线/的一个方向向量为a=（l,—1）,则直线/的倾斜角为（）

A.45。B，90°C.1200D，i35°

5.已知直线/:%—"9+4加一3=0（〃zeR）,点P在圆必+J=1上，则点p到直线/的距离的最

大值为（）

A.3B.4C.5D.6

6.与直线2x+y=0垂直，且在x轴上的截距为-2的直线方程为（）.

A.x—2y+2=0B.x—2y—2—0

C.2x—y+2—0D.2x—y—2—0

7.在平面直角坐标系。孙中，直线工+石〉-1=0的倾斜角等于（）

•兀一兀—2兀5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

8.已知圆£:/+/—2%—4y—4=0与圆:/+/+41—10丁+4=0相交于A,8两点，则两

圆公共弦所在直线的方程为（）

A.3x—3y—4—0B.3x—3y+4—0

C.x+y-3=0D.x+y+3=0

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

22

9.已知双曲线C.__2L=13〉0）的右焦点为£直线/：X+加=0是C的一条渐近线,P是1上一

4b2

点，则（）

A.C的虚轴长为2&B.C的离心率为指

C.\PF\的最小值为2D.直线PF的斜率不等于一手

10.已知直线/：/“（％-1）-丁-2=0和圆。：（》+1）2+（,+2）2=9相交于MN两点，则下列说

法正确的是（）

A.直线/过定点（L—2）

的最小值为百

C.CM.CN的最小值为-9

D.圆C上到直线I的距离为3的点恰好有三个，则m=+V7

2

11.已知直线y=2%与x+y+a=O交于点P。,。)，贝!J()

A.a二一3

B.Z?=2

C.点P到直线ar+外+3=0的距离为"3

D.点P到直线公+纱+3=0的距离为

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

22

~?与~=1(〃>0/〉0)(\2,2_2

12.已知双曲线。2b2''的两条渐近线均与圆c：\x-c)+丁=〃相切，双曲线

左焦点为,则该双曲线的渐近线方程为.

13.函数“X)=+9+J(x—5)?+4的最小值为-------------

14.若直线x+(l+/n)y—2=0和直线wu+2y+4=0平行，则机的值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.定义：尸是圆C外一点，过点尸所作的圆C的两条切线.，PN(M,N为切点)相互垂直，

记圆。经过点P,M,N,C,则称尸为圆C的“伴随点”，圆。为“C—P伴随圆”.已知。为坐标原点，

圆0:f+；/=26,尸为圆。的“伴随点”，圆G为“。―p伴随圆”.

⑴求点尸所在曲线的方程.

(2)已知点尸的横坐标为6,且位于第一象限.

(i)求圆G的方程；

(ii)已知M,N为过点P所作的圆。的两条切线的切点，直线MN与x,y轴分别交于点E,F,过

点7(0,5)且斜率为左的直线/与圆G有两个不同的交点A,B,若04.05=36(|。石|+|。耳),求/

的方程.

16.平面几何中有一定理：三角形任意一个顶点到其垂心(三角形三条高所在直线的交点)的距离等

于外心(三角形外接圆的圆心)到该顶点对边距离的2倍.已知△ABC的垂心为D外心为E,。和

E关于原点。对称，4(13,0).

(1)若E(3,0),点2在第二象限，直线轴，求点8的坐标；

22

(2)若A,D,E三点共线，ZVLBC有一内切椭圆7:二+二=1(。〉6〉0),证明：D,E为椭圆

ab~

T的两个焦点.

17.已知圆C经过点A(l,3)、3(2,2),并且直线〃2：3x—2y=0平分圆C.

(1)求圆C的方程；

(2)过点0(0,1),且斜率为左的直线/与圆C有两个不同的交点V、N,且OM.ON=12,

求左的值.

18.已知AABC的三个顶点分别为4(1,0)，6(—3,2),C(0,3).

(1)求A3边上的高所在直线的方程；

(2)求△AB。的面积.

19.已知直线％—y—2=0经过抛物线C：y2=2px(p〉0)的焦点况且与C交于A,8两点.

(1)求C的方程；

(2)求圆心在x轴上，且过A,2两点的圆的方程.

参考答案

设直线/的斜率为左，直线/的倾斜角为。，则0＜。＜兀，

因为直线弘的斜率为「J（一©=一1,直线总的斜率为上.=1，

0-10-2

因为直线/经过点尸Q-1）,且与线段.总有公共点，

所以一1〈左<1，W-1<tana<1，

因为0＜。＜兀，

所以0Va«二或型Va＜7i，

44

3兀1

故直线/的倾斜角的取值范围是0,-

4

故选：C

2.答案：A

解析：记OC与相交于£,

过。作A8的垂线，与相交于F点，如图所示,

OM=2丈,MN=6OM=2出文,

则=百丈,

2

MF

在中，sinZMOE=——,

MO2

则NMOE=60。，

中，OC=2OM=4丈,

RtAAOR中，OF=2丈,

ZOAF=45°,则。4=20丈,

所以AC=OC+OA=4+20丈

故选：A.

3.答案：D

有且"0・

易知，直线/的斜率为a,设直线/的倾斜角为a,则ae［0,7i).

当一l<a<0时，贝I型<«<7i；当0<<7<6时，则0<1<三・

4

综上所述，直线I的倾斜角的取值范围是方］］中,兀)

故选：D.

4.答案：D

解析：由于直线/的一个方向向量为a=(l,_l),

所以直线/的斜率为-1,所以直线/的倾斜角为135°.

故选：D.

5.答案：D

解析：I:x—my+4m—3=0^meR)

即为(％—3)+(4—y)加=0,

所以直线过定点Q(3,4),

所以点P到直线I的距离的最大值为|OQ|+r=A/32+42+1=6,

故选：D

6.答案：A

解析：由题得所求直线的斜率为1，

2

A所求直线方程为y-0=g(x+2),

整理为x—2y+2=0.

故选：A

7.答案：D

解析：设直线x+百y—1=0的倾斜角为。(0<tz<7i),

由直线x+by—1=0,可得斜率为左=—当

即tana=—走，所以&=史，故D正确

36

故选：D

8.答案：B

解析：由题意知，圆G与圆G的方程相减

可得6x—14y+8=0,即3x—7y+4=0,

此即为公共弦AB所在直线的方程.

故选B

9.答案：AD

221卜

解析：双曲线C•二v_21=1的渐近线方程为bx±2y=Q，依题意,—L9,解得匕=J5,

4b2bl

对于A,C的虚轴长2匕=20，A正确;

对于B,C的离心率e

a2

A/6

=V2，即|PF|的最小值为72，C错误;

对于C,点F(瓜0)到直线/:x+s/2y=0的距离胪+(何

对于D,直线/：%+0)；=0的斜率为_也,而点F不在/上，点P在I上,则直线PF的斜率不等于

_显,D正确.

2

故选:AD

10.答案：AC

解析：A选项，根据题意/：〃2(尤-1)-丁-2=0变形为y+2=m(x-l),

故直线过定点A(l,-2),A正确;

B选项，由题意可知，当时，圆心到直线/的距离最大，此时|加用最小,

其中|AC|=J(-1_Ip+(—2-2)2=2,

此时\MN\=2XA/32-22=275，B错误；

C选项,C：(x+l)2+(y+2)2=9的圆心为(-1,-2),半径r=3,

CMCN=|CM|-|CN|cosZMCN=9cosNMCN,

因为cosNMCN的最小值为-1,所以CMCN的最小值为-9,C正确;

D选项,c：(x+l)2+(y+2)2=9,因为圆C上到直线/的距离为|的点恰好有三个,

所以圆心到直线的距离d=3,

2

即卜:12-二2].解得心土逆,D错误;

Vm+(-1)27

故选:AC.

11.答案：ABD

%=2

解析：由题意，得<

l+b+a=0

解得〃二—3,b=2,故A、B正确,

4^/13

13

故C错误，D正确

故选：ABD.

12.答案：y=+x

解析：设双曲线的一条渐近线方程为"-分=0

因为双曲线的渐近线与圆C：(X_C)2+y2=q2相切

所以圆心(C,O)到渐近线距离为a

结合c2-cr+Z?2得2=1，

a

所以双曲线的渐近线方程为y=±x,

故答案为：y=±x-

13.答案：J石

解析：〃x)=J(x_l)2+9+J(x_5)2+4=J(x_l)2+(0—3)2+J(x_5)2+(0—2)2,

根据两点距离公式的几何意义得，函数/(九)表示P(x,0)到点A(l,3),8(5,2)距离之和，

如图所示，作出点A关于x轴的对称点4(1,-3),

连接4反交x轴于点耳,连接外,网,24,64,6瓦片4，

可得|即+归固=|%|+|尸/,|斗4|+|耳8|=忸闻+|耳8|,

又由1PAi+|冏>山闻+归目=14司=J(l-5)2+(-3-2)2=V41，

当且仅当点P与A重合时，等号成立，

所以|以|+|「目=|241|+归目2历，即函数/(%)的最小值为两'，

故答案：.

14.答案：1

解析：由于两直线平行，所以1x2=(1+加)加，解得机=1或m=—2,

当机=1时，两直线方程为x+2y—2=0、x+2y+4=0,符合题意.

当加=一2时，两直线方程为x—y—2=0、—2x+2y+4=0，

即x—y—2=0、x—y—2=0,两直线重合，不符合题意.

所以机的值为1.

故答案为：1

15.答案：⑴/+丁=52；

(2)(i)(x-3)2+(y-2)2=13；5)y=5.

解析：(1)因为P为圆。的“伴随点”，所以四边形PMON为正方形，

则|PO|=夜*质=2而,

所以点P的轨迹是以。为圆心，2JB为半径的圆，

故点P所在曲线的方程为尤2+9=52.

(2)由题可知P(6,4).

(i)因为四边形？MON为正方形，所以圆心G的坐标为(3,2)，

半径为反亘=旧，

2

故圆G的方程为(x—31+(y—2)2=13.

(ii)因为直线肱V为圆G与圆O的公共弦所在直线，

所以直线肱V的方程为3x+2y-13=0.

令y=0,可得x=U,令％=0,可得y=U,

32

所以到四竺L沃代+竺］=3。.

1313132J

由题意，可知直线/的方程为y=Ax+5，

代入方程(x—3)2+(>—2)2=13，整理得(1+左2)%2—6(1一人)x+5=0.

设A(ax)，B(x2,y2)>则%=6,?)，^2=^7'

所以OA-OB=+乂%=再次2+（砧+5）（Ax2+5）

（1+左2）+5左（X+々）+25=3°"。；%）+30.

_£十/C

由题意可得迎9。+30=30,解得左=1或左=0.

1+42

经检验，当左=1时，不满足A=[—6(l—左)『―4x(1+左2卜5>0；

当左=0时,满足八=[-6(1—左)了—4><(1+[2)><5>0・

故/的方程为y=5.

16.答案：(1)5(—5,6)

(2)见解析

解析：(1)因为E(3,0),。和£关于原点。对称，所以。(—3,0).

设BC与x轴的交点为尸(-m,0)(m>0)，如图所示.

由题意可得|人。|=2|所|,

即13+3=2(m+3),解得加=5.

设3(—5,")(">0),因为|3E|=|AE|,所以|班T+|E)|2=|A©2,

则/+(3+5)2=(13—3)2,解得〃=6.

所以8(—5,6).

(2)证明：因为。和E关于原点。对称，且A,D,E三点共线，

所以A,D,E,。四点共线，即点A,D,E,。都在x轴上.

因为所以轴.

因为ZVIBC的外心为E,所以|5E|=|CE|,所以点8与点C关于x轴对称.

设8c与x轴的交点为F(—m,0),B(-m,n),C(-m,-ri),Z)(—s,与,E(s,0)(利,s>0,且机ws).

由题意可得IAD|=2|防I，即13+s=2（m+s）,化简得s=13—2m.

HHij

直线CD的斜率为一^―二一-—，直线A3的斜率为-——,

—s+m3m—1313+m

所以一-—•||=—1,化简得/=(3m-13)(m+13).@

3m-13I13+mJ

rj

直线AB的方程为y=-------(x-13).

13+m

由△ABC有一内切椭圆T:j+2r=1(。〉。〉0),可得F为BC与椭圆的切点，所以。=加.

ab

联立\,m整理得

%+丁-1

[/(13+附2+77，/]尤2—26m2/i2x+169m2n2—m2b2(13+in)2=0.

A=(26〃Z2〃2)-4^ZJ2(13+/n)2+rn1n1^169rn2rr—nrb2(13+zn)2^=0,

即169n2(13+w)2-Z?2(13+m)4-m2n2(13+m)2=0.

因为(13+〃)2Ho,所以169〃2-Z?2(13+m)2-mV=0，

即(13+〃7)(13—根)/—32(13+根)2=0,即(is—""小—b2a3+/〃)=o

结合①可得〃=(13—根)(3根—13).

设椭圆T的焦距为2c,则f=点—段=m2—H=W-(13-/«)(3/77-13)=(2//7-13)2=52,

所以。，E为椭圆T的两个焦点.

17.答案:(1)(x—2y+(y—3>=1

(2)1

(1)线段AB的中点£仁,鼻,如=落

解析:=-1,故线段A3的中垂线方程为

yZZy1—z

53

y——=x——

22

即x-y+l=0,因为圆C经过A、3两点,故圆心在线段A3的中垂线上.

又因为直线〃z:3x-2y=0平分圆C,所以直线m经过圆心.

由即x—y+l=0与3x—2y=0的交点即圆心,

所以圆心的坐标为。(2,3),而圆的半径厂=1,(%—2)2+(丁—3)2=1.

（2）直线/的方程为y=履+1.圆心C到直线/的距离d=因尸+”

Vl+k2

公"<1'两边平方整理得…「弘+3<。,解之得：

将直线/的方程与圆c的方程组成方程组得=&+1①-

［（x-2）2+（y-3）2=1②

将①代入②得：（1+父）％2—4（1+左）％+7=0,

4（1+k）7

设M&，X）、N（9%），则由根与系数的关系可得:石+々=7^'中2=^'

而=（何+l）,（g+1）=左2+左（石+w）+l,所以