2025年安徽省A10联盟高考数学模拟试卷（附答案解析）

2025年安徽省A10联盟高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.（5分）已知集合力={久|VO},B={-1,0,1,2,3},贝（）

A.{1,2}B.{-1,0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}

2.（5分）若z・（2+力=7+53则复数z在复平面内所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.(5分)已知空间向量a=(zn,—L3),b=(1,n,一2），若all儿则〃z+〃=（）

355

A.—,2B.一C.D.-

2

41cosa

4.(J刀)tan(a—n)--y,贝o(）

乙2sina—3cosa

1

A.-4B.1C.

5.（5分）“入W2”是“数列{后-汨为递增数列”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.（5分）在三角形内到其三个顶点的距离之和最小的点称为“费马点”.意大利数学家托里拆利发现：当

△/2C的三个内角均小于120°时，使得N/O3=/BOC=/CCM=120°的点。即为费马点；当△4BC

有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点即为费马点.在△A8C中，若3。=4,且siiL4：sin5：

sinC=2VL2：1,则该三角形的费马点到各顶点的距离之和为（）

A.4V2B.3V2C.4+V2D.4+2V2

1IYI1—3,xV3

2一，若方程（/（x））2-4G）+2=0有6个不同的实数根，

{—x+6%—9,x^*3

则实数。的取值范围为（）

A.（—9—2A/2）

B.（-6,-2V2）

11

C.（—，+°0）

第1页（共16页）

D.（—，-2V2）U（-2V2/+oo）

8.（5分）已知某圆台的侧面展开图如图所示，其中3。=3,AD=6,N/8C=竽，若此圆台的上、下底

面圆周都在球。的球面上，则球。的表面积为（）

A.36irB.54TtC.64TTD.68TT

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.（6分）已知加，〃，/为三条不同的直线，a,0为两个不同的平面，则下列命题一定正确的是

（）

A.若m〃n,n//a,贝！J加〃a

B.若〃z_L〃，ni-Ll,几〃a,I//a,贝！J

C.若0(_10,m//a,I//n,则加_L/

D.若a〃0,mJ_a,贝!J加〃〃

（多选）10.（6分）已知平面向量蓝，盛均为单位向量，且|2薪一前=|百益I，贝！|（）

A——1

A.m-n=--2

B.|m+2n\—V7

C.cos{m—n,m+2n）=-

D.m+21在zn—九上的投影向量为一号（m—ri）

（多选）n.（6分）已知函数/（久）=e，有2个零点XI,X2（X1<X2）,贝（I（）

A.m<0B.m>0

C.%亥+虐〉/D.Inx2~^xi<1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）已知正数x,>满足2x+5y=2,则'+2的最小值为_________.

xy

第2页（共16页）

<

2。九,0^ccn£5Q

1，Qi=手记数列｛斯｝的前〃项和为Si,贝IS2025

2a—1,2〈。九VI

(zi

14.(5分)已知曲线/"(x)=sin(3久+0)(|如喘)在点(0,7(0))处的切线方程为y=字久+去且函数

g(x)=f(ax)30)在区间(it,2it)上没有零点，则实数。的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.已知a>0,函数/'(久)=)拄黑是奇函数，g(x)=4V-2x+i.

(1)求实数a的值；

(2)若Vxi€[0,》，3%2G[1,3],使得/(xi)Ng(x2)+入，求实数入的取值范围.

1133

16.在△48C中，内角/,B,C的对边分别是a,b,c,且--+---1=----+----

sinAsinCtanAtanC

(1)求证：a+c=3b；

(2)若b=4,且。是边/C的中点，求AD的最小值.

17.已知四棱锥S-48CD中，ZBAD=ZADC=ZSAD=2ZSDA=900,平面MD_L平面48C£>,CD=

AD=2AB=2.点、M,N分别在线段SC,SO上，且/,B,M,N四点共面，BMLSC.

(1)求证：ANLSD-,

(2)求平面2CN与平面SCO所成角的余弦值.

18.已知数列｛斯｝,｛瓦｝的前"项和分别为S”Tn，其中。2=2,2Sn=(。”+己"，｛为｝为等比数列,且？3

=14,76=126.

(1)求数列｛anbn｝的前n项和。”；

(2)在(1)的条件下，比较£着去与0.7的大小关系，并说明理由.

19.定义：记函数/G)的导函数为/(x),若/(%)在区间/上单调递增，则称/G)为区间/上的

凹函数；若/(x)在区间/上单调递减，则称/(x)为区间/上的凸函数.已知函数/(x)

(x>0),g(x)=

第3页(共16页)

(1)求证：/(x)为区间(0,+8)上的凹函数；

(2)若g(x)为区间［1,2］的凸函数，求实数。的取值范围;

(3)求证：当a<e"i时，\g(x)\+a>alnx.

第4页(共16页)

2025年安徽省A10联盟高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.(5分)已知集合力={x|当V0},2={-1,0,1,2,3},则/门3=()

A.{1,2}B.{-1,0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}

,y_|_2

【解答】解：因为0,1,2,3},A={%|<0}={x|-2<x<3},

故/C3={-1,0,1,2}.

故选：D.

2.(5分)若2・(2+z)=7+53则复数z在复平面内所对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：z*(2+z)=7+53

_7+5i_(7+5i)(2-i)_14-7i+10i+5_193.

人m」|z=~2+T=(2+i)(2-i)=5=~5+51>

故复数z在复平面内所对应的点为(?，卷)，位于第一象限.

故选：A.

3.(5分)已知空间向量。=(血，-1/3),b=(-Ln,一讶)，若allb,则掰+〃=()

3535

A.-B.—Q-C.—D.一

2222

【解答】解：空间向量a=(m,—1,3),b=(—1,n,-若all6,

,m—131S

可得一7=—=—,解得m=2,n=亍则m+几=亍

-1n—22

2

故选：D.

cosa

4.(5分)若tcm(a—7T)=彳则，)

2sina—3cosa

11

A.14B.1C.12Dc-一彳1或-一1讶

【解答】解：由题意得，tan(a-TT)=tana-

sinacosa111

又tcma二

cosa"2sina—3cosa2tana—32x|-321

故选：C.

第5页(共16页)

5.（5分）“入W2”是“数歹!]｛〃2-瓶｝为递增数列”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解答】解：根据题意，若“数列｛层-一｝为递增数列”,则（«+1）2-A（M+1）-（〃2-A«）=2〃+1

-入＞0,

所以入＜2"+l恒成立，又由〃且"CZ,

则有人＜3,即“数列｛层-仙｝为递增数列”的充要条件为“人〈3”，

而入W2今入＜3,由入＜3台入W2不一定成立，

故“AW2”是“数列｛层-仙｝为递增数列”的充分不必要条件.

故选：A.

6.（5分）在三角形内到其三个顶点的距离之和最小的点称为“费马点”.意大利数学家托里拆利发现：当

△/2C的三个内角均小于120°时，使得N/O3=/BOC=/CQ4=120°的点。即为费马点；当△ABC

有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点即为费马点.在△A8C中，若BC=4,且siiU：sinB：

sinC=2VL2：1,则该三角形的费马点到各顶点的距离之和为（）

A.4V2B.3V2C.4+V2D.4+2V2

【解答】解：设△NBC的内角/,B,。所对的边分别为a,b,c,

因为sMA：sinB：sinC=242：2：1,

则由正弦定理可得a；b：c=2五;2；1,

又BC=a=4,所以6=2鱼，c=V2,

由余弦定理得cos力=b08+2—161

2x2/2x422'

又/e(0°,180°),所以120°<^<180°,所以顶点/为费马点,

故点A到各顶点的距离之和为b+c=3V2.

故选：B.

I'VI_3vv3

{--+6=9,Q3'若方程C〃(x)+2=°有6个不同的实数根,

则实数a的取值范围为（）

A.（—f—2V2）

第6页（共16页）

B.(—6,-2V2)

11

C.(—，+°°)

D.(—，-2^2)U(-2V2/+8)

(Iv|—3Y<c3

【解答】解：根据已知函数f(x)=「1,1一，作出函数/(X)图象,

1-%2+6x-9,x>3

令函数/(x)=t,那么(/(x))2-af(x)+2=0有6个不同的实数根n/2-成+2=0有2个不同的实数

解力，t2,t\,12G(-3,0),

a2-8>0

9+3a+2〉0,所以—亨VaV—2a,

(一3喘VO

故选：A.

8.(5分)已知某圆台的侧面展开图如图所示，其中3D=3,AD=6,NABC=爸,若此圆台的上、下底

面圆周都在球。的球面上，则球。的表面积为()

A.361TB.54TTC.64KD.68H

【解答】解：设圆台的上、下底面圆半径分别为门，/2，

777

■:BD=3,4D=6,ZABC=

___2____2

...DE=可兀X3=2兀=2兀71，AC=可兀X9=6兀=2兀「2，解得「1=1，〃2=3,

圆台的高为J62—(3—1)2=4V2,

设球O的半径为R,球心。到下底面圆的距离为t,

则球心0到下底面圆的距离为|4a-t|,

，根据勾股定理可得：

第7页(共16页)

J+12=R2,解得"专，

rrc927

:・R=F+3=2+9=

27

・・・球0的表面积为4兀/?2=47Txy-=547r.

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.（6分）已知冽，n,/为三条不同的直线，a,0为两个不同的平面，则下列命题一定正确的是

()

A.若冽〃〃，n//a,冽Ua,则加〃a

B.若加_L几，m-Ll,n//a,I//a,贝!)^_La

C.若a_L0,m//a,I//n,贝!J^_L/

D.若。〃0,m_La,〃_L0,则机〃几

【解答】解：由冽〃〃，n//a,得加〃a或加ua,而加Ua,则冽〃a,故4正确;

如图，长方体中，mLn,m.Ll,n//a,I//a,则加〃a,故5错误;

如图，长方体中,

a±P，aHm//a,〃u0,l//n,则加〃/,故C错误;

若a〃,m_La,则加_L0,而〃_L0,椒m〃n,故。正确.

故选：AD.

（多选）10.（6分）已知平面向量m,九均为单位向量，且|2zn—川=则（)

第8页（共16页）

B.|m+2n\=V7

C.cos{m—n,m+2n)=—

D.m+2?i在?n—几上的投影向量为一^■(m-n)

【解答】解：对于a因为蔡，盗匀为单位向量，且|2薪-而二|B薪|,

所以两边同时平方得：4-4m-n+1=3,则益•£=*,故4错误；

对于5,因为益1均为单位向量，且布・£=],

所以同+2n\=Jm2+4n2+4m-n=V7,故B正确；

对于C,因为茄，蓝均为单位向量，且益•£=*,

所以（TH—九）•（租+2n）=m2+m-H—2n2=l+±-2=—今

—>—>I—>—>T

|m—n|=Jm2+n2—2m-n=1,

则cos〈益一汇薪+2#=（?一巴）・（7+2、）=一噌,故C正确；

|m—n|-|m+2n|141

对于。，因为（m—n）•（m+2九）=—/,|m—n|=1,

—>—>—>—>—>—>

，TT-T，一=、r（7U+2几）•（租—九）771~71ITT-一J

所以m+2几在血一ri上的投影向量为：-----丁^-----=--（m-n）,故。正确.

\m—n\\m-n\2

故选：BCD.

（多选）11.（6分）已知函数/（%）=―n+mQnCR）有2个零点xi，%2（xi<%2），则（）

A.加<0B.m>0

C./+虐>?2D.Inx2^x\<1

px_ppX—1—1

【解答】解：/（%）=0Q（久一1）^^=-mQ（X-1）ex-i+1=-m,

令g（x）=0-1）黄博，八（t）=t•曷=（1一集y）,贝!!“（/）=得+工；）2'

当/>0时，/?'（?）>0,所以〃（?）在（0,+8）上单调递增，又

e-t—11—ec

〃（-）=（—）•——=（一）----7=h⑺，所以h⑺为偶函数，

e-t+ll+ef

所以〃（f）的增区间为（0,+8）,减区间为（-8,0）,

第9页(共16页)

又。(%)=(x-1)e%+g=h(x-1),所以g(x)关于x=l对称,

且在（-8,1）上单调递减，在（1,+8）上单调递增,

则g（X）min=g（1）=0,所以-加＞0,解得加＜0,故4正确，故B错误;

1

由％1+工2=2知，%i2+%22＞2（%1+久2）2=2,故C错误；

由Xl+%2=2矢口，"%2+xi=历X2+2-X2，

1

令cp(x)=Inx-x+2(x>1),cp=——1<T0,

即(p(x)在(1,+8)上单调递减，所以cp(x)<(p(1)=1,

所以阮碇+%1<1,故。正确.

故选：AD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）已知正数x,＞满足2x+5y=2,则§+白的最小值为20

xy

【解答】解：因为正数％,＞满足2x+5y=2,

“1525y5225y2x

所以一+—=(%+—)(—+—)=10+---+—>10+2—二20,

xy2xy2xyy

当且仅当即％=\y=［时等号成立.

2%y/3

故答案为：20.

2ctnf0Va九4JQ

1,。1=中记数列｛斯｝的前〃项和为则S2025

2a-1,1<a<1

(nn

5063

2an,0Va九45&

12,%=中

｛2册—1,<an<1

Q119

得牝=2x耳一1=耳，。3=2＞＜耳=引

。4=2x5=耳，。5=2、耳一1二耳，

3124

所以｛劭｝为周期数列7=4,一个周期的和为三+-+-+-=2.

记数列｛斯｝的前n项和为S”

所以S2025=+506(。1+02+03+04)=5+1012=—g—.

第10页（共16页）

5063

故答案为:

5

14.（5分）已知曲线f（%）=s讥（3%+0）（阿V5）在点（0,f（0））处的切线方程为y=字％+*,且函数

g（x）=/（亦）（a>0）在区间（n,211）上没有零点，则实数a的取值范围是_（0,U[|,m]

【解答】解：因为/⑶=sin（3久+9）（5号）在点（0,/（0））处的切线方程为丫=学久+参

1

由题思得，/（0）=sin（p=2，

因为101V今，所以0=专,/（%）=sin3X+看），

所以/（%）=3cos®%+着），

所以/（0）=3cos看=器3=字，

解得3=1,

故/（%）=sin（x+^）,则g（%）=s讥（a%+看），

令0（%）=sin（ax+^）=0,

CLX+召=fc?T（fcGZ）,解得％=~—（fcGZ）,

kn兀，

----"Z——兀

,心式（keZ）,

鱼已里-金22兀

（a6a

解得左一石<a<2+~f2（卜WZ）,

/c5t

因为。>o,所以5+五>°，解得上>—（

1"H7

由k—大工亍+行",得kW工,

oZ1Zo

一一K7

所以—o6因为左EZ,

所以左=0或左=1,

S511

当左=0时，0Vam一；当左=1时，-<a<—.

612

综上所述，实数a的取值范围是（。，^）U[|,||].

qq11

故答案为：（0,直）"石，运

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第11页（共16页）

15.已知Q>0,函数/（%）=仇]—3%是奇函数，g（%）=4%-2%+3.

（1）求实数Q的值；

（2）若\/打6[0,1],3X2G[1,3],使得/G1）2g（X2）+入，求实数人的取值范围.

【解答】解：（1）依题意，伍搐+伍鹭=0,即二黑=L解得。=±3,

因为4>0,所以4=3.

当a=3时，/（%）=伍芒||，经检验，符合题意.

故4=3.

（2）由题意得，f（X）min^g（X）min+人,

由（1）知，/（%）=仇芒瑞=仇（-1+y^^）,

1

易得/（X）在[0，石]上单调递增，故/（X）min=f（0）=0.

g（x）=4、-2壮3=（2、）2-8・2'=（2、-4）2-16,

当1日1,3]时，2'日2,8],所以g（x）min=g（2）=-16,

所以/（X）min，g（X）加讥+入o02入-16,

解得入<16,即实数人的取值范围为（-8,16].

1133

16.在△ZBC中，内角4,B,C的对边分别是a,b,c,且一f7=------7+-----7

sinAsinetanAtanC

（1）求证：a+c=3b；

（2）若6=4,且。是边4C的中点，求助的最小值.

1133

【解答】解：（1）证明:因为----+----=

sinAsinCtanAtanC

113cosA3cosC

所以―；+~7=

sinAsinCsinAsinC

整理得：siiL4+sinC=3(siiL4cosc+cos/sinC)=3sin5,

由正弦定理得：a+c=3b.

（2）因为6=4,且。是边4c的中点，所以/Q=CQ=2,

Dn2In2_02Dn2_i_n2_

由余弦定理得：笑无―二.：化简得：2BD2=a2+c2-8.

A'DD'L2

因为6=4,所以a+c=3b=12,

由]2+C2N2QC,得次+=72（当且仅当”=c=6时等号成立.）,

所以2助2=42+°2_8三64,所以BDN4VL故5。的最小值为4位.

第12页（共16页）

17.已知四棱锥S-48C。中，ABAD=AADC=ZSAD=2ZSDA=900,平面S/D_L平面45cD,CD=

AD=2AB=2.点、M,N分别在线段SC,SO上，且/,B,M,N四点共面，BMLSC.

(1)求证：ANLSD^

(2)求平面BCN与平面SCO所成角的余弦值.

【解答】解：(1)因为平面S/O_L平面/BCD,SALAD,&4u平面SW,平面S/DC平面/8C£)=/D,

所以&4_L平面ABCD,

因为Z8u平面/BCD,/Du平面NBC®,所以&l_L/8,SALAD,

在RtA&lS中，SB=7AB2+AS2=V5,

由N3=l,AD=CD=2,可得BC=«,所以S3=8C,

因为BMLSC.所以M为SC的中点，

因为/2/Z)=NADC=90°,故AB〃CD,

因为48仁平面SCO,所以/2〃平面SCO,

因为平面SCD=MMN3u平面4B〃N,所以4g〃MN,

所以CD〃跖V,所以N为SD的中点,

5LAS=AD,所以NMLSD

(2)分别以直线48,AD,AS为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系/平,

则/(0,0,0),B(1,0,0),C(2,2,0),N(0,1,I),

—>—>—>

所以BC=(1,2,0),BN=(-1,1,1),4N=(0,1,1),

设平面3CN的向量为£=(X，y,z),

第13页(共16页)

则少■，贝M=。，叫二？在一0，

UlBN'-n-BN=0（x+y+z-U

令y=-1,则x=2,z=3,于是n=（2,-1,3）,

因为48_L平面，i。，且48〃CD,所以CD_L平面S/。，所以/N_LCD,

由（1）可知MV_LSZ>,ffi]SDHCD^D,所以/N_L平面SCD,

—>

所以AN是平面SCD的一个法向量，

故平面BCN与平面SCD所成角的余弦值为斤.

18.已知数列｛即｝,｛加｝的前〃项和分别为a,Tn,其中02=2,2szi=（即+1）",｛仇｝为等比数列，且0

=14,76=126.

（1）求数列｛anbn｝的前n项和Qn；

（2）在（1）的条件下，比较£着或与0.7的大小关系，并说明理由.

【解答】解：⑴数列｛斯｝，｛儿｝的前"项和分别为S“，Tn,其中。2=2,2S„=（如+1）n,

当〃=1时，2s1=41+1,则41=1;当〃=2时，42=2;

当〃23时，由2Sn=（即+1）n,可得2S〃_i=（即j+l）（几-1）,

=

相减得，2an（劭+1）〃-（即-i+l）（〃-1）,整理得（〃-2）劭-（〃-1）。篦一1=-1,

1

Rn。八。九一111a3a211

n—1n—2（n—l）（n—2）n—1n—22121

上式对〃=1,〃=2也成立,

综上所述，an=n.

｛瓦｝为等比数列，且乃=14,76=126,

可知等比数列｛仇｝的公比不为1,则消=匚$=1+q3=9,解得q=2,

故T3=bi+62+63=76i=14,解得加=2,则%=2%

n

由题意得，anbn-n-2,

故。„=2+2x22+3x23+…+nx2%

234n+1

2Qn=2+2x2+3x2+•••+nx2,

第14页（共16页）

故_Qn=2+22+23+24+…+一刀X2什1=2(：［,)―"义2"1=(1-n)X2"+i-2,

故Qn=(n-l)2?l+1+2.

113

(2)因为丁=；；,­=—,所以丁V0.7,—+—=-<0,7,

Q12Q2ioQiQiQ25

n+2n+2n+2n+2

当时，因为Q九+1=n-2+2=(n-1)-2+2+2>(n-1)-2+4=2Qn,

］1

所以•〈范'

Qn+l

11111111

当〃23时,QI+Q2+'"+Q^<Q1+运+亚+兀+…+2』2

4+忐1；号”++看［1_弓尸］G+"=07.

12

1

综上所述，对V〃eN*,%<0.7.

19.定义：记函数/(X)的导函数为，(X),若，(X)在区间/上单调递增，则称/(X)为区间/上的

凹函数；若，(%)在区间/上单调递减，则称/(X