2025届新高三开学摸底考试数学试卷（新高考）解析版

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2025届新高三开学摸底考试卷（新高考通用）

数学

|（考试时间：120分钟试卷满分：150分）|

1注意事项：|

I1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本

i试卷上无效。|

13.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。!

|一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

|是符合题目要求的。!

1.（2024•广西•模拟预测）已知集合/={x|-2<x<3},8={x|x?-5x<0,xwN},则418=（）

A.{x|0<x<3}B.{x|-2<x<5}C.{0,1,2}D.{1,2}

【答案】D

【分析】先求集合B,注意xeN,再求

【详解】X2-5X<0^0<X<5,又因为xeN,所以2=J,2,3,4},得4伴3={1,2}.

I故选：D.

4z—i

12.（2024・河南•模拟预测）已知复数z满足——=-2i,贝”的虚部为（）

z

A.—iB.—iC.—D.—

510510

【答案】C

【分析】根据条件，利用复数的四则运算，即可求出结果.

A7_j

【详解】因为一-=-2i,所以4iz+l=2z,所以1=（2-4i）z,

z

12+4i2+4i11.1

|所以z=一二…）（2+旬二百二仿所以z的虚部为丁I

!故选：C.

i3.（23・24高三下•陕西西安•阶段练习）已知向量£=（加,1）,3=。/）,若R+B）//（Z-可，则（）

1-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

A.mn=\B.mn=-1C.m-n=OD.同一同=0

【答案】A

【分析】利用平面向量共线的坐标表示计算即可.

【详解】a+B=(机+1,1+"),a-b,

+加+1)(1加-1)(1+〃)，化简得加〃=1.

故选:A.

4.(23-24高一下•广东广州•期中)某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量某山峰的高度，

为此，他们设计了测量方案.如图，在山脚/测得山顶尸的仰角为45。，沿倾斜角为15。的斜坡向上走了90

米到达8点(/,B,P,。在同一个平面内)，在8处测得山顶P的仰角为60。，则山高尸。为()米

P

A.45(V6-V2)B.45(V6+V2)C.90(73-1)D.90(73+1)

【答案】B

【分析】在中，利用正弦定理求/p,进而在RtAP/。中求山的高度.

【详解】依题意，ZPAQ=45a,ZBAQ=15°,则£)尸/8=30。，/4?。=45°,

又2依。=60°,则N5PC=30°,即有N2P4=15°,ZPBA=135°,

ApAB

在A/8尸中，AB=90,由正弦定理得EF

sinZAPB

/7_5

且sin15。=sin(60°-45°)=sin60°cos45°-cos60°sin45°=---------

4Bsin乙4BP_90sin135°_皿6__180Vl

sinZAPB-sin15°一#_近一76-72

4

在RMP/。中，PQ=APsin45°=X—=45(76+72),

6—弋22

所以山高尸。为45(而+行)米.

1-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

!故选:B

j5.(2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测)已知sinasin[e+己)=cosasin[三-a),则tan[2a+：]=()

A.2-V3B.-2-V3C.2+V3D.-2+73

【答案】B

【分析】由两角和差公式、二倍角公式逆用可得tan2a=百，进一步结合两角和的正切公式即可得解.

【详解】由题意且sin。a+Lsinacosa=ycos?a-^sinacosa,-^-cos2ar=—sin2a,

222222

兀

/\tan2a+tan—

所以tan2a+—\=------------------

即tan2a=拒,I■l-tan2«tan^

4

故选：B.

6.(2023•辽宁鞍山•一模)函数〃x)是定义在R上的偶函数，且〃l+x)=〃l-x),若xe[0,l],

〃x)=2"则"2023)=()

A.4B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】根据/'(l+x)=/(l-x),结合/(x)是定义在R上的偶函数，易得函数〃x)的周期为2,然后由

/(2023)=/(1011x2+l)=/(I)求解.

【详解】因为〃1+X)=/(1-x),且“X)是定义在R上的偶函数，

所以〃l+x)=〃xT),

令f=贝！jx=/+l,

所以"+2)=%)，即〃x)=/(x+2),

所以函数〃x)的周期为2,

所以〃2023)=〃1011x2+l)=〃l)=2.

故选：B.

7.(23-24高三上•福建•阶段练习)函数〃尤)=痴》+2卜山1k«0,2可的图象与直线了=左有且仅有两个不

同的交点，则左的取值范围是()

A.（0,1）B.（0,3）C.（1,3）D.（0,2）

【答案】C

【解析】先分类讨论去绝对值号，得出函数的解析式，然后画出函数/口）与7=左的图象进行判断.

/、,,f3sinx,0<x<^-

【详解】〃x）=smx+2|smx|=（,

［一sinx,乃<xW2%

如图所示，

FA

3小）

I/\y=A

—X------\

nic3*2*X

22

要使f（x）=sinx+2卜inx|,xe［0,2兀］的图象与直线y=L有且仅有两个不同的交点,则只需1千<3.

故选：C.

【点睛】本题考查根据函数图象的交点个数求参数的取值范围，较简单，画出函数的图象是关键.

22

8.（2024・山东•模拟预测）已知双曲线E：1r-%=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为片，£,过月的直

线与E的右支交于A,8两点，且忸闻=2|盟若丽.荏=0,则双曲线E的离心率为（）

A.GB.叵C.正D.巫

333

【答案】B

【分析】设M用=，，则忸鸟|=2人根据双曲线的定义，可得M胤和怛耳再在直角三角形中，利用勾股定

理可得关于“，。的关系，可得双曲线的离心率.

【详解】如图：设|/用=1，则此1=21,

r

'B

w

根据双曲线的定义，可得|4月|=2.+乙忸耳|=2a+2f,

因为亚•存=0,所以NA4月=90。，

所以|M2+|盟「=叱「'］（2“+）+»=（24

1|4月『+\AB^=\BF^］（2Q+厅+（3行=（2Q+22）2

由（2a+。2+（3/y=（2a+2/）2=>2a=3t,

代入（2a+/『+〃=（2c『可得17/=%?=>e=£=姮.

a3

故选：B

【点睛】方法点睛：选择填空题中，出现圆锥曲线的问题，首先要考虑圆锥曲线定义的应用，不能用定义，

再考虑其他方法.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.（2024•广东汕头•一模）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学

生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名

学生中，成绩位于［80,90）内的学生成绩方差为12,成绩位于［90,100）内的同学成绩方差为10.则（）

参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：相、■s；；〃、亍、s；.记样本平均数为

石，样本方差为一,$2=。卜；+（于-4］+，昌+（歹一曲］.

L

m+n」W+〃L」

r

B.估计该年级学生成绩的中位数约为77.14

C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50

D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25

【答案】BCD

【分析】利用频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1,列等式求出实数。的值，可判断A选项；利

用中位数的定义可判断B选项；利用总体平均数公式可判断C选项；利用方差公式可判断D选项.

【详解】对于A选项，在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1,

贝1|（2。+3。+7。+6。+2。）*10=200。=1,解得。=0.005,A错；

对于B选项，前两个矩形的面积之和为（2a+3a）xl0=50。=0.25<0.5,

前三个矩形的面积之和为（2。+3。+7。）*10=120a=0.6>0.5,

设计该年级学生成绩的中位数为机，则加e（70,80）,

根据中位数的定义可得0.25+（机-70）x0.035=0.5,解得77.14,

所以，估计该年级学生成绩的中位数约为77.14,B对；

对于C选项，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为

6"x85+2a*95=87.5分,C对；

6a+2a6a+2a

对于D选项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为

：［12+（87.5-85）1+；［10+（87.5-95）1=30.25,D对.

故选：BCD.

10.（2024•河南•模拟预测）已知函数/（刈=5出6》+方），下列说法正确的是（）

1---------------------------------------------------------------Q--/-jr-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

A.7（x）的最小正周期为g

B.点（"J为图象的一个对称中心

C.若〃x）=a（aeR）在xJ-白鼻上有两个实数根，则也。<1

1189」2

D.若“X）的导函数为了'（X）,则函数y=/（x）+/'（x）的最大值为9

【答案】ACD

【分析】对于A,直接由周期公式即可判断；对于B,直接代入检验即可；对于C,画出图形，通过数形结

合即可判断；对于D,求得后结合辅助角公式即可得解.

兀

【详解】由题意可得7=守2，故A正确;

71,5兀=；/0,所以I：。）不是/（x）图象的一个对称中心，故B错误;

sm——

66

令一由一士W得行咛，

根据题意可转化为直线k.与曲线〃X）=Sin,+g],xe有两个交点,

数形结合可得"wa<1,故C正确;

2

设/。)为/(x)的导函数，

则/(%)+/'(x)=sin+y+3cos^3x+=V10sin+y+<V10,其中tan。=3,

当且仅当3x+:+°=f+2配丘Z,即当且仅当、=—?+9+孚入Z时等号成立，故D正确,

323183

故选：ACD.

11.（2022・山东济南•一模）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡

西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系x/中，M（-2,0）,N（2,0）,动点尸

满足1PM卜|尸叫=5,其轨迹为一条连续的封闭曲线C则下列结论正确的是（）

r1

A.曲线C与y轴的交点为（0,-1）,（0,1）B.曲线C关于x轴对称

C.APMN面积的最大值为2D.|。习的取值范围是[1,3]

【答案】ABD

【分析】根据给定条件，求出曲线C的方程，由x=0判断A；由曲线方程对称性判断B；取特值计算判断

C；求出/的范围计算判断D作答.

【详解】设点尸（X/）,依题意，[（X+2）2+/][（X-2）2+/]=25,整理得：X2+/=V16X2+25-4-

对于A,当x=0时，解得y=±l,即曲线C与y轴的交点为（0,-1）,（0,1）,A正确；

对于B,因+（-了）2=x'+/=+25-4，由r换>方程不变，曲线C关于x轴对称，B正确；

2

对于C,当/=:时，y=1,即点p（逅，逅）在曲线C上，S^PMN=-\MN\x^-=y[6,C不正确；

对于D,由「=&6x2+25-4-x220得:x4-8x2-9<0,解得0w/49,

于是得|OP『=工2+,2=J]6/+25-4G[1,9]，解得14|OP|W3,D正确.

故选：ABD

【点睛】结论点睛：曲线C的方程为尸（x,V）=0,（1）如果尸（-x,y）=0,则曲线C关于y轴对称；

（2）如果尸（x,-y）=0,则曲线C关于x轴对称；（3）如果砥-x,-y）=0,则曲线C关于原点对称.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（2024・江西•二模）己知非零向量2]满足2同=忖，且）乂1-q，则标的夹角大小为.

TT

【答案】J

【分析】由向量垂直的数量积表示和数量积的定义式运算即可.

【详解】因为打,-3），设向量£与3的夹角为6,

所以出伍_袱）=12_鼠,=同2-|a|-Ulcos^=0,

,1

所以同|7一2同•同cos8=0,所以cos9=/.

r

TT

因为0＜。＜兀，所以e=§.

所以向量的夹角大小为

TT

故答案为：y.

13.（23-24高二下•四川广安•阶段练习）已知直线了=息+6既是曲线y=lnx的切线，也是曲线y=-ln（f）

的切线，则左+6=.

【答案】-/e-l

e

【分析】利用导数的几何意义计算即可.

【详解】设曲线y=lnx与y=-ln（-x）的切点分别为（再,%）,（%2，%），

易知两曲线的导函数分别为＞=』，y=--＞

[b=0

1+b=-ink

所以<句+b=In玉=>-1+6=In左二

kx2+6=-ln(-x2)

则上+b=L

e

故答案为：-.

e

14.（2024•安徽安庆•三模）一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,

4.现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上

所标数字大即获胜（若所标数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为.

【答案】|

【分析】设事件“甲获胜”为事件A,事件“乙摸到2号球”为事件B,由古典概率公式求出尸（4）,尸（/B）,再

由条件概率求解即可.

【详解】设事件“甲获胜”为事件A,事件“乙摸到2号球”为事件3,

则尸（止YW，中止段p：

3

一1

-259--

-3

25

r

故答案为：—.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.(2024・湖南益阳•三模)已知。、b,。分别是44BC内角A,B,。的对边，

(b-a)cosC=c(cosA-cosB),b1=Zac.

(1)求cosC；

(2)若ZL4BC的面积为A，求c.

7

【答案】(1)4；(2)2.

o

【解析】(1)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合余弦定理可求;

(2)由已知结合三角形的面积公式即可直接求解.

【详解】(1)由(b-a)cosC=c(cos/-cos5)及正弦定理可得,

sinBcosC-sinAcosC=sinCcos-sinCcosB,

所以sin5cosC+sinCcosB=sinCcos4+sin4cosC,

即sin(a+C)=sin(4+C),

所以sinZ=sin8,

所以。=b,

因为/=2ac=2bc，

所以6=2c,

a2+b2-c24C2+4C2-C27

由余弦定理可得，cosC=

2ab2x2cx2c8

(2)由(1)知sinC=

因为44BC的面积为JU,所以LqbsinC=工/=y/15，解可得Q=4,

228

贝!Jc=，Q=2

2

【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面积公式在求解三角形中的应用,

属于中档试题.

22

16.(23-24高二上•江苏徐州•阶段练习)已知椭圆C1+右=1(。〉八0)的一个焦点为尸(2,0),且离

ab

r

心率为上L.

3

（1）求椭圆。的方程；

（2）直线/：y=x+M与椭圆c交于N,8两点，若A/3O面积为百，求直线/的方程.

22

【答案】⑴土+匕=1

62

（2）y=x±2

【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求出a，c,从而求出6,即可求解方程;

（2）联立直线与椭圆方程，韦达定理求出弦长，利用点到直线的距离求出高，根据面积建立方程求解即

可.

【详解】⑴由焦点为尸（2,0）得c=2,又离心率e，=如，得到a=

a3

22

所以〃_。2=6—4=2,所以椭圆。的方程为土+匕=1.

62

（2）设2（工5）,8（%2，、2），

卜2+-1

联立V62,7肖丁得4x2+6mx+3m2-6=0,

y=x+m

2222

A=36m-16（3m—6）=-12m+96>0,得至I」m<8,

由韦达定理得，%+2=-券,占X2=M*

21/4

又因为=&+犷艮-西|=及

又原点到直线的距离为4=旦,

11M

创

所

以\--4--X

/Iso22正

所以加4一8加2+16=0,所以加之=4,即加=±2,¥两足加之<8,

所以直线/的方程为V=x±2.

r

17.(2024•河南•三模)如图，在四棱锥尸-ABCD中，平面尸平面，』瓦/8〃。0,且

AB=2CD=1AD=2BC=2AP=2.

(1)证明：平面P/C_L平面依C；

(2)求平面PAD与平面PBC夹角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)先由线段关系证结合面面垂直的性质判定线线垂直，利用线线垂直证线面垂直；

(2)建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可.

【详解】(1)由题意/8=2。。=24)=2灰7=2,则NABC=60。，

因为2c=1,/2=2,所以//C3=90°,/C_L5C,

因为平面PAB_L平面ABCD,平面PABc平面ABCD=AB,

且尸/1AB,PAu平面尸4B,

所以R4_L平面/BCD,

因为8Cu平面N8CZ),所以尸NJ.8C,

且/CnP/=4/C,P/u平面尸/C,所以2CL平面尸/C,

又BCu平面尸2C,所以平面尸/C_L平面尸3C；

(2)如图，以/为原点，后，羽分别为x轴，V轴正方向，在平面内过点工作平面/BC的垂线为z

I---------1

i轴,

建立空间直角坐标系,

/。39

所以/尸=(1,0,0),/。=0,],1-,PB=(-l,2,0),BC=0,--,^-

设平面尸40的一个法向量4=（x,y,z）,

nx-AP=x=0

则------VJ^z，令z=-1,得々=(0,7^,-1),

n.•AD=—H----=0

122

设平面P5C的法向量”=（m，"，P），

n2-PB=-m+2〃=0

则______n6D，令夕=1，得第=（26,百,1）,

I222

«1-«221

设平面尸AD与平面P5C的夹角为0,则COS0=占昌=「■=：,

闻同2x44

所以平面PAD与平面PBC夹角的正弦值为Vl-cos2^=—.

4

18.（2024•广东茂名•二模）在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具

体赛制为首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵,

胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败

者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，

败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为。（0＜。＜1）,且不同对阵的结果相互独立.

（1）若，=0.6,经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁;

①求甲获得第四名的概率；

②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；

(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最

后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.

【答案】⑴①0.16；②3.128

(2)答案见解析..

【分析】(1)结合对立事件概率和独立事件概率公式求解即可；

(2)结合对立事件概率和独立事件概率公式比较计算.

【详解】(1)①记“甲获得第四名”为事件A,则P(/)=(1-0.6)2=0.16；

②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量X,

则X的所有可能取值为2,3,4,

连败两局：P(X=2)=(l-0.6『=0.16,

X=3可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负；

/>(=3)=0.62+(1-0.6)x0.6x(1-0.6)+0.6x(1-0.6)x(1-0.6)=0.552,

p(X=4)=(1-0.6)x0.6x0.6+0.6x(l-0.6)x0.6=0.288；

故X的分布列如下：

X234

P0.160.5520.288

故数学期望E(X)=2x0.16+3x0.552+4x0.288=3.128；

(2)“双败淘汰制”下，甲获胜的概率P=/+p(l-0)02+(]-0/=(3-2°)/,

在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为

由(3-2p)p3_p2=p2(3p_2p2_])=p2(2p-l)(l-p),且0<P<1

所以0eg,小寸，(3-2p)p3>p2,“双败淘汰制”对甲夺冠有利；

时，(3-2p)p3Vp:"单败淘汰制”对甲夺冠有利；

p=g时，两种赛制甲夺冠的概率一样.

19.（2024・河南信阳•二模）已知函数y=/（x）,其中〃x）=；x3一履2,左eR.若点A在函数y=的图

像上，且经过点A的切线与函数＞=/（x）图像的另一个交点为点B,则称点B为点A的一个，上位点”，现有

函数y=图像上的点列M，加2,…，MQ…,使得对任意正整数"，点""都是点的