2025年北京高考数学复习热点题型专练：立体几何外接球与内切球+截面问题（6类题型全归纳）（解析版）

热点题型•选填题攻略

专题07立体几何外接球与内切球+截面问题

o------------题型归纳•定方向-----------♦>

目录

题型01内切球等体积法.........................................................................1

题型02内切球独立截面法......................................................................6

题型03补形法.................................................................................8

题型04单面定球心法（定+算）................................................................12

题型05双面定球心法（两次单面定球心）.......................................................17

题型06平行线（相交线）法做截面..............................................................21

•-----------题型探析・明规律-----------<>

题型01内切球等体积法

【解题规律•提分快招】

例如：在四棱锥尸-中，内切球为球O,求球半径方法如下:

—P-ABCD=^O-ABCD+匕）—PBC+^O-PCD+^O-PAD+^O-PAB

即：VP-ABCD=~^SABCD-r+PBC-r+-^SPCD'r+PAD-r+SPAB'r，

可求出L

【典例1-1］（24-25高三上•浙江,开学考试）若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的

球），且母线与底面所成角的余弦值为:，则此圆台与其内切球的体积之比为（）

【答案】A

【知识点】锥体体积的有关计算、台体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问

题

【分析】将圆台还原成圆锥，作出圆锥的轴截面，再结合给定角求出圆锥底面圆半径、高与内切球半径的

关系即可计算得解.

【详解】将圆台母线延长交于点S,得圆锥S。，作圆锥SQ的轴截面，等腰梯形/2C。为圆台的轴截面，

截内切球。得大圆，并且是梯形的内切圆，令S/切圆。于7,如图,

设底面圆直径48=2R,依题意，cosZSAO,=1,SA=3R,SO{=14^R,

设内切球半径为「，贝U=厂，cosZ.SOT=,SO-3r,

SO\=4r=2®R,于是R="且Q为SQ的中点，而内切球体积匕=彳，）

圆台的体积匕=!成2.50「!兀（；©2.；501=称（石）2.4/=^^

所以圆台与其内切球的体积比为去=1.

V\4

故选：A

【典例1-2］（23-24高一下•福建龙岩•期末）已知球。内切于圆台所，其轴截面如图所示，四边形45CZ）

八27扃D51®.57缶c63扃

4444

【答案】D

【知识点】台体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、切线长

【分析】根据题意，作出图形，得到上下底面的半径，进而分析运用勾股定理求出高即可.

【详解】根据圆和等腰梯形的对称性知道，民尸分别为上下底的中点.

连接E尸，则斯_LOC,过BGLDC于G.四边形E8CG为矩形.

33

由于。。=6,43=3,则尸。=3,£8=5,贝i]GC=/C-bG=FC-8E=/.

39

由切线的性质知道2c=2£+。尸=彳+3=不

22

则BG=yjBC2-GC2=J(-)2-(-)2=3A/2.

'=2+S下+干）〃,S上』X审=*X3J9兀"5G=3收

代入计算可得，展上丹+9加+而）x3H当红

【变式1-1］（2024•河南开封•二模）已知经过圆锥S。的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥

S。分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的体积之比是

()

A.1:8B.1:9C.1:26D.1:27

【答案】C

【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【分析】作出圆锥S。的轴的截面，根据题意推出上、下两部分几何体的两部分的内切球的半径之比为1:3,

从而可得上部分圆锥的体积与圆锥S。的体积之比为1:27,从而可得解.

【详解】如图，作出圆锥5。的轴截面“8,

设上、下两部分几何体的两部分的内切球的球心分别为E,F,半径分别为，，R,

即。尸=FG=R,EG=r,

根据题意可知为正三角形，易知SE=2r,圆锥S。的底面半径O8=GR,

:.SO=2r+r+R+R=3r+2R,又SO=J3OB,

/.3r+2R=3R,R=3r,

上部分圆锥的底面半径为技，高为3r,

又圆锥SO的底面半径为08=6尺=3、/3r,高为SO=3r+2R=9r,

上部分圆锥的体积与圆锥SO的体积之比为=',

上、下两部分几何体的体积之比是1:26.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到上、下底面的半径的关系，从而得到两圆锥的体积之比.

【变式1-2]（23-24高一下•湖北黄冈•期末）若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为

1,当该圆锥体积是球体积两倍时，该圆锥的高为（）

A.2B.4C.V3D.2A/3

【答案】B

【知识点】球的截面的性质及计算、锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接

问题

【分析】先设出未知量，即圆锥半径为「，圆锥高为〃，分析组合体轴截面图，找出，与『的一组关系式，

再根据题意中圆锥与球体的体积关系找出另一组〃与〃的关系式即可求出答案.

【详解】如下图组合体的轴截面，设圆锥半径为『，圆锥高为则左=/*,AO=h-\,AC=^h2+r2-

由sin/O4E=sin/。尸得笑=与，代入得斤/一2〃/一层=0①，

OACA

由"该圆锥体积是球体积两倍"可知『；仃2•〃=2Xg万义由，即加2=8②，联立两式得h=4.

故选:B

【变式1-3]（24-25高三上•河北保定•开学考试）如图，己知球。内切于圆台（即球与该圆台的上、下

底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径〃=1,2=3,则球。与圆台。。2侧面的切痕所在平面分圆

台上下两部分体积比为

【知识点】台体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【分析】作出该几何体的轴截面，利用平面几何知识，分别计算出切痕所在平面圆的半径尸和上下两个

圆台的高qq和02°3，即可代入圆台体积公式计算即得.

【详解】

如图为该几何体的轴截面，其中圆。是等腰梯形/BCD的内切圆,

设圆。与梯形的腰相切于点尸,。，与上、下底分别切于点。，3，

圆台上、下底面的半径为4=1,2=3.则C01=CP=1,BC）2=BP=3,.

TT

BC=BP+PC=4,于是，在直角梯形0028c中，易得/B=g,

002=20P="2-（3-iy=273,则NOQP=N8=],

设。P与。。2交于点Q，则。尸=6sin；=|,

003=-。。3=班-限OS；='，

O2O3=002-003=2拒-与=号.

故圆台。1。3体积为匕二;义母（兀+j兀X：•兀+：•兀）-兀,

圆台。203体积为匕二;x3^3（,7l+•兀乂9兀+9兀）=63,兀,

1973

v0.兀IQ

故切痕所在平面分圆台上下两部分体积比为U3.

/63Wlov

19

故答案为：•

题型02内切球独立截面法

【解题规律•提分快招】

定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体

的外接球。

定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多

面体的内切球。

彳我新nii一(「202了汪痂在「三像T者二不塞面袜的客面都写二不球的球面相切「则森透不我患i不至而一

体的内切球.在四棱锥尸-48。中，侧面尸4B是边长为1的等边三角形，底面4BC£＞为矩形，且平面P/8JL

平面N8CZ).若四棱锥尸-/BCD存在一个内切球，设球的体积为匕，该四棱锥的体积为％,则J的值为

()

A也兀n百兀百兀K6兀

A.D.-----Lr.-----U.

6121854

【答案】C

【知识点】锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、面面垂直证线面垂

直

【分析】过点尸作出四棱锥尸-/BCD的内切球截面大圆，确定球半径表达式，再借助四棱锥体积求出球半

径计算作答.

【详解】如图，取48中点M,CD中点N,连接尸M,PN,MN,

因AP/8是正三角形，贝又/BCD是矩形，有MN，AB,

而平面尸48_L平面48cD,平面尸48c平面48co=48,PMu平面尸48,肱Vu平面/BCD,

因此PN_L平面4BCD,平面尸42,

又AD//MN//BC,则/。，平面P4B,2C_L平面尸48,则NOJ.P4,BCVPB,

PMnMN=M,PAf,A/7Vu平面RW,则平面RW,又TWu平面PAW,

所以N8_LPN,而48//CO,则CD_LPN,显然AP4D*PBC,

由球的对称性和正四棱锥尸-4BC。的特征知，平面尸肱V截四棱锥尸-4BCA的内切球。得截面大圆，

此圆是RtzXPMN的内切圆，切儿W,分别于E,F,有四边形OE1小为正方形，

设4D=x,又PM=2,PN=j-+x2,则球的半径r=无+g-J|=,

2V4212\4J

2

又四棱锥P—ABCD的表面积为S=SPAB+2SPAD+SABCD+SPCD=+x+x-\—.1—bx，

119Fi

由Vp-ABCD=wSr=WSABCD，PM，解得X=―-—，

333

〃43g1273V31

匕二一兀厂=——兀，TK=-x-----x——=一，

135423323

所以『常

故选：C.

【点睛】关键点睛：本题解题的关键是过点尸作出四棱锥尸-N8CD的内切球截面大圆，利用等体积法求出

内切球半径r和/。.

【变式1-1］（23-24高一下•浙江宁波・期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖

席.在鳖膈N-3。。中，N5_L平面8。，BC1CD,且/5=5C=CD=1,则其内切球表面积为（）

A.3兀B.百兀C.（3—2^/^卜D.—1）兀

【答案】C

【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、线面垂直证明线线垂直

【分析】设四面体N2C。内切球的球心为。，半径为小则

^ABCD=%-ABC+%-ABD+^O-ACD+^O-BCD=1'（S"BC+^AABD+^ABCD），求得

%LSWC+S+S△仙+%°=1+也，^cB=|xjxlxlxl=1,从而求得「=*!，根据球的表

面积公式即可求解.

【详解】

A

因为四面体ABCD四个面都为直角三角形，48，平面BCD.BC1CD,

ACLCD,

设四面体45CD内切球的球心为。，半径为小

则/ABCD=，O-ABC+—O-ABD+^O-ACD+%-BCD=］丫AABC+'"BD+'"8+^ABCD）

37

所以尸二7一，

ABCD

因为四面体ABCD的表面积为SABCD=S^BC+S^ABD+S△力s+SgcD='+0

又因为四面体ABCD的体积yD——X-X1X1X1——，

ABC326

所以—3,

S2

所以内切球表面积S=4m2=（3-2四）兀.

故选：C.

题型03补形法

【解题规律•提分快招】

①墙角模型（三条线两个垂直）

题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）

②对棱相等模型（补形为长方体）

题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径

（AB=CD,AD=BC,AC=BD）

【典例1-1］在△4BC中，BC=6,AB+AC=8,E,F,G分别为三边8C,CA,的中点，将A/FG,

△BEG,△口??分别沿尸G,EG,£尸向上折起，使得/,B,C重合，记为尸，则三棱锥尸-£FG的外接

球表面积的最小值为（）

15K17兀19兀21n

A.-----B.-----C.-----D.

2222

【答案】B

【知识点】基本（均值）不等式的应用、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【分析】设45=2加,AC=2n,由题设加+〃=4.将尸一ENG放在棱长为％,y,z的长方体中，可得歹/,加,〃

的关系式，三棱锥尸-EFG的外接球就是长方体的外接球，利用基本不等式结合球的表面积公式求解.

【详解】设45=2机，AC=2n,由题设加+〃=4.

三棱锥尸—£FG中，FG=PE=3,EF=PG=m,EG=PF=n,

将尸-£FG放在棱长为x,y,z的长方体中，如图，

E

-x2+,y2=々32

则有y2+,z2=m2

22+x2=n2

三棱锥尸-EFG的外接球就是长方体的外接球，

所以RR）?=/+y2+z2=1（9+m2+M2）,

由基本不等式/+n2>（，??+Z?）2=8,当且仅当"7=n=2时等号成立，

2

所以外接球表面积S=4成2>1（9+8）71=^.

故选：B.

【点睛】关键点睛：本题解决的难点是根据题意得到三棱锥尸-EFG的特征，从而放置到相应的长方体中,

由此得解.

【典例1-2】据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”,

尸/，底面ABCD,底面4BCD是矩形，且尸4=5,48=4,BC=3,则这个“阳马”的外接球表面积为（）

A.5兀B.200兀C.507tD.100兀

【答案】C

【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【分析】把四棱锥P-488补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥尸-/台。

的外接球直径，由长方体性质求得球半径后可得表面积.

【详解】把四棱锥尸-NBCD补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥尸一月8co

的外接球直径，

设球半径为尺,贝！］（2尺）2=尸/2+庙+叱=50,

球表面积为S=4兀叱=50?t.

【变式1-1】三棱锥尸一/BC中，平面NBC,S.PA=AB=2,AB±BCS.BC=4,三棱锥P-48C的

外接球表面积为（）

28%

A.16nB.20TtC.------D.24Tl

3

【答案】D

【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【分析】将三棱锥放入一个长方体中，求出长方体的体对角线，则得到长方体外接球的直径，利用球的表

面积公式求解即可.

【详解】解：因为三棱锥尸-48C中，尸/，平面/8C,ABLBC,

不妨将三棱锥放入一个长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，

因为长方体的体对角线即为其外接球的直径，因为以=AB=2,BC=4,

则长方体的长宽高分别为4,2,2,所以三棱锥P-ABC外接球的半径区=型+2*甲=戈,

故三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4FR2=24TT.

故选：D.

p

【变式1-2］已知三棱锥力-BC。的所有棱长均为2,球。为三棱锥力-BC。的外接球，则球。的表面积为

()

A.兀B.2兀C.471D.6兀

【答案】D

【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【分析】把正四面体放置在正方体中，转化为正方体外接球问题，求出半径，代入球的表面积公式求解即

可.

【详解】三棱锥的所有棱长均为2,

故可把三棱锥A-BCD放置在正方体中，

如图

设正方体的棱长为°,则/+°2=22,解得.=也，

三棱锥A-BCD的外接球就是正方体的外接球，

故球。的半径尺=浮=亭，所以球。的表面积5=4兀［日］=6TI.

故选：D

【变式1-3］在边长为4的正方形4BCD中，如图甲所示，E,F,"分别为2C,CD,BE的中点，分别沿

AE,N尸及斯所在直线把和-C折起，使2,C,。三点重合于点尸，得到三棱锥P-NEF,

如图乙所示，则三棱锥尸斯外接球的体积是；过点〃的平面截三棱锥P-/E尸外接球所得截

面的面积的取值范围是.

\彳*/

\/…\7

\/II/

I♦，“JI/

BMEC^Sf-：

【答案】8v薪［兀,6兀］

【知识点】球的截面的性质及计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【分析】对于第一空，三棱锥尸-NEV外接球即为补形后长方体的外接球，从而即可求解；对于第二空，由

最大截面为过球心O的大圆，最小截面为过点〃垂直于球心。与M连线的圆即可求解.

【详解】对于第一空，由题意，将三棱锥补形为长、宽、高分别为2,2,4的长方体，如图所示，

三棱锥P-AEF外接球即为补形后长方体的外接球，

所以外接球的直径（2火『=2?+2?+?=24,所以R=卡，

所以三棱锥P-AEF外接球的体积为V=-TIR3=8而t；

对于第二空，过点M的平面截三棱锥P-AEF的外接球所得截面为圆，

其中最大截面为过球心。的大圆，此时截面圆的面积为兀女=兀（新）=6兀，

最小截面为过点M垂直于球心。与M连线的圆，

此时截面圆半径r=J尺2一加2=一（啜J=i（其中"N长度为长方体前后面对角线长度），

则截面圆的面积为兀7,=兀，

所以过点加的平面截三棱锥P-/Eb的外接球所得截面的面积的取值范围为［兀,6兀］.

故答案为：8&兀；［兀,6兀］.

题型04单面定球心法（定+算）

【解题规律•提分快招】

「赤彝;一①比二不面亦接直面兀「透市二不面如面「布三函fA二7前币「速市底商益方心丁福兔箕开谢

圆心a（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心

ra、

2r=------）；

sin4

②过外心a做（找）底面A48c的垂线，如图中尸，面4BC,则球心一定在直线（注意不一定在线段尸«

上）尸。1上;

③计算求半径R：在直线尸。1上任取一点。如图：则。尸=CU=R,利用公式。42=0/2+00；可计算

出球半径A.

【典例1-1】已知球。是正三棱锥尸-/3C的外接球，若正三棱锥尸-ABC的高为0,底边AB=C，则

球心。到平面/8C的距离为（）

A.也B.交C.旦D."

4242

【答案】A

【知识点】多面体与球体内切外接问题

【分析】设正三棱锥尸-4BC的底面中心为。为8c的中点，连接显然球心。在直线尸K•上，由

CM?=0河2+/M?可得外接球半径，从而得解.

【详解】设正三棱锥P-48C的底面中心为用，。为8C的中点，连接

P

显然球心。在直线上，设球。的半径为心因为=也，

所以球心。到底面N2C的距离为（W=|后-R|,AM=^AD=^ABx^-=\,

3372

由042=0^2+4^2,得R2=(E—R)2+I2,R=—^

2j24

所以球心0到平面45C的距离为0—迪=也

44

故选：A

【典例1-2】在四面体/BCD中，AB=4,CD=2,AC=AD=BC=BD=3,则四面体/BCD的外接球表面积

为.

■生--651,65

【答案】—1~n

【知识点】多面体与球体内切外接问题

【分析】取CD中点E,连接设出球心，求出△BCD的外接圆半径，根据/尸+O尸=可建

立关系求出.

【详解】如图，取C。中点E,连接

因为A8=4,CD=2,/C=/O=8c=8。=3,

所以/E_LCD,8E_LC£),

易求得BE=AE=J32—心=20,满足3片+/£2=/笈，

所以因为8EriCD=E,所以NE_L平面3cZ),

设球心为。，球半径为R,设△8C。的外接圆圆心为。'，半径为人

9A/20n9V2

可得sinNBCD=—=,则2r=——

BC3sin/BCD4

在上取一点尸，令。。'=所，讽EF=OO'=doB2—O'B

OF=O'E=241-^L^^L'AF=2V2-

88

222

因为在Rt^AOF中AF+、OF=AO,

所以2J5—",解得t

7

所以表面积为4成、等

.,、t65兀

故答案为：——

4

【变式1-1】已知球。为棱长为1的正四面体/BCD的外接球，若点尸是正四面体/3CD的表面上的一点,

。为球。表面上的一点，则|尸。|的最大值为（）

【答案】D

【知识点】球的结构特征辨析、多面体与球体内切外接问题

【分析】求出正四面体外接球半径，再分析出|尸。|最大值即可外接球直径.

【详解】首先求出正四面体外接球的半径：

由正四面体的对称性与球的对称性可知球心在正四面体的高上：

设外接球半径为五，如图（。为外接球球心，G为△5CQ的重心），

「口G2e1G

CE=——,CrGr=—CE=——,EG=-CE=——，

23336

:.AG=y）AC2-CG2=—,/.OG=--R,

33

用△OCG中，OC2=OG2+CG2,

即心停停）2,得公斗,

因为点P是正四面体/BCD的表面上的一点，0为球。表面上的一点，

则的最大值相当于外接球的直径，则|尸。最大值为2R=2x9=等.

故选：D.

D

【变式1-2］已知一个正三棱柱既有内切球又有外接球，且外接球的表面积为40兀，则该三棱柱的体积为

（）

A.6&B.1276C.6屈D.12厢

【答案】B

【知识点】柱体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【分析】利用正三棱柱的性质，依题知其内切球和外接球是同心球，先求出外接球半径，再根据球心在底

面的投影恰为底面正三角形的中心，由之求得底面三角形边长，从而可求体积.

【详解】

B

如图，设正三棱柱ABC-44G的外接球O的半径为R,

贝1」4兀尺2=40兀，解得R=

因三棱柱NBC-48cl有内切球，设内切球半径为『，则正三棱柱的高为2r,

连接AABCMBG的中心a,a,则线段Q。1的中点即为球心。，

依题意，△4BC内切圆半径为r,得02c=2r,AB=2后,

则（2»+r2=R2,解得r=0AB=2瓜

故三棱柱的体积为忆=—x（2而）2X2A/2=12痣

4

故选:B.

【变式1-3】已知正△4BC边长为1,将△4BC绕8C旋转至△D2C,使得平面4BC_L平面，则三棱

锥。-48C的外接球表面积为.

【答案】

【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题

【分析】由题意画出图形，取BC中点G,连接NG,DG,分别取A/BC与△D2C的外心作平面48c与

平面。3c的垂线，相交于。，则。为四面体。的球心，再利用勾股定理求出多面体外接球的半径,

代入表面积公式得答案.

【详解】如图，

D

取8c中点G,连接NGQG,则/GL5C,DGVBC,

分别取A/8C与ADBC的外心£尸分别过E尸作平面48c与平面D3C的垂线，相交于O,则。为四面体

N-BCD的球心，

由48=/C==DC=BC=1,

所以正方形OEG尸的边长为9G邛

6

四面体4-BCD的外接球的半径尺=yJOG2+BG2

一球。的表面积为471X

碣=T

5IT

故答案为：y.

题型05双面定球心法（两次单面定球心）

【解题规律•提分快招】

如图：在三棱锥尸—Z8C中：

①选定底面AA8C,定A48C外接圆圆心g

②选定面APAB,定APAB外接圆圆心Q

③分别过已做面4BC的垂线，和Q做面尸48的垂线，两垂线交点即为外

接球球心O.

【典例1-1】已知菱形N2C。的各边长为2,40=60。.如图所示，将A/CD沿/C折起，使得。到达点S的

位置，连接S8,得到三棱锥S-N8C,此时S3=3,E是线段“中点，点尸在三棱锥S-/8C的外接球上

运动，且始终保持则三棱锥S-ABC外接球半径为,则点尸的轨迹的周长为.

【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直

【分析】根据线线垂直可得平面斜必，由直角三角形可得三棱锥的高，结合勾股定理进而可得三棱

锥外接球的半径，可得点的轨迹为截面圆的周长.

【详解】取NC中点则ACSM,BM^SM=M,u平面1sW,

.•.4C_L平面5W,SM=MB=m,又SB=3,

4sBM=ZMSB=30°,

作即，4c于"，设点尸轨迹所在平面为a,

则平面a经过点“且/C_La,

设三棱锥S-4BC外接球的球心为。，xSAC,AB4c的中心分别为Q,O2,

易知。Q_L平面&4C,。2，平面B/C,且。，«,O2,M四点共面，

由题可得ZOMO、=1ZOtMO2=60°,O、M=；SM=R,

在RtZkOQX,得00]=6。阳=1,又O、S=3SM=手,

则三棱锥s-ABC外接球半径r=Joo；+OS=6=浮，

易知。到平面a的距离=

2

故平面a截外接球所得截面圆的半径为a-/==乎，

.•.截面圆的周长为/=2叫=孚*即点尸轨迹的周长为半兀.

故答案为：竺，竺兀.

33

5.O

A

【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问

题求解，其解题思维流程如下：

(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相

等且为半径；

(2)作截面：选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些

元素的关系)，达到空间问题平面化的目的；

(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

【典例1-2】如图，在四面体4BCD中，△48。与均是边长为2g的等边三角形，二面角-C

的大小为120。,则此四面体的外接球表面积为.

C

【答案】28TI

【知识点】球的表面积的有关计算、由二面角大小求线段长度或距离

【分析】由已知结合二面角及三棱锥的性质先定出球心的位置，然后结合球的性质求出球的半径，进而求

得答案.

【详解】过球心。分别作平面ABD、平面BDC的垂线,垂足分别为Q,02,则«,02分别为与ABCD

的外心，

取8。的中点b,连接O2H,因为与均是边长为2省的等边三角形

所以NO2Hoi为二面角A-BD-C的平面角，即NO2Hoi=120°,

在中，，q=；xgx2V^=l,ZOHO,=1Z<92HO1=60°,

所以。。1=HO「tanNOHC\=6,在Rt^OA。中，AOX=2HOl=2,

故外接球的半径7?=0/="1=疗，所以外接球的表面积为S=4TTR2=28兀

故答案为：28K

【变式1-1］如图，在四面体N38中，△48。和A/C。均是边长为6的等边三角形，D8=9,则四面体/8C。

外接球的表面积为；点后是线段4D的中点，点下在四面体/BCD的外接球上运动，且始终保持

EF1AC,则点尸的轨迹的长度为.

【答案】84TI5&

【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、立体几何中的轨迹问题

【分析】设四面体N2C。外接球的球心为。,ANCAB/C的中心分别为，,.，则可得。。|，平面

DAC,OO21^BAC,且■四点共面，可得/0跖）|=；/。眼。2=60°,进而求出O。、op,

然后由勾股定理求出四面体48。外接球的半径；取NC中点作E〃_LNC于〃，设点尸轨迹所在平面

为a,求出四面体力BCD外接球半径和。到平面a的距离，从而可求出平面a截外接球所得截面圆的半径,

进而可得结果.

取NC中点连接则NC_L8M,NC_LDM,2Mn£）M=M,员/。河u平面”出,

又△42C和A/CA均是边长为6的等边三角形，DB=9,

.・./C_L平面。Affi,DM=MB^yj62-32=373-

所以cos的-2+（时-丁匚6

2x9x362

•••NDBM=NMDB=30°,

设四面体/BCD外接球的球心为。,A'CAB/C的中心分别为。,。2，

易知。。―平面D4C,OQ，平面胡C,且O,a,a,河四点共面，

由题可得/0M0、=|ZOXMO1=60°,OXM=：DM=杷,

在R/AOO]M中，得。O1=GO]A/=3,又O[D=：DM=2拒,

2

则四面体ABCD外接球半径r=JOO：+OQ2="十©用=721,

所以四面体NBC。外接球的表面积为4兀产=4兀=84兀；

作EHL/C于a,设点尸轨迹所在平面为a,

则平面a经过点//且NC_La,

3

易知。到平面a的距离d=〃"=',

故平面a截外接球所得截面圆的半径为4=y）r2-d2=^21-1=当

所以截面圆的周长为/=2叼=5671,即点尸轨迹的周长为5行九

故答案为：84兀；567t.

题型06平行线（相交线）法做截面

【解题规律•提分快招】

平行凶法至近两豕平行-7府芟厂商残'桶兔硅二年而

一【五椀工1丁723：24「高三下死景原疏血*）而画;在ii质稼7万3二%万匕万；曲二万二£瓦卢芬丽居6”,丽

的中点.用过点产且平行于平面/BE的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（）

A.V6B.2V5c.V5D.氾

2

【答案】B

【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形

【分析】根据平行四边形的性质可得四边形2cz"为截面所在的四边形，即可利用线面垂直得四边形

2G尸初为矩形，即可求解.

【详解】取N4的中点〃，连接D、M,DXF,JF,

则MF!/ABHCfi,，故四边形Dfi.FM为平行四边形，即为过点F且平行于平面ABE的截面,

D、M=石,A/F=2,且J平面ADDXCX,D、Mu平面ADD6，则CtD,1D、M,

故四边形为矩形，

故四边形的面积为板-DiM=2右，

故选：B

【典例1-2］（21-22高二上,北京•阶段练习）正方体/BCD-/出G。中，£是棱小。中点，尸是棱中

点，G是棱8c中点，作出过E,F,G的平面截得正方体的截面形状.

【答案】作图见解析

【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形、面面平行证明线线平行

【分析】根据正方体的几何结构特征，结合平面的性质，即可求得截面的性质.

【详解】过E,F,G的平面截得正方体的截面为六边形糜FG80,如图所示，

作法：根据给定的条件，得到尸G就是一条交线，

又因为平面/8CDII平面A1BQQ1，第三个平面和它们相交，截面和面AIBICQJ的交线一定和FG平行,

又由E是小。/的中点，故取CQ/的中点0,则也是一条交线，

再延长QE和BiA］的延长线交于点M,则点M在平面//8/GQ和平面ABB/j的交线上，

连接〃尸，交出4于点K,则EK,K尸又是两条交线，

同理可以得到“G两条交线，

因此，六边形EAFG//。就是所求截面.

【变式1-1]（23-24高一下•北京通州•期末）如图，正方体/BCD-48cA的棱长为1,E为5c的中点,

尸为线段CG上的动点，过点A,E,尸的平面截该正方体所得截面记为S,则下列命题正确的是.

①直线。。与直线4尸相交；

②当0<CF<；时，S为四边形；

③当尸为CG的中点时，平面力跖截正方体所得的截面面积为1；

O

④当cv=q时，截面S与4A,G2分别交于则脑「手.

【答案】②③④

【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形、异面直线的判定

【分析】①，由。Q//平面NCG4,可知直线。。与直线//不可能相交，即可判断；

②，由0<3<：可得截面S与正方体的另一个交点落在线段。〃上，即可判断；

③，由E为3C的中点，尸为C。的中点，可得截面为等腰梯形，求出等腰梯形的上、下底和高，即可求

得截面面积，即可判断；

…31

④，当CV=a时，延长。，至R，使。R=],连接⑷?交4。于M,连接Rb交C|D1于N连接〃N,取

的中点S,上一点0,使。0=：,连接S£、SQ、QF,可求得AN,，“，再利用勾股定理求出MN,

即可判断.

【详解】①，因为尸为线段cq上的动点，所以4FU平面/CG4,由正方体可知平面NCG4,所

以直线与直线4尸不可能相交，故①错误；

②，当0<C尸时，截面S与正方体的另一个交点落在线段。R上，如图所示:

所以截面为四边形；

又4Gu面4MG,故4G〃面/EV,故②正确;

③，连接如下所示：

因为E为2c的中点，尸为CG的中点，

则EF//BCJ!AD〉故面AEFD,即为平面AEF截正方体所得截面;

在RtA^QF和RtAABE中，

又RF=4E=卜+[]T，故该截面为等腰梯形，

1_________5_________

又EF=^BCi=dBB；+BC=q，AR=^AA；+/R=也，

故截面面积$」（所+叫卜£尸-（迎匚2]+/]*逑=2,故③正确;

2VI2）21248

31

④，当时，延长。2至&,使〃R=5，

连接/R交42于“，连接尺厂交C1〃于N连接MN,

3

取4。的中点S,上一点。，使。。=4,连接SE、SQ.QF,

如图所示:

R

因为SE//。。且SE=OC,QF11DCAQF=DC,

所以SE//少且S£=0F,所以四边形SEF。是平行四边形，则S。//皮"

133

由〃R=5，DQ=-,所以Q7?=QA+ZV?=O〃_£»Q+ZV?=a，

则。为。尺中点，则SQ///R,所以EF//4R,

又ARD、N~AFC\N,ARD、M~AAA、M,

空=空二*皿空=夏」

GNQFJ_34MA.A12'

4

2211

所以。N=-DlCl=-,DiM=-D}Ai=~,

则在中2。冬

RtAgNMN=d/N+D\M=+1J=故④正确;

故答案为：②③④.

【变式1-2］（23-24高一下•北京昌平•期末）在棱长为1的正方体/BO-44G2中，E,F,G分别为

棱44，G2，CG的中点，动点H在平面EFG内，且。8=1.给出下列四个结论:

①48//平面EFG；

②点//轨迹的长度为兀；

③存在点“，使得直线，平面EFG；

④平面EFG截正方体所得的截面面积为乎.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②④

【知识点】判断正方体的截面形状、判断线面平行

【分析】根据昆尸,G都是棱的中点，可以做出过旦尸,G的截面，再根据正方体的棱长和。H的长度，可确

定〃点的轨迹，从而可判断各个结论的正确性.

【详解】如图：

因为尸，G分别为G。，中点，所以产G〃C〃，

又CDJ/48,所以&B//尸G,又尸Gu平面EFG,420平面E尸G,

所以48//平面EFG,故①成立；

连接。耳，交EG于点。，易证。耳，平面EFG,OD=—