2025年北京高考数学复习热点题型专练：三角函数的图象与性质（8类题型全归纳）（解析版）

热点题型•选填题攻略

专题04三角函数的图象与性质

o------------题型归纳•定方向-----------*>

目录

题型01三角函数单调性.........................................................................I

题型02周期...................................................................................5

题型03对称轴与对称中心.......................................................................9

题型04奇偶性.................................................................................13

题型05最值与值域（可化为一元二次函数型）...................................................15

题型06图象平移与伸缩变化....................................................................17

题型07根据图象求解析式......................................................................20

题型08与。有关的问题........................................................................24

♦>-----------题型探析,明规律-----------O

题型01三角函数单调性

【解题规律•提分快招】

函数y=smxy=cosxy=tanx

在\7^\3TT4K

图象"2(V\\2r

2；n：2

Rk兀一%,2k兀+eZ(kn-gk兀+y),keZ

递增区间[2k7i-肛2k兀]9keZ

nCT3兀、.〜

递减区间[2左乃+—,2k兀H—左£Z[2k兀,2k兀+»],左eZ无

【典例1-1］（22-23高一下•北京怀柔・期末）已知/（x）=2sin2x则〃X）满足（）

A.周期是2兀，在。卷上单调递增B.周期是如，在0皆上单调递减

C.周期是兀，在0方上单调递增D.周期是兀，在0胃上单调递减

【答案】C

【知识点】求cosx型三角函数的单调性、二倍角的余弦公式、求余弦（型）函数的最小正周期

【分析】先利用余弦的二倍角公式化简/（x）可得周期，再利用余弦函数的单调性判断可得答案.

【详解】/（x）=2sin2x=l-cos2x,所以周期丁二1=兀；

当工£0卷时，2xe[0,7i],

因为/（x）=cosx在％w[0,7i]单调递减，所以歹=1-cosx在％G[0,兀]单调递增，

所以/（x）=2sin2、=l—cos2x在0,]上单调递增.

故选：C.

【典例1-2]（23-24高一下•北京•阶段练习）设函数/（尤）=—则可断定函数〃x）（）

tanx+1

TT

A.最小正周期为H,奇函数，在区间（0,万）上单调递增

B.最小正周期为71,偶函数，在区间（0,；TT）上单调递减

C.最小正周期为曰7E，奇函数，在区间（0J,r9上单调递增

D.最小正周期为iTT，偶函数，在区间（0J,T9上单调递减

【答案】B

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求含tanx的函数的单调性、求含tanx的函数的奇偶性、求正切（型）

函数的周期

【分析】根据给定条件，利用奇偶函数定义、复合函数单调性，结合正切函数性质判断得解.

17T

【详解】函数/（、）=「~；的定义域为{X£R|XWZ+E水£Z},

tanx+12

11

显然/(-%)=即函数/（x）是偶函数，排除AC；

tan2(-x)+1tan2x+1

]

X/(X+71)=「/（x），即函数“X）的周期是支，

tan2(%+兀)+1t,anJx+1

而“0）=1,当X=：时，“X）无意义，则:不是“X）的周期，因此/'（X）的最小周期是兀，排除D；

TTTT

函数y=tanx在（0,9上单调递增，且tanx>0,则ktan?x在（0,；）上单调递增，

1TT

所以函数/（%）=「一;在（0,彳）上单调递减，B正确.

tanx+12

故选：B

【变式1-1]（23-24高一下•北京顺义・期末）下列函数中，以兀为最小正周期，且在区间上单调递增

的是（）

A.y=tan］x+；jB.y=|sinx|C.y=cos2xD.y=sin］x-：j

【答案】B

【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、求正切（型）函数的周期、求正弦（型）函数的最小正周期、

求sinx型三角函数的单调性

【分析】对于A,ktan（x+9在（0百单调递增，在（?5）单调递增，故A错误；对于B,作出函数尸|sinx

4442

的大致图象，由图可知，B正确；对于C,函数V=cos2无在（0q）单调递减，故C错误；对于D,函数，=5m（》-今

最小正周期为2兀，故D错误.

7T

【详解】对于A,函数y=tan（x+：）的最小正周期为兀，

4

当xe（04时，x+

2444

所以y=tan（x+?）在（0；）单调递增，在（;5）单调递减，故A错误；

4442

TT

对于B,作出函数）=|sinx|的大致图象如图所示，函数>=|sinx|的最小正周期为兀，且在区间（0,今单调递

增，故B正确；

7T

对于C,函数y=cos2x最小正周期为兀，由2E<2x<7i+2E;,左EZ,得也<x<,+E,左EZ,当左=0时，

7T

了=32%在（0,万）单调递减，故C错误；

对于D,函数y=sin（x-a最小正周期为2无，故D错误.

【变式1-2］（23-24高二下•北京・期末）已知函数/1(无)=2sin(ox+0),xER,其中o>0,-n<<p<n.若

/'（x）的最小正周期为6兀，且当x=5时,/（x）取得最大值，则（）

A.在区间［-2兀,0］上是减函数B./（%）在区间［-3匹f］上是减函数

C.“X）在区间［-2兀,0］上是增函数D.在区间［-3兀,-兀］上是增函数

【答案】C

【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求sinx型三角函数的单调性、由正弦（型）函

数的值域（最值）求参数、由正弦（型）函数的周期性求值

7T

【分析】由函数“X）的最小正周期为6兀求0,且2sin（z+e）=2求。，进而确定解析式，分别求出函数的

0

单调增区间和减区间，结合选项验证即可.

2兀1

【详解】••・函数”X）的最小正周期为6兀，根据周期公式可得。

0713

/（%）=2sin（—x+cp）,

•.•当x=5时，/'（X）取得最大值，

JTJT

/.2sin（—+°）=2,贝0=—+2E,

63

,兀

,/-7C<67<71=>0=—,

3

1TT

•••/（x）=2sin（-x+-）,

由一四+2标+四（—+2fai,得函数的单调增区间［6E-2,6hr+囚］左EZ,

233222

由四+2E型+2版,得函数的单调减区间［6fat+g,6E+M］左eZ,

233222

结合选项知C正确，

故选：C.

【变式1-3］（24-25高三上•广东江门•阶段练习）下列函数中，以兀为周期，且在区间［］,兀］上单调递增的

是（）

A.y=sin|x|B.>>=cos|x|

C.y=|tanr|D.y=|cosx|

【答案】D

【知识点】求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的周期、求正弦（型）函数的最小正周期、求

余弦（型）函数的最小正周期

【分析】先判断各函数的最小正周期，再确定各函数在区间上的单调性，即可选择判断.

TT37r

【详解】对于A：由sin-5=1,sin-5=-1,可知兀不是其周期，（也可说明其不是周期函数）故错误；

..fcosx,x>0fcosx.x>0

对于B：y=cosx=</、=\=cosx,其最小正周期为2兀，故错误；

［cos（-x）,x<0［cosx,x<0

对于C：y=加间满足卜an（x+i）=kanx|,以兀为周期，

当xe仁,nJ时，y=|tanx|=-tanx,由正切函数的单调性可知y=|tanx|=-tanx在区间值,兀J上单调递减,

故错误；

对于D,y=|cosx||cos（x+7t）|=|cosx|9以兀为周期,

当xegw）时，^=|cosx|=-cosx,由余弦函数的单调性可知，尸-cosx在区间L上单调递增，故正

确；

故选:D

题型02周期

【解题规律•提分快招】

函数y=Nsin3x+0)y=Acos(d?x+0)y=4tan(dZx+°)

周期T7=亚T=至T*

⑷⑷⑷1

函数yg“4sin(0x+0)|y=\«4cos(0x+0)|y=|Atan(0x+(p)\

周期T

T=—T=—T=—

⑷囱

函数ygJsin(d?x+0)+b|yqZcos(0x+0)+6|y=\<4tan(0x+0)+b|

(6工0)(bwO)(6工0)

周期TT*

T与T=—

10

其它特艇做，可通过画图直瓣蜥雕0

【典例1-1］（23-24高一下•北京•期中）下列函数中，周期为兀且在，gj上单调递增的是（）

A.y=tan|x|B.y=shi国

C.y=|sinx|D.y=|cosx|

【答案】C

【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、正切型三角函数图象的应用、求正弦（型）函数的最小正周

期

【分析】根据三角函数的性质及函数图象的变换规则一一判断即可.

【详解】对于A：y=tan|x|的图象是将y=tanx在了轴右侧的图象关于V轴对称过去，了轴及V轴右侧部分

不变，

所以〉=tan|x|不具有周期性，故A错误；

对于B：V=sin|x|的图象是将y=sinx在》轴右侧的图象关于y轴对称过去，V轴及V轴右侧部分不变,

函数图象如下所示：

所以了=而闻不具有周期性，故B错误；

对于C：y=binx|的图象是将y=sinx在x轴下方部分关于x轴对称上去，x轴及x轴上方部分保持不变,

函数图象如下所示：

又y=sinx的最小正周期为2兀，所以＞=|sinx|的最小正周期为兀，

又了=$出》在（0,]]上单调递增且函数值为正，所以y=binx|在（0,]]上单调递增，故C正确；

对于D：y=|cos»的图象是将丁=cosx在x轴下方部分关于x轴对称上去，x轴及x轴上方部分保持不变,

函数图象如下所示：

又了=««》的最小正周期为2兀，所以y=|cosx|的最小正周期为久,

又了=3》在/句上单调递减且函数值为正，所以尸|cosx|在10句上单调递减，故D错误；

故选：C

【典例1-2］（23-24高一上•福建厦门•阶段练习）以下函数中最小正周期为兀的个数是（）

y=|sinx|y=sin|x|y=cos|x|y=tan—

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的最小正周期、正弦函数图象的应用、求

正切（型）函数的周期

【分析】对于A,直接画出函数图象验证即可；对于BCD,举出反例推翻即可.

【详解】画出函数＞=|sinx|的图象如图所示：

y=sinx

由图可知函数》=|sinx|的最小正周期为兀，满足题意；

对于＞=〃x）=sinW而言，/0=si唱=1〜l=siny=/（＞“即函数V=/（x）=sinW的最小正周

期不是兀，不满足题意；

对于y=f（x）=cos忖而言,/（o）=cos|o|=1*-1=cos同=/（7t+0）,即函数V=〃x）=cos,1的最小正周期

不是兀，不满足题意；

对于y=/（x）=tang而言，f［^\=tanytan:+兀］,即函数y=/（x）=tang的最小

213J633\3）2

正周期不是兀，不满足题意；

综上所述，满足题意的函数的个数有1个.

故选：A.

【变式1-1］（22-23高一下•北京西城・期末）下列函数中，最小正周期为兀且是偶函数的是（）

A..y=smIx+—IB.＞=tanx

C.y=cos2xD.y=sin2x

【答案】C

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求正切（型）函数的周期、求正弦（型）函数的最小正周期、求余

弦（型）函数的最小正周期

【分析】由三角函数的最小正周期公式和函数奇偶性对选项一一判断即可得出答案.

【详解】对于A,y=sin(x+：]的最小正周期为：?=牛=2兀，故A不正确；

7T

对于B,V=tanx的最小正周期为：丁=丁=兀，

y=tanx的定义域为[xxw]+析，左eZ，，关于原点对称，令〃x)=tanx,

则/(一力=12!1(-芯)=-1211工=-〃制，所以〉=tanx为奇函数，故B不正确；

2兀

对于C,y=cos2x的最小正周期为：T==7i,

令g(x)=cos2x的定义域为R关于原点对称，

则8(-力=<:。5(-2*)=<：002天=8(*),所以y=cos2x为偶函数，故C正确；

2兀

对于D,>=sin2x的最小正周期为：7=5=兀，

y=sin2x的定义域为R,关于原点对称，令/z(x)=sin2x,

ppj〃(-x)=sin(-2x)=-sin2x=-〃(x),所以y=sin2x为奇函数，故D不正确.

故选：C.

【变式1-2](23-24高一上・北京丰台・期末)函数/")=5也日05、-5)则()

A./(x)是最小正周期为2Tl的奇函数B./(x)是最小正周期为2兀的偶函数

C./(X)是最小正周期为7T的奇函数D./(X)是最小正周期为7T的偶函数

【答案】D

【知识点】求余弦(型)函数的奇偶性、求余弦(型)函数的最小正周期、诱导公式五、六、三角恒等变

换的化简问题

【分析】对函数化简得/(x)=|sinx『，然后利用正弦三角函数的性质从而求解.

【详解】对A、C：由题意得/(x)=sinxcos[x-3=sin2x=g(l-cos2x),定义域为R,

所以/(-x)=；[l-cos2(-x)]=；(l-cos2x)=〃x),所以/(久)为偶函数，故A、C错误；

对B、D：函数f(x)的最小正周期为2千兀=兀，故B错误，D正确，

故选：D.

题型03对称轴与对称中心

【解题规律•提分快招】

JT

⑴函数V=Zsin（0x+。）的图象的对称轴由0x+0=左乃+万（左eZ）解得，对称中心的横坐标由

ox+0=左乃（左eZ）解得；

（2）函数y=Acos（（t>x+9）的图象的对称轴由0X+。=左万（左eZ）解得，对称中心的横坐标由

JI

①x+（p=k兀+—（左wZ）解得；

2

k冗

（3）函数y=Ntan（0x+。）的图象的对称中心由（yx+0=；-左eZ）解得.

【典例1-11（24-25高三上•北京・开学考试）已知函数/Gj=fsin0x+cos0x«>0,。>0）的最小正周期为

兀，最大值为行，则函数/（x）的图象（）

A.关于直线x=1对称B.关于点对称

C.关于直线x=E对称D.关于点对称

【答案】C

【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、辅助角公式

【分析】先利用辅助角公式化简，再根据周期性求出。，根据最值求出"再根据正弦函数的对称性逐一判

断即可.

【详解】f（x）=tsincox+coscox=y/t2+1sin^a>x+（p）,其中tan0=：,

因为函数的最小正周期为兀，

所以臼=兀，解得。=2,

（D

因为函数的最大值为血，

所以+1=&,解得£=1（才=_1舍去），

所以/（x）=sin2x+cos2x=41sin+:1,

因为=

所以函数图象不关于直线x=-弓对称，也不关于点对称，故AB错误；

因为==&，

所以函数图象关于直线x=?对称，不关于点0对称，故c正确，D错误.

O<o

故选：C.

【典例1-2］（24-25高三上•北京海淀•阶段练习）若函数y（x）=Ncosx-sinx（N>0）的最大值为2,则

A=,/（x）的一个对称中心为

【答案】G与（答案不唯一）

【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、辅助角公式、由cosx（型）函数的值域（最值）求参

数

【分析】根据辅助角公式对函数/（X）进行化简，再根据最大值求出A,最后利用余弦型函数求出对称中

心.

【详解】由/（x）=4cosx-sinc=J4」+1cos（x+0）,其中tane二；,

又函数/（X）的最大值为2,则J/+1=2,

又N>0,贝U/=G，tan（p=,不妨取夕=：,

36

故/（x）=2cos（x+2，

则/（x）的对称中心满足xH—=—Fkn,左eZ,解得x=—I-ku,左eZ,

623

即/（x）的对称中心为（§+左兀，。），左EZ,

则/（X）的一个对称中心可为：［1,0）

故答案为：百，（答案不唯一）

【变式1-1］（24-25高二上•贵州贵阳•阶段练习）己知函数/（x）=2cosLx+jj（®>0）的部分图象如图所

示，则下列结论错误的是（）

A.CD-I

B.函数的图象关于直线苫=5?7r对称

C.函数/（X）的图象关于点］|,o］中心对称

27rjr

D.函数/（x）的单调递减区间为kK-—,kn--化eZ）

【答案】D

【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、由余弦（型）函数的周

期性求值

【分析】选项A,根据图象可得7=兀，可得。=2,即可判断选项A的正误；利用＞=cosx的性质，整体代

入法，直接求出/'（x）=2cos，x+；）的对称轴、对称中心及单调区间，即可判断出选项B,C和D的正误.

【详解】对于选项A,由图知］？=?一（一合］=学，得到7=番=兀，又。＞0,则。=2,所以选项A正确，

43112J4倒

对于选项B,由2》+二=加，^x=---,左eZ,当左=2时，对称轴为x=2,所以选项B正确，

3266

对于选项C,由2x+［=：+E,得尤=勺+卷水eZ,当后=0时，对称中心为I*,。］,所以选项C正确，

对于选项D,由2kliW2xH—«2kn+7i,得/CJIWxWkit-\—,

363

所以〃X）的单调递减区间为E-+gWeZ）,所以选项D错误，

o3_

故选：D.

【变式1-2］（2024高三・全国•专题练习）已知函数/（x）=tan（0x+ej0＞0,阐图象相邻的两个对称

中心间的距离为兀，若/（。）=1,则函数〃x）图象的一个对称中心为（）

A.加B・加C.feo）D.（兀,。）

【答案】B

【知识点】求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的对称中心

【分析】由周期公式和正切函数的取值得到函数表达式，再利用换元法求出正切函数的对称中心；

【详解】由题可得］T=兀，7=2兀，又。＞0,所以。="兀=51，

所以/（x）=tan］；x+°j,贝/（0）=tan。=1,

71

则夕=历1+—,左wZ,

4

又贝=故/（x）=tan（；x+：j.

x+—=—,AeZ,解得x=E-四，左eZ.

2422

结合选项可得当后=1时，

故。,o）是/（x）图象的一个对称中心.

故选：B.

【变式1-3］（24-25高三上•北京朝阳•阶段练习）已知函数"x）=2sin（2x+W，则下列命题正确的是（）

A.“X）的图象关于直线x对称

B.仆）的图象关于点对称

TT

c.“X）在0,-上为增函数

D.f（x）的图象向右平移自个单位得到一个偶函数的图象

【答案】C

【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的

单调性

【分析】结合正弦型函数的图象与性质验证依次判断各选项即可.

【详解】对于A,/C）=2sin（g+3=2sin兀=0片±2,y=/（x）的图象关于直线不对称，A错误；

对于B,由，。=2sin［+［=2sing=ew0,得y=/（x）的图象关于点［可不对称，B错误；

对于C,由0,—,得+,

TT

由正弦函数性质知了=/（x）在区间0,—上单调递增，C正确；

对于D,7（x）=2sin|^2x+^图象向右平移5个单位得到

g（x）=2sin2卜-力［+］=2si“2x+jwg（-x）,故g（x）不是偶函数，D错误.

故选：C

题型04奇偶性

【解题规律•提分快招】

JI

（1）函数y=Nsin（0x+。）是奇函数=。=左乃（左eZ）,是偶函数Q0=左1+万（左eZ）；

JI

（2）函数y=Zcos（（yx+。）是奇函数=0=左乃+万（左eZ）,是偶函数=（左eZ）；

（3）函数y=Ntan（@x+。）是奇函数=。=bz'（左eZ）.

*真椀m72425谪三王事言「乔葭分为5一不前函薮市厂比天截泊R函寄函及层一厂了一

A.y=x2+1B.y=tanxC.y=2xD.y=x+sinx

【答案】D

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求正弦（型）函数的奇偶性、求正切（型）函数的奇偶性

【分析】根据常见函数的定义域及奇偶性判断各选项即可.

【详解】对于A,函数y=/+l的定义域为R,为偶函数；

对于B,函数＞=tanx的定义域为1x卜w|■+配,左ez},为奇函数；

对于C,函数＞=2,的定义域为R,为非奇非偶函数；

对于D,函数＞=x+sinx的定义域为R,

因为＞=x,y=sinx为奇函数，所以函数夕=x+sinx为奇函数.

故选：D.

【典例1-2］（23-24高一下•北京•阶段练习）下列函数中，是偶函数且其图象关于对称的是（）

A.y=cos^2x+-|-^B.y=sin^2x+^

C.y=cos（x+7t）D.y=sin（x+ir）

【答案】B

【知识点】求正弦（型）函数的奇偶性、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、三角函数的化简、求值

一一诱导公式、求余弦（型）函数的奇偶性

【分析】利用诱导公式逐一化简可判断奇偶性，然后代入验证判断对称性即可.

【详解】对于A,y=cos［2x+5］=-sin2x为奇函数，A错误；

对于B,y=sin12x+|^=c°s2x为偶函数，

因为cos（2义:卜os］=0,所以ksin（2x+］的图象关于点冷0）对称，B正确;

对于c,y=cos（无+7i）=-cos尤为偶函数，

因为-COS£=-¥，所以不是y=C0S（X+7T）的对称中心，C错误；

对于D,歹=5亩（工+兀）=一5亩1为奇函数，D错误.

故选：B

冗7T

【变式（233高一下・北京•期中）函数昨满-彳内界-/是,）

A.最小正周期为的偶函数B.最小正周期为兀的偶函数

jr

C.最小正周期为5的奇函数D.最小正周期为兀的奇函数

【答案】D

【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、二倍角的余弦公式、求正弦（型）函数的奇偶性

【分析】由二倍角公式、诱导公式得N=sin2x,结合三角函数的周期性、奇偶性即可判断.

［详角星］V=cos2（x--sin2（x--^）=cos12x-j=sin2x,

由于sin（-2x）=-sin2x,且夕=$也2工的定义域为全体实数，

所以y=sin2x是奇函数，

注意到它的周期为2?兀=%.

2

故选：D.

【变式1-2］（23-24高一下•北京顺义•期中）下列函数中，最小正周期为兀且是偶函数的是（）

A.y=cos2xB.y=tanxc.y=sin（x+：］D.y=sin2x

【答案】A

【知识点】求余弦（型）函数的奇偶性、求余弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的最小正周

期、求正切（型）函数的周期

【分析】借助三角函数得周期性与对称性逐项判断即可得.

【详解】对A：T=一=2,又了=8$2尤是偶函数，故A正确；

71

对B：V=tanx为奇函数，故B错误；

对C：）=sin（x+e］周期为2兀，故C错误；

对D：y=sin2x为奇函数，故D错误.

故选：A.

【变式1-3］（23-24高一下•北京•期中）下列函数中，既是偶函数又在区间（ogj单调递增的是（）

A.y=tanxB.y=sinxC.>=cosxD.y=xsinx

【答案】D

【知识点】求正切（型）函数的奇偶性、求sinx型三角函数的单调性

【分析】根据奇偶性的定义判断排除AB,再由单调性排除C的可得.

7T

【详解】由三角函数性质知选项AB中函数都是奇函数，C中函数是偶函数，但它在（0,万）上是减函数，也

排除，只有D可选，

实际上，记〃x）=xsinx,

贝1J/（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x）,它是偶函数，

兀71

又设0<再<%2<5，贝|0<sinXi〈sin%,因此再sin玉<马sin%,即/（芯）</（%），/（%）在（。母上是增函

数，满足题意.

故选：D.

题型05最值与值域（可化为一元二次函数型）

【解题规律•提分快招】

通过撞元「转筋历二元三次函薮录值城;注熹换元后百变量的取值疱国一……一

【典例1-1］（23-24高一下•河南南阳•阶段练习）已知关于x的方程1-siif%-sinx+2。=0在（0,—］上有解,

那么实数”的取值范围为（）

A.a<—B.—VaV0C.——D.——<a<0

82222

【答案】c

【知识点】求含sinx（型）的二次式的最值

【分析】根据给定条件求出sinx的范围，再结合二次函数求出值域得解.

TTTT

【详解】方程1—si/x—sinx+Z。=0在（0,万]上有解，即2a=sit?x+sinx—l在（0,万]上有解，

令"sinx,/£（0,1],贝仃=»+”1=。+；）2一（£（一11],即一1<2QW1,

所以一!

22

故选：C

【典例1-2]（23-24高一下•上海浦东新•期中）函数〃x）=tan2x-tanx,xe的最大值与最小值之

和为.

【答案】4

4

【知识点】求含tanx的二次式的最值、求正切（型）函数的值域及最值

JT冗

【分析】换元法求函数值域，首先令tanx=L根据xe得进而结合二次函数的图象与性

质即可求解.

TTJT

【详解】令tanx=f,,.,XG,fe[-1,1],

44jL」

贝lj>=/-/=因为对称轴为t=

所以）=广一，在江-1,1上单调递减，在上单调递增，

所以，当？=-1时，J^max=2,当”;时，ym.n=-1,

17

函数/（X）=tai?X-tanx的最大值与最小值之和为2-a="

7

故答案为：—.

4

【变式1-1]（23-24高一下•江苏常州•期末）函数/（x）=cos2x-4sinx-l的值域是（）

A.（-*2]B.[-2,2]C.[0,2]D.[-6,2]

【答案】D

【知识点】求含sinx（型）的二次式的最值、二倍角的余弦公式

【分析】化简函数为〃元）=-2（sinx+l）2+2,结合正弦函数与二次函数的性质，即可求解.

22

【详解】由函数/（x）=cos2x-4sinx-l=-2sinx-4sinx=-2（sinx+1）+2,

因为sinxe[-1,1],

所以当sinx=T时，可得/'（x）1Mx=2；当sinx=l时，可得/（x）1nhi=-6,

所以函数/（x）的值域为[-6,2].

故选：D.

【变式1-2](22-23高一下•江苏扬州•期中)函数/(幻=(：052》-685》+2的值域是().

777

A.[--,+<»)B.[--,-3]C.[-3,9]D.[--,9]

【答案】C

【知识点】求含cosx的二次式的最值、二倍角的余弦公式

【分析】首先把函数的关系式变形成二次函数的形式，进一步利用余弦函数的值域求出/(x)的值域.

【详解】由题意可知：/(x)=cos2x-6cosx+2=2cos2x-6cosx+l=2^cosx--1^-g,

由于-IWCOSXVI,所以当cosx=l时，函数y(x)疝n=-3,

当cosx=-l时，函数/(x)1rax=9,

所以函数“X)的值域为[-3,9].

故选：C.

【变式1-3](24-25高一上•上海■课后作业)函数y=sin2x+2cosx,xe，])值域是.

【答案】(1,2)

【知识点】求含cosx的二次式的最值

【分析】由题意可得cosxe(0,1),又昨_(cosx-iy+2,可求值域.

【详解】因为所以cosxe(0,l),

>=sin2x+2cosx=-cos2x+2cosx+1=-(cosx-1)2+2e(1,2),

所以函数〉=sin2x+2cosx,x£J值域是。,2).

故答案为:(L2)

题型06图象平移与伸缩变化

【解题规律•提分快招】

(1)不诙变函直互

(2)改变函数名(结合诱导公式变形)

一【云丽]一(24125一看三王京熹二瓶金牙丁函富旬法薮]1友/37码亩豪二反葡落南薮)二益3；一，益31

的图象()

A.向左平移£个单位长度B.向右平移£个单位长度

44

C.向左平移联个单位长度D.向右平移联个单位长度

【答案】C

【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程、辅助角公式

【分析】先根据辅助角公式化简〉=sin3x-cos3x,然后根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论.

［详解】因为＞=sin3x-cos3x=A/2sin,

所以将其图象向左平移联个单位长度，可得）=V^sinx+去］一;=41sin3x.

故选：C.

【典例1-2］（23-24高一上・北京大兴・期末）要得到函数y=的图象，只需将函数7=sinx图象

上的所有点（）

A先向右平吃个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍

B先向右平移%单位长度，再将横坐标缩短到原来呢

C.先向右平移?个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍

O

D.先向右平移慨个单位长度，再将横坐标缩短到原来的;

ON

【答案】A

【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程

【分析】根据三角函数平移，伸缩的变换规律，即可判断选项.

【详解】函数＞=sinx图象上的所有点先向右平移3个单位长度，得到函数＞=5亩［-仁），

再将横坐标伸长到原来的2倍，得到函

故选：A

【变式1-1］（24-25高三上・北京•阶段练习）已知函数/⑺=sinLx-^j（xeR,。＞0）的最小正周期为

兀.将＞=/（x）的图象向左平移。（夕＞0）个单位长度，所得图象关于7轴对称，则。的一个值是（）

【答案】B

【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、求图象变化前（后）的解析式

【分析】

根据函数的周期求。，结合三角函数的图象平移关系，结合三角函数的奇偶性进行求解即可.

【详解】

函数/（x）=sin[ox-力（xeR,0>O）的最小正周期为兀，

2.

——=71,得0=2,贝!J/(x)=sin(2x-T),

CD4

将歹=/«的图象向左平移。个单位长度，所得图象关于V轴对称,

JTJT

贝歹=sin[2(x+0)一R=sin(2x+2^>--),

;图象关于y轴对称，

_71Tl,,r

2。-1=耳+初c,4eZ

r，,13兀E,一

贝1夕=胃+q~，keZ,

o2

当左=1时，9=?+^=?，当左=0时，(p

o2o

故选：B.

【变式1-2123-24高一下,北京东城•期中）把函数>=si"的图象向左平移;个单位后，再把图象上所有点

的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，则所得函数图象的解析式为（）

C.y=sin^3x+yjD.y=sin^3x+-^-j

【答案】c

【知识点】求图象变化前（后）的解析式

【分析】根据三角函数图象变换规律求解即可.

【详解】把函数y=sinx的图象向左平移;个单位后，y=sin（x+；J,

再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的；，纵坐标不变，得y=41113工+5

故选：C

【变式1-3]（23-24高三上•北京通州•期中）已知函数/（x）=Ncos（2x+°）（/>0,网<无）是奇函数，且

3兀

-1,将/（无）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为

g（x）,则（）

A.g(x)sinxB.g(x)=-sinx

71

C.g(x)=cosX+-D.g(x)=cos

【答案】A

【知识点】由余弦（型）函数的奇偶性求参数、求图象变化前（后）的解析式

【分析】根据三角函数的性质及图象变换计算即可.

【详解】由题意可知9=]+瓶化eZ）,|同<71,

所以0=］或0=_］,

3兀-cosg+0