2024-2025学年云南省昆明市北清实验学校高二上学期期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年云南省昆明市北清实验学校高二上学期期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={x∣−2<x≤1}，B={−2,−1,0,1,2}，则A∩B=(

)A.{−1,0} B.{0} C.{−2,−1,0,1} D.{−1,0,1}2.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边经过点sin30∘,tanA.−35 B.35 C.−3.为了调研某工业新区的空气质量状况，某课题组对甲地、乙地、丙地3地的空气质量进行调查，按地域特点分别在三地设置空气质量观测点．已知甲、乙、丙三地区内观测点的个数分别为2，y，z且依次构成等差数列，而2，y−1，z成等比数列，若用分层抽样的方法抽取观测点的30个数据，则丙地应抽取的数据个数为(

)A.18 B.16 C.10 D.44.已知直线l1:ax+2y−4=0，l2:x−a−3y−2=0，则“lA.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件5.在▵ABC中，|AB+AC|=|AB−AC|，AB=2，AC=32，E，A.3 B.218 C.2 D.6.若两个正实数x，y满足4x+y=2xy，且不等式x+y4<m2−mA.−1,2 B.−∞,−2∪1,+∞

C.−2,1 7.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点A.x212−y24=1 B.8.若数列{an}满足an=(2)A.Sn既无最大值，又无最小值 B.当且仅当n=1时，Sn取得最小值

C.当且仅当n=8时，Sn取得最小值 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知i为虚数单位，复数z满足z2−i=3+4i，则(

)A.z在复平面内对应的点在第一象限 B.z的虚部为115i

C.z=510.已知四面体ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，O到平面ABC的距离为3，AC⊥BC，则下列选项正确的是(

)A.D到平面ABC距离的最小值为2 B.▵ABC面积最大值为16

C.▵ABD面积最大值为32 D.四面体ABCD体积最大值为12811.若函数f(x)在定义域内的某区间M上是增函数，且f(x)x在M上是减函数，则称函数f(x)在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是(

)A.若f(x)=x2，则存在区间M使f(x)为“弱增函数”

B.若f(x)=x+1x，则存在区间M使f(x)为“弱增函数”

C.若f(x)=x+x3，则f(x)为R上的“弱增函数”

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，一束平行光线与地平面的夹角为60°，一直径为24cm的篮球在这束光线的照射下，在地平面上形成的影子轮廓为椭圆，则此椭圆的离心率为

．

13.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，若fx1+fx14.如果直线l:x+y−b=0与曲线C:y=1−x2有公共点，那么b的取值范围是四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)记▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知2(1)求A．(2)若▵ABC的面积为332，a216.(本小题12分)已知数列an的前n项和为Sn，a1(1)求数列an(2)设bn=n2Sn，求数列b17.(本小题12分)如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，且AC⊥BC,PA=AC=BC=3,D为棱PC的中点．(1)证明：AD⊥平面PBC；(2)若点G在棱PB上，且DG⊥PB，求平面ADG与平面PAC夹角的余弦值．18.(本小题12分)

半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为21.0975公里，为全程马拉松距离的一半.20世纪50年代，一些赛事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升.某调研机构为了了解人们对“半程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参与知识竞赛者按年龄分成5组，其中第一组[20,25)，第二组[25,30)，第三组[30,35)，第四组[35,40)，第五组[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄;(2)现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“半程马拉松”宣传使者.若有甲(年龄36)，乙(年龄42)两人已确定入选为宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率;(3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计年龄在[35,45]内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数和方差．19.(本小题12分)如图，已知圆T:x2+y2+23x−21=0，圆心是点T，点G是圆T上的动点，点H的坐标为3,0(1)求曲线E的方程；(2)过点H作一条直线与曲线E相交于A，B两点，与y轴相交于点C，若CA=λAH，CB=μ(3)过点M2,1作两条直线MP，MQ，分别交曲线E于P，Q两点，使得kMP⋅kMQ=1，且MD⊥PQ，点D为垂足，证明：存在定点参考答案1.D

2.A

3.B

4.A

5.A

6.D

7.D

8.D

9.AD

10.BCD

11.BD

12.12或0.513.−114.−1,15.解：(1)由已知条件及正弦定理，得2又sinB≠0，∴2则3∴2sin2A+π又A∈0,π，∴2A+则2A+π6=(2)由▵ABC的面积为332∴34由余弦定理，得a2∴a又a2−b2=3，∴3=c2设BC边上的高为ℎ，则S▵ABC∴ℎ=3

16.解：(1)由2an+1=所以Sn+1又S1所以数列Sn是以−2为首项，3所以Sn当n≥2时，an当n=1时，上式不成立，所以an(2)由(1)得bn则Tn即−T−3T两式相减得2T所以Tn

17.解：(1)∵PA⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，∵PA∩AC=A，PA,AC⊂平面PAC，且AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC，又AD⊂平面PAC，∴BC⊥AD，∵PA=AC，且D为PC的中点，∴AD⊥PC，又PC∩BC=C，且BC,PC⊂平面PBC，因此AD⊥平面PBC．(2)以点A为原点，以过点A且平行于BC的直线为x轴，AC,AP所在的直线分别为y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，∵PA=AC=BC=3，∴D(0,3∴PD由于G在棱PB上，令PG=λ那么DG=∵DG⊥PB，∴DG⋅PB∴DG=(1,−1设平面ADG的法向量为m=(x,y,z)∴m⋅AD=32y+∵BC⊥平面PAC，∴BC=−3,0,0设平面ADG与平面PAC的夹角为θ，则cos θ=|∴平面ADG与平面PAC夹角的余弦值为3

18.解：(1)设参与知识竞赛者的平均年龄为x，

则x=(22.5×0.02+27.5×0.07+32.5×0.05+37.5×0.04+42.5×0.02)×5=31.75．

(2)由题意得，第四组应抽取0.2×20=4人，记为A(甲)，B，C，D，

第五组应抽取0.1×20=2人，记为E(乙)，F，

对应的样本空间为：Ω={(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,C)，(B,D)，(B,E)(B,F)(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F)}，

设事件M为“甲、乙两人至少一人被选上”，

则M={(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,E)，(C,E)，(D,E)，(E,F)}，

所以P(M)=n(M)n(Ω)=915=35．

(3)设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为x4，x5，方差分别为s42，s52，

则x4=36，x5=42，s42=1，19.解：(1)因为x2所以(x+所以T−3因为线段GH的中垂线交线段TG于点R，所以RH=所以RT+所以动点R的轨迹是以T(−3,0)，H所以a=6，c=故曲线E的方程为x．(2)当直线AB的斜率不存在时，其方程为x=3，与当直线AB的斜率存在时，设AB所在直线方程为y=k(x−设A(x1,由y=k(x−消去y整理得(1+2kΔ>0恒成立，所以x又因为直线AB与y轴的交点为C，所以C0,−所以CA=x1CB=x2又因为CA=λAH，所以x1所以λ=x1所以λ+μ=x整理后得λ+μ=12所以λ+μ为定值−4，原题得证;(3)设P(x3,y3),Q(x设PQ的方程是y=kx+m，由y=kx+m,x2+2y2则Δ=1