2017-2018学年人教A版高中数学选修2-2课后提升训练二十一312复数的几何意义

课后提升训练二十一复数的几何意义(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.过原点和3i对应的点的直线的倾斜角是()A.π6B.π6C.2【解析】选D.因为3i在复平面上的对应点是(3,1),所以tanα=-1-03-0=33(0≤α<π),所以α2.已知复数z满足|z|22|z|3=0,则复数z对应点的轨迹是()A.1个圆 B.线段C.2个点 D.2个圆【解析】选A.由题意可知(|z|3)(|z|+1)=0,即|z|=3或|z|=1,因为|z|≥0,所以|z|=3.所以复数z对应的轨迹是1个圆.3.(2017·兰州高二检测)复数z=1a+ai(a∈R且a≠()A.第一、二象限 B.第一、三象限C.第二、四象限 D.第三、四象限【解析】选B.复数z=1a+ai(a∈R且a≠0)对应的点为1a,a【补偿训练】(2017·郑州高二检测)已知a∈R,且0<a<1,i为虚数单位,则复数z=a+(a1)i在复平面内所对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选D.因为0<a<1,所以a>0且a1<0,故复数z=a+(a1)i在复平面内所对应的点(a,a1)位于第四象限.4.已知复数z=(a2+1)2ai,若其对应点在直线y=x上,则实数a的值为()A.1 B.-2 C.3 D.4【解析】选A.复数z对应的点为(a2+1,2a),由题意得a2+1=2a,所以a=1.5.设z∈C,则满足条件2≤|z|≤4的点Z的集合对应的图形的面积为()A.4π B.12π C.8π D.16π【解析】选B.由2≤|z|≤4,可知对应图形面积为圆心在原点,半径为4和半径为2的两个圆的面积差.故面积为16π4π=12π.6.在复平面内,O为原点,若向量OA→对应的复数z的实部为3,且|OAA.3 B.3 C.3i 【解析】选A.根据题意设复数z=3+bi(b∈R),由复数与复平面内的点、向量的对应关系得OA已知|OA→|=3,即点A的坐标为(3,0).因此,点A关于原点的对称点为B(3,0),所以向量OB→对应的复数为z7.下列命题中的假命题是()A.复数的模是非负实数B.复数等于零的充要条件是它的模等于零C.两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D.复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|【解析】选D.①任意复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|=a2+②由复数等于零的条件z=0⇔a=0,b=0③若z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R).若z1=z2,则有a1=a2,b1=b2,所以|z1|=|z2|,反之由|z1|=|z2|,推不出z1=z2,如z1=1+3i,z2=13i时|z1|=|z2|,故C为真;④不全为实数的两个复数不能比较大小,但任意两个复数的模总能比较大小,所以D为假命题.8.设A,B为锐角三角形的两个内角,则复数z=(cosBtanA)+tanBi对应的点位于复平面的()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选B.因为A,B为锐角三角形的两个内角,所以A+B>π2,即A>π2B,sinA>cosB.cosBtanA=cosB二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2017·三门峡高二检测)设z∈C,则满足条件|z|=|3+4i|的复数z在复平面上对应的点Z的轨迹是______

【解析】由|z|=|3+4i|得|z|=5.这表明向量OZ即点Z到原点的距离等于5.因此满足条件的点Z的轨迹是以原点O为圆心,以5为半径的圆.答案:以原点O为圆心,以5为半径的圆【一题多解】设z=x+yi(x,y∈R),则|z|2=x2+y2.因为|3+4i|=5,所以由|z|=|3+4i|得x2+y2=25,所以点Z的轨迹是以原点O为圆心,以5为半径的圆.答案:以原点O为圆心,以5为半径的圆10.设(1+i)sinθ(1+icosθ)对应的点在直线x+y+1=0上,则tanθ的值为________.【解析】(1+i)sinθ(1+icosθ)=(sinθ1)+(sinθcosθ)i,对应点为(sinθ1,sinθcosθ),由点(sinθ1,sinθcosθ)在直线x+y+1=0上,得sinθ1+sinθcosθ+1=0,即2sinθ=cosθ,所以tanθ=12答案:1三、解答题11.(10分)已知复数z=m2(1+i)(m+i),当实数m分别取何值时,(1)z是实数.(2)z对应的点位于复平面的第一象限内.【解题指南】(1)令虚部为0可求解.(2)根据对应点在第一象限,复数的实部和虚部都大于0进行求解.【解析】因为z=m2(1+i)(m+i)=(m2m)+(m21)i.(1)若z是实数,则m21=0,解得m=1或m=1,即m=1或m=1时,z为实数.(2)若z对应的点在第一象限内,则m2m>0且m21>0,解得m>1或m<1,所以m>1或m<1时,z对应的点位于复平面的第一象限内.【补偿训练】实数k为何值时,复数z=k23k4+(k25k6)i对应的点位于:(1)x轴正半轴上?(2)y轴负半轴上?(3)第四象限的角平分线上?【解题指南】先确定复数的实部与虚部,并求出复数z的对应点,再进行计算.【解析】因为k为实数,所以k23k4,k25k6都为实数,所以复数z=k23k4+(k25k6)i的对应点Z的坐标为(k23k4,k25k6).(1)若对应点位于x轴正半轴上,则k2(2)若对应点位于y轴负半轴上,则k2(3)若对应点位于第四象限的角平分线上,又第四象限的角平分线的方程为y=x(x>0),所以k2【能力挑战题】欧拉公式eix=cosx+isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中