北京市房山区2024-2025学年高三上学期学业水平调研（二）数学试卷2

房山区20242025学年度第一学期学业水平调研（二）高三数学本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟.考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集，集合，则（）A. B.C. D.2.已知复数z满足i•z＝2+i，则z的共轭复数是A.﹣1﹣2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.1+2i3.已知，，，且，，则（）A. B.C D.4.在的展开式中，的系数为（）A. B. C. D.5.下列函数的图象中，不是中心对称图形的是（）A. B.C. D.6.在平面直角坐标系中，已知点，，则到直线的距离的最大值为（）A. B. C. D.7.已知非零平面向量，则“”是“存在非零实数，使”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知正三棱锥的底面边长为2，侧面与底面所成角是，则三棱锥的体积等于（）A. B. C.2 D.19.已知实数，满足，，给出下列三个结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号是（）A.① B.② C.①③ D.②③10.已知由正整数组成集合，表示集合中所有元素的和，表示集合中偶数的个数.若.则的最小值为（）A.5 B.7 C.9 D.10第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域为_____.12.在中，，，，则_____；若为边上一点，且，则_____.13.已知双曲线（）的渐近线方程为，则，的一组值依次为_____.14.《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面.《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”由以上条件，该女子第5天织布_____尺；若要织布50尺，该女子所需的天数至少为_____.15已知函数，，给出下列四个结论：①当时，方程有且只有一个实数根；②当时，对任意，或；③当时，对任意，；④存在，对任意，.其中正确结论的序号是_____.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数，，且的最小值为.（1）求的值；（2）设，求函数在区间上的最大值及相应自变量的值.17.近年中国新能源汽车进入高速发展时期，2024年中国新能源汽车销售量已超过1100万辆，继续领跑全球.某市场部为了解广大消费者购买新能源汽车和燃油汽车情况，从某市众多4S店中任意抽取8个作为样本，对其在12月份的新能源汽车、燃油汽车销售量（单位：辆）进行调查.统计结果如下：1店2店3店4店5店6店7店8店新能源汽车销售量108162320182211燃油汽车销售量1411131921252326（1）若从该市众多门店中随机抽取1个，估计该门店12月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的概率；（2）若从样本门店中随机抽取3个，其中12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数记为，求的分布列和数学期望；（3）新能源汽车销售量和燃油汽车销售量的样本方差分别记为和.试比较和的大小.（结论不要求证明）18.已知三棱柱中，侧面为菱形，侧面为正方形，，，为中点.（1）求证：平面；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.（ⅰ）求证：平面；（ⅱ）求与平面所成角的正弦值.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.19.已知椭圆过点，离心率为，一条直线与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线为，为直线与直线的交点.（1）求椭圆的方程；（2）若，直线是否过定点？如果是，求出该定点的坐标；如果不是，说明理由.20.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意，都有，求实数的取值范围；（3）求证：存在实数，使方程有正实根.21.已知和都是无穷数列.若存在正数，对任意的，均有，则称数列与具有关系.（1）分别判断下列题目中的两个数列是否具有关系，直接写出结论；①，，；②