2025年中考数学一轮专题复习强化练习第27课时　与圆有关的位置关系 （含答案）

第27课时与圆有关的位置关系

1.(2024·上海)在△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,点P在△ABC内,分别以A,B,P为圆心画圆,圆A半

径为1,圆B半径为2,圆P半径为3,圆A与圆P内切,圆P与圆B的关系是()

A.内含B.相交C.外切D.相离

2.(2024·邯郸模拟)如图,在平面直角坐标系中,过格点A,B,C作一圆弧,点B与下列格点的连线中,

能够与该圆弧相切的是()

A.点(0,3)B.点(1,3)C.点(6,0)D.点(6,1)

3.(2024·福建)如图,已知点A,B在☉O上,∠AOB=72°,直线MN与☉O相切,切点为C,且C为的

中点,则∠ACM等于()��

A.18°B.30°C.36°D.72°

4.(2024·石家庄桥西区二模)如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,O为△ABC的内心,若△ABO的面积为

20,则△ACO的面积为()

A.20B.15C.18D.12

5.(2024·泸州)如图,EA,ED是☉O的切线,切点为A,D,点B,C在☉O上,若∠BAE+∠BCD=236°,则∠

E=()

A.56°B.60°C.68°D.70°

6.(2024·张家口一模)如图,O是△ABC的角平分线BO,CO的交点,请用∠A表示∠O.

某同学的做法如下:

∵O是△ABC的角平分线BO,CO的交点,

∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB,

11

22

∴∠1+∠2=∠ABC+∠ACB=(∠ABC+∠ACB).

111

又∵∠ABC+2∠ACB=1280°-∠A,2

∴∠1+∠2=(180°-∠A)=90°-∠A,

11

22

∴在△BOC中,∠O=180°-(∠1+∠2)=180°-°-=90°+∠A.

11

下列说法正确的是()902∠�2

A.该同学的做法只用了一次“三角形内角和定理”

B.该结论只适用于锐角三角形

C.若把“O是△ABC的角平分线BO,CO的交点”替换为“O是△ABC的外心”,该结论不变

D.若把“O是△ABC的角平分线BO,CO的交点”替换为“O是△ABC的内心”,该结论不变

7.(2024·唐山一模)如图,AB是半圆O的直径,点C,D将弧AB分成相等的三段弧,点M在AB的延

长线上,连接MD.三个人给出以下说法:

甲:若MD为半圆O的切线,则能得出∠OMD=30°;

乙:若连接AC,CD,则∠ACD=130°;

丙:若连接AC,BD,则AC=BD.

三位同学给出的结论正确的是()

A.甲和乙B.乙和丙

C.甲和丙D.只有甲

8.如图,AB是☉O的直径,AC与☉O相切,A为切点,连接BC.已知∠ACB=50°,则∠B的度数

为.

9.(2024·凉山州)如图,☉M的圆心为M(4,0),半径为2,P是直线y=x+4上的一个动点,过点P作☉M

的切线,切点为Q,则PQ的最小值为.

10.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点F,过A点作☉O的切线m,在m上取一点P,使PA=PD.

直线DP与BA的延长线交于点Q,QD=3,QA=3.

(1)求证:直线QD是☉O的切线.3

(2)求☉O的半径和DC的长.

1.(2024·广州)如图,☉O中,弦AB的长为4,点C在☉O上,OC⊥AB,∠ABC=30°.☉O所在的平面

内有一点P,若OP=5,则点P与☉O的位置关3系是()

A.点P在☉O上B.点P在☉O内

C.点P在☉O外D.无法确定

2.数学文化刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家,他在注释《九章算术》时十分重视

一题多解,其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导,他给出了内切圆直径的多种表达形

式.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB,BC,CA的长分别为c,a,b.则可以用含c,a,b的式子表示出△ABC

的内切圆直径d,下列表达式错误的是()

A.d=a+b-c

B.d=

2𝑎

�+�+�

C.d=(-)(-)

D.d=|(a2-b�)(�c-b�)|�

3.如图,在△ABC中,AC=2,BC=1,∠ACB=90°,点D为边AB上一动点(点D与点A,B不重合),过点

D作DE⊥AC,连接CD.

(1)△CDE外接圆的直径的最小值是.

(2)△CDE内切圆的半径的最大值是.

【详解答案】

基础夯实

1.B解析:∵圆A的半径为1,圆P半径为3,圆A与圆P内切,

∴圆A在圆P内,即PA=3-1=2,

∴P在以A为圆心、2为半径的圆与△ABC相交形成的弧上运动,如图所示:

∴当P运动到P'位置时,圆P与圆B圆心距离PB最大,

为,

22

∵1<+34+2=5,圆17P与圆B圆心距最小为3,∴圆P与圆B相交,故选B.

2.B17解析:如图,∵过格点A,B,C作一圆弧,

∴三点组成的圆的圆心为:O'(2,0),

∵只有∠O'BD+∠EBF=90°时,BF与圆相切,

∴△BO'D≌△FBE,

∴EF=BD=2,

∴点F的坐标为(5,1),直线BF过点(1,3),

∴点B与格点(1,3)的连线能够与该圆弧相切.故选B.

3.A解析:∵C为的中点,∠AOB=72°,

∴∠AOC=∠BOC=�3�6°,

∵OA=OC,

∴∠ACO=∠OAC=72°,

∵直线MN与☉O相切,切点为C,

∴∠OCM=90°,

∴∠ACM=∠OCM-∠ACO=90°-72°=18°.故选A.

4.B解析:∵O为△ABC的内心,

∴点O到AB,AC的距离相等,

∴S△AOB∶S△AOC=AB∶AC=8∶6=4∶3.

∵△ABO的面积为20,

∴△ACO的面积为15.故选B.

5.C解析:如图,连接AD,

∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,

∴∠BAD+∠BCD=180°,

∵∠BAE+∠BCD=236°,

∴∠EAD+∠BAD+∠BCD=∠EAD+180°=236°,

∴∠EAD=56°,

∵EA,ED是☉O的切线,切点为A,D,

∴EA=ED,

∴∠EDA=∠EAD=56°,

∴∠E=180°-∠EDA-∠EAD=180°-56°-56°=68°.故选C.

6.D解析:A.该同学的做法中,两次利用三角形内角和定理,因此选项A不符合题意;

B.该结论适用于所有三角形,因此选项B不符合题意;

C.若把“O是△ABC的角平分线BO,CO的交点”替换为“O是△ABC的外心”,其结论变为∠O=2∠A,因此选项C

不符合题意;

D.△ABC的内心就是三条内角平分线的交点,与原题相同,因此其结论不变,所以选项D符合题意.故选D.

7.C解析:如图,甲:连接OD,OC,

∵点C,D将弧AB分成相等的三段弧,

∴,

∴∠��A=OC�=�∠=C�O�D=∠DOB=60°,

∵MD为半圆O的切线,OD是半径,

∴∠ODM=90°,

∴∠OMD=30°,故甲正确;

乙:连接AC,CD,

∵OD,OC是半径,∠AOC=∠COD=60°,

∴△AOC,△DOC都是等边三角形,

∴∠ACO=∠DCO=60°,

∴∠ACD=120°,故乙错误;

丙:连接AC、BD,

∵,

∴A�C�==BD�,�故丙正确,

∴结论正确的是甲和丙.故选C.

8.40°解析:∵AB是☉O的直径,AC与☉O相切,A为切点,

∴BA⊥AC,

∴∠BAC=90°,

∵∠ACB=50°,

∴∠B=90°-50°=40°.

9.2解析:如图,连接MP,MQ,

7

∵PQ是☉M的切线,

∴MQ⊥PQ,

∴PQ=--,

222

∴当PM�最�小�时�,PQ=最小��,4

当MP⊥AB时,MP最小,

易知直线y=x+4与x轴的交点A的坐标为(-4,0),与y轴的交点B的坐标为(0,4),

∴OA=OB=4,

∴∠BAO=45°,AM=8,

当MP⊥AB时,

MP=AM·sin∠BAO=8×=4,

2

22

∴PQ的最小值为:()-=2.

2

10.解:(1)证明:如图,连4接2OP4,O=D,287

∵直线m与☉O相切,

∴OA⊥AP,

∴∠OAP=90°,

在△OAP和△ODP中,,

��=𝐶

��=��

∴△OAP≌△ODP(SSS)�,�=𝐶

∴∠ODP=∠OAP=90°,

∴OD⊥QD,

∵OD是☉O的半径,

∴直线QD是☉O的切线.

(2)设☉O的半径为r,

∵∠ODQ=90°,

∴OQ2=DQ2+OD2,

∴(3+r)2=r2+(3)2,

∴r=3,3

∵tan∠DOQ=,

𝐶33

∴∠DOQ=60°�,�=3=3

∴DF=OD·sin∠DOQ=3×sin60°=,

33

∵CD⊥AB,2

∴DC=2DF=2×=3.

33

23

能力提升

1.C解析:如图,设AB与OC交于点D,

∵弦AB的长为4,OC⊥AB,

∴AD=BD=3

AB=2,

1

23

∵∠ABC=30°,

∴∠AOD=2∠ABC=60°,

∴∠A=90°-60°=30°,

∴OA=2OD,

设OD=x,则OA=2x,

在Rt△AOD中,OD2+AD2=OA2,即x2+(2)2=(2x)2,

解得x=±2(负值舍去),3

∴OA=2x=4,

∵OP=5,

∴OP>OA,

∴点P在圆O外.故选C.

2.D解析:如图,过点O作OE⊥AC于点E,OD⊥BC于点D,OF⊥AB于点F.

易证四边形OECD是正方形,设OE=OD=OF=r,

则EC=CD=r,

∴AE=AF=b-r,BD=BF=a-r,

∵AF+BF=AB,

∴b-r+a-r=c,

-

∴r=,

�+��

2

∴d=a+b-c.故选项A正确.

∵△△+△+△,

𝐴��𝐴�𝐴�𝐴

∴�ab=ar=+�br+cr,��

1111

2222

∴ab=r(a+b+c),

∴r=,即d=.故选项B正确.

𝑎2𝑎

�+�+��+�+�

∵由前面可知d=a+b-c,

∴d2=(a+b-c)2=(a+b)2-2c(a+b)+c2=a2+2ab+b2-2ac-2bc+c2,

∵a2+b2=c2,

∴上述式子=2c2+2ab-2ac-2bc=2(c2+ab-ac-bc)=2[(c2-ac)+b(a-c)]=2(c-a)(c-b),

∴d=(-)(-),故选项C正确.

排除法2可�知�