2025年北师大版中考数学总复习热点题型突破：二次函数综合1

专题十二二次函数综合1

作为最能体现初中代数的综合性和能力性的二次函数综合大题在近年来中考试卷中已形

成必不可少的题型，以二次函数的性质和特征作为试题主体来考查，在此过程中会以周长、面

积、相似、等腰三角形、特殊四边形以及新定义问题等为载体进行命题，其中包含了“数形结

合”“化归”“分类讨论”等重要数学思想,是初中数学学习中的重点、难点问题.

高频考点•释疑难

【类型一】二次函数与新定义问题

二次函数中的“新定义”问题,主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的二次函数

类型或是图形，其特点是源于初中的二次函数内容，但又是学生没有遇到的新信息“它可以是

新的概念、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序、新的情境等等.要求学生读懂题意并

结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行推理、迁移的一种题型.解题关键要把握两点：

一是掌握二次函数原型的特点及其特征;二是根据新定义,合理进行思想方法、特点及其特征

的迁移从而解决问题.

[例1](2023•赤峰)定义:在平面直角坐标系xOy中，当点汗在图形〃的内部,或在图形〃上,

且点N的横坐标和纵坐标相等时,则称点N为图形〃的“梦之点”.

⑴如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是4(7,2),((7,-1),以3,-1),〃⑶2),在点

第(1,1),四(2,2),4⑶3)中，是矩形/““梦之点”的是；

(2)点G(2,2)是反比例函数分三图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”

H的坐标是,直线GH的表达式是%=,%〉乃时,x的取值范围是

⑶如图②，已知点48是抛物线产-52+x号上的“梦之点”，点c是抛物线的顶点.连接

AC,AB,BC,判断△力■的形状,并说明理由.

图①图②

【解析】(1)•••矩形ABCD的顶点坐标分别是4(-1,2),M-1,-1),C(3,-l),〃(3,2),

•••矩形侬》的“梦之点”(x,力满足-1/启3,-14年2,

二点版(1,1),4(2,2)是矩形板9的“梦之点”，点篇(3,3)不是矩形侬》的“梦之点”；

答案:皈的

(2)•.•点G(2,2)是反比例函数%S图象上的一个“梦之点”，

X

：•把G(2,2)代入%'得A=4,：•yi=-

XX9

•••“梦之点”的横坐标和纵坐标相等，

工“梦之点”都在产X的图象上,联立，/解得仁z;或z二:，

."(-2,-2),...直线掰的表达式为%=%

.，.%＞为时,x的取值范围是水-2或0＜X2;

答案：(-2,-2)xK-2或0＜木2

(3)灰是直角三角形，

理由：•.•点48是抛物线产彳/+户3上的“梦之点”，

北二4+F,解需二版

."(3,3),8(-3,-3),

■:片亨+*=q⑴1)2+5,

工顶点C(l,5),：.AC=(3-1)2+(3-5)2=8,

初=(-3-3)，(-3-3尸=72,

^=(-3-1)2+(-3-5)2=80,

.•.初="+曲△板是直角三角形.

【类型二】二次函数与一次函数、反比例函数综合

二次函数与一次函数、反比例函数共同的特点是数形结合,通过点的坐标即数(或量)联系

起来,运用数形结合的思想方法,通过构图和图形的性质分析问题.常用方程或不等式来解决

此类问题.

【例2】如图,在平面直角坐标系xOy中，直线y=/x-3(NW0)与抛物线片-/相交于8两点(点

A在点B的左侧)，点6关于y轴的对称点为B).

(1)当A=2时,求A,6两点的坐标；

⑵连接0A,阳/皮,助'，若△夕四的面积与△物8的面积相等，求/的值；

⑶试探究直线/皮是否经过某一定点.若是,请求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.

yy

oo

备用图

【解析】(1)当心2时，直线为尸2『3,

y=2%-3,

得二'端

叫y=—x2:

⑵当A>0时,如图，•••△上仿的面积与△西的面积相等,

:.OB'/ZAB,±/B'BC,'：B,3'关于y轴对称,

：.0月OB',NODF/ODB'=9。°,

：./OB'B=/OBB\：./OBB'=/B'BC,

•：NODB=90°=/CDB,BFBD,

：.△BOD^ABCD(除4,：.OD=CD,

在产&3中，令产0得产-3,<7(0,-3),。信3,

呵妗|,40,-|),

在y=~x中,令y=-|,得-|=-f,

解得尸母或肝-当

••・好-1),

把6(李-|)代入尸33,得-|=亨上3,

解得心手；

当人0时，过皮作B'F"AB友y轴于公如图,

在尸4尸3中，令JFO得y=-3,.*.^(0,-3),0E=?>,

VXB'AB的面积与△/B的面积相等，

妗第3,•.•旦)关于y轴对称，，陷阳'，/FG*/FGB'=90°,

:.NFB'B=/FBB'J：B'F〃AB,:./EBB'=/FB'B,：.4EBB'=/FBB',

■:/加方90°=4BGF,BG^BG,：.△盟必ZkB曲(ASA),

止份冲去；.OG=O/G吟G(0,-|),

在y=~x中,令T=-|,得-|=-x；解得或尸一^^,

:.夙髻，-》，把B鸳，吟代入尸M3,得-尸曾妙3,解得k-子，

综上所述,A的值为手或-小；

(3)直线疵经过定点(0,3),理由如下：由俨=}>得/+届3=0,

设/+53=0的两根分别为a,b,

a^b^-k,ab=~3,A(a,­a),B{b,~^2),

•.•瓦8'关于y轴对称，

:.B'4b,-K),

设直线破的表达式为尸m汁n,将A(a,-尚,B'(-瓦⑹代入得,+n=-f

v-bm+n=-b乙

解得［；二二;乐-左ab=-3,

/.m=-(a-t))=b-aF^(a+b)2-4ab=Vfc2+12,rF-ab=-(-3)=3,

直线四'的表达式为产Vk2+12•x+3,

令尸0,得产3,二直线四'经过定点(0,3).

【类型三】二次函数中的线段问题

常见模型:1.求一条线段的长度并求最值,常根据点坐标表示线段长度(若该线段与坐标

轴平行,则用横坐标或是纵坐标相加减确定,若该线段与坐标轴不平行,则用勾股定理、锐角三

角函数或是相似确定)得到一个新的二次函数，通过配方法求得线段的最值;2.求两条线段和

的最小值，常用到“将军饮马”模型，当两点在同一侧时，作其中一点关于直线的对称点，对称

点与另一点的连线与直线的交点即为所求点；3.求两点间线段长度,用两点间距离公式或是转

化为边与坐标轴平行的三角形,利用勾股定理求出长度;4.线段数量关系，如线段相等或线段

倍数关系，结合题干列出满足线段数量关系的方程,解方程求解即可.(注意检验,排除不符合

题意的解)

【例3】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x+bx+c经过点/(T,0)和点B(0,3),顶点

为G点。在其对称轴上,且位于点。下方,将线段DC绕点、。按顺时针方向旋转90°,点。落在

抛物线上的点P处.

⑴求抛物线的解析式；

⑵求点P的坐标；

⑶将抛物线平移，使其顶点落在原点0,这时点P落在点£的位置,在y轴上是否存在点M,使

得屿物的值最小,若存在,求出点〃的坐标;若不存在,请说明理由.

【解析】⑴把点4(T,0)和点夙0,3)代入尸-*+如c,

得｛；1"C=°,解得｛:=2

=3

二抛物线的解析式为产-父+2K3;

⑵’”（『1）2+4,

：•。(1,4),抛物线的对称轴为直线后1,如图，设切=t,则以1,4-1),

•.•线段加绕点〃按顺时针方向旋转90°,点。落在抛物线上的点尸处,

:./PDC=9G,DP=DC=t,：.P(l+1,4-1),

把P(l+1,4-1)代入尸-V+2x+3得:-(1+1)2+2(1+1)+3=4-1,

整理得&t=Q,解得：右=0(舍去)，Q1,.•.尸(2,3);

(3)存在.

理由：•••点尸坐标为(2,3),顶点。坐标为(1,4),将抛物线平移,使其顶点落在原点0,这时点P

落在点£的位置，.•.点E坐标为(1,-1),.,.点£关于y轴的对称点A-1,-1),

连接依交y轴于M,则取斗贷蛆及依的值最小，

设直线小的解析式为产9以,{";解得

•••直线件的解析式为足吗

...点〃的坐标为(0,2.

【类型四】二次函数中的周长与面积问题

二次函数中的周长与面积问题常从函数图象上的关键点入手,设合适的未知数,并表示出

相关点的坐标或线段的长度,结合题干列出满足题意的方程,解方程求解,从而求出满足周长

或面积条件的点坐标,若是求周长或面积的最值,一般要建立关于周长或面积的函数解析式，

根据所设未知数的范围，利用函数的性质，求其最值.注意:对于求不规则图形的面积，常将所

求图形分割成几个可以直接利用面积公式计算的规则图形，通过规则图形的面积和或差计算

求解.

[例4](2023•重庆)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+2过点(1,3),且交x轴于

点力(-1,0),8两点，交y轴于点C.

⑴求抛物线的解析式；

⑵点P是直线W上方抛物线上的一动点，过点P作PDLBC千点、D,过点尸作y轴的平行线交

直线以于点E,求△〃应周长的最大值及此时点尸的坐标；

⑶在⑵中小PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移逐个单位长度,

点〃为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平面内确定一点N,使得以点4己必及为顶点的四

边形是菱形,写出所有符合条件的点N的坐标,并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程.

【思路点拨】(1)由待定系数法即可求解；

(2)由△期'周长的最大值=/火(1+sin/PENcosN陶)，即可求解；

⑶当NP是对角线时，由中点坐标公式和A旧AN,列出方程组即可求解；当N〃或4V是对角线时,

同理可解.

【解析】⑴由题意得

解得32,则抛物线的解析式为产-"+|广2；

吟22

(2)令产-#+|户2=0,

解得JF4或T,即点8(4,0),

•依〃y轴,则/曲=/。绍

则tanN电决tanN0CS=2,

则sinN曲关,cosN核戈，

由点耳。的坐标得直线6C的解析式为:产-?+2,

则陷亨+*2+#2=_*2T+2W2,

即PE的最大值为2,此时点P的坐标为⑵3),

则△小周长的最大值=/^(l+sinN电灯cosN圆)

=(1十出+

即△核周长的最大值为誓与此时点夕的坐标为(2,3);

(3)抛物线沿射线”方向平移近个单位长度,相当于向右平移2个单位长度向下平移1个单

位长度，

则平移后抛物线的对称轴为J

设点M1,ID）,点N{s,t）,

由点4尸的坐标得,Z尸=18,

当4月是对角线时，由中点坐标公式和小的得:

-l+2=s+|

3—m+t，解得/=[

(I+1)2+m2=(s+l)2+t2s=_三

I2

即点儿的坐标为（-1，》；

当初或的是对角线时，由中点坐标公式和册册或池―尸得:

s1=+2

f--l=s+2（'2

jtn=t+3或"t=m+3，

l（s+l）2+t2=18（（I+l）2+m2=18

i

（一

s=2

解得卜=±誓（不合题意的值已舍去），

m=3+竺

I—2

即点〃的坐标为6±U）；

综上,点儿的坐标为©-亭）或G，乎）或（V》.

【类型五】二次函数中的角度问题

二次函数综合中由于动点引起的动态角问题也是二次函数综合考查的一个常见题型，常

用动态角与已知角相等则其三角函数也相等的性质列出方程求解；注意观察动态角是否与特

殊角（30。，45。，60。）有关系，再利用三角函数表示动点坐标，代入解析式求解，或转化为等

腰直角三角形、等边三角形、全等三角形解决问题.

【例5】（2024•广安）如图,抛物线y=-lx+bx+c与x轴交于48两点,与y轴交于点6；点力

坐标为（-1,0）,点6坐标为⑶0）.

⑴求此抛物线的函数表达式.

⑵点9是直线以上方抛物线上一个动点,过点夕作x轴的垂线交直线直于点D,过点夕作y

轴的垂线,垂足为点E,请探究29比是否有最大值,若有最大值,求出最大值及此时P点的坐

标;若没有最大值，请说明理由.

⑶点〃为该抛物线上的点，当/机年45°时,请直接写出所有满足条件的点〃的坐标.

【思路点拨】(1)直接利用抛物线的交点式可得抛物线的表达式；

⑵先求解出点。的坐标,及直线员的表达式,再根据点P在二次函数上设出点P的坐标,进而

可得点。坐标,再建立二次函数求解即可；

(3)以"为对角线作正方形CTBK,可得N阅住/a”45°,CK,67与抛物线的另一个交点即为

M,过T作x轴的平行线交y轴于Q,过8作BGV7。于G,则陟G®3,设T牛G氏叫则CQ=T^3-ni,

求解TE,疗1),进一步求解直线67和直线GT的表达式,再求解函数的交点坐标即可.

【解析】⑴・••抛物线片-|/+加+c与x轴交于A,6两点,与y轴交于点C,点4坐标为(T,0),

点5坐标为(3,0),

/.7=-|(^+1)(j^3)=-|y+^A+2.

⑵当尸0时，尸一|，+1户2=2,

•"(0,2),

设直线BC为产公+2,

，3杆2=0,

解得k=-l，

工直线BC为产-%+2,

设P(x,-|/+^A+2),

，，(X,-|A+2),

:.2PIXP/2(_|3+疗2+|尸2)+k*5x,

当小一毫中时，有最大值得

此时尸(抬)•

(3)如图，以①为对角线作正方形CTBK,

:./BCa/Bd5°,

:.CK,67与抛物线的另一个交点即为M,

如图,过T作x轴的平行线交y轴于。过