2025年高考数学模拟试卷1（天津卷）详细解析

2025年高考数学模拟试卷01（天津卷）

详细解析

一、单项选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的）

1.设全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={2,5},则NUA/M=（）

A.{2,3,5}B.{1,3,4}C.{1,2,4,5}D.{2,3,4,5}

【答案】A

【解析】因为全集。={123,4,5},集合"={1,4因所以立河={2,3,5},

又"={2,5},所以NUaM={2,3,5},故选A.

2.已知p:2'-8W0,q:（x-3）（x-4）V0,贝（）

A.。是4的充分不必要条件B.p是q的充要条件

C.q是p的必要不充分条件D.q是p的充分不必要条件

【答案】D

【解析】由题得p：xN3,q:3Wx<4.

当命题P成立时，命题9不一定成立，所以。是q的非充分条件，q是0的非必要条件；

当命题4成立时，命题P一定成立，所以p是q的必要条件，q是p的充分条件.

所以P是q的必要非充分条件，q是p的充分非必要条件，故选D

02

3.已知a=logo,20-3,b=log060.35,c=4,则（）

A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b

【答案】B

【解析】函数y=logo_2X为（。，+8）上的减函数，XO.2<O.3<1,

所以logo,21<logo,20.3<log020.2,故0<a<1；

函数》Togo*为（。，+8）上的减函数，又（0.6）3<0.35〈（OS）?,

23

所以log06（0.6）<log060.35<log06（0.6）,故2<6<3；

函数y=#为（0,+s）上的增函数，又0<0.2<0.5,

所以4°<4°2<4°‘，故l<c<2；

所以>>c>a,故选B.

4.己知函数y=/(x)的部分图象如图所示，则此函数的解析式可能是()

C.y=sinx—xcosxD.y=sinx-xex

【答案】C

2

［解析］对于A,,「InJ(-%)2+1+x=In［y/x+1+xj=In2—一ln(J/+］—x),

又y=In(7771-x)的定义域为R,

.・一=111(朽71-@为区上的奇函数，图象关于原点对称，与已知图象相符；

当xNO时，.=、//+1为增函数,丁=天为增函数，又y=lnf在(0,+oo)上单调递增，

由复合函数单调性可知：y=In(4^71+x)在［0,+8)上单调递增，

又y=In(Jx2+1-x)=-ln(Jx?+1+x),

.•.y=ln(77W-x)在［0,+e)上单调递减，与已知图象不符，A错误;

对于B,由ei-eT'O得：XWO,=的定义域为｛小*0｝,与已知图象不符，B错误;

e-e

对于D,・.・sin(-x)-(-x)ef=-sinx+xe-x^-sinx+xex,

二.y=sinx-%e"不是奇函数，图象不关于原点对称，与已知图象不符，D错误.

故选：C.

5.已知等比数列｛4｝的前几项和S,,满足a〃M=S“+l(”eN*),则%=()

A.16B.32C.81D.243

【答案】A

【解析】等比数列｛〃"｝的前”项和为S”，且凡+|=S“+l(〃eN*),

•,•%=S,T+1(W22),

，4+1=2。“，故等比数列｛。“｝的公比为2.

在*=S“+l("eN*)中,

令〃=1,可得％=。1+1,贝!]%=4•/=1x16=16,故选A.

TTTT

6.已知函数丁=Asin(o无+夕)+加的最大值为4,最小值为0,最小正周期为了，直线尤=§是其图象的一条

对称轴，则符合条件的函数解析式可以是()

71

A.y=4sin(4x+—)B.y=2sin(4x+—)+2

JT77

C.y=2sin(2x+])+2D.y=2sin(4x+y)+2

【答案】B

【解析】:函数y二Asin(cox+(p)+m的最大值是4,最小值是0,

.4-04+0・・万2万

・・A二----=2，m=-------=2，・/=—、①=—=4

222T

yr47r7T

•.•直线x=:是其图象的一条对称轴，所以/+。=1+而，(笈eZ)

(p=-+kjc,k£Z.••函数的解析式为y=2sin(4x--+k7L)+2,k£Z,

66

TT

可以为y=2sin(4x+7)+2,故选B

6

7.下列说法正确的是()

A.一组数据7,8,8,9,11,13,15,17,20,22的第80百分位数为17；

B.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到/=4.712,根据小概率值a=0.05的独立性检验

(%。5=3.841),可判断x与y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05；

C.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0；

D.若随机变量虞"满足〃=3舁2,则£>M)=3r»©-2.

【答案】B

【解析】A选项，10x80%=8,故从小到大排列，第8个数和第9个数的平均数作为第80百分位数,

即与改=18.5,A错误；

B选项，由于/=4.712>3.841,得到X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05,B正确;

c选项，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于I,c错误;

D选项，若随机变量满足〃=-2,则。（9=32。/）,D错误.

故选：B

8.在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块.如图是一个高脚杯，它的轴截面是正三角形，容器内有一

定量的水.若在高脚杯内放入一个球形冰块后，冰块没有开始融化前水面所在的平面恰好经过冰块的球心

0（水没有溢出），则原来高脚杯内水的体积与球的体积之比是（）

\GX

V一AA

D-1

A.1B.-C.—

23

【答案】D

【解析】如图，圆。与AB切于点。，设球的半径为「，

则。4=2r,且AC=2OC,

<AC2=OA2+OC2,即40c2=4/+。。2,得。c=£,

所以水的体积乂=；］.2/一|"3=|夕3,

所以水的体积与球的体积之比是^—=-,故选D.

—47ir36

3

A

22

9.已知双曲线券=l（”>0,b>0）的左、右焦点分别为6，B，点M在双曲线C的右支上，MFJMF?,

若说与C的一条渐近线/垂直，垂足为N,且|g|-|。叫=2,其中0为坐标原点，则双曲线C的标准

方程为（）

A.B.

2016204

J]

C.D.—

416420

【答案】C

【解析】因为峥，"8，ONINF、,且。为耳耳中点，所以ON〃MFL且|ON|=JMEJ,

因为|g|-|ON|=2,所以四制-|“月|=2（|四|-[02）=4=24,解得a=2,

直线/的方程为'=-，x,所以|NK|=q^=b,则|ON|=b-。，在直角三角形月NO中利用勾股定

22

理得。2+0_a)2=c2,解得b=2a=4,所以双曲线的标准方程为三一21=1,故选C.

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.

10.i是虚数单位，复数史匈=_______.

l-2i

【答案】l+2i

|3+4i|5

【解析】

l-2i-l-2i

11.的展开式中x的系数为.

【答案】-560

【解析】2x--j的展开式的通项(+1（-1727-rC；x7-2r

令7-2，=1,得厂=3,所以［彳-口的展开式中x的系数为(一1)327土；=-560.

12.已知过原点。的一条直线/与圆C：(尤+2『+y2=3相切，且/与抛物线y2=2px(p>0)交于O,尸两

点，若|OP|=4,贝”=.

【答案】3

【解析】由于圆心为C(-2,0),半径为r=6,故直线/一定有斜率,

设/方程为、=丘=G，解得k=±-\/3,

故直线/方程为y=±氐,

联立y=土6％与y1=22比(2>0)可得3兄2—2〃尤=0=%=0或1=漕,

故P］彳，土当4,故3=向彳邛j=：P=4np=3,

13.有两台车床加工同一型号的零件,第一台车床加工的优秀率为15%,第二台车床加工的优秀率为10%.假

定两台车床加工的优秀率互不影响，则两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为；若把加

工出来的零件混放在一起，己知第一台车床加工的零件数占总数的60%,第二台车床加工的零件数占

总数的40%,现任取一个零件，则它是优秀品的概率为.

【答案】1.5%13%

【解析】由于第一台车床加工的优秀率为15%,第二台车床加工的优秀率为10%,所以两台车床加工

零件，同时出现优秀品的概率为15%xlO%=1.5%

记B“加工的零件为优秀品"，A="零件为第1台车床加工"，印=”零件为第2台车床加工“，

P(A)=60%,P(A)=40%,尸(B|A)=15%,P(B|A)=10%,

由全概率公式可得尸(8)=P(B|A)+P(X)尸(B|X)=60%xl5%+40%xl0%=13%,

14.如图，平行四边形A3CD中NZMB=60。，AD=3,AB=6,DE=EC,BF=^BC,设荏=£,AD=b,

用Z，五表示，^E-AF=・

【答案】—a+b；F

【解析】空一：因为。石=EC,

umUUIKuumuumiuuuruuniumirr

所以AE=AO+0E=AD+—DC=AT>+—A5=—Q+b；

222

空二：因为2尸=；2C,

所以市?=荏+丽=通+工反正=£+），

333

__,__]___]_]_2一一1—2

因止匕AX'•4尸=(—〃+Z?)•(QH—b)=—QH—u.'bci'b~\—b,

23263

因为ND4B=60。，AD=3,AB=6,所以|码第=3,国=同=6,〈漏=60。,

—.—.171163

所以AE-AP=-x36+-x6x3x-+-x9=——，

26232

15.已知函数〃x)=/+|2--6+1]有且仅有2个零点，则实数。的取值范围为—

【答案】(-2-2^,-2)U(-2,2-2^)

【解析】(1)当A=a2_8V0,即-2忘Va<2应时，

2x2-ax+l>0恒成立，

所以/(%)=(a+2)f一办+1,

因为/(%)有两个零点，

所以aw—2且a2-4a-8>0,解得〃<2-26或〃>2+26(舍)，

所以-2后Wav-2或-2<。<2-2若；

(2)当△=a?_8>0,即Q<—2^2或a>2A/2，

设g(x)=2x2一依+1=0的两个根为人"，且机<〃，

当〃>2近时，/(%)>。恒成立，不满足题意，

当1<一2后，有一a?=p%2—办+1]有两个解，

因为-。>2,^<0,所以-分2与且⑺在(o,+e)必有一个交点，

当尤£(一8,祖)时，一五与g(x)没有交点，

当x=0时，g(o)=l,所以--与g(x)在(〃,o)必有一个交点

所以要使方程-苏=|2/-依+1|有且只有两个零点，

贝!]—ax2=—2x2+ax—l无解，

即(2—a)f-依+1=0没有实数根，

即/_4(2-a)<0,解得-2-2G<a<-2+2g,

因为-2-26<-2应<-2+2/，所以-2-2省<。<-2近,

综上实数a的取值范围为“-2-2班,-2）U卜2,2-2石）.

三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分14分）在非等腰AABC中，a,b,。分别是三个内角A,B,。的对边，且a=3,c=4,

C=2A.

(1)求cosA的值;

（2）求的周长；

（3）求cos（24+三］的值.

【解】（）在中，由正弦定理二-。=

13=$,3,c=4,

sinAsinBsinC

可得一3^二——4，

sinAsinC

343_4

因为。=2A,所以即

sinAsin2AsinA2sinAcosA

2

显然sinAwO,解得cosA=§.

(2)在AABC中，由余弦定理〃=/+c?—2bccosA,

得62T6+7=0,解得b=3或6=(.

7

由已知〃，b,c互不相等，所以b=

728

所以QABC=a+b+c=3+4+-=—.

(3)因为cosA='1,所以sinA=Jl-cos?A=,

33

所以sin2A=2sinAcosA=,cos2A=2cos2A-l=-^~,

99

所以cos12A+W71y/s+4^5

=cos2Acos——sin2Asin

618

17.（本小题满分15分）如图，四棱锥P-ABCD中，AB±AD,CD±ADf平面nW_L平面ABC©,

PA=AD=PD=AB=2,CD=4,M为尸。的中点.

(1)求证:侬//平面PAD；

(2)求点A到面PCD的距离

(3)求二面角P-9-C平面角的正弦值

【解】(1)取尸£＞中点N,连接AN,MN,如图

由M为PC的中点，所以"N〃C£＞且=

2

AB±AD,CD±AD,且AB=2,CD=4,

所以A8〃8且42=工。，

2

故MN"AB&MN=AB,

所以四变形BWNA为平行四边形，WBMIIAN

又平面上4£＞,⑷Vu平面PAD

所以平面PAD

(2)由CD_LAD,CDu平面ABCD

平面PAD平面ABCD,

平面ABCDc平面PAD=AD

所以CD_L平面PAD,又ANu平面PAD

所以CD_LA7V,由以=隹)=尸D=2,

所以PAD为正三角形，所以

则CDcf»=D,CD,尸Du平面PCD

所以⑷VI平面尸CD,且A7V=2•走=6

2

所以点A到面PCD的距离即AN=y/3

(3)作尸石工AD交AD于点E，

作EF_L3£＞交3D于点尸，连接ERPB

由平面％£＞_L平面ABC。，PEu平面平面PAD

平面ABCDc平面B4D=AD,

所以尸E_L平面ABC。，BDu平面ABCD,

所以尸E_L5D,又PEcEF=E

PE,EFu平面PEF,所以平面PEF

又尸产u平面PEF,所以BD/PF

所以二面角P—BD—E平面角为NPFE

PE=6又ADEF为等腰直角三角形

所以EF=也，所以尸尸=,尸石2+一尸2=巫

22

同、|■/DZ7Z7PE^/42

所以sinZPFE==----

PF7

又二面角尸-BD-C平面角为»-N尸FE

故sin（"-ZPFE）=sinZPFE=--

所以二面角P—3D—C平面角的正弦值为叵

7

22

18.（本小题满分15分）已知椭圆C：*+斗=1（。＞6＞0）的焦距是短轴长的石倍，以椭圆的四个顶点为

顶点的四边形周长为4君.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线y=Ax+〃2（AmwO）与椭圆C交于A、8两点，与y轴交于点尸，线段A8的垂直平分线与AB交

于点与y轴交于点N,。为坐标原点，如果NMOP=2N肱VP,求上的值.

2c=2回＞

【解】（1）由题设得＜4力~+b~=4出,解得4=2,6=1,c=币,

a2=b2+c1

所以椭圆C的方程为《+y2=i.

4-

¥2=1

（2）由＜4+'一,（4^2+l）x2+8Z7m:+4m2-4=0,

y=kx+m

由A=（8初?）2—4（4左？+l）（4m2-4）>0,4A;2-m2+1>0,

设4（%，乂）、3（々，%），贝心+迎=-7；^'%+%=左（百+元2）+2加=“八

4/c+14k+1

„...一X.+x,4km...m

所以点V的横坐标x=-=-—^~-,纵坐标y=—~-，

M24k+1M4《+1

所以直线MN的方程为y-/Y（x+D

令X=O,则点N的纵坐标则N，，-关｝］，

因为「（0,加），所以点N、点尸在原点两侧,

因为ZMOP=2ZMVP,所以NA£VO=NQW2V,所以10M=|。叫,

2mY16左2根2+根2

又因知。叫-^1+

4k2+1

3m

|ON『

4F+1

16A:2m2+m29m2

所以（4P+1）2（4公+『

解得16左2+1=9,所以％=±变

2

19.（本小题满分15分）若某类数列｛%｝满足且“，产0”（〃eN*）,则称这个数列｛%｝为“G

an-l

型数列”.

⑴若数列｛4｝满足4=3,4Al+i=32"+，求生,%的值并证明：数列｛%｝是“G型数列”;

⑵若数列｛叫的各项均为正整数，且4=1,｛%,｝为“G型数列"，记a=%+1,数列也｝为等比数列，公

比9为正整数，当也｝不是“G型数列”时,

（i）求数列｛4｝的通项公式;

2n+1

【解】(1)％A+i=3,令那=1,则01a2=33**.4=9,

2n+1

令〃=2,则出〃3=3,二•/=27；由anan+i=3①，

「•当〃)2时，4血=32n-1②，

由①+②得，当〃22时，­=9,

an-l

所以数列｛出〃｝(〃£N*)和数列｛%〃」｝(女N*)是等比数列.

因为4=3,a〃a〃+i=32n+1,所以4=9,

所以*=3♦9〃T=321,%=9・91=32〃,因此日=3〃,

从而2=3>2(〃N2),所以数列｛%｝是“G型数列”.

(2)(/)因为数列｛。.｝的各项均为正整数，且｛4｝为“G型数列”,

所以号包>2,所以0用>2%>%,因此数列｛。〃｝递增.又2=。,+

所以%「％=4+「%>0,因此也｝递增，

所以公比4>1.又也｝不是“G型数列”，所以存在%eN*,

使得242,所以qW2,又公比为正整数，

所以q=2,又仿=4+1=2,所以么=2",贝心,,=2"-1.

,,+12n+12n+1

(ii)anan+l=(2"-1)(2-1)=2-3x2"+1>2-3x2",

2n+1

因为2-3x2"=4"+T(2"-3)>4"(M>2),所以anan+l>4"(〃22),

,当〃=1时，=-

k=lgg+1

当"22时，E不+/+…+不

---1------------------------1-----1----------I、-1----------

3］」312(4'-'J31212

20.(本小题满分16分)设函数/(尤)=f+lnx.

⑴求曲线y=/(x)在点。，/⑴)处的切线方程；

⑵设函数g(x)=/(x)-依(aeR)

(i)当x=l时,g(x)取得极值,求g(x)的单调区间;

(ii)若g(“存在两个极值点不，%，证明：g㈤-

x2-x1a2