2025年高考数学模拟试卷2（九省新高考新结构卷）详细解析

2025年高考数学模拟试卷02（新九省卷）

详细解析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合4={目尤=3〃-1,〃€2},3=何（）＜尤＜6},则AB=（）

A.{1,4}B.{1,5}C.{2,4}D.{2,5}

【答案】D

【解析】A={尤|x=3〃-l,〃eZ},3={x|0<;r<6},则AB={2,5},故选D

2.若tan[a-：)=2,则sin2a=()

4

D.

5

【答案】B

【解析】由t小一小端=2,得tan-3,

.小c.2sinacosa2tana3

/.smz<7=2sinacosa=——---------------=-------------=——故选B.

sina+cosa1+tana5

3.已知〃=Z?=(3m-1,2),若〃〃b，则机=()

A.1B.-1C.1

3

【答案】A

【解析】因为〃=Z?=（3m-1,2）,a!lb，所以2根一（3加-1）=0,解得根=1,故选A.

5

4,若(1一2x)5=%+++a5x,贝(]%+&=()

A.100B.110C.120D.130

【答案】C

2

【解析】在(l—2x)5=%+〃]%+%%2+.+%%5中，＜22=C1x2=40,〃4=C；X24=80,

所以出+%=120,故选C

5.已知等差数列｛?｝的前〃项和为S“，且$2=2,凡=9,贝|工。=()

A.14B.16C.18D.20

【答案】D

【解析】设数列｛4｝的公差为"，由S?=2,Sb=9,

7

2q+d=2“一

得6x5，解得,

6al+-----d=9

12d=-

4

所以/=叫+^^1=亲£=20,故选D.

6.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.

它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是

一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧。E,AC所在圆的半径分别是3和6,且

ZABC=120°,则该圆台的体积为（）

【答案】D

【解析】设圆台上下底面的半径分别为小2，由题意可知gx2兀><3=2跖，解得4=1,

|x27tx6=27r^,解得：弓=2,作出圆台的轴截面，如图所示:

DOQ

图中OD=(=1,O'A=G=2,AD=6-3=3,

过点。向AP作垂线，垂足为T,则AT=4-q=l,

所以圆台的高/Z=JA£)2—472=132一1=20,

2

则上底面面积S|=71X1'*S2=7ix2=47T,由圆台的体积计算公式可得：

147t

V=lx(S1+S2+7^i-^)x/z=1x77tx2>/2=^,故选D.

7.已知直线y+l="(x-2)与圆(x—l)2+(y—l)2=9相交于跖N两点.则I“VI的最小值为()

A.75B.275C.4D.6

【答案】C

【解析】由圆的方程(x-l)2+(y-l)2=9,可知圆心A(1,D,半径R=3,

直线y+l="(x-2)过定点5(2,-1),

因为(2-1)2+(-1-1)2=5<9,则定点3(2,-1)在圆内，

22

则点3(2,-1)和圆心A(l,l)连线的长度为d=7(2-1)+(-1-1)=卡，

当圆心到直线距离最大时，弦长最小，此时ABLMN,

由圆的弦长公式可得|"N|=2，&-蕾=2m-(逐了=4，

故选：C

8.己知可导函数〃x)的定义域为R,为奇函数，设g(“是/⑺的导函数，若g(2x+l)为奇函数,

110

且g⑼=7,则£依(2左)=()

2k=\

A13-13c11n11

A.——B.C.一D.——

2222

【答案】D

【解析】因为为奇函数，贝=

即/(x-i),两边求导得r(x-i)=r(-x-i),

贝ljg(x-l)=g(r—l),可知g(x)关于直线》=一1对称，

又因为g(2x+l)为奇函数，则g(2x+l)+g(-2x+l)=0,

即g(x+l)+g(-x+l)=O,可知g(x)关于点(1,0)对称,

令x=l,可得g⑵+g(0)=0,SPg(2)=-g(0)=-l,

由g(x-l)=g(_x.l)可得g(x)=g(-x-2),

由g(x+l)+g(-x+l)=0,可得g(x)+g(-x+2)=0,即g(x)=-g(—x+2),

可得g(r-2)=-g(-x+2),即g(x+4)=-g(x),

令x=0,可得g(4)=-g(O)=-；；

令x=2,可得g(6)=-g⑵=；；

且g(x+8)=-g(x+4)=-[-ga)]=g(x),可知8为g(x)的周期,

可知g(8k+2)=g(8左+4)=-；,g(8%+6)=g(8%+8)=),ZeZ,

10]111

所以£依(2左)=一一(1+2+5+6+9+10)+—(3+4+7+8)=.

I222

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数z,下列说法正确的是()

A.若z-2=0,贝！]z为实数B.若z2+52=o,贝iJz=7=0

C.若|z-i|=l,则|z|的最大值为2D.若|z-i|=|z|+l,则z为纯虚数

【答案】AC

【解析】设2=。+加(<7/eR),则W=a-历，

若z-2=0,即(。+历)—(。一为)=2历=0,即》=0,则z为实数，故A正确；

若z?+彳2=0,即(°+历了+(a—历y=o,

22

化简可得/+2。历+。2一力2-2。历=0,UPa=b,即。=坊，

当。=〃时，z=a+ai,z=a-ai,止匕时不一定满足z=N=0,

当a=-b时，z=a-ai,z=a+〃i，此时不一定满足z=5=0,故B错误；

22

若|z-i|=l,Bp|z-i|=i=|a+（/,-i）i|=^+（z,_i）=1,

所以/+（。-1）2=1,即z表示以（0,1）为圆心，以1为半径的圆上的点，

且忖表示圆上的点到原点的距离，所以|z|的最大值为2,故C正确；

若|z-i|=|z|+l,即|z_i|=|a+0_l）i|=Ja2+e_1）2,

目+1=荷+/+1,即!=〃2+户+1,

化简可得6=—，/+/,则。=0且/V0,

此时z可能为实数也可能为纯虚数，故D错误；

故选：AC

10.已知函数/口）=85（妙+9）[。>0,。<夕<"的图象在｝;轴上的截距为3，巳是该函数的最小正零点,

则（）

71

A.（p=—

3

B./（x）+/'（x）W2恒成立

C.在[o,[上单调递减

D.将y=/（x）的图象向右平移:个单位，得到的图象关于,轴对称

【答案】AC

【解析】函数/■（尤）=85（0X+夕）（0>0,0<0<]]的图象在〉轴上的截距为3，

所以cosp=:，因为0<?<:所以。=々.故A正确；

jr

又因为二是该函数的最小正零点，

12

LLt、II兀兀）f\TLt、r兀兀兀

所以COS10丘+§J=。，所以。方+3=5，

解得0=2,所以/"）=8$[2苫+：）,r（x）=-2sin]2x+3,

所以/（元）+/'（无）=cos（2无+^J-2sin]2x+*|J=^cos（2x+m+e]vV^,故B错误；

当时，2尤+六与兀）.（0,兀）,故C正确；

将y=〃x）的图象向右平移三个单位，得到y=cos2卜-3+]=cos[2x-。

是非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，故D错误.

故选：AC.

11.如图，已知抛物线c：y2=2px（p>0）的焦点为F,抛物线C的准线与X轴交于点D,过点下的

直线/（直线/的倾斜角为锐角）与抛物线C相交于AB两点（A在x轴的上方，8在x轴的下

方），过点A作抛物线C的准线的垂线，垂足为直线/与抛物线C的准线相交于点N,贝卜）

A.当直线/的斜率为1时，\AB\=4pB.^\NF\=\FM\,则直线/的斜率为2

C.存在直线/使得ZAOB=90D.若A户=3FB，则直线/的倾斜角为60

【答案】AD

【解析】易知尸，，。）,可设■：>=（无-£|（左>0）,设4（%,乂）,3（工2，%），

y=]\X--Ik2r）2

与抛物线方程联立得iI2）=>k2x2-（k2p+2p）x+^-=0,

y2=2px

贝!]%+x=,=P-.,

2*P”V2

对于A项，当直线/的斜率为1时，此时尤1+%=32，

由抛物线定义可知|4司+忸司=占+]+马+1=|四=4p,故A正确；

易知AMN是直角三角形，若|人叫=|「5图，

则ZANM=ZFMN=ZAMF=ZFAM,

又同=|AM|,所以为等边三角形，即NA网=60,止匕时左=退，故B错误;

+%)+牛

由上可知玉%2+%丁2=

3

——〃2<0,

244

即加流0，故C错误；

若Ab=3尸3n_1_玉=3^x2-^^xl=2p-3x2,

又矢…注啰，所以％=岛，

则"=j万=若，即直线/的倾斜角为60，故D正确.

占一万

故选：AD

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共3小题，每小题6

分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得。分;

③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三

个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）.已知在某次新结构数学试题的考试中，小

明同学三个多选题中第一小题确定得满分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个

选项，则小明同学多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）的中位数为.

【答案】11

【解析】由题意得小明同学第一题得6分；

第二题选了2个选项，可能得分情况有3种，分别是得。分、4分和6分；

第二题选了1个选项，可能得分情况有3种，分别是得。分、2分和3分；

由于相同总分只记录一次，因此小明的总分情况有：6分、8分、9分、10分、12分、13分、14分、

15分共8种情况，

所以中位数为劣丑=11,

13.在直三棱柱ABC-A,与G中，AB=AC=AAi=4,AC±AB,过AQ作该直三棱柱外接球的截面，所得

截面的面积的最小值为.

【答案】87t

【解析】由直三棱柱ABC-A4G可知，平面ABC,

又AC_LAB,所以AB,AC,两两垂直，

设直三棱柱ABC-A由G外接球的半径为R,

通过构造长方体可知该三棱柱的外接球与以AB,AC，M为边长的长方体外接球相同；

过AG作该直三棱柱外接球的截面，当AC,为所截圆的直径时截面面积最小,

因为AC]=A/42+42=4A/2,

则所求截面面积最小值为=8兀.

14.在ABC中，内角A,B,。所对的边分别为b,c,已知c=2asinC-2ccosA,则sin2A=

若。=2,贝屋ABC面积的最大值为

32+A/7

【答案】

43

【解析】因为。=2asinC—2ccosA,由正弦定理得sinC=2sinAsinC—2sinCcosA,

因为C£（0,»）,/.sinCw0,则有sinA-cos人=；，

ii33

所以（sinA-cosA—=—,得l—2sinAcosA=—,即2sinAcosA=—,故sin2A=—；

4444

3

因2sinAcosA,AG（0,71）,故,可得sinA>0,cosA>0,

sinA=l±^

sinA-cosA=-二,得A”=工儿

由＜2,解得SsinA=LMC,

osA=^l2

sin2A+cos2A=1C24

4

由余弦定理得，cosA=U^也二，所以〃+'2=4+立」C,

2bc42

由〃+J+铝2”当且仅当』时等号成立，可得公占争+万,

<J1+币4f-马史，即，ABC面积的最大值为"立

sABC-~x--—x§（5+,7）=

33

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（本小题满分13分）已如曲线“力=加+》-211«+。6力€2在＞2处的切线与直线天+2＞+1=。垂直.

⑴求。的值;

⑵若/(x)ZO恒成立，求匕的取值范围.

【解】(1)由于x+2y+l=。的斜率为所以广⑵=2,

2、21

又/'(%)=+l—，故/'(2)=4Q+1—7=2,解得〃二—,

x22

(2)由(1)知。=:，所以尸(x)=x+l-2=.+X2=(X+2)(X-1),

2xxx

故当尤>i时，r(x)>o,/(x)单调递增，

当0cx<1时，-(x)<0"(x)单调递减,

故当x=l时，/(%)取最小值/。)=；+1+6,

13

要使/(x)Z0恒成立，^/(1)=-+1+&>0,解得62-；,

,3

故6的取值范围为

16.(本小题满分15分)为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、

好读书”的号召，并开展阅读活动.开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间

(单位：分钟)，得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075,0.0125,

(1)根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值(同一组中的数据用该

组区间的中点值为代表)；

⑵开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作

为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于［80,100)的人数记为己

求随机变量4的分布列与数学期望.

【解】(1)由题知：各组频率分别为：0.15,0.25,0.3,0.2,0.1,

日均阅读时间的平均数为：

30x0.15+50x0.25+70x0.3+90x0.2+110x0.1=67(分钟)

(2)由题意，在[60,80),[80,100),[100,120]三组分别抽取3,2,1人

4的可能取值为：0,1,2

3

则尸(『)=C专C0=^1m)=C罟2cl=3：

2

P(J=2)=)c'c^」1

C：5

所以j的分布列为:

13I

E((^)=0x-+lx-+2x-=l

17.(本小题满分15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A3CD是边长为2的正方形，PA=PB=也,

点M在尸D上，点N为BC的中点，且〃平面MAC.

(1)证明：CM〃平面P/W；

(2)若尸C=3,求平面PAN与平面MAC夹角的余弦值.

【解】(1)连接3D交AC与点O,连接可得平面P5D与平面MAC的交线为OM,

因为尸8〃平面M4C,Pfiu平面PSD,所以PB//OM,

又因为。为3D的中点，所以点M为尸£>的中点，

取E4的中点E,连接EM,EN,可得EM//AD且EM=gA£>,

又因为N为BC的中点，可得CN//AD且CN=：A。，

所以EM//CN且EM=CN,所以四边形£MCN为平行四边形，所以CM//EN,

又因为CMZ平面尸AN，且ENu平面PAN,所以CM//平面PAN.

(2)取A3的中点S,连结尸S,CS,

因为24=28=石，可得尸S_LAB,且PS=[PB?-BS?=2，

又因为SC=dBC?+BS，=小，且尸C=3,

所以PC?=m2+5。2,所以尸S_LSC,

又因为ABSC=S,且A5,SCu平面ABCZ）,所以PS_L平面ABCD,

以S为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系S-孙z,

可得4（—1,0,0）,以1,0,0）,。（1,2,0）,£＞（-1,2,0）,尸（0,0,2）,

因为/为尸。的中点，N为3c的中点，可得

则AP=（1,0,2）,PN=（1,1,-2）,AM=，

/、m-AP=x,+2z,=0

设m=（3,小4）是平面尸4V的法向量，贝ij,

m-PN=石+"一2Z]=0

取光=2,可得y=—4,z=—l,所以根=（2,-4,—1）,

3

n-AM=-x2+y2-z2=0

设加=（X2，%，Z2）是平面M4C的法向量，贝人

n•MC=；%+%+z2=0

取％=2,可得y=—2,z=l,所以〃=（2,—2,1）；

\m-n\111101

设平面PAN与平面MAC的夹角为6,则===

\m\\n\3J2163

即平面PAN与平面MAC的夹角的余弦值为生区.

63

22

18.（本小题满分17分）己知椭圆E:土+匕=1,直线/与椭圆E交于A、8两点，。为坐标原点，且

84

0P1AB,垂足为点P.

⑴求点尸的轨迹方程；

⑵求面积的取值范围.

【解】（1）①当直线/斜率不存在时，由椭圆的对称性，不妨设直线/在y轴右侧,

直线0A的方程为〉=彳,

---1---二'解得-半’『半'所以‘/2762A/6、

由＜84

33

y=x7

淮2巫,此时尸（子,0.

所以,直线AB的方程为1=

37

同理,当直线/在y轴左侧时，P-望，0.

7

②当直线/斜率存在时，设直线/的方程为广区+加，4（药,必），3仇,必），

y=kx+m

由d2消去y整理得,（1+2左2）尤2+4kmx+2m2—8=0,

——+—=1

I84

-Ahn2m2-8

A=6442-8疗+32>0,且西+无2=x,x=-----

1+2左21y-1+2左2

又，。4。2=0即：占%+%%=0,

所以，百%,+（何+机）（丘,+m）=0,

则（1+左2）占尤2+hn（^xA+x1）+rrr=0,

故（1+左~）（2病-8）4后/*叫1+2左2）

=0,

2

1+2-2i+2k1+2〃

所以3疗=8（公+1）满足A〉。,

综上，|O尸上半，所以，点尸的轨迹方程为炉+/=|.

Q

（2）①由（1）可知，当直线/斜率不存在或斜率为。时，S^ABC=-.

②当直线/斜率存在且不为0时，

\AB\=^e\Xi-X2\=行戊4：券+32

c132k2+8I---------------

（1+用（1+4用

1+2^3V（1+24

_W|l4k4+5k2+l4A/6Ik2-

V4^4+4^2+l+4k4+4k2+l

=S|1+1।

3卜入4+1

V^>0,：.4e+^>4,当且仅当r==，即％=±变等号成立.

k222

1+e

•'•4^+X+4^-'，网孚,2后,

K

：.StABC=^\OP\-\AB\^,242,

综上，SASCeI，2&.

19.(本小题满分17分)置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合&={1,2,…,〃},〃eN+的函数称为“

次置换.满足对任意ieA/(/)=?的置换称作恒等置换.所有n次置换组成的集合记作S”.对于/⑺eS,,

12

我们可用列表法表示此置换：/(/)=记

/(1)"2)f(n)J

=/⑺"(严⑺)=八),一,/■(尸1))=„•).A,左eN..

(\234、

⑴若〃i)eS4，〃i)=14~13}计算r⑺；

(2)证明：对任意/⑺^邑，存在左eN+，使得f(i)为恒等置换；

(3)对编号从1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第

27张变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，……,依次类推.这样操作最少重复几次就

能恢复原来的牌型？请说明理由.

(\234、

【解】(1