2025年高考数学二轮复习：高级应用函数的周期性、单调性、奇偶性及对称性特性以解析函数性质问题（练习）（解析版）

专题04高级应用函数的周期性、单调性、奇偶性及对称性特

性以解析函数性质问题

目录

01模拟基础练.................................................................2

题型一：函数单调性的合应用...................................................2

题型二：函数的奇偶性的综合应用...............................................4

题型三：已知F（x）=奇函数+AL.................................................................................................................5

型四：利用轴对称解决函数1^]6

题型五：利用中心对称解决函数问题.............................................8

题型七：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性............................13

题型八：双对称与周期性......................................................17

题型九：双函数与对称性......................................................20

题型十：类周期与倍增函数....................................................21

重难点突破：函数性质与导数25

02重难创新练................................................................28

题型一：函数单调性的合应用

cv(/?Y

(2024•陕西宝鸡•二模)“求方程固+[引=1的解”有如下解题思路:

1.设〃7+印则

/(x)在R上单调递减，且/(2)=1,所以原方程有唯一解x=2.类比上述解题思路，不等式

8x6—(x+l)>(x+l)3—2x2的解集是()

A.(-oo,0)B.(1,+co)C.(-oo,0)u(l,+oo)D.18,-；］口(1,+8)

【答案】D

【解析】原式化简为：8X6+2X2>(%+1)3+(X+1),即(2/丫+(2尤2)>(尤+1丫+(彳+1)

令g(x)=x3+x,则/("=3/+1>0,贝Ijy=g(x)在R上单调递增,

则不等式转化为2->X+1,所以方程解集为，。，-;卜(1,+。).

故选：D.

2.己知函数F(X),g(x)是定义在R上的函数，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数,

/(%)+g(%)=ax2+x+2,若对于任意1"<三<2,都有鼠再』、.)>_2.则实数&的取值范围是(

x{-x2

-1

A.(0,+oo)B.--,+oo

L2

D.(一8，一!D[0,+8)

C.4'°

【答案】B

【解析】•••/(x)是定义在R上的奇函数，g(%)是定义在R上的偶函数，且/(x)+g(%)=Q%2+x+2,①

/.f(_x)+g(_x)—_x+2,

①+②得：/(%)+/(-x)+g(%)+g(-x)=2g(x)=2ax2+4,

/.g(x)=ax2+2,

2

又对于任意I<『2,都有二詈>2即对于任意1<丁2,g®)+2%<g(X2)+2%,

令h(x)=g(x)+2x=ax2+2x+2,贝！Jh(x)在(1,2)上单调递增,

当。=0时，飘%)=2%+2在(1,2)上单调递增，满足题意;

当。。0时，7z(x)=〃%2+2%+2是二次函数，其对称轴方程为％=-工,

a

a>0(a<0

・••依)在(1,2)上单调递增，所以1।或1,

——<1——>2

,aIa

解得〃>0或—<。<0,

2

综上，Q2——，

2

即，的取值范围为［-；,+8).

故选：B

2—ox,x<1

3.(2024.四川德阳•一模)已知函数〃元)=1332人2小11,，若对任意见<马，都有

—x—ax+12a+2)%-----,%〉1

132、)6

/(^)-/(X2)<2^-2X2,则实数。的取值范围是()

A.(—8,—2)B.[1,+e)C.12,]3

D.—00,—

4

【答案】A

【解析】对任意再<兀2，都有/(%)-/(%2)<2%-2%2=>/(%)-2%</(%2)-2%2,

令/(%)=/(%)-2%,则尸⑺在R上单调递增，

2—(«+2)x,x<1

其中网无)=〃尤)-2尤=13日

-/VI-A-,-/V/L

1326

当xWl时，一(a+2)>0,解得av—2,

13113

_E2-(6z+2)<---a+2a2--,解得a21或〃W--,

故a<—2,

当%>1时，9(%)=%2_36+24=(%-.)(x-2.),

因为av—2,所以尸(x)=(x—(7)(%—2〃)>。，

故FQ)在(L+8)上单调递增，满足要求,

综上，实数a的取值范围是(-8,-2).

故选：A

题型二：函数的奇偶性的综合应用

4.(2024.江西南昌.模拟预测)函数〃了)=6国的图象经过点(L-D,则关于x的不等式

9/。)+/(4-/)<0解集为()

A.(3,一l)U(4,+8)B.(-1,4)

C.(-8,-4)51,+8)D.(-4,1)

【答案】B

X?X<0

【解析】由函数/。)="国的图象经过点得。=—1,则〃x)=TX='"八

［—无，尤>0

函数“X)在(-8,。］上单调递减，在［0,+8)上单调递减，则f(x)在R上单调递减，

Xf(-x)=x\-x\=x\x\=-f(x),即函数/(X)是奇函数，

不等式9/(元)+/(4-尤2)<0of(3x)<-/(4-x2)=fix1-4),贝ljf-4<3x,

即f_3x-4<0,解得T<x<4,所以原不等式的解集为(一1,4).

故选：B

5.定义在R上的奇函数在(0,+“)上单调递增，且/《)=0,则不等式4^40的解集为()

A.U(四,+a)B.卜8,-五)U

c.1五U{o}U(®,+8)D.卜

【答案】D

【解析】由题意可得，〃0)=0,〃力在(-8,0)上单调递增，且/(-:卜0,

由粤仇成〃(x)20

2,

%-2>0/［尤2一2<0'

・.,/(x)W0时，x<-1,或

又/_2>0,即冗<_0,或无〉四,

故解得一亚

[x-2>0

0时，或

又尤2一2<0,即一四<x(近，

或,《尤<后,

MH二解得-3

则不等式4以40的解集为:

X2-2

故选：D.

6.(2024•江西新余•模拟预测)函数为偶函数，则0的值为：().

A.-1B.1C.0D.2

【答案】D

【解析】〃x)=e，

由函数/(x)为偶函数，贝ij/(%)=/(-%),

故选：D.

题型三：已知f(x)=奇函数+M

7.设函数/(x)=/+6/+15x+21,且/'(a)=2,/(6)=12,则a+b=

【答案】-4

【解析】由于尤3+6/+15X+21=(X+2)3+3(X+2)+7,

于是函数8(乃=/@-2)-7是一个单调递增的奇函数,

gm+2)=f(q)-7=-5,

=>Q+2=—(Z?+2)a+b=-4.

g(6+2)=/®-7=5,

故答案为：—4

8.已知函数〃x)=电土矍詈土”(pqwO),若存在正实数a,使得函数在区间［-名同有最大值M

及最小值m,则M+m=.

【答案】15

彳"+4+15(1+炉)_]5x(pY+2)

【解析】/w=20+尤2)―豆+2(1+尤)

/、x(px2+2)-x(px2+q\

令g(%)=(其定义域为R，8(一工)=―=—g(x)，即g(%)为奇函数,即函数g(%)在区间

21+/厂21+x2)

[一上满足gOOmax+g(%)min=。，所以/(初侬=gOOmax+5，/(0nin=gOOmin十万，即

»1515

M+m=---1---=15

22

故答案为：15

9.已知函数〃x)=2022x+^4-cosx+e，-eT+3,/(a)=-3,则〃_«)=.

【答案】9

【解析】令g(x)=/(x)—3=2022x+^^.cosx+e，-eT,定义域为R,

且g(T)=-2022X+sm(:!.cos(-x)+e-'-ex=-g(x),

l+(r)-

所以g(x)为奇函数,

fffl^g(-a)=-g(a)=-f(a)+3=3+3=6,即g(-a)=f(-a)-3=6,

故a)=6+3=9.

故答案为：9.

题型四：利用轴对称解决函数问题

10.已知函数/(x)=|x+L|+|a-x+—匚1-6有五个不同的零点，且所有零点之和为g,则实数b的值为

xa-x2

()

A.IB.3C.5D.7

【答案】C

【解析】因为/(%)=|x+—I+1Q—-----1—b,f{a—x)=\a—x-\-----l+|x~i■—1-8=/(%),

a—xa—x

所以函数/(x)的图象关于直线工=£对称，

设五个零点分别为石,入2，％3，%4，工5，且玉<%4<%5，

则%+毛=a,x2+%=a,x3,

0T以玉+/+W+*4+*5=4+〃+'==—,^f以a=1,

则％3=1，由/(X3)=IX3+-l+l1-X3+77—I—匕=0，可得|<+2|+|1-2+2|=8，则6=5.

故选：C.

11.(2024.河南•模拟预测)已知f(x)是定义在R上的函数，/(l+x)=/(l-x),且当尤21时，

y(x)=3"-5,若a=〃log354),b=/(cos/),c=],则a,b,C的大小关系是()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

【答案】c

【解析】由〃1+无)=〃1-X),判断“X)的图象关于直线X=1对称，把。、b、C转化为在X>1的函数值

利用单调性比较大小.因为〃l+x)=/(l-X),所以函数的图象关于直线X=1对称，又

log354=log3(27X2)=3+log32,cos-^=cos-=-,=2?=4,所以。=川幅54)=〃3+log32),

442(2)

fe=/^cos^=/^^=/^2-^,c=/gj]=〃4).因为3<3+厩2<4,1<2<2,所以

0<2-^<3+log22<4,又当xNl时，〃x)=3f-5为减函数，所以个>”.54)>],即

b>a>c.

故选：C.

12.(2024・高三・黑龙江哈尔滨•期中)已知函数〃同=3口+3*1-2cos(x-l),则

5

f(0.5-°-)>f(log29),jlogst的大小关系()

A./(log29)>

5

B./(log31)>/(0.5^)>/(log29)

5

C./(0.5^)>/(log31)>/(log29)

05

D./(log29)>/(O.5-)>/(log3；)

【答案】A

【解析】首先设函数g(x)=/(x+D=3，+3T-2cosx,判断函数是偶函数，利用导数判断函数的单调性，根

据平移关系，可判断函数>=/(%)的对称性和单调性，再将log?9,0.5«5,以及logs；转化在同一个单调

区间，根据单调性比较大小.令g(x)=f(x+1)=3'+3-x-2cos尤,g(f)=g(x),所以g(x)是偶函数；

g'(x)=ln3(3*-3T)+2sinx,当xe(O,乃)时，g'(x)>0,g(x)在(0,万)上是增函数，

将g(x)图像向右平移一个单位得到了(X)图像，

所以/■(*)关于直线尤=1对称，且在(U+乃)单调递增.

3<log29<4,05"=垃,2-log31=2+log32e(2,3),

5

.-.4>log29>2-log31>0.5^>1,

5

.•./(log29)>/^2-log31j>/(0.5-°-),

2-吗，

又•."(x)关于直线x=l对称，

.•.f(log29)>/^log31L/(0.5^).

故选：A

题型五：利用中心对称解决函数问题

Y-1-1(1)则〃)

13.已知函数/(》)=弓士的对称中心为一不22=()

2x+a<2

,2D

A.-B.2C

25

【答案】c

斗二公

【解析】/("=2+21」签

v72a

其对称中心为

a_1

~2~~2.fa=l

b.'"[b=4

[2

4x+l

・••/(尤)=

2x+l

4x2+19

••"(2)=

2x2+15

故选：C

cosx+^ex-x2e~x+2则

14.已知函数/（x）=

cosx+2

122019201920181

+/()

202020202020202020202020

A.2019B.2020C.4038D.4040

【答案】C

【解析】先判断出〃%）关于（。,1）成中心对称，由此求得所求表达式的值.

2x2xr

cosx+xe—xe~+21/卜”一e

〃x)=-----------------------------=l+—----------

cosx+2cosx+2

x2(e~x

令h^x)=h^-x)==—,

cosx+2cos(-x)+2cosx+2

则M”为奇函数，所以可可关于坐标原点对称，则关于（。」）成中心对称，贝ij有/a）+〃f）=2,

所以

122019201920181

+/+/

202020202020202020202020

=2019x2=4038.

故选：C

15.已知定义在R上的函数“力满足〃x）=4-〃2-x）,若函数＞=三一与函数y=〃力的图象的交

x-1

般

点为（国，%）,（孙％）,…,S'％），则E（z+%）=（）

k=\

3n

A.〃B.——C.3nD.6n

2

【答案】c

【解析】首先判断两个函数的对称性，再判断交点的对称性，最后利用对称性求和.•."（x）=4-〃2-X）,

\/(x)关于点(1,2)对称，

y=^t=2(l)+l=2+，,可知函数关于点(L2)对称，

X—1X—1X—1

...y=a1与y="X)的交点也关于点(1,2)对称，

x-1

n

Z(4+%)=(占+/)+(%+%)+•••+(%+y„)

k=\

=(芯+―+%)+(%+%+—+%)

孔〜n，入

=—x2+—x4=3〃.

22

故选：c

16.(2024•河南.模拟预测)已知定义域为R的函数/(久)的图象关于点(1,0)成中心对称，且当xNl时,

/(x)=x2++n,若=则祖+2"=()

A.0B.4C.--D.--

222

【答案】C

【解析】依题意，/•(3)=9+3根+〃，又/⑶=一/(—1)=7,

所以3刃+〃=一2①，而/(1)=机+〃+1=0②，

113

联立①②，解得：m=--,n=--,则〃?+2〃=一5.

故选：C

题型六：奇偶性对称偏移

17.(2024・高三•内蒙古赤峰•期中)已知函数“X)的定义域为R/(x+l)为奇函数，〃x+2)为偶函数，当

xe[l,2]时,f(x)=ax2+b,若/(0)+〃3)=6,则/)

【答案】A

【解析】由/(x+1)为奇函数，得了(一x+D=-/(x+1),

故/(x)=—f(2-尤)①，函数/(x)的图象关于点(1,0)对称；

由f(x+2)为偶函数，得/(-x+2)=/(x+2)②，

则函数的图象关于直线x=2对称；

由①②得/(x+2)=-"X),

则/(x+4)=-/(x+2)=f(x),

故f(x)的周期为4,所以，等)=/^012+^=H,

由/(一x+l)=-/(x+l),令x=0得/(1)=0,即“+匕=0③,

已知/(0)+〃3)=6,

由函数/(劝的图象关于直线x=2对称，得〃3)=/(I)=0,

又函数/(x)的图象关于点(1,0)对称，得/(0)=-/(2)

所以1(0)+/(3)=-『(2)=6,即以2)=-6,

所以4〃+%=-6④，联立③④解得a=-2,6=2

故xe[l,2]时，/(了)=一2/+2,

由f(x)关于(1,。)对称，可得/=-/

故选：A.

18.若定义在R上的函数满足了(无+3)为偶函数，且〃x)+/(2-x)=2,贝I]()

A./(5)=-1B."3)=2C./(0)=0D./(-3)=1

【答案】D

【解析】因为“x+3)为偶函数，所以/(x+3)=/(-x+3),

又因为/(x)+/(2—x)=2,所以/(—x+3)+/(x—1)=2,

即〃x+3)+/(x-l)=2,即得〃x+4)+/(x)=2J(x+4)=2-〃x),

故〃x+8)=2-〃x+4)=2-(2-=所以/(x)的周期为8.

/(x)的图像关于x=3对称，且/(x)的图像关于(U)对称；

f(3),/(0)函数值不可知，故选项B,C错误

因为〃x)+〃2—x)=2,令龙=5得〃5)+/(-3)=2,因为/'(x)的周期为8.

所以"5）=〃-3）,即"5）=〃-3）=1,故A选项错误；故D选项正确；

故选：D.

19.（2024・高三.四川成都•开学考试）设函数f（x）定义域为R,/（x-l）为奇函数，〃x+l）为偶函数，当

时，〃尤）=-丁+1,则下列结论错误的是（）

A./^=-|B.〃x+7）为奇函数

C./O）在（6,8）上为减函数D./⑴的一个周期为8

【答案】C

【解析】由题设，/(-x-l)=-/(x-l),则f(x)关于(-1,0)对称，

所以/[-(^-D-l]=-/(x-1-1),即/(-x)=-/(x-2),

则f[-(x-2)]=-f(x-2-2),SPf(2-x)=-f(x-4),

由/(-x+1)=f(x+l),则f(x)关于x=l对称,

所以f[-(x-l)+l]=f(x-l+l),即〃2—x)=,

综上，f(X)=-f(X-4),则〃尤-4)=-/(*-4-4)=-/。-8),

故f(x)=/(x—8),即f(x)=f(x+8)易知"%)的周期为8,D正确；

fM=/(2--)=/(-j)=/(---D=-/(--l)=-/(--)=-1,A正确;

由"x-l)=/(x+7),而“x-l)为奇函数，故/(x+7)为奇函数，B正确;

由xe（-1,0）时/（力=-幺+1递增,则xe（7,8）时/⑺递增,显然C错误.

故选：C

20.（多选题）对于定义在R上的函数〃x）,若〃x-l）-1是奇函数，〃尤+1）是偶函数，且〃无）在［L2］

上单调递减，则（）

A./（3）=0

B.〃。）=〃2）

C./（1）+/（2）+/（3）+-•.+/（2023）+f（2024）=2024

D.在［4,5］上单调递减

【答案】BCD

【解析】若/(x-l)T是奇函数，即它的图象关于原点对称，

把/(工-1)-1的图象向左平移1个单位，再向上平移一个单位得了(彳)的图象，

因此/(x)的图象关于点(-U)对称，所以/(-2-x)+/(x)=2,/(-1)=1,

/(x+1)是偶函数，即它的图象关于＞轴对称，/(尤+D的图象向右平移一个单位得AW的图象,

因此f(x)的图象关于直线x=l对称，从而八2-尤)=/(x),/(0)=/(2),B正确；

所以/(4+x)=/(1-(3+尤))=/(-2-x)=2-/(x),即f(尤)+/(尤+4)=2,

/(一1)+/(3)=2,所以)⑶=2—〃—1)=1,A错;

f(D+)⑵+…+/(2024)=1012x2=2024,C正确;

/Q)在［1,2］上递减,它关于直线x=l对称,则f(x)在［0H上递增，

又它的图象关于点(T，1)对称，则在［-3,-2］上递增，

再由它关于直线x=l对称得它在［4,5］上递减，D正确，

故选：BCD.

题型七：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性

21.(多选题)(2024•四川德阳•一模)定义在R上的函数/(x)满足

则下列结论正确的有()

A./(O)=2B./(X)为奇函数

C.6是的一个周期D.弓=4052

【答案】ACD

【解析】该函数满足〃且/'(1)=1,

对于A,令x=y=l,可得/(1)+/。)=/。)/(0),解得了(0)=2,故A正确；

对于B,令丁=一无，/(x)+/(-x)=/(O)/(x),所以〃r)=/(x),所以为偶函数，故B错误;

对于C,令x=x+l,y=x-l,

可得/(x+l)+〃x_l)=〃j),令X=x+1,可得〃尤+2)+〃尤)=〃x+l),

将两式相加得：/(x+2)+/(x—1)=0,所以/(尤+2)=-/(犬一1),

所以y(x+3)=-“X),所以〃x+6)=—/(x+3)=/(x),

因此，6是〃x)的一个周期，故C正确;

对于D,令…,尸0,/(^)+/(O)=/2f|J,所以/电=〃左)+2,

2024(2024

所以不=X[/的+2]=〃0)+〃1)+--+〃2024)+2X2025,

女=0J攵=0

因为"0)=2,"1)=1,

因为〃尤+2)+/"_1)=0,令x=0,/(2)+/(-1)=0,所以/(2)=_/•⑴=-1,

令元=1,/(3)+/(0)=0,所以〃3)=-2,

令x=2,/(4)+〃1)=0,所以〃4)=-1,

令x=3,/(5)+/(2)=0,所以"5)=1,

由于6是“尤)的一个周期，

所以“0)+/⑴+…+〃2024)=337[/(0)+〃1)+〃2)+〃3)+〃4)+/(5)]+〃0)+〃1)+〃3)=2,

2024(卜、2024

所以匕=£[/优)+2]=〃0)+〃1)+…+”2024)+2x2025=2+4050=4052,故D正确；

左=o12/k=Q

故选：ACD

22.(多选题)(2024•高三.安徽•期中)已知定义在R上的函数/(无)满足：对V尤,yeR,

f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f2(y),且/(1)=2,函数〃3无+1)为偶函数，则()

A./(0)=0B./(4-x)+f(x)=0

2025

C./(尤)为偶函数D.伏)=2

k=T

【答案】ABD

【解析】定义在R上的函数f(x)满足：对f(x+y)f(x-y)=f2(x)-f\y),

对于A,令无=y=0,则/2(0)=(o)-/2(o)=o,/(0)=0,A正确；

对于C,令x=0,yeR,则/(y)/(—y)=尸(0)—/(y)=-尸(>),

于是"y)"(-y)+/(y)]=o,

则〃1)+/(T)=。，因此/(x)不是偶函数，C错误;

对于B,由函数/(3x+l)为偶函数，得/(一3彳+1)=/(3尤+1),即/(—x+l)=/(x+l),

于是f(x+l)=-/(x-l),即/(x+2)=_〃x),/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

因此函数〃尤)的周期为4,/(4-%)=/(-%)=-/(%),B正确；

对于D,由〃x+2)T(x),得/⑴+/(3)=0J(2)+/(4)=0,

2025

因此£f(k)=506[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(1)=2,D正确.

k=l

故选：ABD

23.(多选题)(2024.高三.山西太原.期中)已知定义域为Z的函数f(x)满足对于任意x,jeZ,都有

/(x+y)=/(x)/(l-y)+/(l-x)/(y),且/⑴=1,则下列结论正确的是()

A./(2)=0B.的图象关于点(1,0)对称

C.)⑴的图象关于直线x=l对称D./(2025)=-1

【答案】AC

【解析】对于A,令无=y=0,可得〃0)=/(0)〃1)+/(1)〃0),

由"1)=1，则/(o)=/(o)+/(o)，解得"0)=0，

令x=y=l,可得/(2)=/(1)/(0)+〃0)/(1)=0,故A正确；

对于B,由题意可知(1,1)在函数“X)的图象上，而点(1,1)关于(1,0)的对称点为(1,-1),

易知(1,-1)不在函数的图象上，故B错误；

对于C,设点(a,6)在函数的图象上，点(a,6)关于直线x=l的对称点为(2-a,6),

当点(2-a3在函数/•("的图象上时，函数/(x)的图象一定关于直线尤=1对称，

ff(a\=b/、/、

此时由j〃2_a)=b，可得〃a)y(2-a),

令尤=Ly=aT，可得〃a)=/(l)/(2—a)+〃0)〃l—a),则“a月(2-a),故C正确;

对于D,令x=2,产T,W/(l)=/(2)/(2)+/(-l)/(-l),则产(—1)=1,

当〃—1)=1时,令y=2,可得/(X+2)=/(X)/(T)+/(1—X)X2),

则〃x+2)=/(x),所以〃2025)=〃l+1012x2)=〃l)=l；

当〃T）=T时，令y=2,可得/（尤+2）=〃力〃一1）+/（1-力〃2）,

则〃x+2）=-"力,/（x+4）=-/（x+2）=/（x）,

所以广（2025）=〃l+506x4）=〃l）=l,

综上所述，“2025）=1,故D错误.

故选：AC.

24.（多选题）已知定义在R上的函数不恒等于。,/（兀）=0,且对任意的尤,yeR,有

〃2x）+〃2y）=2〃x+y）〃x—y）,则（）

A./（0）=1

B.〃x）是偶函数

C.的图象关于点（兀,0）中心对称

D.2兀是的一个周期

【答案】ABC

【解析】对于A,根据题意令》=儿则由/（2耳+/（2村=2〃犬+日/（》-封可得

/（2x）+/（2x）=2/（2x）/（0）,解得/（0）=1,即A正确；

对于B,令x=-y可得〃2力+/（-2x）=2/（O）〃2x）=2〃2x）,所以/（2x）=/（—2x）,

即可得对任意的xeR满足〃X）=/（T）,即/（x）是偶函数，所以B正确；

对于C,令x+y=%,则由〃2x）+/（2y）=2/（x+y）/（x—y）可得

/（2兀一2y）+/（2y）=2/（兀）/（兀一2村=0,

即/（x）满足/（2兀一x）+/（x）=0,因此可得/（x）的图象关于点（兀,0）中心对称,即C正确;

对于D,由于“X）是偶函数,所以满足“X-2兀）+/（x）=0,即/（x）+/（x+2兀）=0,

可得〃X-27I）="X+2TI）,也即/（力=/（%+4兀），所以4兀是的一个周期，即D错误.

故选：ABC

题型八：双对称与周期性

25.已知函数“力满足/（x）+/（4-x）=4,/（x+2）-/（-x）=0,且/⑴=。，则

/⑴+/2）+/（3）+…+。（51）的值为（）

A.96B.98+aC.102D.104-t?

【答案】C

【解析】根据题意，函数满足〃x）+〃4-x）=4,可得函数〃元）关于点（2,2）成中心对称,

又由函数满足〃x+2）-〃T）=0,BP/（x+2）=/（-x）

所以函数关于x=l对称，

所以函数“X）既关于x=l成轴对称，又关于点（2,2）成中心对称，

所以/（2）=2,且函数的周期T=4,

又因为"1）=0,所以/（3）=4—aJ（4）=/（_2）=/（-2+4）=/（2）=2,3,

可得/（1）+/（2）+〃3）+〃4）=8,

所以/⑴+/（2）+/（3）+…+/（51）=8xl2+/（l）+/（2）+/（3）

/=8x12+〃+2+4-Q=102.

故答案为：102.

26.（2024•陕西安康•模拟预测）定义在R上函数满足/（%+1）+/（1-力=0,/（—2x+l）=/（3+2x）.

当无目o,i］时，/（x）=（x-i）3,则下列选项能使成立的为（）

O

【答案】D

【解析】因为“x+l）+〃l-x）=0,所以〃无）关于点（LO）对称，所以〃尤）=一/（2—x）；

又/（—2x+l）=/（3+2x）,所以/'（T+1）=〃3+X）,所以有〃2—X）=〃2+X）,故关于直线X=2

对称，所以/（x）=〃4-x）.

所以，/（4-x）=-/（2-x）,所以有〃2-力=一/（—可，所以"4—X）=〃T）,

所以“X)的周期为4.

当xe[l,2]时，2_xw[0,l],所以/(；0=_/(2_尤)=_(2_尤_1)3=(尤_1)3,

所以xe[0,2]时，/(%)=(%-<

当xe[2,4]时，4-xe[0,2],所以/(x)=〃4_x)=(4-x-1)、=(3_力。

作出函数“X)在[0,4]上的图象如下图

当xe［2,4］时,由=：可得，(3-X)3=|,解得X=。,所以8

oo2

根据图象可得尤e［0,4］时，/(%)＞：的解集为

O

又因为〃元)的周期为4,

所以小)＞：在实数集上的解集为(公+4,4左+外，丘Z.

令k=o,可得区间为［|,3；令左=1,可得区间为故A项错误;

令k=3,可得区间为故B项错误;

令k=-l,可得区间为，|

令左=0,可得区间为故C项错误;

令左=2,可得区间为故D项正确.

故选：D.

27.已知函数〃x),g(x)的定义域均为R,/(x+1)是奇函数，M/(l-x)+g(x+l)=4,

/(x)+g(x-2)=4,则下列结论正确的是()

A.为奇函数

B.g(x)为奇函数

9_

C.(初=36

k=l

9

D.£[/㈤+g㈤]=36

k=l

【答案】D

【解析】由/(x+1)是奇函数，知"》)的图象关于点(1,0)对称，

所以八1)=0,/(x+l)=-/(l-x),所以/(X+2)T(T).

因为/(1一x)+g(x+l)=4,所以g(x+l)=4-/(l-x)=4+/(x+l),所以g(x)=4+/(x).

因为/(x)+g(x-2)=4,所以g(x-2)=4-/(x),所以g(x)=4-/(x+2)=4+/(-x).

则4+/(x)=4+/(-x),所以/(x)=/(—x),所以为偶函数，则g(x)=4+/(x)也为偶函数，故A,

B项错误.

9

由g(x)=4+〃x),得〃x)—g(x)=T,所以X、(左)—g(切=(-4)X9=-36,故C项错误.

k=l

因为“x+2)=—/(—x)=—/(x),所以/(x+4)=—f(x+2)=f(x),所以函数〃x)的周期为4.

由/■(x+2)T(-x)=-/(x),得f(x+2)+f(x)=0,所以/⑴+/(2)+/(3)+f(4)=0.

因为g(x)=4+/(x),所以g(x)+/(x)=4+2/(x),

所9以+g⑼=9立2〃/)+4]=9为[2〃划+9为=29为㈤+36,

k=lk=lk=lk=\k=l

999

因为(左)=2»优)+〃l)=0,所以E卜㈤+g㈤]=36,故D正确.

%=1^=l左=1

故选：D.

28.(2024.广东河源.模拟预测)已知定义在R上的函数/(%)满足〃％+1)为奇函数，且y=〃2x)的图象

50

关于直线*=1对称，若/(0)=-1,则£")=()

Z=1

A.-1B.0C.1D.2

【答案】c

【解析】由，(尤+1)为奇函数，知"X)的图象关于点(1,。)对称，则"1)=0,

由/(())=-1,得/⑵=-/(0)=1.

由y=〃2x）的图象关于直线x=l对称，则“X）的图象关于直线x=2对称,

所以〃4）=〃0）=—1,/（1）=/（3）=0,

综上，/（1）+/（2）+/（3）+/（4）=0,

由上〃x）+/（2—x）=。，/（2-x）=/（2+x）,得〃x）=-〃2+x）,

所以"4+尤）=一〃2+尤）=/（%）,则4为“X）的一个周期，

50

所以£/（i）=0xl2+〃l）+〃2）=l.

1=1

故选：C

题型九：双函数与对称性

29.若函数y=_/（x）的定义域为R,则函数＞=*尤-1）与＞=_/0—x）的图象关于直线（）

A.x=0对称B.y=0对称C.x=l对称D.y=l对称

【答案】C

【解析】因为函数4r—l）的图象是人尤）的图象向右平移1个单位长度得到，八1一x）=/（一（x—1））的图象是

八一x）的图象也向右平移1个单位长度得到；因为人功与人一元）的图象是关于y轴（直线x=0）对称，所以函数

y=/U—1）与y=/（l—x）的图象关于直线x=l对称.故选C.

30.与曲线y=工关于原点对称的曲线为（）

x-1

1111

A.y=------B.y=--------C.y=-----------------D.y=--------

1+x1+x1-x1-X

【答案】A

【解析】在与曲线＞=占关于原点对称的曲线上任取一点r（x,y）,

则点4（%y）关于原点的对称点鸟（-羽-y）在曲线y=占上，所以，-，=$■，

化简得y

X+1

因此，与曲线y=」关于原点对称的曲线为y=一1.

x-1X+1

故选：A.

31.(2024•广东梅州•一模)已知函数/(%)=asin%-Z?cosx(。涉为常数，〃w0,xcR)在犬=一处取得最

4

小值，则函数y=/(9-x)()

4

A.是偶函数且它的图象关于点(万,0)对称B.是奇函数且它的图象关于点(万,0)对称

C.是偶函数且它的图象关于点(3三7r,0)对称D.是奇函数且它的图象关于点(3三7r,0)对称

【答案】C

［解析】由题，/(x)=axinx-bcosx=Ja2+/sin(x+6)(tan3=--)

a

因为在X=?处取得最小值，/(?)=#a一=-^a2+b2

即a=—b

所以/(x)=41asin(