2025年高考数学专项复习：导数的概念及其意义（思维导图+5知识点+五大考点+过关检测）（解析版）

第01讲导数的概念及其意义

T模块导航—T素养目标—

模块一思维导图串知识1.通过对实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬

模块二基础知识全梳理（吃透教材）时变化率的过程，了解导数概念的实际背景.

模块三核心考点举一反三2理解函数的平均变化率、瞬时变化率，会求函数

模块四小试牛刀过关测在某一点附近的平均变化率.

3.理解导数的概念，会利用导数的定义求函数在某

点处的导数.

4.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线

方程.

模块一思维导图串知识

在曲线一点和过一点的切线方程

6模块二基础知识全梳理-----------------------------

一、物体的平均速度与瞬时速度

1、平均速度

设物体的运动规律是s=s⑺，则物体在t0到t0+M这段时间内的平均速度为—=~/~皿

2、瞬时速度

（1）物体在某一时刻的速度称为瞬时速度；

AcAv

（2）一般地，当无限趋近于0时，丝无限趋近于某一个常数"，我们就说当趋近于。时，竺的极

A?A?

限就是v,这时v就是物体在/="时的瞬时速度，

即瞬时速度v=lim—=hm-----------——

"->0NAI°Ar

二、抛物线切线的斜率

1、抛物线割线的斜率

设二次函数y=/（x）,则抛物线上过点尸°（x°J（x。））、尸0。+—,/（工。+&））的割线的斜率为

Ay=/（沏+A%）—/（尤o）

AxAx*

2、抛物线切线的斜率

一般地，在二次函数y=/（x）中，当Ax无限趋近于。时，孚无限趋近于某个常数％,我们就说当Ax趋

近于。时，卓的极限是左，这时发就是抛物线在点尸。（x°,/（x。））处切线的斜率，即切线的斜率

上由笑=lim小。+乎—。）.

Ax->0AxAx->0Ax

三、平均变化率

函数y=/（x）从到x2的平均变化率

1、定义式：包=/但）-卬

Axx2-xr

2、实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比.

3、意义：刻画函数值在区间［玉,％］上变化的快慢.

4、平均变化率的几何意义：

设小西,/（X1）），B（X2"（%））是曲线y=/（x）上任意不同的两点，

函数y=/（尤）的平均变化率包=/（々）-/（石）=/（＞+&）-1区）为割线AB的斜率，如图.

△%九2一七Ax

5、求平均变化率的步骤：

第一步：先计算函数值的改变量Ay=/（%）—/（%）；

第二步：再计算自变量的改变量Ax=%-不，

第三步：求平均变化率包=/（々）/（为）；

Ax-x

四、函数y=，(x)在x=xo处的瞬时变化率

1、定义:函数/(X)在X=X。处瞬时变化率是lim包=lim，我们称它为函数y=/(x)

-)Ax-Ax

在X=X0处的导数，记作/'(%)或y'L即/'(Xo)=lim包=lim"±A正生J

°以.oAx醺•0△%

2、定义法求导数步骤：

①求函数的增量：Ay=f(x0+Ax)-f(x0)；

②求平均变化率：包=/(/+■)——不).

AxAx

x

③求极限，得导数：f\x0)=lim=lim/(o+Ax)-/(xo)

以.。Ax以-°Ax

3、导数的几何意义

如图，在曲线y=/(%)上任取一点尸(苍/(幻)P(x"(x))，如果当点P(x,/(x))沿着曲线y=/(x)无限趋

近于点/(X。))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y=/(x)

,y(x)-/(x0)

在点Po处的切线.则割线P°P的斜率k=八°，

【注意】

函数y=/(x)在X。处的导数，是曲线y=/(x)在点(m7(X0))处的切线的斜率.

曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多.

与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线.

五、求曲线“在”与“过”某点的切线

1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤

第一步(求斜率)：求出曲线在点(%,/(七))处切线的斜率((X。)

第二步(写方程)：用点斜式y—/(%)=/(％)(%—5)

第三步(变形式)：将点斜式变成一般式。

2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤

第一步：设切点为Q(九0,/(%))；

第二步：求出函数y=/(x)在点/处的导数/'(5)；

第三步：利用。在曲线上和/'(%)=即°，解出/及/'(%)；

第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y-/(xo)=/'(xo)(x-%).

O>模块三核心考点举一反三------------------------------

【考点一：平均、瞬时变化率】

一、单选题

1.(23-24高二下•陕西渭南•期中)某质点沿直线运动，其位移>(单位：m)与时间f(单位：s)之间的

关系为y«)=产+2乙则该质点在1VY3这段时间内的平均速度为()

A.6m/sB.7m/sC.8m/sD.9m/s

【答案】A

【分析】根据平均速度的计算方法，列式计算，即可得答案.

【详解】由题意知位移y(单位：m)与时间f(单位：s)之间的关系为y«)=r+2f,

则该质点在IVY3这段时间内的平均速度为电⑴=32+2x3-1-2=6(m/s).

At3-12

故选：A

2.(24-25高二下•全国•课后作业)汽车行驶的路程s和时间/之间的函数图象如图所示，在时间段[%,切，

[A],囚，口上的平均速度分别为斗，弓，弓,则三者的大小关系为()

A.B.V3>V2>VXC.D.

【答案】B

【分析】根据题意，由平均速度的定义可得汽车在时间段上的平均速度即为该段直线的斜率，结合图像即

可得出答案.

【详解】设直线O'A，AB,BC的斜率分别为后么，kAB,kBC,

由题中图象知心c>心B>坛4，即

故选：B.

3.（22-23高二下•全国•课后作业）质点M按规律s=2F+3"故直线运动（位移单位：m,时间单位：s）,

则质点M在f=2s时的瞬时速度是（）

A.2m/sB.6m/s

C.4m/sD.11m/s

【答案】D

【分析】本题首先分析题意，运用物理知识，进行数学结合.

【详解】质点M在t=2s时位移的平均变化率为3=（（），At,

22+一。+32+/-2x2-3><2=11+2

14t

当At无限趋近于0时，式无限趋近于11m/s.

J

故选：D.

4.（23-24高二下.江西萍乡•期中）已知甲、乙两个小区在［0月这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量。与时

间/的关系如图所示.给出下列四个结论，其中正确结论的个数为（）

①在［（由］这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢；

②在［t2,可这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快；

③在时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢；

④乙小区在L时刻的分出量比与时刻的分出量增长得快.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根据图象的性质，结合图象的变化快慢，即可判断选项.

【详解】①在［冉］这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢，故①正确;

②在也，目这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快，故②正确；

③在L时刻，乙的图象比甲的图象陡，所以乙的瞬时增长快，故③正确;

④乙小区在％时刻比在％时刻陡，所以在芍时刻的分出量比才3时刻的分出量增长得快，故④正确.

故选：D

5.（23-24高二下.安徽合肥.期末）若质点A运动的位移S（单位：m）与时间f（单位：s）之间的函数关

2

系是S⑺=--（91）,那么该质点在，=3s时的瞬时速度和从"1s到"3s这两秒内的平均速度分别为（）

22-22_22-22

A.——B.—C.—,——D.—

39399393

【答案】D

【分析】利用瞬时速度v=lim包=lim'&+t"）公式即可求得t=3s时的瞬时速度,利用物体在小到

4->oA/A—oAZ

%+》这段时间内的平均速度为—=s&+、）T&）公式即可求得从f=1S至！k=3s这两秒内的平均速度.

AtNt

22

【详解】"：S（3+A『S（3）_3+A/+12,

ArArAt3（3+A。

所以机詈=业&y=I•即该质点在t=3s时的瞬时速度为晟；

_2

从r=ls至卜=3s这两秒内的平均速度为S⑶7⑴］）+:2；

3-1-2一§

故选：D.

【考点二：导数的概念】

一、单选题

1.（24-25高二上•全国•课后作业）已知函数"x）=3,则-（2）=（）

A.—2B.-4C.—

2

【答案】D

【分析】根据导数的定义可求r（2）.

【详解】由导数的定义得：

1____1

/（2+Ax）-/（2）_1；m（2+W-4_l：mAr+4

2

—Ax-AxAX->O4（2+Ax）4

故选：D.

2.（23-24高二下.江西萍乡•期中）设在R上的导函数为/（%）,若妈""黑一"j,则/©）=

（）

A.—2B.2C.-6D.6

【答案】C

【分析】由已知结合导数定义即可求解.

【详解】由于lim"3弋一（⑶-Wlim"3T）_f⑶__,，（3）=2,则/⑶=-6.

故选：C.

3.（2024高二下•全国・专题练习）已知尸（%）=。，则lim+/）二"/-3〃）的（）

202Ax

A.~2aB.2a

C.aD.-

2

【答案】B

【分析】由导数的定义变形即可求解.

/（/+〜f（二3二之/（%+心）一”无。-二）伉）=

【详解】limlim3=2/2a.

一。2Ax-f。4Arv）

故选：B.

二、填空题

4.（22-23高二下•湖北期末）已知函数的导函数为/'（x）,且尸⑵=/,1血〃2+斓一〃2）=3_/,

©f。Ax

则实数/的值为.

【答案】|/1.5

【分析】根据导数的知识列方程，化简求得f的值.

【详解】依题意/（2）=蜘"2+f）,

即r=3-r,解得.

3

故答案为：?

5.（2024高二下•全国・专题练习）已知函数>=依2+bx+c,其中a,b,c为常数，则函数在x=l处的导数

为.

【答案】2a+b

【分析】利用导数的定义求出导函数，从而可求的答案.

【详解】竺=。（尤+&）2+可"+-）+。一（办2+公+。）=26+6+〃垓,

AxAx

lim（2ax+Z?+6iAx）=2ax+b,

当尤=1时，瞬时变化率为2a+b,即函数在x=l处的导数为2〃十6

故答案为：2〃+0.

【考点三：求曲线切线的斜率(倾斜角)】

一、单选题

1.(23-24高二下.贵州.期中)若曲线y=f(x)在x=l处的切线方程为y=2x-3,贝。-⑴=()

A.-3B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】运用导数几何意义得答案.

【详解】曲线y=/Q)在x=l处的切线方程为y=2x—3,

则运用导数几何意义，知道/''⑴=人=2.

故选：D.

2.(23-24高二下.河北承德•阶段练习)曲线〃x)=x2+7在点处的切线的倾斜角为()

A.30°B,45°C.120°D.135°

【答案】D

【分析】根据导数的几何意义求斜率，再求倾斜角.

333

【详解】因为/(无)=炉+二，则/(X)=2X-F，所以左=2乂1-*=-1=1血135,

XX1

所以曲线“X)=f+：在点(1，”1))处的切线的倾斜角为135.

故选：D.

3.(23-24高二下•浙江•期中)已知函数/■(*)在R上可导，且满足如J。*紫/⑴=g,则曲线y=f("

在点(U)处的切线方程为()

A.'=%B.y=--x+—

22

C.y=-x+2D.y=-x+-

22

【答案】A

【分析】根据导数的定义和几何意义就可以求出切线斜率，然后即可得切线方程.

-1轲得：蛔川+»⑴」,/(1+Ax)-/(1)

【详解】由2%=1,

2AxAx2Ax->0Ax

/(l+Ax)-f(l)

根据导数的定义可知：/，(D=lim=1,

Ax-»0Ax

又根据导数的几何意义可知：在点(1,1)处的切线斜率左=尸⑴=1,

所以过点(1,1)处的切线方程为：y-l=l-(x-l),即kx,

故选:A.

4.（23-24高二下•新疆乌鲁木齐•期中）函数/（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）

A.o<r（i）</（2）</（2）-/（i）B.o<r（2）</（2）-/（i）<r（i）

c.o<r（2）<r（i）</（2）-/（i）D.o</（2）-/（i）<r（i）<r（2）

【答案】B

【分析】结合图形，利用曲线上两点所在直线的斜率和过两点的切线斜率的比较即可得到.

【详解】

如图，设函数/（X）的图象上有两点A（l"⑴）,3（21（2））,经过点A8的切线分别为人,3

则直线的斜率依次为心8=隼二9=/■⑵一〃1），丸=广（1），3=广（2），

2—1

兀

由图知直线AB，乙，。的倾斜角%8，%.，%,满足，0<a,B<aAB<a,A<-,

因函数。=tan尤在（0,万）上递增,故。<tan4<tan%<tan气，

即。〈广⑵〈*2）-〃1）<广（1）.

故选：B.

5.（23-24高二下.北京.期中）某物流公司为了完成一项运输任务，提出了四种运输方案，这四种方案均能

在规定时间T内完成预期的运输任务。。，各种方案的运输总量。与时间f的函数关系如图所示.在这四种

方案中，运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高的是（）

【分析】由导数的几何意义结合题意可判断.

【详解】由运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高，即为。'⑺逐渐变大,

结合导数的几何意义可得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，

结合图象可知，故B正确，

故选:B.

【考点四：导数的几何意义】

一、单选题

c.o＜r（i）＜r（2）＜/（3）D.r（i）＞r（2）＞o＞r（3）

【答案】A

【分析】由导数的几何意义分析可得广⑴，r⑵和r⑶的几何意义，结合图像可得解.

【详解】由函数“X）的图像可知，

当xNO时，单调递增，

r（2）＞o,r（3）＞o.

随着X的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的，

.•，r（i）＞r（2）＞r（3）＞o.

故选：A.

2.（23-24高二下.安徽合肥.期中）已知函数y=〃x）（xeR）的图象如图所示，且尸⑺为的导函数,

则（）

B.=

D.r（i）＜rf1）＜r（2）

【答案】B

【分析】分别作出函数/（x）在尤=-5=＜"=1"=2的切线，进而得到（（-l）j'g：（（1），尸⑵的大小

关系.

【详解】分别作出函数“X）在x=-l,尤=}x=l,x=2的切线,

则:（一1）＞0=/[[=广（2）＞广⑴，

3.（22-23高二下•上海浦东新•阶段练习）定义在（0,+8）上的函数“X）的导函数为了'⑺，如图是〃x）的

A.0＜〃2）＜/⑶＜〃3）-〃2）

B.0＜/'（3）＜〃3）—〃2）＜八2）

C.0＜r（3）＜r（2）＜/（3）-/（2）

D.0＜/（3）-/（2）＜/（2）＜/（3）

【答案】B

【分析】根据斜率关系得到0</"）<广⑵，"3）-"2）可看作过（2,42））和（3,〃3））的割线的斜率，根

据图像得到答案.

【详解】“制图象可知，"尤）在无=2处的切线斜率大于在x=3处的切线斜率，且斜率为正，

故。"⑶<八2）,

“3）一-;⑶,

/（3）-/（2）可看作过（2,/（2））和（3,〃3））的割线的斜率，

由图象可知广⑶<〃3）-〃2）</⑵，故0</（3）<〃3）-〃2）〈广（2）,

故选：B.

【考点五：求在曲线上一点和过一点的切线方程】

一、单选题

1.（24-25高二上•全国•课后作业）曲线y=V-3无在点（2,2）处的切线斜率为（）

A.9B.6C.3D.1

【答案】A

【分析】求出?，从而求出lim?,根据导数的几何意义计算可得.

Ax心―。Ax

【详解】因为Ay=（2+Ax）3—3（2+Ax）—23+6=（Ax）3+6（Ax）2+9Ax,

所以—=（Ax）2+6Ax+9,lim—=lim「（+6Ax+9-1=9.

AxV7AXFOL'7」

由导数的几何意义可知，曲线y=V-3x在点（2,2）处的切线斜率是9.

故选：A

V）

2.（24-25高二下•全国•课后作业）已知函数y=/（x）=a/+b在点（1,3）处的切线斜率为2,则一的值为（）

a

A.1B.2C.3D.1

【答案】B

h

【分析】由题意得/⑴=2,可求出。，再将（1,3）代入函数解析式中可求出6,从而可求得士的值.

a

【详解】由题意得/⑴=2,

r-r-plf（1+d）—f（1）.（1（1+d）2+b—Cl—b.J

所以lrim-------------------=lim--------------------------=hm（2a+ad）=2a=2,

d—>odd—>odd—>o

解得4=1,

又/⑴=a+b=3,贝!]6=2,

所以9b=2.

故选：B

3.（24-25高二上•全国•课后作业）设曲线〃x）=而^与，轴的交点为A,曲线y=在点A处的切线

与x轴交于点B,则3点的横坐标为（）

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】D

【分析】利用导数的定义求得函数在x=0处的导数，求得切线方程，可求结论.

【详解】易知人（。,1"处切线的斜率为强个=机汽洸殳产=极忌

则A2:y=gx+1,令产0,贝!|x=-2,故8点的横坐标为-2.

故选：D.

二、填空题

4.（22-23高二下•全国•课后作业）若曲线y=〃x）=f+2x在点尸处的切线垂直于直线x+2y=0,则点尸

的坐标是.

【答案】（0,0）

【分析】利用导数定义求出/设「（/，%），根据垂直得出切线斜率为2,则可得2%+2=2,进而求

出点尸坐标.

【详解】设尸（%,%）,则"（%）=lim（/+•”+2（%+--（1+2%）

-Ax

=lim（2x0+2+Ax）=2x0+2

Ax->0

因为点尸处的切线垂直于直线尤+2y=0,

所以点尸处的切线的斜率为2,

所以2%+2=2,解得%=0,则%=。，

即点P的坐标是（0,0）.

故答案为：（0,0）

三、解答题

5.（24-25高二上•全国•课后作业）已知函数/（力=%2-4x+3.

⑴求曲线y=〃x）上任意一点&，〃%））处的切线斜率；

（2）求曲线y=〃”在点（3,43））处的切线方程.

【答案】⑴2%-4

（2）2%-y-6=0

【分析】(1)根据导数的定义得出导数的几何意义得出切点的斜率；

(2)先求导函数的函数值得出斜率再点斜式求出切线方程.

【详解】(D由导数的几何意义可知曲线y=/(久)上任意一点(比/Oo))处的切线斜率为r(x0),

则由导数的定义，可得

r5)=lim仆㈤一小。)=lim1+㈤2T5+尤)+3-(片Tx+3)=^()_4

即曲线y=f(%)上任意一点(尤04(q))处的切线斜率为2尤。-4.

(2)/(3)=0,由(1)知，曲线y=/(x)在点(3"(3))处的切线斜率为广⑶=2,

所以切线方程为3-0=2(%-3),即2x-y-6=0.

6.(23-24高二下•重庆•阶段练习)若函数=x--,

X

⑴用定义求((X);

(2)求其图象在与无轴交点处的切线方程.

【答案】(1)/(6=1++

(2)y=2%-2和y=2x+2

【分析】(D根据函数的导数的定义求出r(x)；

(2)由导数的几何意义可求出切线的斜率，从而可得切线方程.

【详解】(D由导数定义可得，

f(x+Ar)-/(x)〔尤+&一卜［尤一J盘+

f(x)=lim-------------------=lim--------------------------------=lim-----------八十八人

'7-Ax-Ax-Ax

=lim1H---------=1H——

©叫x(x+Ax)Jx

(2)函数〃司=尤-1的图象与x轴有两个交点,

交点坐标分别为AQ0),«(-1,0),

"'(1)=2,

...在A(l,0)处的切线方程为y=2(x-l)=2x-2；

同理，在3(-1,。)处的切线方程为y=2x+2.

。》模块四小试牛刀过关测

一、单选题

1.(24-25高二下•全国•课后作业)设地铁在某段时间内进行调试，由始点起经过/秒后的距离为

S⑺=[/_4/+16产（单位：米），则列车运行10秒的平均速度为（）

4

A.10米/秒B,8米/秒C.4米/秒D,0米/秒

【答案】A

【分析】根据平均变化率的定义求解.

11八4

【详解】6（力=1〃-4/+16产，贝!|s（10）=7-4X1CP+16X102=100,

即列车运行10秒的平均速度为爷=10米/秒.

故选：A

2.（2024高三•全国・专题练习）设〃x）是定义在R上的可导函数，若煦=Q为常数），

则（（%）=（）

A.—2aB.2aC.-。D.。

【答案】A

【分析】根据导数的定义计算即可求解.

【详解】尸（%）=一=-lim"——"-=-2a.

—h2。h

故选:A

3.（2024高三•全国•专题练习）已知函数y=f（%）的部分图象如图所示，其中B（X2,/（X2））,

C（W"（W））为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（）

A./&)>/B.r(w)>r(々)>r(xj

C.尸㈤>/'(%)>/'(%)D./'(%)>/'(毛)>/'(%)

【答案】B

【分析】利用导数的几何意义判断斜率大小即可.

【详解】由图可知函数在点A处的切线斜率小于o,即r（石）＜0；

在点8处的切线斜率等于0,即/'（々）=0,

在点C处的切线斜率大于0,即/'（七）＞0,

所以/'（W）>/'（%）>/'&）.

故选：B.

4.（24-25高三上•北京海淀•期中）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿

化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设

B.当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率

C.当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率

D.当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同

【答案】C

【分析】结合图中数据分析一一判断各选项即可.

【详解】对于A,由图可知，甲地的气温日较差明显小于乙地气温日较差，

所以甲地的绿化好于乙地，故A正确；

对于B,由图可知，甲乙两地的平均变化率为正数，且乙地的变化趋势更大，

所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率，故B正确；

对于C,由图可知，甲乙两地的平均变化率为负数，且乙地的变化趋势更大，

所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率，故C错误；

对于D,由图可知，存在一个时刻，使得甲、乙两地气温的瞬时变化率相同，故D正确.

故选：C.

5.（24-25高二上•全国裸后作业）已知lim为虫=0,一质点做简谐运动，其位移彳⑺=sin[2m+；],则

13

f=s时该质点的瞬时速度为（）

o

A.0B.1C.兀D.2兀

【答案】A

【分析】利用导数的定义求解即可.

13

【详解】由题可知f=时该质点的瞬时速度为

O

△T。Z4f0A/△TOAr

故选：A.

二、多选题

6.（23-24高二下•四川广元•期中）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离6（单位：m）与时间/

（单位：s）之间的函数关系为6（力=2产+2/,则下列说法正确的是（）

A.前3s内球滚下的垂直距离的增量A/z=20mB.在时间［2,3］内球滚下的垂直距离的增量A/?=12m

C.前3s内球在垂直方向上的平均速度为8m/sD.第2s时刻在垂直方向上的瞬时速度为10m/s

【答案】BCD

【分析】利用函数关系式计算可判定A、B,由平均速度、瞬时速度的求法可判定C、D选项.

【详解】前3s内，加=3s,M="3）-〃（0）=24m,

h24

此时球在垂直方向上的平均速度为J=W=8m/s,A错误；C正确；

在时间［2,3］内，Ar=ls,/?=/z（3）-/i（2）=12m,B正确；

H（t）=4,+2,〃（2）=4x2+2=10,则第2s时刻在垂直方向上的瞬时速度为10m/s,

D正确.

故选：BCD.

7.（23-24高二下•辽宁.阶段练习）午饭时间；2同学从教室到食堂的路程S与时间f的函数关系如图，记f时

刻的瞬时速度为v（r）,区间上的平均速度分别为九匕,匕，则下列判断正确的有（）

C.对于=1,2,3）,存在〃4«0,幻，使得叭=M

D.整个过程小明行走的速度一直在加快

【答案】AC

【分析】可通过题意，分别表示出乂，匕，匕，再根据选项A,B进行比大小，即可确定；选项C可根据

图像，由线与直线的交点，即可判断，选项D,可以观察曲线在各点处的切线方程的斜率，即可判断.

［详解］由题意可知；'，丫_及一4_风，

「『0一24丁。晓匕-一2（LJ

由图像可知4＜G，即2%＞马，因此匕=言■＜匕=},i2-2（r2-r1）=2r1-r2＞0,

所以芍＞2仁-4），因此匕=，＜匕=广大，此时匕＜匕＜匕，故A正确；

“2’1/

由匕+-s°（，1二）,可化为—匕-------2=/2._4.《2一口二S一八）-＞0故

02（Dt2」吟2八（-22格（GF）2柱仁-G

巧及＞%,故B不正确；

由图像可知，直线与曲线的交点为&,争，故存在%e（04）,使得V（叫）=匕，即当％=%时，丫（匕）=乂，

故C正确；

/时刻的瞬时速度为丫（）判断平均速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程的斜率,

由图象可知，当"6时，切线方程的斜率最大,

故而在此时，速度最快，故D不正确.

故选：AC.

三、填空题

8.（24-25高三上•上海•期中）函数y=Y+l在区间［1,2］上的平均变化率为.

【答案】3

【分析】根据平均变化率的定义，函数的平均变化率为孚，分别计算出与,板的值代入计算即可.

Ax

【详解】由题意得，函数y=Y+i在区间［1,2］上的平均变化率为?=&?且=?=3,

/XX2-11

故答案为：3.

9.（22-23高二下•安徽马鞍山•期中）设〃尤）为可导函数，且lin/⑴一/J-2"＞=_1,则曲线y=f（x）在

点(L7(1))处的切线斜率为.

【答案】-J/-05

【详解】因为/(1)=lim/⑴—"J⑼=llim"『"J词=_1(

所以曲线y=〃力在点(h/(i))处的切线斜率为.

故答案为：-万.

10.(22-23高二下•陕西宝鸡•期中)设lim丛出正处以=一6,贝1］/")=__________.

Ax^OA%

【答案】-3

【分析】由导数的定义计算即可.

［详解］由lim+=_6,

-Ax

iim/(l+Ax)-/(l-Ax)〃1+Ax)-/(IF)

=2lim=2/'(l)

——oAxAx->02Ax

所以2r(l)=-6,即(⑴=一3.

故答案为：-3

11.(24-25高三・上海•课堂例题)曲线，=一-在点处的切线方程是.

【答案】4x-y-4=0

【分析】求出函数＞=--在点［g「2］处的切线斜率，根据导数的几何意义，即可求得答案.

【详解】由题意得＞=-5在\，-21处的切线斜率为

=lim^^=4

20l+2/z

故切线方程是V+2=4£|,即4x-y-4=0,

故答案为：4%-y-4=0

12.(2024高二下•全国・专题练习)已知曲线y=2Y-7,则曲线过点尸(3,9)的切线方程为

【答案】8x-y-15=0或16x-y-39=0

【分析】由题意首先根据定义得导函数，进一步求出切点即可得解.

【详解】点PQ9)不在曲线＞=2/一7上.

设所求切线的切点为

则切线的斜率心fM=典［2伉+一2;卜(2片-7)二理(乜+2祠=4%，

故所求的切线方程为y-%=4%"-%),

将尸(3,9)及%=2%-7代入上式,得9-(2%-7)=4为(3-%),

解得为=2或无。=4,所以切点为(2,1)或(4,25).

从而所求切线方程为8x-y-15=。或16x-y-39=0.

故答案为：8x-y-15=0或16尤->-39=0.

四、解答题

13.(23-24高二上.江苏徐州•阶段练习)已知函数〃x)=10x+x2

⑴写出△y=〃x+Ar)-〃x)；

(2)求出£

Ax

⑶求出lim—；

-Ax

(4)写出广⑺，r(5),r(o)

【答案】(1)Ay=1。(尤+Ax)+(x+Ax)?-10兀一元2

(2)——■=10+2%+Ax

Ax

(3)lim包=10+2%

—Ax

(4)/'(尤)=10+2无,"5)=20,/(0)=10

【分析】(D代入直接计算即可；

(2)直接作商即可求解；

(3)直接进行简单极限运算；

(4)利用导函数概念求解导函数，代