2025年九年级中考数学压轴题专练：平行四边形存在性问题（含答案）

专题07平行四边形存在性问题

(2022•福山区一模)

1.如图，抛物线y=af+6x+c过点N(-1,Q),点、B(3,0),与y轴负半轴交于点C,

备用图

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)求直线2C的函数表达式；

(3)若点尸是抛物线上一点，过点尸作尸。lx轴交直线8c于点。，试探究是否存在以点£,

D,P,。为顶点的平行四边形.若存在，求出点尸坐标；若不存在，请说明理由.

(2024秋•长沙期中)

2.如图，直线y=-gx+2与丁轴、x轴分别交于点8、点C,经过3、C两点的抛物线

y=。尤2+6x+c与x轴的另一个交点为/(一1,0).

⑴求二次函数的解析式；

⑵点P为该二次函数的图象在第一象限上一点，当ABC尸的面积最大时，求尸点的坐标；

(3)在(2)的条件下，在平面直角坐标系中找一点2,当3、C、P、。为顶点所构成的四

边形是平行四边形时，直接写出。的坐标.

(2024秋•阜阳期中)

试卷第1页，共4页

3.如图，在直角坐标系中，二次函数广;x2+6x+c的图象与x轴相交于点4(-2,0)和点

3(6,0),与>轴交于点C.

(1)求6、c的值；

(2)若点P是抛物线8c段上的一点，当APBC的面积最大时求出点P的坐标，并求出△尸8c

面积的最大值；

(3)点尸是抛物线上的动点，作E尸〃4C交x轴于点E,是否存在点尸，使得以/、C、E、F

为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，

请说明理由.

(2023•成都模拟)

4.如图1,已知二次函数y="2+6x-3的图象与x轴交于点/(TO),5(1,0),与y轴交

于点C.点。在y轴上，其坐标为(0,1).

图1

(1)求该二次函数的表达式;

(2)已知在线段NC下方的抛物线上有一动点P,直线尸C与直线AD交于点0,连接4。,

AP.当△/尸0的面积最大时，求点尸的坐标;

⑶在(2)条件下，将抛物线y=◎?+区-3沿射线/C平移2百个单位长度，得到新的抛物

试卷第2页，共4页

线(如图2),点R在新抛物线的对称轴上.在直线y=上有一点S,使得以点尸，D,

R,S为顶点的四边形是平行四边形，求所有符合条件的点R的坐标.

(2023•怀远县校级模拟)

5.如图1,抛物线y=ax2+fex+4(aw0)与x轴交于点N(T,0),C(3,0),与y轴交于点8.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，抛物线的对称轴与8C交于点。，连接O。，点厂在x轴上，抛物线上是否存在点

E,使得以。，F,D,E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点£的坐标;

若不存在，请说明理由.

(2024春•莱芜区期中)

6.已知二次函数的图象过原点,

⑴求该二次函数的解析式;

⑵如图1,在x轴下方作x轴的平行线/,交二次函数图象于/、8两点，过/、3两点分别

作x轴的垂线，垂足分别为点。、点C.当矩形为正方形时，求/点的坐标;

⑶如图2,在(2)的条件下，作直线/C,动点尸从点/出发沿射线以每秒1个单位

长度匀速运动，同时动点。以相同的速度从点/出发沿线段4。匀速运动，到达点。时立

即原速返回，当动点0返回到点/时，P、0两点同时停止运动，设运动时间为/秒

试卷第3页，共4页

(f>0).过点尸向X轴作垂线，交抛物线于点E,交直线NC于点尸，当以/、E、尸、。四

点为顶点的四边形是平行四边形时，求f的值.

(2024•阳西县一模)

7.已知二次函数图象的顶点坐标为省1,4),且与x轴交于点8(-1,0).

⑴求二次函数的表达式；

(2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点尸(肛0)旋转180。，此时点N、8的对应点分

别为点C、D.

①连结/3、BC、CD、DA,当四边形/BCD为矩形时，求加的值；

②在①的条件下，若点〃是直线'=〃，上一点，原二次函数图象上是否存在一点。，使得以

点、B、C、M、0为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点0的坐标；若不存在，请

说明理由.

试卷第4页，共4页

1.(l)y=x2-2x-3

⑵y=x-3

(3)存在，点尸坐标为(4,5)或(-1,0)

【分析】(1)先求得点C(0,3),再利用待定系数法求解即可；

(2)设出直线2C的函数表达式，再利用待定系数法求解即可；

(3)设点尸-2a-3),由尸。lx轴交直线8c于点。，可知点0(。,q-3),因为

PQ//ED,所以当尸。=E。时，四边形成)尸0为平行四边形，据此即可求解.

【详解】(1)解：・・・点N(-L0),OC=3OA,

OC=3,

.•.点C(0,-3),

将点/(-1,0)、点B(3,0)和点C(0,-3)代入抛物线＞=依2+加+。，

0=a-b+ca=\

可得＜0-9a+3b+c,解得，6=-2,

-3-cc=-3

•••该抛物线的函数表达式为了=/-2x-3；

(2)设直线2C解析式为了=履+6,将点2(3,0)和点C(0,-3)代入,

0=34+6k=\

可得-3=6，解得

b=-3'

二直线2C的函数表达式为＞=x-3；

(3)存在,设点P(a,1-2a-3),

二点。(凡。一3),

,•,抛物线的顶点为D,

:点D(1,-4),

,:点E(1,0),

二|尸。|=卜°-»I=,2-3a|,PQ//ED,

若EDP。为平行四边形，则尸。=即，

•••点。(1,-4),点E(1,0),

.-.ED=PQ=4,

答案第1页，共20页

/—3。=4或Q?-3Q=-4，

当/—3Q=4时，解得％=4,a2=-l-

当〃2-3〃=一4时，即/—3Q+4=0,止匕时A=(-3)2—4x1x4=—7<0,无解.

*(4,5),7^(-1,0),

・•・存在以点£,D,P,0为顶点的平行四边形，点尸坐标为(4,5)或(-1,0).

【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式以及

二次函数图形问题，解题关键是利用数形结合思想将代数和几何图形结合起来.

13

2.(l)y=_]X9+—x+2

⑵(2,3)

(3)(61)或(2,—1)或(一2,5)

【分析】(1)先求出点8,C的坐标，再利用待定系数法求解；

(2)先求出直线8C的解析式，作尸轴于点D,交直线8c于点E,设点

P[P,-；/+|P+2),用含0的二次函数表示出ABC尸的面积，即可求解；

(3)设点。的坐标为(%,为)，分点P在第一、二、四象限三种情况，利用平行四边形的

性质列方程，即可求解

【详解】(1)解：y=-^x+2中，令x=0,得了=2,

2

令y=0,则一;x+2=0,解得x=4,

.•.8(0,2),C(4,0),

将/(-1,0),5(0,2),C(4,0)代入片江+乐+c,

1

a——

a-b+c=02

得：<c=2解得c=2

16a+4b+c=0

b=-

2

iQ

二二次函数的解析式为〉=--X2+-X+2；

(2)解：设直线3c的解析式为y=+

答案第2页，共20页

将5（0,2）,C（4,。）代入,仁…,

n=2

解得,1,

I2

直线8C的解析式为〉=-;x+2.

如图，作尸DJ_x轴于点。，交直线8c于点E,

:.S«PBC=5P£,(%-xj=]x(_]p2+2pjx4=-p2+4p=_(p_2)2+4,

.•・当。=2时，S/BC取最大值4,

123c1c23ccr

—p-\—/7+2——x2H—x2+2—3,

2222

，尸点的坐标为(2,3)；

(3)解:设点0的坐标为(演,均)，分三种情况,

(xn+x„-xp+xr

当点0在第一象限时，工,

[总+为=yP+yc

卜+0=2+4

[坨+2=3+0，

解得尸；，

〔&=1

点Q的坐标为（6,1）；

xQ+xp-xB+xc

同理，当点。在第四象限时，

yQ+yp=yB+yc)

答案第3页，共20页

XQ+2=0+4

%+3=2+0'

x°=2

解得

.%=T

•••点。的坐标为（2,-1）；

xQ+xc=xB+xp

当点。在第二象限时，＜

3人=力+力

XQ+4=0+2

即

+0—2+3

q=-2

解得

坨二5

.••点Q的坐标为（-2,5）；

综上可知，点0的坐标为（6,1）或（2,-1）或（-2,5）.

【点睛】本题属于二次函数综合题，考查一次函数的图象和性质，二次函数的最值，平行四

边形的性质等，第二问的关键是用二次函数表达出S.BC，第三问的关键是注意分情况讨论,

避免漏解.

.17

3.（1）y=~2^—2x—6

27（15、

⑵S△咏最大=—，此时尸°，-5）

（3）存在,尸（4,-6）或（2+2行,6）或（2-2后）

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；

（2）方法一：连接。尸，pU,1m2-2m-6j,通过S.PBC~S四边形尸30。-S&BOC表示出函数关

答案第4页，共20页

系，利用函数的性质进行求解；方法二：作尸。于。，交BC于点、D,

尸，,g/-2加-6)S-Bc=gPOxO8求得函数关系式，进行求解即可；

(3)分两种情况，当四边形"CPE为平行四边形时或当四边形4CE尸为平行四边形时，利

用平行四边形的性质进行求解即可.

【详解】(1)解：把点/(一2,0)和点8(6,0)代入y=gx2+bx+c,

19

-x(-2y-2b+c=0

得；，

—x6~+66+c=0

12

.­.y=-x2-2x-6；

2

(2)解：当x=0时，丁=一6,

••.C(O,-6),

CO-6,

方法一：如图1,

图1

连接。尸，

设点■加2_2加-6),

=2

S、poc~OC-xp=^x6xm=3m,S^BOP=-^O5-|^p|=3^-^m+2m+6

•:SRCC=L08.°C=—x6x6=18

ADC7C22

答案第5页，共20页

SdPBC=S四边形PBOC-S&BOC

二(SPOC+S&POB)—S^BOC

二3加+3］一；加2+2m+6^-18

=-|(m-3)2+y,

27(15、

二当机=3时，S.PBC最大=5，此时43,-5}

方法二：如图2,

图2

作尸02N8于。，交8c于点。，设2C解析式为：y=kx+t

6k+t=0k=\

•■•5(6,0),C(0,-6),则解得

t=-6t=-6

・•・直线5C的解析式为：y=x-6,

m-6),

/\(12)1

PD=-2m-6\=~~m2+3机,

>22

•••S.PBC=1/£>-O5=1x6^-1m+3mj=-j(m-3)+y,

27(15、

二当加=3时，S#Bc最大=7,此时

(3)解：如图3,

答案第6页，共20页

图3

当四边形/。方为平行四边形时，AE//CF,

••・抛物线对称轴为直线:x=2,C(0,-6)

二片点的坐标：(4,-6)

如图4,当四边形NCE尸为平行四边形时，AC=EF,

作尸G_L/E于G,

图4

■：AC\\FE,

；.NCAO=ZFEG,

又ZAOC=NFEG=90°,

:.AAOC知FEG,

.-.FG=OC=6,

1。

当y=6时，_X2_2]—6=6,

2

***再=2+2-\/*7,项=2—2"x/^,

答案第7页，共20页

综上所述：尸（4,-6）或（2+2行,6）或（2-2万,6）.

【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数与面积问题，二次函数与特殊的

平行四边形，解题的关键是熟练掌握相关基础知识.

4.（l）y=x2+2x-3

【分析】（1）将48的坐标代入二次函数解析式，建立方程组，求解即可；

（2）分别求出直线NC,8D的解析式，可证所以A/C。的面积的面

积，进而求△P/0的面积最大可转化为求AP/C的面积最大；过点P作尸£〃了轴交NC于

点、E,表达AP/C的面积，利用二次函数的性质求解即可；

（3）由平移的性质可知，抛物线卜=办2+队+3沿射线出？平移2a个单位长度，即向右平

移2个单位，向下平移2个单位，由此可得出新抛物线的解析式，可得出点R的横坐标，

根据平行四边形的性质，可分类讨论:当尸。是平行四边形的边时，当尸。是平行四边形的对

角线时，分别求解即可,

【详解】（1）解：•・•二次函数”办2+麻_3的图象与X轴交于点4（-3,0）,5（1,0）,

j9a-3b-3=0

[a+b-3=0

Cl—\

解得

b=2

•・.该二次函数的表达为》=/+2x-3；

（2）解：如图1,连接NO.

答案第8页，共20页

,•,抛物线与y轴交于点C,

•••点C的坐标为(0,-3).

设直线AC的函数表达式为y=klx+b1,

(、/、[h=-3

代入/(-3,0)和(0,-3)得J/。,

•,・直线NC的函数表达式为y=-x-3.

•••点3的坐标为(1,0),点。的坐标为(0,1),

设直线50的函数表达式为了=左2%+%，

代入(L0)和(o,i)得;?

依=-1

解得1,

I2=1

・・•直线3。的函数表达式为v=-x+l.

/.AC//BD,CD=1-(-3)=4,OA-3.

S、ACQ=^^ACD=—x4x3=6.

一SaAPQ=SdAFC+S"C°=S、APC+S"ACD=S4Ape+6.

过点P作PEIIy轴交AC于点E,

设点尸的横坐标为t,

答案第9页，共20页

贝I]尸"，尸+2t—3),

PE——t2—3t.

--A（-3,0）,C（0,-3）,

;AAPEQCPE[WJ的和为3,

…S"PQ=S"PC+6

=S"PE+S^CPE+6

=-x3x（_〃_3。+6

2

75

十一

8

;--<0

2

.•.当/=-g时，△4P0有最大值，为。/2+2/—3=(-野+2x1—£|一3二-?，

此时p‘l'-

⑶解：由平移的性质可知，抛物线y=/+2x-3=(x+l『-4沿射线/C平移2四个单位

长度，即向右平移2个单位，向下平移2个单位,

.■.平移后的抛物线为：M=(x-1)-6=x--2x-5.

•・•点R在新抛物线对称轴上,

二点R的横坐标为x=1.

若以点尸，D,R,S为顶点的四边形是平行四边形，根据题意，需要分以下两种情况:

①当尸〃为平行四边形的边时，xp-xD=xR-xs^xp-xD=xs-xR,

33

解得Xs或Xs=一；.

yP-yD=yR-%或%-yD=%-yR，

答案第10页，共20页

二-。-1=力行或=亚f，

195后一191后

+2=2

■■-yR=-71^7~2^，

②当PD为平行四边形的对角线时，XP+XD=xR+xs,

解得Xs=_g,

:力+%=为+.%，

综上，若以点P,D,R,S为顶点的四边形是平行四边形，点R的坐标为:

【点睛】本题考查待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的图象和性质，与抛物线有关的

动三角形的面积最值，平行四边形的存在性等问题，解答本题的关键是熟练运用分类讨论的

思想解决问题.

48,

5.（\）y=-x-2+-X+A

（2）存在，（1_行,"|）或11+行,：）或（1_而,_：〔或［1+后,_"|

【分析】（1）利用待定系数法即可求解；

（2）分两种情况讨论，①当以。尸为平行四边形的一边时，②当以。尸为平行四边形的对

角线时，利用平行四边形的性质求解即可.

【详解】（1）解:把点4-L0）,C（3,0）代入y=ox2+6x+4（4H0）,

。一6+4=0

9。+3b+4=0

答案第11页，共20页

_4

a=

~3

解得,

8

b=

3

42

••・抛物线的解析式为y=_§x2+|x+4；

(2)解:存在,

抛物线7=-g/+|x+4的对称轴为直线x=/2=l,点8(0,4),

4

设直线BC的解析式为了=履+4,则靠+4=0,解得：k=--,

4

二直线3c的解析式为y=-§x+4,

••・抛物线的对称轴与BC交于点D,

・・•点为。的坐标为

当以。尸为平行四边形的一边时，此时DE〃。/，即。E〃x轴，

解得：x=l+后或x=l-血，

.・•点E的坐标为1-夜,£|或1+夜,|)；

当以。尸为平行四边形的对角线时，此时。E也为平行四边形的对角线,

答案第12页，共20页

，点点的坐标为为,0）,

«+0=l+m

8(48

0+0=—+—m2+—m+4

3I33

m=1—V6m=1+vo

解得：\或<

n=2-v6n=2+#)

・••点E的坐标为或［1+6,-1］,

综上，点E的坐标为或+或［1-或.

【点睛】本题属于二次函数综合问题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的对称性

质，一次函数解析式求解，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解

题的关键.

128

6.（I））、］一1%

⑵，（2,-4）

（3）4或6或2+25

【分析】（1）利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点H8的坐标，进而可得出点C,。的坐标,

再利用正方形的性质可得出关于机的方程，解之即可得出结论；

（3）由（2）可得出点/,B,C,。的坐标，根据点/,C的坐标，利用待定系数法可求出

直线/C的解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可求

出点£、尸的坐标，由所且以/、E、F、。四点为顶点的四边形为平行四边形可得出

AQ^EF,分0<l<4,4<f<7,7</<8三种情况找出“。，£尸的长，由尸可得

答案第13页，共20页

出关于/的-元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论.

【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：y=a（x-h＞）+k,

••・顶点坐标为（4,-

/八216

/.y=ayx-^）--,

将原点的坐标代入上式得：0=。（0-4）o~-196,

解得：

22

则抛物线的表达式为：y=1（x-4）-y=1x-|x;

（2）解：设直线/的表达式为：y=m,

1.8

当〉=加时，m=-x--xf

解得：x=4±J16+3加,

.,点A的坐标为（4-J16+3加，加）,点B的坐标为（4+J16+3加时,

・••点D的坐标为（4-J16+3加,0），点C的坐标为（4+J16+3冽,0）.

・・•矩形/BCD为正方形，

4+J16+3加-（4-J16+3加j=m,

解得：加i=16（舍去），m2=-4,

加=-4,

即点/（2,-4）；

（3）解：以/、E、F、。四点为顶点构成的四边形能为平行四边形.

由（2）可知：点/的坐标为（2,-4）,点8的坐标为（6,4）,点C的坐标为（6,0）,点。的坐

标为（2,0）.

设直线/C的解析式为了=履+。（左#0）,

代入（2,-4）,（6,0）,

[2k+a=-4

得6A左,+。=n0,

答案第14页，共20页

k=\

解得

a=-6

.••直线/C的解析式为＞=x-6.

14

当x=2+，时，y=~t2—4,y=x-6=t-4,

33

•••点£的坐标为12+/,52--，点尸的坐标为(2+t,t-4).

•・•以/、E、F、。四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且幽〃£尸,

-AQ=EF,分三种情况考虑：

①当0＜心4时，

解得：%=0(舍去)，。=4；

答案第15页，共20页

②当4</V7时,

17

AQ=^-t,EF=-t2--t,

•--t1--t

33

解得：,3=4（舍去），，4=6；

③当7<tW8时,

答案第16页，共20页

12o7

AQ=8-tfEF=-t--t,

33

/.8-/——F—t,

33

解得：t5=2-241(舍去)，%=2+2近.

综上所述：当以N、£、F、。四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，f的值为4或6或

2+2疗.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形

的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性

质，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式：(2)利用正方形的

性质，找出关于加的方程：(3)分0<f<4,4<f<7,7<t<8三种情况，利用平行四边形的

性质找出关于t的一元二次方程.

7.(l)y=-(x-1)2+4(或y=--+2x+3)

(2)①机=4,②存在符合条件的点0,其坐标为(-4,-21)或(2,3)或(12,-117)

答案第17页，共20页

【分析】(1)根据二次函数的图象的顶点坐标，设二次函数的表达式为y=a(x-l)2+4,再

把3(-1,0)代入即可得出答案；

(2)①过点41,4)作轴于点£,根据乙B4D=NA&4=90。，又因为ZABE=/DB4,

证明出△5/ESASZ%,从而得出48?=50,将50=2("?+1),BE=2,/E=4代