吉林省长春市2022-2023学年高二（下）数学质检试卷（含答案）

吉林省长春市2022-2023学年高二（下）数学质检试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。）1．已知复数z=1+ii（其中A．(1，1) B．(1，−1) C．2．幂函数f(x)=xα的图象过点(1A．2 B．2 C．12 D．3．下列函数定义域为(0，A．y=ex B．y=−log1πx4．若集合A={x|A．A∩B=∅ B．A∪B=R C．A⊆B D．∁5．为了不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体A1B1C1D1，该项目由长方形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周绿化带组成．规划核心喷泉区的ABCD面积为1000m2，绿化带的宽分别为A．20m B．50m C．1010m 6．将函数y=2sin(2x+A．y=2sin(2x−C．y=2sin(2x−7．设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．若l//α，l//β，则α//βB．若α⊥β，l//α，则l⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l//βD．若l//α，l⊥β，则α⊥β8．已知向量a=(2，1)A．aB．向量a在向量b上的投影向量是−C．|D．与向量a方向相同的单位向量是(9．如图，已知六棱锥P−ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论正确的是（）A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC//平面PAE D．直线CD⊥平面10．已知函数f(x)=|log2(x−1)|，1<x≤3x2−8x+16，x>3若方程f(x)=m有4个不同的实根xA．6 B．7 C．8 D．9二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）11．化简sin75°cos75°=．12．有一道数学难题，在半小时内，甲、乙能解决的概率都是12，丙能解决的概率是13，若3人试图独立地在半小时内解决该难题，则该难题得到解决的概率为13．一个圆锥母线长为6，侧面积32π，则这个圆锥的外接球体积为14．直线l：mx−y+1=0截圆x2+y2+4x−6y+4=0的弦为MN，则|MN|的最小值为三、解答题（本大题共4小题，共44.0分。）15．某校对100名高一学生的某次数学测试成绩进行统计，分成[50，60)，[60，70)，[70，（1）求图中a的值；（2）估计该校高一学生这次数学成绩的众数和平均数；（3）估计该校高一学生这次数学成绩的75%分位数．16．在△ABC中，b2（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若B=2A，b=6，求a17．设f(x)=log13（1）求a的值；（2）若∀x∈[2，4]，不等式f(x)+x>(18．如图，在正方体ABCD−A（1）证明：AC⊥BD（2）求二面角D1

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】由z=1+ii=1+i·ii·i=1-i2．【答案】A【解析】【解答】由幂函数f(x)=xα的图象过点(12，22)，可得12α=22=13．【答案】B【解析】【解答】y=ex为指数函数，其定义域为R，不符合题意；

y=−log1πx为对数函数，定义域为(0，+∞)且在定义域内单调递增，符合题意；

y=x其定义域为[0，+∞)，不符合题意；4．【答案】A【解析】【解答】由|x-2|<1得1<x-2<1，即1<x<3，故A={x|1<x<3}

由(x-1)(x-4)≥0得x≤1或x≥4，故B={x|x≤1或x≥4}，

则CRB={x|1<x<4}，

则A∩B=∅，故选项A正确；

A∪B={x|x<3或x≥4}，故选项B错误；

A不是B的子集，选项C错误；

A⊆∁RB，选项D错误.

5．【答案】B【解析】【解答】设BC=xm(x>0)，则AB=1000xm，

则矩形A1B1C1D1的面积S=x+101000x+4=1000+40+4x+1000x≥1040+26．【答案】D【解析】【解答】y=2sin(2(x−故答案为：D【分析】先将函数y=2sin(2x+π7．【答案】D【解析】【解答】A.若l//α，l//β，则α与β可能平行，也可能相交，所以不正确.B.若α⊥β，l//α，则l与β可能的位置关系有相交、平行或l⊆β，所以不正确.C.若α⊥β，l⊥α，则可能l⊆β，所以不正确.D.若l//α，l⊥β，由线面平行的性质过l的平面与α相交于l'，则l∥l'，又l⊥β.

所以l故答案为：D【分析】利用空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得到答案.8．【答案】D【解析】【解答】a→=22+12=5，b→=-32+12=10，a→·b→=2×-3+1×1=-5

由2x1≠1x(-3)，得a//b不成立，故A错误；

由向量a在向量b上的投影向量是a→cosa9．【答案】D【解析】【解答】由AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，故A不正确；

过点A作PB的垂线，垂足为H，若平面PAB⊥平面PBC，则AH⊥平面PBC，故AH⊥BC，又PA⊥BC，得BC⊥平面PAB，则BC⊥AB，这与底面是正六边形不符，故B不正确；

若直线BC//平面PAE，则BC//AE，故BC与AE相交，故C不正确；

由PA⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，得CD⊥PA，

设AB=1，则AD=2，

故AC=12+12-2×1×1×cos120°=1+1-2×1×1×-1210．【答案】C【解析】【解答】作出函数f(x)的图象如图所示：

方程f(x)=m有4个不同的实根x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，可得x3+x4=8，

且|log2(x1-1)|=|log2(x2-1)|，则log2(x1-1)+log2(x2-1)=0，即(x1-1)(x2-1)=1，

即x1x2=x1+x2，

故(1x1+111．【答案】1【解析】【解答】sin75°cos75°12．【答案】5【解析】【解答】该难题得到解决的概率为：1-1-12×1-13．【答案】4【解析】【解答】设圆锥的底面半径为r，

由圆锥母线长为6，侧面积32π，得6πr=32π，解得r=3，

则圆锥的高h=3，

设球半径为R，球心为O，其过圆锥的轴截面如图所示：

由题意可得(h-R)2+r2=R2，即3-R2+32=R14．【答案】2；1【解析】【解答】直线l：mx-y+1=0恒过(0，1)，圆x2+y2+4x−6y+4=0的圆心(-2，3)，半径为3，

则定点与圆心的距离为0+22+1-32=2215．【答案】（1）解：由于组距为10，所以有a+0.解得a=0.（2）解：众数为75，平均数为0（3）解：因为50到80的频率和为0.65，50到90的频率和为0.9，所以75%分位数为80+【解析】【分析】(1)利用频率分布直方图的性质列方程，即可求出a的值；

(2)利用频率分布直方图求出众数，再根据平均数公式计算即可；

(3)50到80的频率和为0.65，50到90的频率和为0.9，根据分位数公式计算可求出75%分位数.16．【答案】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，b2由余弦定理cosA=b∴cosA=6（Ⅱ）由（Ⅰ）知，0<A<π∴sinA=1−co∵B=2A，∴sinB=sin2A=2sinAcosA=2×10又∵b=6∴a=bsinA【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合余弦定理，即可求解出cosA的值；

(2)利用同角三角函数的基本关系式，可得sinA，再利用正弦的二倍角公式可求出sinB，再利用正弦定理即可求解出a的值．17．【答案】（1）解：因为f(x)=log则f(−x)+f(x)=log则1−(ax)21−当a=1时，f(x)=log当a=−1时，f(x)=log131+xx−1，由1+x故a=−1；（2）解：由f(x)+x>(13则m<log13令g(x)=log因为函数y=1+xx−1=1+所以函数y=log13所以g(x)在[2，4]上单调递增，所以所以m<8【解析】【分析】(1)由奇函数的性质可得f(-x)+f(x)=0，代入运算后可得a=±1，代入验证即可求解出a的值；

(2)不等式f(x)+x>(13)x+m恒成立转化为m<log131+xx−118．【答案】（1）证明：∵ABCD−A∴BB1⊥∵AC⊂平面ABCD，∴BB∵ABCD为正方形，所以AC⊥BD，又BB1∩BD=B，BB1∴AC⊥平面BB∵BD1⊂平