2025年中考数学几何模型归纳训练：三角形中的重要模型之平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型解读与提分训练（原卷版）

专题07三角形中的重要模型之

平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型

角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各

大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全

等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

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例题讲模型

,2

模型L平分平行（射影）构等腰模型,2

模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型5

习题练模型

9

例题讲模型］

模型1.平分平行（射影）构等腰模型

模型解读

角平分线加平行线必出等腰三角形：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换构造

等腰。平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。（简称：“知二求一”，在以后

还会遇到很多类似总结）。

角平分线加射影模型必出等腰三角形：由等角的余角相等和对顶角相等构造等腰。

模型证明

1）角平分线加平行线必出等腰三角形.

条件：如图1,。。'平分NMON,过。0'的一点尸作尸结论：AOPQ是等腰三角形。

证明：\'PQ//ON,：.Zl=Z3,Y00,平分/MON,.*.Z2=Z1,

；./2=/3,...OQnPQ,...△。尸。是等腰三角形。

条件：如图2,"BC中，2。是NABC的角平分线，DE//BC。结论：ABDE是等腰三角形。

证明：•:DE//BC,：.ZBDE=ZDBC,是/ABC的角平分线，ZDBE=ZDBC,

：.ZDBE=ZBDE,：.BE=DE,△BOE是等腰三角形。

条件：如图3,在AABC中，30平分/ABC,CO平分NAC3,过点。作BC的平行线与AB,AC分别相

交于点M,N.结论：4B0M、ACON都是等腰三角形。

证明：由题意得：MN//BC,：.ZBOM=ZOBC,：8。是/ABC的角平分线，：.ZOBM=ZOBC,

：.ZB0M=ZMB0,：.BM=0M,，△BOM是等腰三角形。同理可得：ACON也是等腰三角形。

2）角平分线加射影模型必出等腰三角形.

条件：如图4,8E平分NC8A,ZACB=ZCDA=90°.结论：三角形CEF是等腰三角形。

证明：平分NC8A,：.ZCBE=ZABE,VZACB=90°,：.ZCBE+ZCEB=90°,

VZCDA=90°,：.ZABE+ZBFD=90°,'：ZBFD=ZCFE,：.ZABE+ZCFE^90°,

：.ZCEB=ZCFE,：.CF=CE,三角形CE尸是等腰三角形。

模型运用

例1.（2024・四川成都・中考真题）如图，在YABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半

径作弧，分别交54,8C于点"，N；②分别以N为圆心，以大于:MN的长为半径作弧,两弧在-ABC

内交于点。；③作射线80,交AD于点E,交。延长线于点尸.若CD=3,DE=2,下列结论错误的是

（）

BE5

A.ZABE=ZCBEB.BC=5C.DE=DFD.—=—

EF3

例2.（2024.贵州贵阳・模拟预测）如图，在VABC中，BC=I,/ABC和—ACB的平分线相交于点。，过

点。作BC的平行线交A3于点E,交AC于点尸，若△AEF的周长为14,则VA3C的周长是（）

A.14B.19C.21D.23

例3.（2023・广东•八年级期末）如图，EL43Cr＞中，AB^3cm,BC=5cm,BE平分NA8C交于E点，CF

平分/BCD交于F点，则的长为cm.

例4.（2023春・四川达州•八年级校考阶段练习）如图，在RtAABC中,NACB=90。，CDLAB,垂足为

平分/C48,交C。于点E,交CB于点孔则下列结论成立的是（）

A.EC=EFB.FE=FCC.CE=CFD.CE=CF=EF

例5.（2023.成都市青羊区八年级期中）如图，在△ABC中，ABAC=90°,AD_L5c于点。，NABC的平

分线BE交4。于R交AC于E,若AE=3,DF=2,则AD=.

例6.（2023九年级•广东•专题练习）如图1,在VABC中，/ABC和—AC3的平分线交于点O,过点。作

EF//BC,交AB于E,交AC于元

（1）当3E=5,CF=3,贝1］跖=；⑵当BE>CF时，若CO是-4CB的外角平分线，如图2,它

仍然和/ABC的角平分线相交于点。，过点。作E尸〃3C,交AB于E,交AC于尸，试判断ERBE,CF

之间的关系，并说明理由.

模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型

模型解读

角平分线第二定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。

该定理现在教材里面虽然没有讲,但它在实战确有很大的作用（可以避免去构造勾股定理或相似），很多时

候能起到事半功倍的良好效果。

模型证明

1）内角平分线定理

条件：如图，在“3C中，若2。是442c的平分线。结论：BC:AB=CD:AD

证明：作。尸，3C,作垂足分别为凡H.

S-DFBC

：8。是/ABC的平分线，：.DF=DH,贝U7以=y-------

^BAD-DHAB

2

SyBCDBECDCD.BC_CD

（2）作8E1CA垂足为E,则2_

*AD

*7BAD-BEDAAD

2

条件：如图2,在△ABC中，N3AC的外角平分线交BC的延长线于点0。结论：ABAC=BRCD.

证明：如图2,过。作CE〃/M.交5A的延长线于E,

CE//AD,・,.——=—,N2=N4,N1=N3,VZ1=Z2,AZ4=Z3,：.AE=AC,：.——=——.

CDEAACCD

3）奔驰模型

条件：如图3,“LBC的三边BC、AC、A2的长分别是a,b,c,其三条角平分线交于点0,将"RC分

为三个三角形。结论：S.ABO：S&BCO'S£AO=C'a'匕。

证明：过点。作OD，3C于点。，作OE/AC于点E,作于点尸.

由题意知：OA,OB,OC是AABC的三条角平分线，OD±BC,OE工AC于，OFLAB:.OD=OE=OF,

•「△ABC的三边A3、BC、AC长分别为a,b,c,

S^ABO:SABCO:SQO=（彳xcxOF）:（—axOD）:（—xZ?xOE）=c：a：b.

模型运用

例1.（2024•内蒙古呼伦贝尔•中考真题）如图，在44BC中，ZC=90°,ZB=30°,以点A为圆心，适当长为

半径画弧分别交A5AC于点M和点N,再分别以点M,N为圆心，大于;跖V的长为半径画弧，两弧交于

点P,连接AP并延长交BC于点£）.若AACD的面积为8,则△ABD的面积是（）

A.8B.16C.12D.24

例2.（2023•四川泸州•八年级统考期中）如图，"1BC的三边A3、BC、C4长分别是10、15、20.其三条

角平分线交于点。，将"RC分为三个三角形，5ABO：S,0：$KAO等于（）

A.1:1:2B.1:2:3C.2:3:4D.1:2:4

例3.（23-24九年级上.吉林・期末）已知VABC,AD是一条角平分线.

【探究发现】如图①，若AD是/A4c的角平分线.可得到结论：会=黑.

AC

小红的解法如下：过点。作。“上AB于点E,DF1AC于点片过点A作AG,3c于点G,

：AZ）是N54C的角平分线，且OE1AB,DF1AC,：..

q-ABxDE-BDxAG

..△ABD_2_________'△ABD2________BD

又,:=

S^ADCIACXDF

^^ADC-CDxAGaS

22

ABBD

【类比探究】如图②，若4。是-R4C的外角平分线,A。与BC的延长线交于点。.求证:就一而

图①图②

例4.(23-24九年级上•湖南娄底•期末)一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分

线的一个论证.如图1,已知M是VABC的角平分线，可证我器.小慧的证明思路是：如图2,过点

C作CE〃AB,交AD的延长线于点E,构造相似三角形来证明*=黑

AC

图3

(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明十三=三；

(2)应用拓展：如图3,在中，ZS4C=90°,。是边BC上一点.连接AD,将AACD沿所在直

线折叠，点C恰好落在边A3上的E点处.

①若AC=1,AB=3,求DE的长；②若5C=Z,ZAED=a,求DE的长(用含左与。的代数式表示).

例5.（2024•辽宁沈阳•模拟预测）【问题初探】

在数学活动课上,张老师给出如下问题:“如图1,在VABC中,40是VABC的角平分线,求证：修=器”

有两名同学给出了不同的解答思路:

①如图2,小丽同学从结论出发给出如下解题思路：过点C作A3的平行线交AD的延长线于点E,运用等

腰三角形和相似等知识解决问题.

②如图3,小强同学从“AD是VA3C的角平分线”给出了另一种解题思路:在AC上截取=连接DF,

过点C作的平行线交AD的延长线于点G,也是利用相似等知识解决问题.

（1）请你选择一名同学的解答思路，写出证明过程.

【类比分析】张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将两组线段比值问题转化为两三角形相似的对

应边的比.为了帮助学生更好地领悟这种转化思想，张老师将问题进行了改编，提出下面问题，请你解答.

（2）如图4,若AACB的外角/C4E平分线AD交的延长线于点。，求证：丝=空.

ACDC

4

【学以致用】（3）如图5,在四边形ABCD中，AD=-,CB=4,AB=2,ZABC=90%AD//BC,BE平

分/ABC,求的的长.

习题练模型］

1.（2024・湖南怀化•一模）如图，以直角VA8C的一个锐角的顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直

角边A3于点。，交斜边AC于点E,再分别以点，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点R

s

作射线AF交边BC于点G,若AB=3,BC=4,用'.c表示VA3C的面积（其它同理），贝（）

2.（23-24八年级上.陕西西安.阶段练习）如图，VABC中，,ABC与—ACB的平分线交于点尸，过点尸作

DE〃3c交A8于点D,交AC于点E,那么下列结论:®VBDF和4CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；

③VADE的周长等于AB与AC的和；④BF〉CE；⑤若NA=80。，则/圻C=130。.其中正确的有（）

A.①②③⑤B.①③④⑤C.①②④⑤D.②③④⑤

3.（2023春•山东淄博•九年级校考期中）如图，AABC中，NABC=90。，点/为AABC各内角平分线的交点,

过/点作AC的垂线，垂足为若BC=3,AB=4,AC=5,那么出的值为（）

BC

5_

A.1B.2C.2D.

22

4.（2023春・湖南岳阳•八年级统考期末）如图，是△ABC的角平分线，相交于点。OF，AB

于尸，ZC=60°,下列四个结论：①ZAO5=120。；@AD+BE=AB；③若AABC的周长为孙。尸=〃，则

④若OE：Q4=1：3,则QD:QB=2:3.其中正确的结论有（）个.

A.1B.2C.3D.4

5.（2024•江苏宿迁•八年级校考期末）如图，在RtaABC中，ZACB=90°,CDLAB,垂足为D,"平分NC4B,

交。。于点E,交CB于点F.若AC=3,AB=5f则CE的长为（）

8

A-1B.3D.

5

6.（23-24山西八年级期中）如图在YABC。中,/ABC的角平分线跳交AD于E,若CD=3,ED=2,

则平行四边形ABC。的周长为（）

A.15B.16C.17D.18

7.（2024.陕西宝鸡.二模）如图，。七是VABC的中位线，/AC5的角平分线交于点孔AC=12,BC=18,

则。尸的长为（）

A

A.9B.6C.3D.2

ArQ

8.（24-25九年级上•广东•课后作业）如图，在VABC中，平分NBAC交于点。.若AB=4,-=j,

则BD=.

A

9.（23-24八年级上•四川绵阳•期末）如图，在等腰AABC中，AB=BC=a,CE=b,/8AC和乙48c的平分线

分别为AD,BE相交于点O,AD交BC于点、D,3E交AC于点E,过点。作于尸，若OF=c,贝UAABC

的面积为

10.（2023春・陕西咸阳•八年级校考阶段练习）如图，在"LBC中，ZB=60°,NC=50。，点。为的边

SAE

BC上一点，点区G分别在边AB、AC上，连接AD、DE、DG,若产吸==，则/ADC的度数为—

）△ADGA5

11.（2024.天津•八年级校考期中）如图，在AABC中，AD是/及1C的平分线，延长AD至E,使A。=。七,

若AB=3AC,△BDE的面积为9,则AABC的面积是

12.（2023•辽宁鞍山•八年级统考期中）如图，已知AD/8C,点E是8上一点，AE平分ZA4£）,3E平

分NABC,延长BE交AD的延长线于点?①AABE学AAFE；②E为CD的中点；③若AD=3,BC=7,

则AF=10；④若四边形ABC。的面积为27,^,AE=~BE,则所的长为18,其中正确的结论有.

13.（2023春・贵州毕节•八年级期末）如图，“BC的三边AB、BC、C4长分别是20、30、40,其三条角平

分线将AABC分成三个三角形，则凡ABO：5BCO：Sqo等于.

14.（23-24九年级下•江苏南京・自主招生）（1）若AD为NA4c的角平分线，求证：---；

Ap2BP

（2）已知，ZABC=ZADC=90°,Zfi4c=30°,ADAC=45°,求证：一=——.

CPDP

⑴⑵

15.（22-23八年级上•浙江杭州・期末）如图，在RGABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=2,CD是NACB

的角平分线，点E,尸分别是边AC,2C上的动点（不与点A,B,C重合），连结DE,DF.

（1）右分别记Z\BCD,△ACD的面积为S^BCD^AACD，求^ABCD-*^AACD的值.

⑵设AE=x,BF=y,①若=S四边形。七“，求%+》的值.

20

②若%^+5刈〃=3，X->=2,请判断V班昭的形状，并说明理由.

ABC器经过

16.（2024・吉林长春・三模）如图①，4。是VA3C的角平分线.数学兴趣小组发现结论:

讨论得到如下3种证明思路:

思路1：过点D向/A4C两边作垂线段，利用三角形的面积比证出结论;

思路2：过点C作48的平行线，与4。的延长线相交，利用三角形相似证出结论;

思路3：过点。作DA的平行线，与B4的延长线相交，利用平行线分线段成比例证出结论.

图①

（1）请参考以上3种证明思路，选择其中一种证出结论;

(2)在图①中，4D是VABC的角平分线.若AB=6,AC=4,BC=1,贝的长度为；

BF3BF

(3)如图②，在VABC中，ZBAC=60a,VABC的角平分线B。、CE相交于点尸，若*;==，则一的值为

BC5CF

17.(22-23九年级上•吉林长春•阶段练习)［感知］如图①所示，在等腰VA3C中，=AC,平分/54C,

„„ACCD

易z得——=——(不需要证明)

ABDB

⑴［探究］如图②所示，李丽同学将图①的等腰VABC改为任意VABC,AD平分NBAC,他通过观察、测量，

猜想X黑C=胃CD仍然成立，为了证明自己的猜想，他与同学进行交流讨论，得到了证明猜想的两种方法：

ABDB

方法1：过点。分别作小工于点E,。尸1AC于点利用△ABD与AACD的面积比证明结论.

方法2：过点B作班〃AC交延长线于点E,利用AC4D与△啊＞相似证明结论.

请你参考上面的两种方法，选择其中的一种方法完成证明.

(2)［应用］如图③所示，在Rt^ABC中，NACB=90。，AB=13,AC=5,平分,BAC.若点E在边AB

上，AE=?，CE交A。于点尸，贝1jg=_____.

3FA

18.(2023・浙江绍兴•模拟预测)小明在学习角平分线知