2025年中考数学一轮复习学案：5.1 圆的有关概念和性质 （教师版）

2025年中考数学一轮复习学案（全国版）

第五章圆

5.1圆的有关概念和性质

考点分布考查频率命题趋势

考点1圆的有关概念及性质☆数学中考中，有关圆的概念与性质部分，每年考

查道题分值为分，通常以选择题、填

考点2垂径定理及其计算☆☆1~2,3~6

空题的形式考查。对于这部分的复习需要学生熟

练掌握圆的概念和性质、垂径定理、圆周角定理

考点3圆周角定理及圆内接

☆☆☆

及圆内接多边形。特别是圆周角定律及圆内接多

多边形

边形是每年都涉及。

☆☆☆代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。

夯实基础

考点1.圆的有关概念及性质

（一）圆的定义和性质

1.圆的旋转定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的

图形叫做圆．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.

2.圆的集合定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．

3.圆心与半径：固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，一般用r表示．

4.圆的对称性：

（1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；

（2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

【注意】（1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；

（2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；

（3）半径相等的圆叫做等圆。

（二）与圆有关的概念

1.弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(如图中的AC)。

2.直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（如图中的AB）。

【注意1】（1）直径是同一圆中最长的弦。（2）直径长度等于半径长度的2倍。

3.弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弧记作，读作“圆

弧AB”或“弧AB”．

4.等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

5.半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

6.优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。如图中的；

7.劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。如图中的。

8.圆的周长公式：c＝2πr．

9.圆的面积公式：S＝πr2

【注意2】对圆的认识需要注意的几个问题

（1）在一个圆中可以画出无数条弦和直径．

（2）直径是弦，但弦不一定是直径．

（3）在同一个圆中，直径是最长的弦．

（4）半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于

180°，优弧的度数大于180°．

（5）在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧．

考点2.垂径定理及其计算

1.垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.

C

·O

AEB

D

∵CD是直径，CD⊥AB，

∴AE=BE,

【温馨提示】垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.

2.垂径定理的推论：

推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

3.涉及垂径定理时辅助线的添加方法

在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或

作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.

4.垂径定理的应用

解决应用垂径定理的圆问题，基本思路就是利用勾股定理构造方程。

考点3.圆周角定理及圆内接多边形

（一）弧、弦、圆心角的关系问题

1.圆心角的定义

（1）顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB.

（2）圆心角∠AOB所对的弧为

（3）圆心角∠AOB所对的弦为AB.

注意：对于任意给定一个圆心角，都对应出现三个量：即圆心角、弧、弦。

2.圆心角、弧、弦之间的关系

定理：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么圆心角所对的弧相等，圆心角所对的弦相等。

推论：（1）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么弧所对的圆心角相等，弧所对的弦相等。

（2）在同圆或等圆中，如果弦相等，那么弦所对应的圆心角相等，弦所对应的优弧相等，弦所对应

的劣弧相等。

（二）圆周角定理

1.圆周角的定义

顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

2.圆周角定理及其推论

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.

1

BACBOC

2

圆周角定理推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．

（2）直径所对的圆周角是直角．

3.圆周角与圆心角的关系中圆心的位置存在的情形

（1）圆心O在∠BAC的一边上（如图甲）

（2）圆心O在∠BAC的内部（如图乙）

（3）圆心O在∠BAC的外部（如图丙）

甲乙丙

4.圆周角和直径的关系

半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.

【方法总结】在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．

（三）圆内接四边形

如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的

外接圆.

推论1：圆的内接四边形的对角互补.

推论2：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.

注意：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．

【易错点提示】

考点1.圆的有关概念及性质

【例题1】（原创）下列对圆的说法中，错误的是（）

A．半圆是弧B．半径相等的圆是等圆

C．过圆心的线段是直径D．直径是弦

【答案】C

【解析】根据圆的有关概念进行判断

A．半圆是弧，所以A选项的说法正确；

B．半径相等的圆是等圆，所以B选项的说法正确；

C．过圆心的弦为直径，所以C选项的说法错误；

D．直径是弦，所以D选项的说法正确．故选C．

【变式练1】（2024湖南一模）下列命题中正确的有()

①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】A

【解析】①弦是圆上任意两点之间的连线段，所以①错误；

②半径不是弦，所以②错误；

③直径是最长的弦，正确；

④弧是半圆，只有180°的弧才是半圆，所以④错误．

【变式练2】（2024福建一模）已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是（）

A．4B．8C．10D．12

【答案】D

【解析】根据圆中最长的弦为直径求解．因为圆中最长的弦为直径，直径为10，所以弦长L≤10．

考点2.垂径定理及其计算

【例题2】（2024江西省）如图，AB是O的直径，AB2，点C在线段AB上运动，过点C的

弦DEAB，将DBE沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为______．

【答案】23或23或2

【解析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据DEAB，可得DE1或2，利用勾

股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键．

【详解】AB为直径，DE为弦，

DEAB，

当DE的长为正整数时，DE1或2，

当DE2时，即DE为直径，

∵DE⊥AB

将DBE沿DE翻折交直线AB于点F，此时F与点A重合，

故FB2；

当DE1时，且在点C在线段OB之间，

如图，连接OD，

1

此时ODAB1，

2

∵DE⊥AB，

11

DCDE，

22

3

OCOD2DC2，

2

23

BCOBOC，

2

BF2BC23；

当DE1时，且点C在线段OA之间，连接OD，

23

同理可得BC，

2

BF2BC23，

综上，可得线段FB的长为23或23或2．

【变式练1】（2024西藏一模）在O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C．若OC：OB＝3：5，则

DE的长为（）

A．6B．9C．12D．15

【答案】C

【解析】根据题意画出图形，然后利用垂径定理和勾股定理解答即可．

如图所示：∵直径AB＝15，∴BO＝7.5，∵OC：OB＝3：5，∴CO＝4.5，

∵DE⊥AB，∴DC＝DO2OC27.524.52＝6，∴DE＝2DC＝12．

【变式练2】（2024山西一模）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据

如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（）

A．12cmB．10cmC．8cmD．6cm

【答案】B

【解析】连接AB、CO交于点D，

由题意得，OC⊥AB，

则AD＝DB＝AB＝4，

设圆的半径为Rcm，则OD＝（R﹣2）cm，

在Rt△AOD中，OA2＝AD2+OD2，即R2＝42+（R﹣2）2，

解得，R＝5，

则该铁球的直径为10cm．

【提示】垂径定理内容是垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.

考点3.圆周角定理及圆内接多边形

【例题3】（2024甘肃临夏）如图，AB是O的直径，E35，则BOD（）

A.80B.100C.120D.110

【答案】D

【解析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出AOD2E．

由圆周角定理得到AOD2E70，由邻补角的性质求出BOD18070110°．

E35，

AOD2E70，

BOD18070110．故选：D．

【变式练1】（2024甘肃一模）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD＝40°，则

∠B=（）

A.70°B.60°C.50°D.40°

【答案】C

【解析】由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直角三角形

两锐角互余得到∠ACD与∠D互余，即可求得∠D的度数，继而求得∠B的度数．

∵CD是⊙O的直径，

∴∠CAD＝90°，

∴∠ACD+∠D＝90°，

∵∠ACD＝40°，

∴∠ADC＝∠B＝50°．故选：C．

【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想是解题的关键．

【变式练2】（2024安徽一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与

点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（）

A．30°B．45°C．50°D．65°

【答案】D

【解析】由圆内接四边形的性质得∠D度数为60°，再由∠APC为△PCD的外角求解．

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠B+∠D＝180°，

∵∠B＝120°，

∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，

∵∠APC为△PCD的外角，

∴∠APC＞∠D，只有D满足题意．

考点1.圆的有关概念及性质

1．（2024内蒙古包头）已知O中最长的弦为12厘米，则此圆半径为厘米．

【答案】6

【解析】O中最长的弦为12厘米，

O的直径为12厘米，

O的半径为6厘米．

2．（2024云南）下列判断正确的个数有（）

①直径是圆中最大的弦；

②长度相等的两条弧一定是等弧；

③半径相等的两个圆是等圆；

④弧分优弧和劣弧；

⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【解析】①直径是圆中最大的弦；故①正确，

②同圆或等圆中长度相等的两条弧一定是等弧；故②不正确

③半径相等的两个圆是等圆；故③正确

④弧分优弧、劣弧和半圆，故④不正确

⑤同一条弦所对的两条弧可位于弦的两侧，故不一定相等，则⑤不正确．

综上所述，正确的有①③故选B

考点2.垂径定理及其计算

1.（2024内蒙古赤峰）如图，AD是O的直径，AB是O的弦，半径OCAB，连接CD，交

OB于点E，BOC42，则OED的度数是（）

A.61B.63C.65D.67

【答案】B

【解析】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质．先根据垂径定理，求得

1

AOCBOC42，利用圆周角定理求得DAOC21，再利用三角形的外角性质即

2

可求解．

∵半径OCAB，

∴ACBC，

∴AOCBOC42，AOB84，

∵，

ACAC

1

∴DAOC21，

2

∴OEDAOBD63，故选：B．

2.（2024四川凉山）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决

方案是：在工件圆弧上任取两点A,B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交AB于

点C，测出AB40cm,CD10cm，则圆形工件的半径为（）

A.50cmB.35cmC.25cmD.20cm

【答案】C

【解析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出BD的长；设圆心为O，连接OB，

在Rt△OBD中，可用半径OB表示出OD的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得

出轮子的直径长．

【详解】∵CD是线段AB的垂直平分线，

∴直线CD经过圆心，设圆心为O，连接OB．

1

Rt△OBD中，BDAB20cm，

2

根据勾股定理得：

OD2BD2OB2，即：

2

OB10202OB2，

解得：OB25；

故轮子的半径为25cm，故选：C．

考点3.圆周角定理及圆内接多边形

1.（2024湖南省）如图，AB，AC为O的两条弦，连接OB，OC，若A45，则BOC

的度数为（）

A.60B.75C.90D.135

【答案】C

【解析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的

1

一半是解题的关键．根据圆周角定理可知ABOC，即可得到答案．

2

【详解】根据题意，圆周角A和圆心角BOC同对着BC，

1

ABOC，

2

A45，

BOC2A24590．故选：C．

2.（2024甘肃威武）如图，点A，B，C在O上，ACOB，垂足为D，若A35，则C的

度数是（）

A.20B.25C.30D.35

【答案】A

【解析】根据A35得到O70，根据ACOB得到CDO90，根据直角三角形的两

个锐角互余，计算即可．

本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，直角三角形的性质是解题的关键．

【详解】∵A35，

∴O70，

∵ACOB，

∴CDO90，

∴C90O20．故选A．

3.（2024四川广元）如图，已知四边形ABCD是O的内接四边形，E为AD延长线上一点，

AOC128，则CDE等于（）

A.64B.60C.54D.52

【答案】A

【解析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同

弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可求得ABC的度数，再根据圆内接四边形对角互补，可推出

CDEABC，即可得到答案．

【详解】ABC是圆周角，与圆心角AOC对相同的弧，且AOC128，

11

ABCAOC12864，

22

又四边形ABCD是O的内接四边形，

ABCADC180，

又CDEADC180，

CDEABC64，故选：A．

4.（2024吉林省）如图，四边形ABCD内接于O，过点B作BE∥AD，交CD于点E．若

BEC50，则ABC的度数是（）

A.50B.100C.130D.150

【答案】C

【解析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．

先根据BE∥AD得到DBEC50，再由四边形ABCD内接于O得到

ABCD180，即可求解．

【详解】∵BE∥AD，BEC50，

∴DBEC50，

∵四边形ABCD内接于O，

∴ABCD180，

∴ABC18050130,故选：C．

5.（2024武汉市）如图，四边形ABCD内接于O，ABC60，BACCAD45，

ABAD2，则O的半径是（）

62232

A.B.C.D.

3322

【答案】A

【解析】延长AB至点E，使BEAD，连接BD，连接CO并延长交O于点F，连接AF，即

可证得ADC≌EBCSAS，进而可求得ACcos45AE2，再利用圆周角定理得到

AFC60，结合三角函数即可求解．

【详解】延长AB至点E，使BEAD，连接BD，连接CO并延长交O于点F，连接AF，

∵四边形ABCD内接于O，

∴ADCABCABCCBE180

∴ADCCBE

∵BACCAD45

∴CBDCDB45，DAB90

∴BD是O的直径，

∴DCB90

∴△DCB是等腰直角三角形，

∴DCBC

∵BEAD

∴ADC≌EBCSAS

∴ACDECB，ACCE,

∵ABAD2

∴ABBEAE2

又∵DCB90

∴ACE90

∴△ACE是等腰直角三角形

∴ACcos45AE2

∵ABC60

∴AFC60

∵FAC90

AC26

∴CF

sin603

16

∴OFOCCF故选：A．

23

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，锐角三角函数、等腰三角形的性质与判

定等知识点，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．

6.（2024江苏连云港）如图，AB是圆的直径，1、2、3、4的顶点均在AB上方的圆弧

上，1、4的一边分别经过点A、B，则1234__________．

【答案】90

【解析】本题考查圆周角定理，根据半圆的度数为180，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行

求解即可．

∵AB是圆的直径，

∴AB所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为180，

∵1、2、3、4所对的弧的和为半圆，

1

∴123418090．

2

考点1.圆的有关概念及性质

1．如图，AB是O的直径，，∠COB＝40°，则∠A的度数是（）

⊙

A．50°B．55°C．60°D．65°

【答案】B

【解析】∵AB是O的直径，，∠COB＝40°，

∴∠AOD＝∠DO⊙C，

∴，

∵OA＝OD，

∴．故选：B．

考点2.垂径定理及其计算

1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，则∠BCD的度数为（）

A．15°B．22.5°C．30°D．45°

【答案】B

【解析】由垂径定理知，点E是CD的中点，有CD＝2ED＝2CE，可得DE＝OE，则∠DOE＝∠ODE＝45°，

利用圆周角定理即可求解．

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，

∴CD＝2ED＝2CE，

∵CD＝2OE，

∴DE＝OE，

∵CD⊥AB，

∴∠DOE＝∠ODE＝45°，

∴∠BCD＝∠DOE＝22.5°．

2．如图，弦AB⊥OC，垂足为点C，连接OA，若OC＝4，AB＝6，则sinA等于（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解答】∵弦AB⊥OC，AB＝4，OC＝2，

∴AC＝AB＝3，

∴OA＝＝＝5，

∴sinA＝＝．故选：C．

3.赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，

跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（）

A．20mB．28mC．35mD．40m

【答案】B

【解析】由题意可知，AB＝37m，CD＝7m，

设主桥拱半径为Rm，

∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，

∵OC是半径，OC⊥AB，

∴AD＝BD＝AB＝（m），

在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，

∴（）2+（R﹣7）2＝R2，

解得R＝≈28．故选：B．

4.如图，A、B、C是O上的点，OCAB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA7，则

BC的长为___________．

【答案】7

【解析】根据垂径定理可得OC垂直平分AB，根据题意可得AB平方OC，可得四边形AOBC是

菱形，进而根据菱形的性质即可求解．

如图，连接OB,CA，

A、B、C是O上的点，OCAB，

ADDB，

D为OC的中点，

ODDC，

四边形AOBC是菱形，OA7，

BCAO7．

【点睛】本题考查了垂径定理，菱形的性质与判定，掌握垂径定理是解题的关键．

5．如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧靠支架

于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于cm．

【答案】10．

【解析】由题意得：BC＝16cm，CD＝4cm，

如图，连接OA，过点O作OE⊥BC，交BC于点E，交AD于点F，

则∠OEC＝90°，

∵餐盘与BC边相切，

∴点E为切点，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，

∴四边形CDFE是矩形，OE⊥AD，

∴CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DF＝AD＝×16＝8（cm），

设餐盘的半径为xcm，

则OA＝OE＝xcm，

∴OF＝OE﹣EF＝（x﹣4）cm，

在Rt△AFO中，由勾股定理得：AF2+OF2＝OA2，

即82+（x﹣4）2＝x2，

解得：x＝10，

∴餐盘的半径为10cm，

考点3.圆周角定理及圆内接多边形

1.如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（）

A．27°B．108°C．116°D．128°

【答案】B

【解析】∵∠A＝54°，

∴∠BOC＝2∠A＝108°．

【提示】圆周角定理内容是：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

2.如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为（）

A．25°B．30°C．35°D．40°

【答案】B

【解析】由圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC＝60°，继而∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．

∵∠BAC与∠BOC所对弧为，

由圆周角定理可知：∠BOC＝2∠BAC＝60°，

又∠AOC＝90°，

∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．

3.如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5cm，点D在圆上且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为cm．

【答案】5．

【解析】连接OC，证明△AOC是等边三角形，可得结论．

如图，连接OC．

∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝30°，

∴∠AOC＝60°，

∵OA＝OC，

∴△AOC是等边三角形，

∴OA＝AC＝5（cm），

∴⊙O的半径为5cm．

4.如图，AB是O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若BAC28，则D______°

【答案】62

【解析】连接BD，根据直径所对的圆周角是90°，可得ADB90，由CBCB，可得

BACBDC，进而可得ADC90BDC．

【详解】连接BD，

∵AB是O的直径，

∴ADB90，

CBCB，

BACBDC28，

ADC90BDC62

【点睛】考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．

4

5.如图，⊙O的直径AB经过弦CD的中点H，若cos∠CDB＝，BD＝5，则⊙O的半径为_______．

5

25

【答案】

3

【解析】【分析】先由垂径定理求得BC=BD=5，再由直径所对圆周角是直角∠ACB=90°，由余弦定

3BC53

义可推出sinA=,即可求得sinA=,然后由圆周角定理得∠A=∠D，，即可得，即可求

5ABAB5

解．

【详解】解：连接AC，如图，

∵⊙O的直径AB经过弦CD的中点H，

∴CH=DH，AB⊥CD，

∴BC=BD=5，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

BC

∴sinA=,

AB

∵∠A=∠D，

4

∴cosA=cosD=,

5

3

∴sinA=sinD=

5

53

∴，

AB5

25

∴AB=

3

【点睛】考查解直角三角形，圆周角定理，垂径定理的推论，求得∠ACB=90°、∠A=∠D是解题关键．

6．如图所示，AB是O的直径，C、D、E是O上的点，若，∠E＝70°，则∠ABC的度

数（）⊙⊙

A．30°B．40°C．50°D．60°

【答案】B

【解析】连接DB，

∵∠E＝70°，

∴∠A＝70°，

∵AB是O的直径，

∴∠ADB⊙＝90°，

∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°，

∵，

∴∠DBC＝∠DBA＝20°，

∴∠ABC＝∠DBC+∠DBA＝20°+20°＝40°．故选：B．

7.如图，四边形ABCD内接于O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的度数

是（）⊙

A．65°B．115°C．130°D．140°

【答案】C

【解析】∵∠DCE＝65°，

∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣65°＝115°，

∵四边形ABCD内接于O，

∴∠BAD+∠DCB＝180°⊙，

∴∠BAD＝65°，

∴∠BOD＝2∠BAD＝2×65°＝130°，故选：C．

8．如图，AB是O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠D＝62°，则∠BAC＝．

⊙

【答案】28°．

【解析】连接BC，

∵AB是O的直径，

∴∠ACB⊙＝90°，

∵∠D＝62°，

∴∠B＝∠D＝62°，

∴∠BAC＝90°﹣∠B＝28°

9.如图，在⊙O