第24课时　正方形 课件 2025年中考数学一轮总复习

第一部分考点梳理第四章图形的性质第24课时正方形知识点1正方形的性质和判定性

质边对边平行，四边都相等角四个直角对角

线对角线互相垂直平分且相

等，每条对角线平分一组对

角对称

性既是轴对称图形，又是中心

对称图形判定（1）有一组邻边相等的

⁠

⁠是正方形（2）有一个角是直角的

⁠

⁠是正方形（3）对角线

⁠

的平行四边形是正方形面积

公式S＝边长2＝

·对角线之积矩形

菱形

互相垂直且相等

知识点2中点四边形定

义顺次连接四边形各边中点所得的四边

形，称为中点四边形常

见结

论顺次连接四边形各边中点所得到的四

边形是

⁠平行四边形

常

见结

论顺次连接矩形各边中点所得到的四边

形是

⁠顺次连接菱形各边中点所得到的四边

形是

⁠顺次连接正方形各边中点所得到的四

边形是

⁠顺次连接对角线相等的四边形各边中

点所得到的四边形是

⁠菱形

矩形

正方形

菱形

常

见结

论顺次连接对角线互相垂直的四边形各

边中点所得到的四边形是

⁠顺次连接对角线相等且互相垂直的四

边形各边中点所得到的四边形是

⁠

⁠矩形

正

方形

名师指津1.

正方形具备等腰直角三角形、平行四

边形、矩形、菱形的所有性质，比如

45°角在正方形的证明题中往往起到重

要作用.2.

正方形既是轴对称图形，又是中心

对称图形，因此在正方形中，所有对

称位置上的线、角、三角形都是相

（全）等的，这是解决问题的一个重

要思维和方向.3.

中点四边形的形状只与原四边形对角

线（相等、垂直、相等且垂直）有关.4.

中点四边形的周长是原图形对角线之

和，面积是原图形面积的一半.5.

证明一个四边形是正方形的方法是先

证明它是矩形，再证明它是菱形；或先

证明它是菱形，再证明它是矩形，其证

明过程往往需要借助全等三角形.6.

在正方形中求解策略是利用正方形四

个角都是直角或对角线互相垂直平分且

相等，通过勾股定理求解.7.

正方形中的十字架模型【模型介绍】如图1，在正方形ABCD

中，若EF⊥MN，则EF＝MN.

变形1：如图2，若AF⊥BE，则AF＝

BE.

变形2：如图3，若BE⊥MN，则BE＝

MN.

【易错点】正方形内十字架模型，垂直

一定相等，相等不一定垂直.【解题技巧】无论怎么变，只要垂直，

十字架就相等.考点一

正方形的性质及判定例1

（1）如图1，要使▱ABCD是正

方形，需增加条件.在条件①AB＝BC；

②AC＝BD；③AC⊥BD；④∠ABC＝

90°中选取两个作为条件，不正确的是

（

B

）BA.

①和②B.

①和③C.

②和③D.

③和④图1（2）如图2，在正方形ABCD中，点

E，F分别在BC，CD上，连接AE，

AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝

α，则∠FEC一定等于（

A

）A.

2αB.

90°－2αC.

45°－αD.

90°－αA图2（3）（2024·南开）如图3，已知正方形

ABCD的边长为1，点E为边BC上一

点，连接AE，作∠DAE的平分线交CD

于点F，若F为CD的中点，则BE的长

为（

C

）A.

B.

C.

D.

C图3

2

图4例2

如图1，在正方形ABCD中，点E

在边BC上，点F在CD的延长线上，且

DF＝BE，连接AE，AF，EF.

（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；图1

图2

（2）如图2，过点A作AH⊥EF，垂足

为H，交CD于点G，连接BH.

图1

图2[答案]解：（2）①证明：如答案图，过点H作HM⊥BH交BC的延长线于点M，∴∠BHE＋∠EHM＝90°.∵△AEF是等腰直角三角形，AH⊥EF，∴AH＝EH，∠AHE＝90°，∴∠BHE＋∠AHB＝90°，∴∠EHM＝∠AHB.

∵∠ABE＝∠AHE＝90°，（答案图）

（答案图）②若CE＝4，DG＝3，求BE的长.

图1 图2[答案]解：（2）②如答案图，连接

EG.

设BE＝x，则DF＝x.∵CE＝4，DG＝3，∴BC＝x＋4，FG＝x＋3，CG＝（x＋4）－3＝x＋1.∵△AEF是等腰直角三角形，AH⊥EF，∴AH垂直平分EF，∴EG＝FG＝x＋3.在Rt△ECG中，由勾股定理，得EG2＝CG2＋CE2，即（x＋3）2＝（x＋1）2＋16，解得x＝2，∴BE＝2.（答案图）考点二

中点四边形例3

（1）如图1，顺次连接四边形

ABCD各边中点得到中点四边形EFGH，下列说法中正确的是（

C

）CA.

当AC⊥BD时，四边形EFGH为菱形B.

当AC＝BD时，四边形EFGH为矩形C.

当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形

EFGH为正方形D.

以上说法都不对图1（2）如图2，D，E，F，G分别为

AC，AB，BO，CO的中点，∠BOC＝

90°.若AO＝3，BO＝4，CO＝3，则四

边形DEFG的周长为

⁠.图28

1.

如图，F是正方形ABCD的对角线BD

上一点，连接AF，CF，并延长CF交

AD于点E.

若∠AFC＝140°，则∠DEC的度数为（

D

）A.

80°B.

75°C.

70°D.

65°D（第1题）2.

已知菱形ABCD中对角线AC，BD相

交于点O，添加条件

⁠

可使菱形ABCD成为正方形.AC＝BD或

AB⊥BC

3.

（2024·内蒙古）如图，边长为2的正

方形ABCD的对角线AC与BD相交于点

O.

E是BC边上一点，F是BD上一点，

连接DE，EF.

若△DEF与△DEC关于

直线DE对称，则△BEF的周长是

⁠.

（第3题）4.

如图，在正方形ABCD中，点F是BC

的延长线上一点，过点B作BE⊥DF于

点E，交CD于点G，连接CE.

（1）若正方形ABCD的边长为3，DF＝

4，求CG的长；（第4题）

（第4题）解：（2）证明：如图，过点C作CM⊥CE交BE于点M