2025年中考数学几何模型归纳训练：最值模型之瓜豆模型（原理）曲线解读与提分训练（解析版）

专题38最值模型之瓜豆模型（原理）曲线

动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该

压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型

的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原

理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

目录导航］

例题讲模型

........................................................................................................................................................1

模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类）.................................................................1

习题练模型］

12

例题讲模型］

模型L瓜豆模型（圆弧轨迹类）

模型解读

“主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一

个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”

线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋

转、全等和相似。

模型证明

模型1、运动轨迹为圆弧

模型LL如图，P是圆。上一个动点，A为定点，连接AP,。为AP中点.。点轨迹是？

分析：如图，连接A。，取中点任意时刻，均有AAM。QM,PQ=AQ：AP=1：2。

则动点。是以M为圆心，MQ为半径的圆。

P

模型1-2.如图，P是圆。上一个动点，A为定点，连接AP,作AQLAP且AQ=AP,当点尸在圆。上运动

时，。点轨迹是?

分析：如图，连结A。，作AM_LA。，AO=AM；任意时亥!|均有△APO0AAQM,MMQ=PO.

则动点。是以M为圆心，M。为半径的圆。

模型1-3.如图，AAP。是直角三角形，乙阴。=90。且AP=EAQ,当尸在圆。运动时，。点轨迹是？

分析：如图，连结A。，作AM_LA。，AO:AM=/:1；任意时亥lj均有△AP0SA40M,且相似比为联

则动点。是以M为圆心，MQ为半径的圆。

模型1-4.为了便于区分动点尸、Q,可称P为“主动点”，。为“从动点”。

此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（NHL0是定值）；②主动点、从

动点到定点的距离之比是定量（AP：4。是定值）。

分析：如图，连结A。，^ZOAM=ZR\Q,AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APOS/XAQM。

则动点。是以M为圆心,MQ为半径的圆。

特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。

（1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中）

如图，若P为动点,AB=AC=AP,则3、C、P三点共圆，则动点尸是以A圆心，A3半径的圆或圆弧。

（2）定边对定角（或直角）模型

1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧.

如图，若尸为动点，A3为定值，ZAPB=9Q°,则动点尸是以A3为直径的圆或圆弧。

2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧.

如图，若尸为动点，为定值，NAPB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。

模型运用

例1.（2024.河南南阳三模）如图，点P（3,4）,。尸半径为2,A（2.8,0）,B（5.6,0）,点M是0尸上的动点,

点C是MB的中点，则AC的最小值为（）

【答案】A

【分析】本题考查了坐标与图形、三角形中位线定理、勾股定理，连接OP交。尸于连接OM,由题意

得出AC是AO&W的中位线，则=从而得到当。加最小值，AC最小，即当加运动到卜时，OM

最小，此时AC也为最小，求出的长即可得出答案.

【详解】解：如图，连接。尸交于连接

：4(2.8,0),8(5.6,0),/.OA=2.8,AB=2.8,：.OA=AB,

丁点C是MB的中点，3C=C0,AC是AOBM的中位线，AC=；OM,

.•.当OM最小值，AC最小，，当M运动到M'时，最小，此时AC也为最小，

._____13

vOM'=OP-PM'=yl?r+42-2=5-2=3-；♦AC的最小值为5x3=5,故选：A.

例2.（2023•黑龙江大庆•一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的。。与无轴的正半轴交于点A,

3

点B是。。上一动点，点C为弦AB的中点，直线＞=^了-3与x轴、y轴分别交于点则点C到直线DE

【答案】C

【分析】先确定C点的轨迹是。P,则C到直线。E的最小距离为根据相似得到边长的数量关系，列

方程直接求解即可.

;点C为弦A3的中点，•,.ZACO=90。，.•.点C在以Q4为直径的圆上（点O、A除外），

以。4为直径作。尸，过尸点作直线于H,交0P于M、N,

当x=0时，y=-x-3=-3,则E(0,—3),当y=0时，-x-3=0,解得了=4,则0(4,0),

44

・•・勿二4,；・DE=EK=5';。。的半径为2,・・・A(2,0),・・・P(1,O),・・.OP=1,・・.上。=0。—QP=3,

•：ZPDH=ZEDO,/PHD=/EOD=90。,：,QPHsQEO,：・PH:OE=DP:DE,

Q144

即777:3=3:5,解得PH=-,/.MH=PH+1=—,NH=PH-\=-.

555

4

.•.点C到直线DE的最小距离为彳.故选：C.

【点睛】此题考查圆与三角形的综合，解题关键是先确定C点的轨迹是圆，则C到直线DE的最小距离为NH,

根据相似列方程直接求解即可.

例3.(2023春•湖北黄石•九年级校考阶段练习)如图，四边形ABCD为正方形，P是以边AD为直径的。。

上一动点，连接“，以3P为边作等边三角形BP。，连接。。，若AB=2,则线段。。的最大值为.

【答案】宕+1/1+行

【分析】连接。3、0P,将。3绕点2逆时针旋转60。得到05,连接。'。，通过证明AaBP/AO'BQ(SAS),

得出。尸=。'。=1,从而得出点。在以点。为圆心，。'。为半径的圆上运动；则当点0,O',P三点在同

一直线上时，OQ取最大值，易证△080'为等边三角形，求出。0，=。8=若，即可求出

OQ=OO'+O'Q=y/5+l.

【详解】解：连接。3、0P,将。3绕点2逆时针旋转60。得到。'8,连接O'Q,

；03绕点B逆时针旋转60。得到。8,05=05,408(7=60。,

；VBPQ为等边三角形，PB=QB,ZPBQ=60°,

：.ZOBO'-NPBO'=NPBQ-ZPBO',即NOBP=NO'BQ,

OB=O'B

在AOBP和氯）'BQ中，＜NOBP=ZO'BQ,△O3%AO'3Q（SAS）,

PB=QB

'：AB=2,四边形ABC。为正方形，AD=AB=2,则Q4=OP=1,

.•.O尸=00=1,.♦.点。在以点。为圆心，OQ为半径的圆上运动；

...当点。，O',P三点在同一直线上时，取最大值，

在RM。旬中，根据勾股定理可得：OB=do从+AB?=行，

VOB=O'B,/。8。=60。，...△050'为等边三角形，OO'=OB=s[5,

：.OQ=OO'+O'Q=45+1,故答案为：昌1.

【点睛】本题主要考查看瓜豆模型——圆生圆模型，解题的关键是确定从动点。的运动轨迹，以及熟练掌

握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质.

例4.（23-24九年级上•江苏南京•阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点A的坐标是（-3,4）,点8

是0A上一点，0A的半径为2,将绕。点顺时针方向旋转90。得。C,连接AC,则线段AC的最小值

为（）

A.5A/2-2B.372-1C.5D.6

【答案】A

【分析】把。4绕。点顺时针方向旋转90。得04’,过点A作AF轴于点F，过点A作AGLx轴于点G,

以点A为圆心作。A',使。A'的半径为2,点8是。A上一点，则点C是。A'上一点，当点A,O,A三点共

线，即点C在AA上时，AC最小.

【详解】解：如图，把。4绕。点顺时针方向旋转90。得04,，过点A作轴于点尸，过点A作AGLx

轴于点G,以点A为圆心作0A',使。A'的半径为2,

：OA=OA',ZAOA'=90°,ZAFO=ZOGA=90°,

ZAOF+ZA'OG=180O-ZAOA'=90°,ZAOF+ZOAF=90°,

ZOAF=ZA'OG,...VAFO至VOGA'(AAS),AF=OG=4,OF=A'G=3,A(4,3),

过A‘作A'"LA歹于点8，AW=4-(-3)=7,AH=4-3=l,

在RtVAHA中，AA'=yJ(AH)2+(AH'y=712+72=572,

点2是。A上一点，则点C是。A'上一点，AC=2,

当点A。,A三点共线，即点C在AA上时，AC最小，

:.AC=AA!-CA!=542-2,故线段AC的最小值为5五-2.故选：A.

【点睛】本题考查了圆的基本概念，动点问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，本题的关键是作出

正确的辅助线，运用数形结合的思想方法.

例5.(2024・江苏南通・校考模拟预测)如图，已知正方形ABCD的边长为2,以点A为圆心，1为半径作

圆，E是。A上的任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90。并缩短到原来的一半，得到线段DF,

【答案】而-;

【分析】通过证VGDb:VADE可得G尸=g,由勾股定理可得AG=）452+002=5根据三角形三边关

系求AF的最小值即可；

【详解】解：如图，取CD中点G,连接AE、GF、AG,

VEDXDF,ZEDF=90°,:四边形ABCD是正方形，.,.ZGDA=90°,

,/ZGDF+ZFDA=90°,ZFDA+ZADE=90°,NGDF=NADE,

••必"」，2GDF.VADE,

DADE2AE2

又AE=1,解得G尸=g,由勾股定理可得，AG=VAD2+DG2=722+12=75>

由三边的关系可得，AF的最小值为：AG-GF=V5-j；故答案为：V5-

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系，掌握相似三角形的判定

与性质，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键.

例6.（2023・四川广元•统考一模）如图，线段A3为。。的直径，点C在A3的延长线上，AB=4,BC=2,

点尸是。。上一动点，连接CP,以CP为斜边在PC的上方作RJPCD,且使4>CP=60。，连接则QD

【答案】2石+1/1+2指

【分析】作ACOE,使得/CEO=90。，ZECO=60°,贝l]CO=2CE,OE=2垂>,Z.OCP=ZECD,由

npCPi

△COPs/^CED,推出；^==1=2,即£Q=/P=1（定长），由点石是定点，。石是定长，点。在半径

EDCD2

为1的。E上，由此即可解决问题.

【详解】解：如图，作ACOE,使得NCEO=90。，ZECO=60°,则CO=2CE,OE=2^，^OCP=ZECD,

■：ZCDP=90°,ZDCP=60°,:.CP=2CD,—=—=2,.^COP^^CED,

CECD

OPCPi

.---=--=2,即£D）QP=1（定长），•・・点E是定点，OE是定长，.••点。在半径为1的。石上，

EDCD2

-.■OD<OE+DE=2^+\,二。/）的最大值为2代+1,故答案为：26+1.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，解题的关键是学会添加常

用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题.

例7.（23-24九年级上.安徽合肥・期末）如图，在RtaABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,平面上

有一点P,AP=1,连接AP,BP,取BP的中点G.连接CG,在AP绕点A的旋转过程中，则CG的最大

值是（）

A.3B.4C.372D.5

【答案】A

【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，圆的

确定，作出合适的辅助线是解本题的关键；如图，取A8的中点。，连接GQ,CQ,证明G在以。为圆心,

《为半径的圆上，即可得到答案.

【详解】解：如图，取48的中点Q,连接GQ,CQ,

,；G为B尸的中点，AP=1,；♦QG=JAP=弓‘G在以。为圆心，；为半径的圆上，

c

当C,。，G三点共线时，CG最大，CG=CQ+QG,

,：ZACB=90°,AC=3,BC=4,小二招+不=5,**-CC=1-

CG=Ce+eG=j+1=3,即CG的最大值为3.故选A

例8.(2024北京海淀.一模)在平面直角坐标系xOy中，对于图形”与图形N给出如下定义：P为图形N

上任意一点，将图形/绕点尸顺时针旋转90。得到AT,将所有AT组成的图形记作AT,称是图形/关

于图形N的“关联图形”.⑴已知4-2,0),2(2,0),C(2J),其中垓0.①若r=l,请在图中画出点A关于

线段BC的“关联图形”；②若点A关于线段BC的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出/的取值范围；(2)

对于平面上一条长度为。的线段和一个半径为『的圆，点S在线段关于圆的“关联图形”上，记点S的纵坐标

的最大值和最小值的差为d,当这条线段和圆的位置变化时，直接写出d的取值范围(用含。和厂的式子表

【答案】⑴①见详解；②"T或叱2⑵20rWdV20r+a

【分析】(1)①根据新定义找出关键点3、C的旋转90。后连接BC’即可；②同上理分情况讨论即可；

(2)画出分析图，如图所示，线段AB的长度为。，圆N的半径为人易得ABNPSABN©且相似比为1：0,

再移动图形即可求出d;本题考查了旋转的性质，圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上

知识的应用是解题的关键.

【详解】(1)解：①如图所示：线段BC即为所求;

②如图：当f=2时，点A关于线段BC的“关联图形”与V轴恰有公共点,

.♦.整2时，点A关于线段BC的“关联图形”与y轴有公共点；

当f=T时，点A关于线段BC的“关联图形”与X轴恰有公共点,

(2)如图，画出分析图，如图所示，线段的长度为。，圆N的半径为「，

点A、B分别绕点N顺时针旋转90。得至UNpNZ,分析可知ABNPSABNQ且相似比为1：0,

可得圆Nr、的半径均为立,，随意转动图，可得+

习题练模型

1.（2024.安徽淮北•三模）如图，线段AB=4,点M为A3的中点，动点P到点/的距离是1,连接尸8,

线段尸B绕点尸逆时针旋转90。得到线段PC,连接AC,则线段AC长度的最大值是（）

C.20D.372

【答案】D

【分析】以AB为斜边向上作等腰直角AAZB,连接C7,BC.利用相似三角形的性质证明兀=加,推出点

C的运动轨迹是以J为圆心，夜为半径的圆，根据ACVA/+JC=3夜，可得结论.

【详解】解：以A3为斜边向上作等腰直角AA/B,连接C7,BC.

=.•.■=■=A®,，/WB是等腰直角三角形，APBC是等腰直角三角形，

ZMBJ=ZPBC=45°BJ=-BM=-J2BM,同理=:.ZMBP=ZJBC,—=—,

cos45°MBBP

:.AJBCs^MBP,:.与=黑=叵，；PM=1,:.JC=j2,

PMBM

二点c的运动轨迹是以J为圆心，0为半径的圆，

AJ=^AB=2AC<AJ+JC=3y/2,故线段AC长度的最大值为3VL故选：D.

【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，点与圆的位置关系,

三角形三边关系，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压

轴题.

2.（2023•浙江宁波•模拟预测）如图，VABC中，NABC=90。，tanNBAC=：,点。是的中点，尸是以

A为圆心，以AO为半径的圆上的动点，连接尸8、PC,则名PB的最大值为（）

AMn3710RA/13-1nV13+1

31044

【答案】D

【分析】此题考查了解直角三角形，根据阿氏圆的定义，分别固定成，分别确定A点的运动轨迹为阿氏圆

PB

O,C点的运动轨迹为阿氏圆O',,由此可知，当PC最最小时，器|的值最大，进行求解即可.

Rd

【详解】解：固定3尸，则不=2,.•那点的运动轨迹为阿氏圆。，

AP

设OP=a,贝ijAO=2a,BO=4a,贝U=OP=3a,

Afi

,：ZABC=90°,R=2,.•.（7点的运动轨迹为阿氏圆O',NO3O'=90。，

/NB

PB士曰一

：.OB=2a,O'C=a,.,.当PC最小时的值取大，

22.PBPB3aV13+1痂啾n

PO'=4PB+OB=1(3aj+(Zap=J[3a,・・——=——-———=—f=----=------,故选：D.

PCPO'-O'C屈a-a4

3.(2024・安徽合肥•模拟预测)如图，分别经过原点。和点A（8,0）的动直线°,b,其夹角/。班=30。,

点M是02中点，连接AM,则AM的最小值是（）

C.4A/3-4D.46+4

【分析】作VA03的外接圆0尸，连接OP,PA,PB,取OP的中点Q,连接QM,证明AOAP是等边三角形,

求出QM=；2=4,得到点M在以。为圆心，4为半径的圆上运动，画出0。，当M在0Q与QA的交点时,

连接QA交。。于此时AM有最小值，根据等边三角形的性质及勾股定理即可求解.

【详解】解：作VAOB的外接圆。尸，连接ORPA,PB,取OP的中点。，连接

VZAPO=2.ZABO=60°,PO=PA,AOAP是等边三角形，VA（8,0）,:.PO=PA=PB=8,

•：OQ=QP,=二。河=：8=4,.•.点M在以。为圆心，4为半径的圆上运动，画出。Q,

当加在。。与QA的交点时，连接QA交。。于M,此时AM有最小值，

•••△OR4是等边三角形，OQ=PQ,/.AQLOP,

：0A=8,OQ=4,：.782-42=443-二AM的最小值是4君-4,故选：C.

AQ=

【点睛】本题考查坐标与图形，点到圆上的距离，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性

质，正确作出辅助线构造三角形外接圆是解题的关键.

4.（23-24九年级上.江苏连云港•阶段练习）等边VABC的边长为6,尸是AB上一点，AP=2,把AP绕点

A旋转一周，P点的对应点为P,连接BP,的中点为2,连接CQ.则CQ长度的最小值是（）

A

A.373-1B.3A/3-2C.3^+1D.36+2

【答案】A

【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，三角形中位线的性质及三边关系，取AB

中点。，连接CD,AP',利用等边三角形的性质和勾股定理求出CO=3g,根据三角形中位线定理得

到。。=1,再利用三角形三边关系CQ2OC-。。即可求解，正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：；AP=2,把AP统点A旋转一周，,2,

等边VABC的边长为6,点。是A8中点，，8D=AD=3,CD1AB,：.CD==762-32=373-

:点。是3P的中点，，8Q=QP,5L'：AD=BD,：.DQ=^AP'=1,

在ACDQ中，CQ2Z>C-Z>Q=3g-l,c。的最小值为36-1,故选：A.

5.(23-24九年级上.安徽合肥・期末)如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,平面上有一

点P,AP=1,连接转，BP,取3P的中点G.连接CG,在AP绕点A的旋转过程中，则CG的最大值是

()

A.3B.4C.372D.5

【答案】A

【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，圆的

确定，作出合适的辅助线是解本题的关键；如图，取48的中点。，连接GQ,CQ,证明G在以。为圆心,

|■为半径的圆上，即可得到答案.

【详解】解：如图，取48的中点Q,连接GQ,CQ,

为3尸的中点，AP=1,，QG=5A尸=5,G在以。为圆心，■为半径的圆上，

当C,Q,G三点共线时，CG最大，CG=CQ+QG,

VZACB=90°,AC=3,BC=4,：.AB=^32+42=5>

/.CG=Ce+eG=|+1=3,即CG的最大值为3.故选A

6.(2024.河南关B州•三模)如图，点M是等边三角形A3C边BC的中点，尸是三角形内一点，连接AP,将

线段AP以A为中心逆时针旋转60。得到线段AQ，连接MQ.若AB=4,MP=1,则MQ的最小值为.

【答案】26-1

【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、圆的有

关定义以及和性质等知识，得到点。的运动路线是解答的关键.连接尸M,AM,将线段AM绕着点A逆

时针旋转60。得到线段连接QH,MH,由旋转性质可推导鳗△的4P(SAS),是等边三角

形，则a2=MP=l,=AM,根据圆的定义可得点。在以X为圆心，1为半径的圆上运动，进而可知

当M、。、〃共线时，最小，最小值为根据等边三角形的性质求得AM值即可求解.

【详解】解：连接PM,AM,将线段A"绕着点A逆时针旋转60。得到线段AH,连接MH,

由旋转性质得4。=4尸，AH=AM,ZMAH=ZPAQ=60°,即NHA0=/MAP=60。一NQAM,

^HAQ=/^MAP（SAS）,AMA?/是等边三角形，；♦HQ=MP=1,MH=AM,

则点。在以X为圆心，1为半径的圆上运动，

•:MQNMH-HQ,：.当M、。、H共线时，河。最小，最小值为MH—1,

:点M是等边三角形ABC边BC的中点，AB=4,：.AM±BC,BM=-BC=-AB=2,

22

AM=\lAB2-BM2=742-22=2A/3>即MY=2而，，MQ的最小值为2道-1,故答案为：2道-1.

7.（2023・四川宜宾•统考中考真题）如图，/是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接3P,

线段“以8为中心逆时针旋转90。得到线段8。，连接MQ.若AB=4,MP=\,则/。的最小值为—

【答案】2丽-1

【分析】连接将以8中心，逆时针旋转90。，/点的对应点为E,由P的运动轨迹是以/为圆

心，1为半径的半圆，可得：。的运动轨迹是以E为圆心，1为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一

点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短"，所以当M、Q、E三点共线时，

MQ的值最小，可求ME=4iBM=2晒,从而可求解.

【详解】解，如图，连接BM,将以8中心，逆时针旋转90。，M点的对应点为E,

,•,P的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的半圆，，。的运动轨迹是以E为圆心，1为半径的半圆，

如图，当/、。、E三点共线时，的值最小，

,四边形45co是正方形，:.CD=AB=BC=4,ZC=90°,

•.,M是CM的中点，.•.CM=2,BM=JCM。+3c2=［乎+4?=2痴,

由旋转得：BM=BE,ME=y/2BM=2>J10,

.•.MQ=ME-EQ=2M-1,的值最小为2河一1.故答案：2厢一1.

【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性

质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键.

8.（2024年成都市树德实验中学西区中考数学诊断试题）如图，AB=AC=4,/B4C=90。，点M是线

段AC上一个动点，连接将线段仍沿直线进行翻折，点A落在点N处，连接CN,以CN为斜边

在直线CN的左侧（或者下方）构造等腰直角三角形CND,则点M从A运动到C的过程中，线段CO的最小

值是,当M从点A运动到点C时，点。的运动总路径长是.

【答案】472-4岳

【分析】由BN=AB=4,可得N在以8为圆心，4为半径的,圆上运动（从A运动到N）,当C、N、B共

4

线时，CN最小；连接BC,AD,可证明△BCWSAACD,从而得出AO=旺8"=2后，故点。在以A为

2

11

圆心，2夜为半径的I圆上运动，当点/从点A运动到点C时，点。运动4。人，进一步求得结果.

【详解】解：如图，连接BC,而AS=AC=4,/R4C=90。，

BC=J42+42=40，由折叠得：BN=AB=4,

.•.点N在以B为圆心，4为半径的L圆上运动（从A运动到N，），

4

.,.当C、N、B共线时，CN最小，CV最小=BC-4=40-4,连接4D,

•.•AB=AC,ZBC4=90°,:.ZACB=ZABC=45°,同理：NDCN=45°,

:.ZACB=NDCN,ZACB-ZACN=ZDCN-ZACN,:.ZBCN=ZACD,

BCCN穴ADAC1吏厂

——=-—=v2,:.&BCNs,■•~~==~~f=,AD=—BN=2A/2,

ACCDBNBCV22

•・•点。在以A为圆心，2血为半径的;圆上运动，如图，

，当点M从点A运动到点C时，点。运动JoA,

•.•；、2%-2夜=岳，；.点0运动的路径长为：岳，故答案为：40-4，区.

【点睛】本题考查了轴对称性质，等腰直角三角形性质，相似三角形判定和性质，确定圆的条件，圆的周

长公式等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形.

9.（2023•深圳外国语学校中考模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为4,以点A为圆心，2为半径作

圆，E是。A上的任意一点，将线段。E绕点。顺时针方向旋转90。并缩短到原来的一半，得到线段D尸,

连接AF,则AF的最小值是.

E

【答案】2乖-1

【分析】通过证AEZMSAFOT可得口=1,由勾股定理可得人7=加歹匚BF=2若，根据三角形三边关

系求AF的最小值即可;

T,连接AE、FT、AT,

•••四边形ABCD是正方形，AD=CE>=4,/ADC=90。,

VDT=CT=-CD=ZDE=2DF,—=2,

2DFDT

AEED

•：ZEDF=ZADC=90°：.ZEDA=AFDT,：.^EDA^FDT,.*.—=—=2,AFT=1,

fTFFD

AT=VAD2+DT-=2>/5-AF>AT-7F,/.AF>2^-1,二•的最小值为2指一1

10.（24-25九年级上•四川成都・期中）如图，在矩形ABC。中，AB=2,BC=4,。是矩形45CD左侧一

连接。Q,E为。。的中点，连接CE,则CE的最大值为

【答案】3

【分析】延长。C至R使CD=CF,连接82,点。为A3的中点，以点。为圆心，为直径作圆，连

接PO,PO延长线交。。于点。'，交BC于点G,连接。。；由NAQB=90。且点。在矩形的左侧知，点。

是在AOB上运动，由题意及辅助线作法知，CE为△。。产的中位线，则产QWR9+OQ,当尸、。、。三点

共线时，尸。最长，最大值为尸Q'的长度；利用相似三角形的性质可求得BG、CG的长，从而求得OG、FG,

最后求出尸。的长，从而可求得CE的最大值.

【详解】如图，延长。C至尸，使CD=CF,连接产。，点。为AB的中点，以点。为圆心，为直径作

圆，连接尸0,尸O延长线交。。于点Q',交2C于点G,连接。。'，

VAB=2,ZAQ8=90。，.•.点。是在以点。为圆心，A3为直径的圆上运动，

•..。是矩形左侧一点，.•.点。是在408上运动，

••,CD=Cb,.•.点C为DF的中点，•.•点£为。。的中点，CE为△。。口的中位线，=

♦.•尸QW产O+OQ,.•.当R0、。三点共线时，尸。最长，此时产。的最大值为尸Q'的长度，

VAB=2,：.OQ'=OA=OB=\,二•四边形ABC。为矩形，AB=2,BC=4,

：.AB=CD=2,AD=BC=4,AB//CD,ZABC=90°,：.CF=CD=2,

VAB//DF,：.AOBGS*CG,=—=—=：.FG=2OG,CG=2BG,

FGCGCF2

448

设8G=x,则CG=2x,x+2x=4,角军得：x=—,BG=—,CG=—,

333

在RtAOBG中,由勾股定理得0G=JW+BG-=卜+用=|,

：.FG=2OG=^,：.FQ'=OQ'+OG+FG=l+^+y=6,:.CE最大=；F0=3.故答案为：3.

【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆的基本知

识，确定出点。的运动路径、求CE的最大值转化为求网2的最大值是解题的关键与难点.

11.（2024・四川泸州•二模）如图，正方形ABCD的边长为5,以C为圆心，2为半径作。C,点尸为。。上

的动点，连接3P,并将3P绕点B逆时针旋转90。得到3P,连接CP,在点尸运动的过程中，CP长度的

最大值是.

【答案】5应+2/2+50

【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理，三角形全等的判定与性质，旋转的性质和最大值问题.连

接AP',CP,证明△•小△。5尸(SAS),得到AP'=CP=2,点P在以A为圆心，2为半径的上，当P，

在对角线C4延长线上时，CP最大，再利用勾股定理求对角线C4的长，即可得出CP长度的最大值.

【详解】解：连接AP',CP,•.,正方形ABCD,AB=3C,ZABC=90°,

将BP绕点8逆时针旋转90°得到BP',：.BP,=BP,NPBP=90°,ZABP'=90°-ZABP=ZCBP,

△ABPNACBP(SAS),AP=CP=2,.,.点P在以A为圆心，2为半径的。A上，

如图，当P在对角线C4延长线上时，CP最大,

在RtAABC中，AB=BC=5,：.AC=^AB2+BC2=572-

即CP长度的最大值为AC+AP=5亚+2，故答案为：55/2+2.

12.(23-24九年级上•江苏无锡•期中)如图，A是。8上任意一点，点C在。8外，已知AB=2,BC=4,AACD

是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为

D

【答案】46+4

【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形面积的计算，找出点。的位置变换是解题的关键.

如图所示，以3C为边作等边连接OE,可证△OCE/△ACB(SAS),可得DE=AB=2,点。在以

点E为圆心的圆上，且半径DE=2,过点E作EF13C于点尸，即砂是的垂直平分线，当点。在所

上其在点E的上方时，△BCD的面积的最大值，根据等边三角形，含30。角的直角三角形的性质可求出E尸，

的值，根据三角形的面积即可求解.

【详解】解：如图所示，以为边作等边连接DE,

AACD是等边三角形,：.ZACD=ZACE+ZECD=60°,

ABCE是等边三角形，NBCE=ZBCA+ZACE=60°,

：.ZBCA=ZECD,且OC=AC,EC=BC,AAr>CE^AACB（SAS）,：.DE=AB=2,

.•.点£>在以点E为圆心的圆上，且半径。E=2,过点E作EFI3c于点尸，即所是3C的垂直平分线，当

点。在所上其在点E的上方时，△BCD的面积的最大值，

...在△■BCE中，BC=CE=BE=4,ZBCE=60°,EFJ.BC,：.CF=BF=-BC=-x4=2,

一22

?.EF=y/3CF=273,且£）E=2,ADF=EF+DE=2y/3+2,

S&BCD=|BC.DF=1x4x（273+2）=4A/3+4,故答案为：473+4.

13.（2024・浙江绍兴•九年级统考期末）如图，在RdABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=6,BD=2,以

点B为圆心，8。长为半径作圆，点E为上的动点，连结EC,作尸CLCE,垂足为C,点尸在直线BC

的上方，且满足CF=1CE,连结2足当点E与点D重合时，2尸的值为.点E在。8上运动过程中，

8尸存在最大值为.

【答案】2M3A/5+1/1+3A/5

【分析】根据题意可知当点E与点。重合时，点尸在AC上，且可求出CE的长，从而可求出CF的长，即

在吊ABCF中，利用勾股定理求出8b的长即可；连接ARBE,由题意即可求出g=县=1.再根据

BCCE2

ZACF+ZACE=90°,ZBCE+ZACE=90°,可得出NACF=N3CE,即证明△ACF〜△BCE,得出

AF1

—从而可求出AF的长，即说明点F在以点A为圆心，半径为1的圆上运动.则可知当点尸在8A

BE2

的延长线上时8月最大，最大值为AF+AB.在Rt&4BC中，利用勾股定理求出A3的值，即得出答案.

【详解】根据题意可知，当点E与点。重合时，点尸在AC上，如图，

VCE=BC-BD=6-2=4：.CF=-CE=2.

f2

・・・在及△区。尸中，BF=hc2+CF2=后+22=2M；如图，连接A尸、BE

AC_3_j_・

CF=-CE,CF

BC-6_22

VZACF+ZACE=90°.ZBCE-^-ZACE=90°,：.ZACF=ZBCE,

;BE=BD=2,AAF=^BE=1,即AF的长为定值..•.点尸在以点A为圆心，半径为1的圆上运动.

，当点尸在84的延长线上时8P最大，且值为AF+AB.

在RIAMC中，AB=VBC2+AC2=7^77=375-=1+3^5.故答案为：2回，1+3石.

【点睛】本题考查勾股定理，三角形相似的判定和性质，较难.利用数形结合的思想是解答本题的关键.在

解决第二个空时，证明出点尸在以点A为圆心，半径为1的圆上运动是关键.

14.（23-24九年级.重庆.阶段练习）如图，AB=4,O为筋的中点，。。的半径为1,点尸是0。上一

动点，以PB为直角边的等腰直角二角形PBC（点P、B、C按逆时针方向排列），则线段AC的长的取

值范围为.

【答案】42<AC<342

【解答】解：如图，作OKLAB,在OK上截取==连接心、BK、KC、OP.

■.■OK=OA=OB,OKLAB,:.KA=KB,ZAKB=90°,

」.AAXB是等腰直角三角形，-.-ZOBK=ZPBC,;.NOBP=NKBC,

..空=型=显，.bOBps^KBC,—=—=41,TOP=1,

BKBC2OPPB

，KC=0,二点C的运动轨迹是以点K为圆心，KC为半径的圆，AK=42OA=2^2,

二AC的最大值为30,AC的最小值也，，岳J4C30.

15.