抽象函数的定义域、求值、解析式、单调性、奇偶性的应用（5大题型）-2025年高考数学复习热点题型专项复习（解析版）

热点题型•选填题攻略

专题03抽象函数的定义域、求值、解析式、单调性、奇偶性

的应用

o-----------题型归纳•定方向-----------♦>

目

题型01抽象函数的定义域.......................................................................1

题型02抽象函数求值...........................................................................3

题型03抽象函数的解析式.......................................................................6

题型04抽象函数的单调性......................................................................10

题型05抽象函数的奇偶性......................................................................15

♦>----------题型探析,明规律-----------♦>

题型01抽象函数的定义域

【解题规律•提分快招】

抽象函数定义域的确定

所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是

注意对应法则。在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致

的，都在同一取值范围内。

抽象函数的定义域的求法

(1)若已知函数/(x)的定义域为[a,b],则复合函数/(g(x))的定义域由a空(x)@求出.

⑵若已知函数/(g(x))的定义域为[a,b],则/(x)的定义域为g(x)在加时的值域.

注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用

集合或区间来表示.

【典例训练】

一、单选题

1.(24-25高三上•贵州六盘水•期末)已知函数的定义域为[-1,3],则函数/(2x-1)的定义域为()

A.[-3,5]B.[-1,1]C.[0,4]D.[0,2]

【答案】D

【分析】由抽象函数的定义域列不等式即可得解.

【详解】函数"X）的定义域为[T3],

所以-L42x-1*3,

解不等式得0Wx42,

即函数〃2x-l）的定义域为[0,2],

故选：D

5fix}

2.（24-25高三上•陕西咸阳・期中）已知函数》=/（3]+2）的定义域为[-下1],则函数,=半"的定义域为

3y/x-1

（）

A.（1,5]B.[1,5]C.[-|,1]D.（2,5]

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域，结合复合函数定义域列式求解即得.

【详解】由函数y=/（3元+2）的定义域为[-*1],得则—3W3X+2W5,

即y=/（x）的定义域为[-3,5],在函数y=5当中，由解得

Vx-1[X-1>0

所以所求函数的定义域为（1,5].

故选：A

3.（24-25高三上•云南昆明•期中）已知函数〃x-3）的定义域是[-2,4],则函数〃2x-l）的定义域是（）

A.B.[—5,7]C.[—9,1]D.[—2,1]

【答案】D

【分析】由函数/（x-3）的定义域求出的定义域，进而求出函数/（2x-l）的定义域.

【详解】因为函数“X-3）的定义域是[-2,4],

所以函数的定义域是[-5』,

令—5V2x—l<l,所以

所以函数〃2尤-1）的定义域是42』.

故选：D.

4.（24-25高三上•上海•阶段练习）已知函数”力的定义域为[0,3],则函数/（2工-1）的定义域为（）.

A.[1,4]B.[0,2]C.[0,4]D.[1,2]

【答案】B

【分析】根据抽象函数的定义域及指数函数的性质求解即可.

【详解】因为函数“X)的定义域为［0,3］,

所以0W2TW3,解得0VxV2,

则函数〃2:1)的定义域为［0,2］.

故选：B.

5.(24-25高三上•陕西咸阳•阶段练习)已知函数/(x-1)的定义域为(-8,3］,则函数/［亡)定义域为()

A.[1,2]B.[1,2)

C.(-oo,l]u[2,+oo)D.(-co,l].(2,-H»)

【答案】D

【分析】根据抽象函数的定义域求法列不等式得到片42,然后解不等式即可.

2-x

【详解】/(X-1)中，令X43,贝！|x—142,

所以/〔事)中二V2n-4。=尸(7(2-尤)比

2-x2-x12—尤wO

解得xWl或兀＞2.

故选：D.

题型02抽象函数求值

【解题规律•提分快招】

一般采用赋值法，0』，尤,-尤是常见的赋值手段

【典例训练】

一、单选题

1.(24-25高三上.福建泉州.阶段练习)若对任意的x,yeR,函数〃力满足今@=〃x)+〃y),则/⑴=

()

A.6B.4C.2D.0

【答案】D

【分析】利用赋值法即可求解.

【详解】令x=y=o,则F=/(o)+f(o)，解得〃0)=。，

令x=l,y=O,贝!］乎=〃1)+〃0),故/⑴=0,

故选：D

2.(24-25高三上•广东深圳•期中)已知函数/Q)的定义域为(0,+8),Vx,ye(O,+®),都有

(B=/(x)-『(y)+l,且=则〃512)=()

A.-6B.-7C.-8D.-9

【答案】C

【分析】令x=y=l可得”1),令y=2无可得〃2),代入计算，即可得到结果.

【详解】当x=l,>=1时，/(1)=/6-/(1)+1,所以『(1)=1；

令y=2x得〃2x)=/(x)-l,所以7'(2)=/(1)-1=0；

f(22)=/(2)-l=-l,/(23)=/(22)-1=-2,

/(24)=/(23)-1=-3,....

/(512)=/(29)=/(28)-l=-8.

故选：C.

3.(24-25高三上•广东江门•阶段练习)函数/(x)满足对任意的实数x,y,均有f(尤-=/(尤)片。,

且了⑴=；，/(2)1/(3)1/(4)1।6(2025)

)

/(I)/(2)/(3)/(2024)

A.1014B.1012C.2024D.2025

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用赋值法可得骑4/⑴，由此计算得解.

【详解】依题意，对于V/N*,取％=〃+l,y=l,得/⑺"⑴=/(〃+1),而75)w。，

因此钳阿，所嚅号瑞…卷H-2.

故选：B

4(24-25高三上•山东潍坊•期中)已知定义在R上的函数〃%)满足"％-y+1)-〃x+y+l)=〃x)/(y),

且"1)=2,则/(2)+/(3)+/(4)=()

A.2B.0C.-2D.-4

【答案】C

【分析】分别对X、y赋值，结合已知条件分别求出7(3)、/(2),/(4)的值，即可得解.

【详解】令x=y=l可得/(1)_〃3)=/(1)•/⑴，即2_“3)=2'解得/(3)=—2,

令x=l,y=0可得〃1)〃0)=〃2)-/(2)=0,贝！J〃0)=0,

令x=0,y=l可得/(0)-/(2)=/(0)/⑴=0,则〃2)=/(0)=0,

令x=2,>=1可得“2)-"4)=/'⑵〃1)=0,可得〃4)=〃2)=0,

因此，/(2)+/(3)+/(4)=-2.

故选：c.

5.(24-25高三上•黑龙江•阶段练习)已知/(x)是定义在R上的函数，且〃x+l)-/a)=l+〃x+l)〃x),

f(l)=2,贝iJ/(2024)=()

£

B.-3CD.

A.-2-I~2

【答案】C

l+/(x)

【分析】借助赋值法令X=O可得“0)即可得〃尤+1)5荷'再借助赋值法计算可得函数周期,

利用所得周期计算即可得解.

【详解】因为〃龙+1)-〃力=1+/(尤+1)/(力,

所以当x=0时，〃1)一/(0)=1+〃1)〃0),又"1)=2,所以/(o)=g.

又由“x+l)-〃x)=l+/(尤+l)〃x),可得/(尤+1)=^^，

1J+/(x)

5(叽__1

所以/(x+2)=/((x+l)+l)=

।1+〃同一“司

1-〃尤)

〃X+4)=〃(X+2)+2)=_〃L)=——=

故函数〃x)是以4为周期的函数，所以"2024)=〃0)=g.

故选：C.

6.(24-25高三上•湖南•阶段练习)定义在(0,+向上的函数满足条件①Vxe(O,+w),〃X)H0,②

Vx,ye(O,—),/(xy)=1/(x)/(y),y)=,则(目的值为()

2r4r8

AA.—B.—C.—D.一

5525

【答案】B

【分析】令》=>=1求出”1),即可求出“2),再令x=y=g求出最后根据/(|，/12+£|计

算可得.

【详解】Vx,ye(O,4w),/(xy)=1/(x)/(y),

令x=y=l,得/⑴=g/⑴，X/(l)^0,/./(1)=2,

"1)"⑴

/(2)=/(1+1)==1,

1

再令尤=y=J,/(1)=12〃1)=4,

心+了12I

4

5

故选：B

题型03抽象函数的解析式

【解题规律•提分快招】

抽象函数的模型

【反比例函数模型】

反比例函数：—怒光?则"X)=R均不现

【一次函数模型】

模型1：若/(X士y)=/(x)±/(y),则/(%)=/⑴%；

模型2：若/(%士y)=/(x)±/(y),则/(x)为奇函数；

模型3：若/0+)0=/(%)+/0)+%则/(%)="(1)+词4_加；

模型4：若于(x-y)=模型--(y)+m,则/(x)=[/(l)-m]x+m；

【指数函数模型】

模型1：若/(x+y)=/(x)/(y)，则/(》)="⑴]'；/(%)>°

模型2：若/(x—y)=04,则/(x)=[〃l)'/(x)>0

/(y)

模型3：若/(x+y)=/(x)/(y)m,则⑴问；

m

模型4：若/(x-y)=m~~~，则/(x)=m‘°)；

/(y)m

【对数函数模型】

模型1：若/(/)=叭处，则”x)=〃a)logaX(a>Cl0.wLx>0)

模型2：若/(取)=/(%)+/(y),则/(x)=/(a)k>gaX(a>(lliLwLx,y>0)

Y

模型3：若/(一)=/O)—/(>),则/(%)=/(。)108。%(。>0且/1,羽丁>0)

模型4：若/(盯)=/(x)+/(y)+m,则/(x)=[/(a)+加]log°x—"(「>0且-l,x,y>0)

模型5：若/(：)=/(x)—/(y)+〃z,则/(x)=[〃a)-/"]log“x+Ma>(KwL],y>0)

【暴函数模型】

模型1：若/(盯)=/(x)/(y)，则/(x)=/(a产”(。>0且wl)

模型2：若〃不)=端，则/(%)=/(。产”(。>0且hi,yHO,/(y)HO)

代入/(a)则可化简为幕函数；

【余弦函数模型】

模型1：若/(%+丁)+/0—丁)=2/0)/(}0(/(%)不11亘为0),则/(x)=coswx

模型2：若/(乃+/(丁)=2/(三)/(宁乂/(均不恒为0)，则/(x)=coswx

【正切函数模型】

模型：若/(X土y)=r；：，(；))(/(x)/(y)wl)，则/(x)=tanwx

一2

模型3：若/(x+y)+/(x—y)=4(x)/(y)(/(x”P^M)),贝i]/(x)=^coswx

K

【典例训练】

一、填空题

1.(23-24高三上•江西南昌•阶段练习)已知函数/(X)满足〃x+2)=〃x)+l,则/•(%)的解析式可以是

(写出满足条件的一个解析式即可).

【答案】〃x)=gx(答案不唯一)

【分析】利用待定系数法求解即可，若设/("=依，然后代入化简求出a即可.

【详解】设/")=依，由〃x+2)"(x)+l,

代入可得，a(x+2)=ax+\,解得a=；,

，〃尤）=吴

故答案为：〃X）=g尤.（答案不唯一只要正确即可）

2.（23-24高三上•辽宁辽阳•期中）已知“X）是定义在（0,+8）上的单调函数，且V尤e（0,-）,

/（仆）一4）=6,贝1］/（100）=.

【答案】14

【分析】由单调函数的性质，可得-4为定值，可以设r=〃x）-«,贝！1/（%）="«,又由/。）=6,

可得了（X）的解析式求“100）.

【详解】Vxe（O,田），/（〃司-«）=6,/（%）是定义在（0,+向上的单调函数，

则/㈤-6为定值,设£=/（力-«,则f（x）=/+«,

f（t^=t+\/t=6,解得f=4,得/（x）=4+^/^,

所以/'（100）=4+A/I53=14.

故答案为：14.

3.（23-24高三上•湖北•期末）函数〃x）满足/（x）+（£|=0,请写出一个符合题意的函数的解析

式■

【答案】/（^）=log2X（答案不唯一）

【详解】＜/（x）=log2x,

则“X）+/L=log2x+log21=log2，曰=log?1=°，满足题意.

故答案为：/（x）=log2X（答案不唯一）

4.（24-25高三上•北京•期中）写出同时满足以下两个条件的一个函数/（»=—.

①Vx,yeR,/3）=/（x）/（y）；

@\/x,、＜0收）且无二丁，/.

【答案】V（答案不唯一）

【分析】根据条件可知二次函数可以满足其要求.

【详解】令〃力=无2,则〃孙）=（孙7二//=/⑴八封，满足条件①；

vx,好［0,田）且中几〃x）+"y）=:+，2＞/+/+2孙/虫口/一］,满

足条件②;

故答案为：丁(答案不唯一)

5.(2025高三・全国・专题练习)设是定义在R上的函数，且满足对任意无，儿等式

/(2y-力=-2/⑴+3y(4x-y+3)恒成立,贝f(x)的解析式为.

【答案】/(x)=3x(x+l)

【分析】通过令y=x代入即可求解

【详解】/(X)是定义在R上的函数，且对任意见％/(2支耳=一2/(尤)+3乂©-〉+3)恒成立，

.•.令y=x,得〃2x-x)=-2/(x)+3x(4x-x+3),即

/(x)=-2/(x)+3x(3x+3),.，.3/(尤)=3x(3x+3),.1/(x)=3x(x+l).

故答案为：〃x)=3x(x+l)

6.(23-24高三上•浙江杭州・期末)写出一个同时具有性质①对任意。＜玉＜%,都有/a)〉/(%);②

/(孙)=f(x)/(y)的函数〃x)=.

【答案】-(答案不唯一)

X

【分析】根据函数的单调性，结合/(盯)=/(x)/(y)及常见的函数特点即可得结果.

【详解】因为对任意。＜玉＜天2,都有〃药)＞〃9),即函数“X)在(0,+8)内单调递减，

由于/(孙)=f(x)/(y),即可取〃无)=!，

故答案为：-(答案不唯一).

X

7.(23-24高三上•海南海口・期末)已知函数〃x)的定义域为R,且/(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y),〃0)=l,

请写出满足条件的一个/("=(答案不唯一).

【答案】19COSX(答案不唯一)

【分析】根据所给条件分析函数为偶函数，取特殊函数可得答案.

【详解】令x=0,贝！+y)=2〃o)〃y),

又"0)=1,

所以+〃-y)=2〃y),BP/(-y)=f(y),

所以函数为偶函数，

不妨取偶函数”x)=l,贝!I/(x+y)+/(x—y)=l+l=2xlxl=2/(x)/(y),

也可取/(x)=cos%,贝！1coscx+y)+cos(%—y)=2cosxcosy,满足题意.

故答案为：1,COS%(答案不唯一)

8.(2024.陕西铜川.三模)已知函数是定义域为R的偶函数，且/(尤+1)为奇函数，写出函数/(X)的

一个解析式为“X)=.

【答案】COSy(答案不唯一)

【分析】由/(x+1)为奇函数可得/(%)的图象关于点(1,0)中心对称，结合偶函数的性质可构造

〃X)=COS最符合题意.

【详解】由"X)为偶函数，知"X)的图象关于，轴对称；

由/(X+1)为奇函数，知/(尤)的图象关于点(1,0)中心对称，

据此构造函数〃x)=cos£,则/⑺是偶函数；

〃x+l)=cos仁卜-si嗒为奇函数,符合题意.

故答案为：COSy(答案不唯一).

题型04抽象函数的单调性

【解题规律•提分快招】

抽象函数的性质

1.周期性：f(x+a)=f(x)=>T=a；/(%+a)=-/(x)^>T=2a；

f(x+a)=>=>T=2a；(左为常数)；f(x+a)=f(x+b)=^T=|a-/?|

J\x)

2.对称性：

对称轴：f[a-x)=/>(a+尤)或者f(2a-x)=/(x)=>/"(x)关于x=a对称；

对称中心：/(。一%)+/(。+%)=2。或者/(2/-％)+/(%)=26n/(%)关于(a,对称;

3.如果/(X)同时关于x=a对称，又关于(反c)对称，则/'(x)的周期T=|a—4

4.单调性与对称性(或奇偶性)结合解不等式问题

①/'(x)在R上是奇函数，且/'(X)单调递增n若解不等式/(XJ+/(%2)>0,则有

%]+%>°；

/(X)在R上是奇函数，且/'(X)单调递减n若解不等式/(%1)+/(%2)>0,则有

再+%<°；

②/'(X)在R上是偶函数，且y(x)在(0,”)单调递增n若解不等式/(%1)>/(%,),则有归|〉同(不

变号加绝对值)；

/(x)在R上是偶函数，且/V)在(0,”)单调递减n若解不等式/(x1)>/(x2),则有忖|<冈(变号

加绝对值)；

③/'(%)关于(。，")对称,且/"(x)单调递增n若解不等式f(xl)+f(x,)>2b,则有

x1+x2>2a；

/(x)关于(a,b)对称，且/(x)单调递减n若解不等式/(^)+/(%2)>2Z?,则有

玉+%<2。；

④/"(x)关于x=a对称，且/"(x)在(a,+。。)单调递增=>若解不等式/(%1)>/(x2),则有忖>怛一。|

(不变号加绝对值)；

/(X)关于x=a对称，且/(X)在(a,y)单调递减n若解不等式/(x1)>/(x2),则有忖—&<上—4

(不变号加绝对值)；

【典例训练】

1.(24-25高三上•河北石家庄•阶段练习)已知〃x)是奇函数，g(x)是偶函数，且

2

fM+g(x)=^—+2x-3,贝I不等式/(3—2x)>/(x+2)的解集是()

A.B.&+弓C.1-昌(5,+WD.[1,5]

【答案】A

【分析】由函数的奇偶性求出了(尤)，再利用函数的单调性解抽象函数不等式即可；

【详解】因为/(x)+g(x)=二二+2x2-3①，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，

—XX-xX

贝(Jf(-x)+g{—x)=----F2%2—3,即—f(x)+g(x)=----F2x2—3②，

由①②可得"x)=£，，

px_p-x

因为函数>=^、y=-e，均为R上的增函数，所以，函数八x)=35J为R上的增函数，

由/'(3-2x)>/(尤+2),可得3-2x>x+2,解得x<；.

因此，不等式"3-2》)>，。+2)的解集是卜夕£|.

故选:A.

2.(湖北省武汉市问津教育联合体2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题)已知函数/(x)是定义在

[T4]上的偶函数，在[TQ]上单调递增.若2),则实数尤的取值范围是()

A.(—oo,—3),(1,+co)B.(—3,1)C.［—3,1)(3,5］D.［-5,-3)(1,3］

【答案】D

【分析】由偶函数性质得出函数在2,4］上单调性，再由偶函数性质变形不等式，然后由单调性化简后求解.

【详解】函数八可是定义在［T,4］上的偶函数，在［T,0］上单调递增，则在［0,4］上单调递减，

〃》+1)<〃-2)化为/(卜+1|)</(2),即:吧［：<4,解得一5Wx<—3或3">1,

故选：D.

3.(24-25高三上•福建泉州•期中)已知函数"x)=eA3_e3r+x,则满足〃2机-2)+"租-1)>6的实数加

的取值范围是()

A.g+JB.||',+00］C.D.(3,+oo)

【答案】D

【分析】构造函数g(x)=f(x+3)-3,分析其奇偶性和单调性，再解不等式即可.

【详解】令g(x)=/(x+3)-3=e，-er+尤，贝!)g(—x)=葭—e*-x=-g(x),且定义域为R,

所以g(x)为奇函数，

因为函数y=Qx,y=-cx,y=x在R上均为增函数，

所以函数g(x)在R上为增函数，

因为/(2加一2)=g(2加一5)+3,/(加一1)=g(m—4)+3,

所以原不等式可转化为g(2加-5)+g(机-4)>0,

即g(2/?i-5)>-g(/?t-4)=g(4-m),

由单调性可得2加-5>4-7",解得〃z>3,

所以实数机的取值范围是(3,包).

故选：D.

【点睛】关键点点睛：构造函数g(x)=/(x+3)-3,再根据函数的奇偶性和单调性解不等式，是解决本题

的关键.

4.(23-24高三上•浙江杭州•期末)若定义在R上的奇函数f(x)在(-8,0)上单调递减，且"3)=0,则满足

4(x-2”。的天的取值范围是()

A.[-1,0][5,+8)B.[-2,-1]|[0,5]

C.[—2,0][5,+co)D.[-1,0][2,5]

【答案】D

【分析】根据给定条件，求出F(x)的单调区间,由奇函数性质分段求解不等式即可得出答案.

【详解】在R上的奇函数在(-8,0)上单调递减，则〃元)在(0,+8)上单调递减，且，(。)=。,

/(—3)=—/(3)=0,当％£(—8,—3)u(0,3)时，/(x)>0,当％£(—3,0)(3收)时,/(x)<0,

,fx<0_fx>0

由4(x-2)20,得)<n或n<℃或“=°'

解得-14x<0或2VxV5或尤=0,因此-LW.xWO或2VxV5,

所以满足-2)2。的x的取值范围是[-1,0][2,5].

故选：D

5.(24-25高三上•河北邢台・期末)已知函数是定义在R上的减函数，且〃%-1)-2为奇函数，对任意

的14-2,3],不等式/(〃—)+/(/—1/4恒成立，则实数/的取值范围是()

3

A.(-8,3]B.—00,—

4

C.[13,-KO)D.[-j+s]

【答案】B

【分析】设g(x)=〃xT)—2,把/(a一)+/(〃_1)<4转化成g(a-+l)+gS)VO,再结合函数g(x)的

奇偶性，把不等式转化成gSy+l)4g(F2),再结合g(尤)的单调性，得到°—+分离参数，根

据二次函数的性质，可求实数I的取值范围.

【详解】令g(x)=/(尤—1)-2,贝！]〃x)=gG+l)+2,

由-1)V4,可得g(“T+l)+2+g(〃-1+1)+244,

即g(a-t+l)+g(a2)<0,g(a-t+l)<-g(a2)^g(-a2).

因为/(x)是定义在R上的减函数，所以g⑴也是定义在R上的减函数，

故CL-1+1之一a29即(CI+—.

因为。«-2,3],所以区，即实数/的取值范围是，与：.

故选：B

6.(24-25高三上・甘肃天水・期末)函数“X)的定义域为。，若对于任意的网,马€。，当王<吃时，都有

)4/(9),则称函数〃%)在。上为非减函数.设函数在[0』上为非减函数，且满足以下三个条件:

①/(0)=0;②/'1齐⑺；③〃1T)=1—“X).则/g]+<£|等于()

1B.」2

A.C.—D.

1282565124

【答案】D

【分析】根据题设条件可得1以及从而可得/&]=；和/e）=/a]=：,根据

不＜%时，都有/国）＜4%）可得了\上（jv/、｝从而可求/（j的值后可得u的值.

【详解】函数〃x）在[0』上为非减函数,

①"0)=0,③/(l-x)+/(x)=l,

令工=0,得/（1）=1；令尤=

令X=l,得1=2/〔IH

令X=；,得/

当&＜4时，都有/1（%）〈/（尤2），1＜：＜）,

9oo

故选：D

【点睛】关键点点睛：抽象函数的函数值的计算，解题的关键点是注意根据不等关系求确定的值，一般用“夹

逼”的方法（如.

7.（24-25高三上•江苏•期末）已知/（X）是定义在R上的偶函数，若%,%«0,+®）且x产尤2时，

＞3（%+々）恒成立,“1）=3,则满足〃/+小3（/+耳2的实数x的取值范围为（）

-I-A/5-1+V51r,-F-l+Vsl小，1

A.-B.[-1,1]C.0,^^D.[0,1]

【答案】A

【分析】利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性来求得x的取值范围.

【详解】设可＞%，由"%-＞3（西+灰）,

xl—x2

得/（%）-"/）＞3（%+々）（％-々）=3任一期,所以〃石）一3V＞/（可）一3",

令g(x)=/(x)-3X2,则g&)>g(w),

所以函数g(x)在[0,+8)上单调递增，

因为/(无)是定义在R上的偶函数，所以/■(-%)=/(X),

所以对任意的xeR,g(-x)=/(-x)-3(-x)2=/(%)-3x2=g(x),

所以，函数g(x)为R上的偶函数，且g(l)=/。)—3xF=3—3=0,

S/(X2+X)<3(X2+X)2,可得/(/+同-3卜2+440,即g(d+x)Vg(l),

即卜一+耳《1,所以-IVJT+XWI,即I2,n>解得xe—；—，一--•

11[x+x+l>022

故选：A

【点睛】方法点睛：形如"无‘A"")的已知条件,往往是给出函数的单调性，可以利用函数单调性的定

玉—x2

义来进行求解.利用函数的单调性和奇偶性来求解不等式，可将不等式转化为函数不等式的形式，然后结合

单调性、奇偶性去掉函数符号，再解不等式来求得答案.

题型05抽象函数的奇偶性

【典例训练】

1.(24-25高三上•江苏扬州•期中)已知函数y=〃x)对任意实数x,y都满足

2/(%)/(y)=/(x+y)+/(x-y),且/。)=一1,/(0)^0,则函数“力是()

A.奇函数B.偶函数

C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数

【答案】B

【分析】用赋值法，先令元=y=o求得/(0),再令*=。求解后即可判断.

【详解】在2〃x)[(y)"(x+y)+〃x7)中,

令无=y=0,贝!]2/(0)=/(0)+/(0),又“0)4,所以"0)=1,

令x=0得2/(0)/(得=f(y)+f(-y),所以f(y)=

所以，(尤)是偶函数，

故选:B.

2.(24-25高三上•山东济宁・期中)己知函数的定义域为R,满足〃x+y)-"(x)+〃y)]=2024,则

下列说法正确的是()

A.〃尤)是偶函数B.“X)是奇函数

C./(x)+2024是奇函数D./(x)+2024是偶函数

【答案】C

【分析】根据抽象函数，利用奇偶函数的性质直接判断即可.

【详解】因为〃x+y)—[〃x)+〃y)]=2024,

所以令x=〉=0,可得〃0)=一2024,

令丫=-%,贝！|/(0)-〃2-〃-0=2。24,

所以〃T)=—/⑺―4048,

则/(彳)既不是奇函数又不是偶函数，

且f(-%)+2024=-[〃司+2024],

所以〃力+2024是奇函数.

故选：C

3.(18-19高三・全国•课后作业)已知对任意x,yeR,都有/("+且〃°)片0，

那么“X)()

A.是奇函数但不是偶函数B.既是奇函数又是偶函数

C.既不是奇函数也不是偶函数D.是偶函数但不是奇函数

【答案】D

【分析】令x=y=o,结合〃。户。可求得〃o)的值，再令y=f即可判断的奇偶性.

【详解】令x=y=o,有2〃0)=2〃0)"(0),

因为〃。)ao,所以〃。)=1,

再令y=—x,得：/(^)+/(-x)=2/(O)-/(x)=2/(x),

所以〃—x)=/(x)，又XWR,

所以是偶函数.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：抽象函数的奇偶性的判断，根据所给的等式进行取值是解题的关键.

4.(23-24高三下•河南洛阳•期末)已知函数〃x)的定义域为R,f®f®-f(a)=ab-b,贝l]()

A./(0)=0B.41)=2C.-1为偶函数D.〃x)-l为奇函数

【答案】D

【分析】对于A,令6=0,可求出/(0)进行判断，对于B,令a=b=\,可求出了⑴进行判断，对于CD,

令“=0力=彳，可求出f(x),从而可求出了(司-1,进而可判断其奇偶性.

【详解】对于A,令b=0,则=得〃。)"(0)-1]=0,

所以/(。)=。或"0)=1,

当/(“)=。时，〃“)/(6)-〃。)=向-6不恒成立，所以"0)=1,所以A错误，

对于B,令a=b=l,则〃1)〃1)-〃1)=0,得/(1)"(1)-1]=0,

所以/⑴=0,或"1)=1,

由选项A可知了(1)/0,所以/■⑴=1,所以B错误，

对于CD,令。=0*=x,贝(IH0)〃X)_〃0)=T,由选项A可知"0)=1,

所以/(x)=l-x,所以/(x)T=l-x-l=r,

令g(x)=f(x)-l=-x,贝!Ig(-x)=X=-g(x),

所以g。)为奇函数，即/(x)-l为奇函数，所以C错误，D正确，

故选：D

5.(多选)(24-25高三上广东•阶段练习)已知函数“X)满足〃x+l)〃y+l)=〃x)〃y)+〃x)+〃y)+l,

且/(o)=o,y(i)>o,则()

A./(-1)=-1B./(x+l)=/(x)+l

C.不可能是奇函数D.在[0』上单调递增

【答案】AB

【分析】利用赋值法和举例法即可逐个选项进行判断.

【详解】对于A,取尤=y=-l,得〃T)X〃-1)+2〃-1)+1=[〃-1+1)T=0,

所以/(—1)=T,A正确；

对于B,取x=y=0,得卜⑴[2=1,X/(l)>0,

所以“1)=1,令y=0,得/(x+l)=/(x)+l,B正确；

对于C,若/'("=无满足/(x+l)/(y+l)=/(x)/(y)+/(x)+〃y)+l,C错误；

对于D,取〃力=国(区表示不超过x的最大整数)，则〃x+l)=/(x)+l,

从而有/(尤+i)/(y+l)=/(尤)/(y)+/(x)+/(y)+i,

当xe[0,l]时，/(x)=0,D错误.

故选：AB

6.(24-25高三上•安徽宿州•期中)已知定义在(-8,0)(0,+8)上的函数“X),满足〃》)+2=〃x)+〃y),

且当尤>1时，/(无)>2,则下列说法错误的是()

A.〃-1)=2B./(尤)为偶函数

C.f(-2025)</(-2024)D.若/(x+2)<2,则一3Vx<-1

【答案】C

【分析】A选项，先令x=y=l,可得"1)=2,再令x=y=T,可判断选项正误；

B选项，令》=-1,结合/(无)定义域可判断选项正误；

C选项，由题可判断在(0，+力)上单调递增，后由B选项分析可判断选项正误；

D选项，由ABC选项可解不等式〃x+2)<2.

【详解】A选项，在/(孙)+2=〃x)+/(y)中，令尤=y=l,

得/(1)+2=/(1)+〃1),解得"1)=2；再令x=y=T,

得/。)+2=/(-1)+/(-1),解得f(-l)=2,故A正确；

B选项,令y=-l,得/(-x)+2=/(x)+〃-1),所以f(一x)=f(x),

又的定义域关于原点对称，所以“X)是偶函数，故B正确；

C选项，设0<为<超，则/=垣>1,所以/(。>2,

x\

所以/(々)=/的)=/(。+/(%)-2>/(%),

所以/⑴在(0,+8)上是增函数，因为/⑴是偶函数，

所以/⑴在(-8,0)上是减函数，从而-2025)>”-2024),故C错误；

D选项,因为/⑺是偶函数,则/'(尤+2)<2o/(|x+2|)<〃l),

又在(0,+8)上是增函数，所以k+2|<1,解得-3<x<-l,故D正确.

故选：C.

舱----------题型通关•冲高考-----------♦>

一、单选题

1.(2024.山西.一模)已知函数〃尤)是定义在何*0｝上不恒为零的函数，若/3)=理+勺，则()

yx

A."1)=1B.=1

C.y(x)为偶函数D.为奇函数

【答案】C

【分析】根据题意，令x、y取特殊值逐一验证四个选项即可.

【详解】令x=y=i,则/。)=2/⑴,故/⑴=o,A选项错误;

令x=y=-l,贝匹⑴=2/(-1),故〃T)=。，B选项错误；

令y=-1，则/(-耳=/6)+/0=/.),故〃尤)为偶函数，C选项正确；

因为“X)为偶函数，又函数/(X)是定义在｛RxwO｝上不恒为零的函数，D选项错误.

故选：C

3r

2.(24-25高三上•辽宁丹东•期中)已知函数〃司=(尤.2户+1，对于任意的，er[T，2],不等式

y(2r)+/(a+r)V2恒成立，则实数。的取值范围是()

A.(-00,-2]B.(YO,-10]C.[-3,+00)D.[7,+co)

【答案】A

3

【分析】令g(x)=炉，原不等式可转化为g⑵-2)+g(a+-2)W0,根据函数的单调性和奇偶性解不等式

即可求解.

3

【详解】令g(尤)=尤5,则f(x)=g(x-2)+l,

所以不等式y(2r)+y(a+t)<2可化为g(2f-2)+l+g(a+f—2)+lW2,

3

即g(2"2)+g(a+-2)40,因为g(元)=/是奇函数且在R上单调递增，

所以g(2t-2)<—g(a+t—i)=g｛—a—t+i),贝！]2r-2V-aT+2,

所以。〈一3f+4在"[-1,2]上恒成立，则aV-2,

即实数a的取值范围是

故选：A

3.(2024.河南.模拟预测)已知函数/(X)的定义域为R,对于任意实数x,y满足

/(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y),且/(1)=1,则下列结论错误的是()

A./(o)=2B.“X)为偶函数

c.“X)为奇函数D./(2)=-1

【答案】C

【分析】由条件等式通过取特殊值求/(0),/(2)由此判断A,D,再取特殊值确定/(x),/(-尤)的关系结

合函数的奇偶性的定义判断选项B,C.

【详解】因为Vx,yeR,/(%+y)+/(x-y)=/(x)/(y),

取x=I,y=0可得〃+=又/■⑴=1,所以/'(。卜？；A对；

取*=