二次函数的存在性问题（15种题型+9种解题方法）-2025年中考数学一轮复习（解析版）

第三章函数

重难点04二次函数存在性问题

（15种题型汇总+专题训I练+9种解题方法）

【题型汇总】

题型01二次函数角度存在性问题

角度存在性问题的解题步骤

已知特殊角度求解已知角度关系求解

第一步读题、画图、理解题意

第二步分析动点、定点，找不变特征

第三步确定分类特征，进行分类讨论

第四步已知特殊角度，构造一线三垂直、一线三等将角度进行转化:利用锐角三角函数、相似三角

角、直角三角形，再利用直角三角形、相似形或等腰三角形的性质、外角的性质等转化为

三角形边的比例关系去计算求解.常见的类型，再利用直角三角形、相似三角形

边的比例关系去计算求解.

【温馨提示】

1)角相等：若无明显条件，首选利用锐角三角函数值构造相等角(先求已知角)；

2)角度和差：可通过外角的性质、相似三角形的性质转化为相等角；

3)倍角：可通过外角的性质、等腰三角形的性质转化为相等角：

1)己知特殊角求解

1.(2023・四川自贡・中考真题)如图，抛物线y=-凳2+6%+4与％轴交于4(—3,0),B两点，与y轴交于点

(1)求抛物线解析式及B,C两点坐标；

(2)以4B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，求点。坐标；

(3)该抛物线对称轴上是否存在点E,使得N4CE=45。，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴抛物线解析式为？=一］2一声+%S(l,0),C(0,4)

⑵。(-2,-4)或。(一4,4)或。(4,4)

(3)E(-l,y)

【分析】(1)将点2(-3,0)代入抛物线解析式，待定系数法求解析式，进而分别令x,y=0,即可求得两

点的坐标；

(2)分三种情况讨论，当AB,4C,8c为对角线时，根据中点坐标即可求解；

(3)根据题意，作出图形，作AGLCE交于点G,F为力C的中点，连接GO,GF,则4。,。,G在OF上，根据

等弧所对的圆周角相等，得出6在)/=-x上，进而勾股定理，根据尸6=日建立方程，求得点G的坐标，进而

得出CG的解析式，即可求解.

【详解】(1)解：；抛物线)/=一(/+加:+4与\轴交于4(—3,0),

：x(-3)2-3b+4=0

解得：b=~l，

抛物线解析式为y=-|x2-|x+4,

当x=0时，y=4,

AC(0,4),

当y=0时，0=—1%+4

解得：%i=-3,x2=L

.,.5(1,0)

(2)V71(-3,0),S(l,0),C(0,4),

设。(nt,n),

•..以4,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形

当AB为对角线时，等-3+14+n0+0

222

解得：m=-2,n=-4

当AC为对角线时，蓦吧=等4+0_0+n

2-2

解得：m=-4,n=4

AD(-4,4)

当BC为对角线时，三产=等0+4_0+n

2-2

解得：m=4,n=4

；.D(4,4)

综上所述，以力，B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，D(—2,—4)或D(—4,4)或。(4,4)

(3)解：如图所示，作4G1CE交于点G,尸为AC的中点，连接GO,GF,

...△力GC是等腰直角三角形，

：.A,0,C,G在OF上，

•；4(一3,0),C(0,4),

：.F(--,2],AC=V71O2+CO2=5,GF^-AC=-

\2J22

V£.AOG=/LACG=45°,

・"在丫=一不上，

设G(t,—力，贝。GF2=(t+|)2+(_t-2)2=(1)2

=

解得：G=-/t20(舍去)

二点G(-99

设直线CG的解析式为y=/ex+4

.77.,.

，•一二——々+4

22

解得：fc=i

二直线CG的解析式y=+4

V4(-3,0),B(l,0),

，抛物线对称轴为直线x=等=-1,

当久=—1时,|x(-l)+4=-

【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，圆周角角定理，勾

股定理，求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键.

2.(2024•山东临沂・二模)如图，已知抛物线y=a久2一:。万一百的图象经过点。，OE=<3OC,C是ED的

中点，尸是抛物线上的一个动点，连接PD,设点P的横坐标为加

(1)求抛物线的表达式；

(2)若点尸在x轴上方的抛物线上运动，连接OP,当四边形OCDP面积最大时，求”的值；

(3)如图，若点Q在坐标轴上，是否存在点。，使NEDQ=75。，若存在，直接写出所有符合条件的点。的

坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(l)y=-V3x2+平x-V3

(2)n=j

(3)存在,(2(4V3-3,0)^(0,-2V3-3)

【分析】(1)根据OF=V3OC,求出E(-3,0).再根据C是ED的中点，求出。(3,-2百)，用待

定系数法求解即可；

(2)过P作x轴垂线交DE于F,求出设直线DE解析式，由P(n,—y/3n2+第zi-次)，得尸(n,-Rn-次)，

表示出PF,再根据S四边形=S^cp+SMCD表示出四边形面积，根据二次函数最值求解即可;

(3)分为①当点。在y轴上时，使NEDQ=75。，根据。E=WOC,求出NOEC=30。，过点。作DH||x轴

交y轴于点H,根据平行线性质得出NCDH=30°,再根据NEDQ=75°,得出NHDQ=45°,得出HQ=HD,

根据。(3,—2百)，求出HQ=3,OQ=28+3,即可求出点。的坐标；

②当点。在x轴上时，使NEOQ，=75°,延长Q。交x轴于点F,过点。作OE1x轴交无轴于点G,证明GF=

GD=2V3,求出FD,再根据NEDF=NFQ'O,证明△-△FOE,根据相似三角形的性质求出FQ',从

而求出0Q',即可求出点。的坐标，即可求解.

【详解】(1)解：:y=aM一-百,

.,.C(0,-V3),

"：OE=V3OC,

・・・E(-3,0).

•・・C是EO的中点，

・・・。(3,-2圾.

在y=ax2—1ax—百的图象上,

*'•-2=9a—8a—,

得。=—V3,

・•・y=—yj3x2+券％—V3.

(2)过P作x轴垂线交DE于F,

设直线=kx—V3,即0=3k—V3,

解得：卜=-持,

故解析式为：y=-弓x-陋,

2

由P(n,—y/3n+苧几—JW),得F(nt-^-n—g),

.・.PF=-V3n2+3V3n,

四边形=2

SS&OCP+S“CD=5XV3n+-PFx3=-n+5y/3nf

5

当四边形。COP面积最大时,

3

(3)解：①当点。在y轴上时，使NEOQ=75。,

VOE=V3OC,

BPtanzOCE=—=V3,

:•乙OCE=60°,

：.^OEC=30°,

过点D作轴交y轴于点H,

贝此CDH=乙OEC=30°,

■:乙EDQ=75°,

:.乙HDQ=75°-30°=45°,

:.乙HQD=45°,

：.HQ=HD,

根据（1）得。（3,-2①

：.HQ=HD=3,OQ=OH+HQ=2V3+3,

.•.点。的坐标为（0,—2b—3）；

②当点。在x轴上时，使NEDQ'=75。，

延长QD交x轴于点F,过点D作DG1x轴交x轴于点G,

贝此EDG=180°-30°-90°=60°,

贝此GDQ'=乙EDQ'-乙EDG=15°,^Q'DF=180°-75°x2=30°,

:.乙GDF=Z.GDQ'+乙FDQ'=45°,

•••4GFD=45°,

•••GF=GD=2V3,

FD=V2GD=2倔

•••4EDF=Z.EDQ'+乙Q'DF=105°,Z.FQ'D=180°-“'FD-乙Q'DF=105°,

.­.Z.EDF=乙FQ'D,

•••△FQrDFDE,

.FQr_DF

,,—,

FDEF

EF=OE+OG+GF=2V3+6,

即FQ，_2Vg

2V6-273+6（

FQ'=6-2V3,

OQ'=OF-Q'F=（3+2V3）-（6-2V3）=4百-3,

.•.点Q'的坐标为（4次一3,0）,

综上,Q（4V3-3,0）或（0,-28-3）.

【点睛】该题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一次函数解析式求解，

相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确理

解题意，数形结合.

3.（2024.山西大同.一模）综合与探究

如图，抛物线y=[/—2%—6与x轴交于点A和3,点A在点B的左侧，交y轴于点C,作直线BC.

图1备用图

（1）求点B的坐标及直线8c的表达式；

（2）当点。在直线BC下方的抛物线上运动时，连接。D交BC于点E,若器=*求点。的坐标；

（3）抛物线上是否存在点?使得N8CF=15。?若存在，直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）点8的坐标是（6,0）,直线BC的表达式是y=%-6；

（2）点D的坐标是（1,—或（5,-孑）；

（3）存在，点F的坐标是（4+2旧,4百）或（生产,空裂）・

【分析】（1）令y=0和x=0,解方程即可求得点8和点C的坐标，再利用待定系数法即可求解；

（2）作轴，垂足为H,交直线于点G,证明△DGEOCE,禾U用相似三角形的性质求解即可;

（3）分两种情况讨论，利用待定系数法和解方程组即可求解.

【详解】（1）解：令y=0,解方程一2%-6=0得％=-2或久=6,

・,•点3的坐标为（6,0）；

令久=0,则y=-6,

・••点。的坐标为（0,-6）；

设直线的表达式为y=kx—6,贝!JO=6k—6,

解得k=1,

，直线的表达式为y=x—6；

（2）解：作久轴，垂足为“，交直线BC于点G,

：.DG\\0Cf

・・•点。的坐标为（0,-6）,

：.0C=6,

设点。的坐标为（m,|m2-2m-6^,则点G的坐标为（TH,m-6）,

/.GD=m—6——mz+2m+6=——mz+3m,

22

•「OGIIOC,

△DGEOCE,

,DGDE

••—，

OCOE

12

m+3m

A2^_*整理得/—67n+5=0,

解得TH=5或zn=1,

・•・点。的坐标为（1,一另或（5,-1）;

（3）解：：点8的坐标为（6,0）,点C的坐标为（0,-6）,

：.OB=OC=6,

...△OBC是等腰直角三角形，

：.AOCB=45°,

■:乙BCF=15°,

J./-OCF=60°或NOCF=30°,

当乙。6=60。时，以。C为边作等边AOCM,直线CM交抛物线于点F,此时NBCF=15。，如图,

作MN轴于点N,

：.MN=70Mz-。。2=3A/3,

（_V3,

,、_、y=—x—6

・••点M的坐标为（38，-3）,同理，求得直线MC的表达式为y=弓％-6,联立〈3

y=-x2—2x—6

V2

...点尸的坐标是（工磬，年I

当NOCF=30。时，设CF交x轴于点K,此时乙8。尸=15。，如图,

在RtAOCK中，0c=6,NOCK=30。，

：.0K=OC-tan30°=2百，

.♦•点K的坐标为（2次，0）,

同理，求得直线CK的表达式为y=V5x-6,

y=V3x—6

联立'127.，

y=-x—2%—6

V2

解得fu;普咪二（舍去）,

.••点F的坐标是（4+2g,4b）；

综上，点尸的坐标是（4+2日,4次）或（受遗，史产）.

【点睛】本题考查了一次函数表达式的确定，函数图象上点的坐标特征，二次函数图象和性质，解一元二

次方程，相似三角形的判定和性质，勾股定理，分类讨论思想等，属于中考压轴题，解题关键是熟练掌握

待定系数法，运用方程思想和分类讨论思想.

2）已知角度关系求解

4.（2024•四川资阳冲考真题）已知平面直角坐标系中，。为坐标原点，抛物线y=-）2+bx+c与％轴交

于A,2两点，与y轴的正半轴交于C点，＞B（4,0）,BC=4鱼.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点尸是抛物线在第一象限内的一点,连接PB,PC,过点P作PD1x轴于点D,交BC于点K.记小PBC,

△BDK的面积分别为£,Sz，求S1-S2的最大值；

(3)如图2,连接4C,点E为线段4C的中点，过点E作EF14C交x轴于点F.抛物线上是否存在点。，使

乙QFE=2乙OCA?若存在，求出点。的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】(l)y=-|x2+x+4

⑶存在，Q1(三，下)或Q2(失”—空)

【分析】(1)先求C点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；

(2)求出BC的解析式，设「(小,一(机2+巾+4),则：灯加,_小+4),。0,0),将Si-52转化为二次函数

求最值即可；

(3)易得FE垂直平分2C,设。F=a,勾股定理求出F点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出乙4FE=

乙OCA=ACFE,分别作点E关于x轴和直线CF的对称点外,第，直线尸场，尸段与抛物线的交点即为所求，进

行求解即可.

【详解】(1)解：：B(4,0),

：.0B=4,

:乙BOC=90。,BC=4V2,

OC=V5C2-OB2=4,

AC(0,4),

把B(4,0),C(0,4),代入函数解析式得：

42+4b+c=0,解得：｛：=：；

Ay=——1x7+x+4；

J2

(2)V5(4,0),C(0,4),

，设直线BC的解析式为：y=/ex+4(/cH0),把8(4,0),代入，得：k=—1,

.*.y=—%+4,

设P(m,—^m2+m+4^,贝!J：K(m,—m+4),D(m,0),

1o1o

；・PK=——mz+m+4+m—4=——mz+2m,DK=—m+4,DB=4—m,

22

22

二•Si=：PK-OB=-m+4m,S2=”K•DB=1(-m+4)(4-m)=1(4-m),

22

二•Si—S2=—m+4m—1(4—m)

37n2

=---------I-8m—8

当m=轲,Si—S2的最大值为会

(3)存在：

.1o

令y=—5乂"+久+4=0,

解得：%i=-2,%2=4,

.♦.4(—2,0),

：C(0,4),点E为AC的中点，

•,.£1(-1,2),

■:FE1AC,AE=CE=7(-1+2)2+22=V5,

：.AF=CF,

：.AAFE=乙CFE,

设。尸=a,则：CF=AF=a+2,

在RtZkCOF中，由勾股定理，得：a?+42=(a+2)2,

••CL=3,

・・・F(3,0),CF=5,

TFElAC,^AOC=90°,

：.^AFE=/.OCA=90°-

：.^AFE=Z.OCA=乙CFE,

①取点E关于x轴的对称点连接FEi，交抛物线与点Qi，贝U：NQ/E=2NE凡4=2N0C4,^（-1,-2）,

设FEi的解析式为：y=hx+b,

i

则:l2

-k+b--2,解得：.3

b=—

2

・13

,.y=-X——

z22

133-75+11-3V5

y=-%——X=--------X=---

联立《22,解得：，J§（舍去）或

123V5—5—5—3Vs

Jy=——x+%+4

274）二^-

,•Qi

②取E关于CF的对称点第，连接EE?交前7于点G，连接F%交抛物线于点Q2,

贝1|：乙QzFE=2乙CFE=2乙OCA,EG1CF,

VCE=V5,CF=5,

：.EF=y/CF2-CE2=2V5,

•ShCEF-CF-EG=-CE-EF,

22

5EG=2V5xV5,

：.EG=2,

：.FG=>JEF2-EG2=4,

416312

过点G作GH_Lx轴，贝!］：GH^FG-sinzCFO-4Xg=《，FH=FG-cosNCF°=4Xg=g

3

：.OH=OF-FH=g

皿建），

W代），

7

设直线E2/的解析式为：y-k2x+blt

11

3k2+bi=0

2

则:,2+瓦=告，解得:

733

儿=——

12

・11.33

..y=-----Xd——,

z22

11,33V69+1313-V69

y=----xd——X=----------X=---

联立《J22,解得：•2（舍去）或

1?-11V69-77-77+11V69'

y=——%+%+4

2=——y=­i—

【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求

线段的长，坐标与轴对称，勾股定理，解直角三角形，等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中

考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键.

5.(2023•辽宁营口•中考真题)如图，抛物线y=a/+6x—l(a大0)与无轴交于点4(1,0)和点B,与y轴交于

点C,抛物线的对称轴交式轴于点。(3,0),过点B作直线/lx轴，过点。作DE1CD,交直线/于点E.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q,当黑=，时.求点P的坐标；

⑶在(2)的条件下，连接力C,在直线BP上是否存在点F,使得NDEF=N4CD+NBED?若存在，请直接

写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(l)y=-|x2+|x-1

⑵p(-D

(3)F'-理或F(10,4).

【分析】(1)根据抛物线过点4(1,0),对称轴为直线x=3,待定系数法求解析式即可求解；

(2)根据题意求得B(5,0),tanzCDO=tanzDEB,求得BE=6,则E(5,—6),进而求得直线EC的解析式为

y=—x—1,过点P作PT1x轴，交EC于点7,证明△PTQ八BEQ,根据已知条件得出PT=号设T(t,—t一1),

则P(t,T—9，将点P代入y=—#+*—1,即可求解.

(3)根据题意可得NDEF=45。，以DE为对角线作正方形DMEN,则ADEM=ADEN=45。，进而求得M,N

的坐标，待定系数法求得EM,EN的解析式，联立BP解析式，即可求解.

【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx-l(a中0)与x轴交于点4(1,0),抛物线的对称轴交x轴于点D(3,0),

则对称轴为直线x=3,

fa+b-1=0

・•・[一2=3，

【2a

fG=_l

5

解得：6

b=-

l5

・••抛物线解析式为y=

(2)解：由y=-i,当y=0时，一—i=o,

解得：%=1,%2=5,

.*.5(5,0),

当％=0时，y=-l,则C(0,—l),

9：DE1CD,乙COD=乙EBD=ACDE=90°

：.Z.CDO=90°一乙EDB=乙DEB,

二•tan"。。=tanZ-DEB,

目口OCDB

即布=南

.1_2

.•—―,

3BE

：.BE=6,则E(5,-6),

设直线EC的解析式为y=々％—1,则—6=5々—1,解得：k=—1,

，直线EC的解析式为y=-x-1,

如图所示，过点P作PT1%轴，交EC于点T,

V^EIIPT,

A△PTQFBEQ

..BQ__5

•PQ-7

・・.里=丝=9，贝IJPT="

PTPQ75

设T(t,T-1),则尸^t,-t—1—日)即P(t,T—9),

将点尸(七,一七一合)代入y=-|%2+|x-1

BR—t——=--12+-1—1

555

解得：t=-3或1=14(舍去)

当”一3时，一"*=一学

(3)VA(1,O),C(O,-1),

则。2=0C=1,△40c是等腰直角三角形，

：.z.0AC=45°,由(2)可得=

Z.DEF=/.ACD+乙BED

：.^DEF=^ACD+/.ADC=Z.0AC=45°,

由(2)可得2(-3,

设直线B尸的解析式为y=e%+/,则

5e+/=0

32

—3e+f=——

5

r_4

解得：5

lf=—4

，直线BP的解析式为y=—4

如图所示，以DE为对角线作正方形OMEN,贝Ij/DEM=ADEN=45。,

•:DB=2,BE=6,贝IJDE=2V10,则OM=¥z)E=2倔£(5,-6),

(m—3)2+n2=(2A/5)2

设M(zn,n),2

(m—5)2+(n+6)2=(2V5)

解得：（m=1m=7

n=-4n=—2

则M(l,-4),N(7,-2),

设直线EM的解析式为y=s%+3直线EN的解析式为y=srx+

则｛T二46,偿曹u

'___1

解得：f--f,fs=2

t=—It=-16

I2

设直线EM的解析式为y=直线EN的解析式为y=2x-16,

解得:则尸舟Y），

y=2x—16

｛；%则尸（10,4），

y-|x-4解得:

综上所述，F信,-葭）或“10,4）.

【点睛】本题考查了二次函数综合运用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

6.（2024・重庆・模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+b久+3与％轴交于点4（-1,0）,点

5（3,0）,与y轴交于点C.

(2)如图1,点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线PE交直线BC于点E,过点P作x轴的

平行线PF交直线BC于点F,求小PEF面积的最大值及此时点P的坐标；

(3)如图2,连接4C,BC,抛物线上是否存在点Q,使NCBQ+乙4co=45°?若存在，请直接写出点Q的坐标；

若不存在，请说明理由.

【答案】(l)y=-x2+2%+3；

(2)APEF面积的最大值为P(|A);

⑶(2,3)或甘).

【分析】(1)利用待定系数法即可求解；

(2)y=-/+2%+3可得C(0,3),求出直线BC的解析式为y=-久+3,又可得N0BC=N0CB=45。，进

而得△PEF为等腰直角三角形，得到SAPEF=\PE2,设P(p,-p2+2p+3),则E(p,-p+3),可得PE=-p2+

2p+3—(—P+3)=—(P—|Y+：,得到当p=|时，即P(|，?)，PE取最大值：，此时APEF的面积最大,

据此即可求解；

(3)分点Q在BC上方和点Q在BC下方两种情况，画出图形解答即可求解；

本题考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的最值，二次函数的几何问题，掌

握二次函数的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键.

【详解】(1)解：把/(一1,0)、8(3,0)代入y=Q/++3得，

rCL-b+3=0

(9a+3Z?+3=0'

解得｛2=二，

(-0=2

.♦•抛物线的解析式为y=—/+2x+3；

(2)解：由y=—/+2x+3可得,C(0,3),

设直线BC的解析式为y=kx+n,

把3(3,0)、C(0,3)代入得,

r0=3fc+n

I3=n'

解得『=,

l71=3

・,・直线BC的解析式为y=-第+3,

•・・B(3,0),C(0,3),

：.0C=。8=3,

:,(OBC=(OCB=45°,

TPEIIy轴,P尸11%轴,

:•乙PEF=乙PFE=45°,PE1PF,

•••△PEF为等腰直角三角形，

:。SXPEF~，

设P(p,—p2+2p+3),则E(p,—p+3),

PE=—p2+2p+3-(—p+3)=-(p-1)+京

当p=|时，即P©?}PE取最大值京此时△PEF的面积最大，

C_1_81

、APEF最大值=》X=露

(3)解：存在.

当点Q在BC上方时，作点4(—1,0)关于y轴的对称点4(1,0),过点B作8714C交抛物线于点Q,

••F与A关于y轴对称,

：.LAC0=/.A!CO,

X'：BT\\A'C,

:.乙QBC=ABCA',

'：Z.A'CO+^BCA'=45°,

：.^ACO+^OBC=45°,

：C(0,3),4(1,0),

同理可得直线C4’解析式为y=-3%+3,

设直线BT解析式为y=-3x+t,将B(3,0)代入得，0=-9+3

：.t=9,

Ay=—3x+9,

仅=-x2+2%+3

田(y=-3x+9'

解得｛济啸片,

•,•<2(2,3)；

当点Q在BC下方时，作点。(0,1)，直线BD与抛物线交于点。，

同理可得直线BD解析式为y=+

(AO=OD=1

\LCOA=乙BOD=90°,

(OC=OB=3

△CYM三△BOO(SAS),

I/.ACO=Z.DBO9

"CBQ'+乙4C。=45°,

(y=—x2+2%+3

H11

y=——%+1

2

解得「，—铲{;屋，

“(-|,廿

综上，点Q的坐标为(2,3)或(一|,甘).

7.(2024・四川达州・二模)已知抛物线y=a/+匕久一4与龙轴相交于点A(-l,0),B(-4,0)),与y轴相交于点

C.

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图1,点尸是抛物线的对称轴/上的一个动点，当APAC的周长最小时，求沁的值；

S^PAC

(3)如图2,取线段。C的中点。，在抛物线上是否存在点Q,{JtanzQDB=|?若存在，直接写出0点坐标.

【答案】(l)y=-x2-5x-4

⑵2

(3)(2(三丝一2)或Q(三竺一2)一或Q(—3,2)或Q

【分析】(1)待定系数法求函数解析式即可；

(2)根据△2人的周长等于以+「。+4。,以及"为定长，得到当P4+PC的值最小时，APyiC的周长最

小，根据抛物线的对称性，得到4B关于对称轴对称，贝IJ：。4+2。=。3+。。2%,得到当。,8,。三点共

线时,P4+PC=8C,进而求出P点坐标，即可得解；

(3)求出。点坐标为(0,2),进而得到tanNOBD=|,得到“DB=乙OBD,分点Q在D点上方和下方，两种情况

进行讨论求解即可.

【详解】(1);抛物线y=a/+6尢-4与x轴相交于点2(-1，0),8(-4,0),

(a—b—4=0

••116a-46-4=0'

•••抛物线解析式为y=—必—5%—4；

(2)在y=—%2—5%—4,当x=0时，y=—4,

•"(0,4),

:抛物线解析式为y=-X2-5%-4,

抛物线的对称轴为直线久=-1

•.•APAC^J^^^-PA+PC+AC,AC为定长，

...当PA+PC的值最小时，APaC的周长最小，

VX,8关于对称轴对称，

BA=PB,

PA+PC=PB+PC>BC,

・••当BBC三点共线时，PA+PC的值最小，为BC的长，此时点P为直线BC与对称轴的交点,

设直线BC的解析式为：y=mx+n,

.f—4m+ri=0

tn=—4'

解得:《口

直线BC的解析式为y=—x—4,

当x=—|时,y=—x—4=|-4=一|,

=^xlx4=2,

cI/3.5Iy，13,5«、15

S^PAC=2XQ+4^X2-2X1X4_2X2XQ_1^=T，

.S&OAC_2_8

••-------"Tq----；

v15

S^PAC4

(3)当Q点在。点下方时:

过点。作DQIIOB.交抛物线于点Q,则“DB=NOBD,此时Q点纵坐标为一2,

设Q点横坐标为t,

则：一/—5t—4=-2,解得：t=带上，

.••（2（竽，—2）或。（与，—2）；

②当点Q在。点上方时：设0Q与x轴交于点E,

DE=BE,

设E(p,0),

222

•••DE=OE+OD=p2+4,BE2=(_4_「)2,

p2+4=(-4—pY，

解得：P=-|，

..・E(—1，0),

同理可得DE的解析式为y=

联立［y=一/x—2,

ly=%2—5%+4

，_2

解得：?二了或：二5

V9

・・・Q(-3.2)或Q

综上：Q(若竺，一2)或Q(三竺一2)一或Q(—3,2)或Q(―|，一

【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进

行求解，是解题的关键.本题的综合性强，难度较大，属于中考压轴题.

题型02二次函数与三角形存在性问题

1)等腰三角形存在性问题

解题方法：

几何法：1)“两圆一线”作出点；

2)利用勾股、相似、三角函数等求线段长；

3)分类讨论，求出点P的坐标.

代数法：1)表示出三个点坐标A、B、P；

2)由点坐标表示出三条线段：AB、AP、BP；

3)根据题意要求(看题目有没有指定腰)，取①AB=AP、②AB=BP、③AP=BP；

4)列出方程求解.

①两定一动

8.(2024・四川眉山・中考真题)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点2(-3,0)和点B,与y轴交于点C(0,3),

(1)求该抛物线的解析式；

(2)当点D在第二象限内，且△力CD的面积为3时，求点。的坐标；

(3)在直线8C上是否存在点P,使AOPD是以PD为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标;

若不存在，请说明理由.

【答案】(1)抛物线的解析式为y=-x2-2%+3

(2)。的坐标为(—1,4)或(—2,3)

⑶P的坐标为(0,3)或(1,三更)或(誓,士警)或得

【分析】(1)利用待定系数法求解;

(2)过D作DK||y轴交AC于K,求出直线AC解析式，根据“女。=1DK-\xA-xc\=3列式求解;

(3)先求出点A,8坐标，再求出直线8C解析式，过P作PN_Ly轴于N,过。作。M_Ly轴于M,分以下情

况分别讨论即可：①P与C重合，D与4重合时；②当P在第一象限，。在第四象限时；③当P在第四象限，。在

第三象限时；④当P在第四象限，。在第一象限时.

【详解】(1)解：把4(一3,0),C(0,3)代入y=-/+bx+c得：

(—9-3b+c=0

tc=3

解得,

••・抛物线的解析式为y=-%2-2%+3；

(2)解：过。作OK||y轴交AC于K,如图：

由4(一3,0),C(0,3)得直线AC解析式为y=尤+3,

设D(t,-t2-2t+3),则K(t,t+3),

DK=—/—2t+3—(t+3)——产—3t,

•・•△4CD的面积为3,

2

•••^DK■\xA-xc\=3,Bp|(-t-3t)x3=3,

解得t=-1或t=-2,

。的坐标为(一1,4)或(一2,3)；

(3)解：在直线BC上存在点P,使AOPD是以PD为斜边的等腰直角三角形，理由如下:

在y=—x2—2x+3中，令y=0得0=—%2—2x+3,

解得x=-3或尤=1,

•••4(—3,0),8(1,0),

由C(0,3)得直线BC解析式为y=-3x+3,

设P(m,—3m+3),D(n,—n2—2n+3),

过P作PN1y轴于N,过。作DM1y轴于M,

①：OA=OC=3,

・••当P与C重合，。与4重合时，AOPD是等腰直角三角形，如图:

此时P（0,3）；

②当P在第一象限，。在第四象限时,

OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形,

.­-0D=0P,乙POD=90°,

•••4DOM=90°-"ON=乙OPN,

■：/.DMO=90°=4PNO,

DOM=△OPNQAAS),

•••DM=ON,OM=PN,

(n=­3m+3

tn2+2n—3=m

25+V19325-V193

m=

18（71小于0,舍去）或，18

n=

66

.。、,25-V193.-7+V193

・•・-3Qm+o3=-3x------------FQ3=--------

186

・•.p的坐标为（至铲，三强）;

③当P在第四象限，。在第三象限时，如图:

・・・OD=OP,乙POD=90°,

:.4DOM=90°-乙PON=乙OPN,

v乙DMO=90°=乙PNO,

/.△DOMOPN(AAS)f

・・・PN=OM,ON=DM,

同理可得［血="+2几一3,

l3m—3=—n

(25+V193i(25-V193

解得:m=---------

1葭(大于0,舍去),

-7+V193

n=----------

「16

・・・OD=OP,Z,POD=90°,

・•・乙DOM=90°-乙PON=4。PN,

vZ-DMO=90°=乙PNO,

.*.△DOM三△OPN(AAS),

・・・PN=OM,ON=DM,

=—n2—2九+3

r3m—3=n

'_li

解得［巾=;(舍去)或|小一，

⑺=-3n=-

k3

112

**«-3T?I+3=-3X—F3=—,

93

...P的坐标为(费,_|);

综上所述，P的坐标为(0,3)或(至评，三逐)或(土,上等)或得

【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、特殊三

角形存在性问题、等腰直角三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键.

9.(2024・云南怒江.一模)己知抛物线y=—/+4%+5与x轴交于A、8两点(点A在点B左侧)，与y轴

交于点C.

(1)求A、B、C三点的坐标；

(2)点。是直线8C上方抛物线上的点，连接CD,求4BCD的最大值；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得ABCP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在,

请说明理由.

【答案】⑴4(-1,0),8(5,0),C(0,5)

(2)最大值为苧

(3)存在，(2,俯)或(2,-何)或(2,5+闻)或(2,5-闻)或(2,2)

【分析】(1)分别令y=0、x=0计算即可得解；

(2)求出直线BC的解析式为:y=-x+5,过点D作DE||y轴，交BC于点E,设点。的坐标为(加,一小2+4巾+

5),则E(m,-m+5),求出DE=-m2+5m,再由SABCD=SABDE+SACDE并结合二次函数的性质即可得解；

(3)设P(2,n),贝UBp2=n2+9,CP2=(n-5)2+4,=25+25=50,再分三种情况：当BC=BP

时，当BC=CP时，当BP=CP时，分别求解即可.

【详解】(1)解：令y=—/+4x+5=0,

解得：X]=-1,x2=5,

•••点4在点B左侧，

・•・4(—1,0),8(5,0),

当x=0时，y=5,

・•.C(0,5)；

(2)解：设直线BC的解析式为y=kx+b,

•••S(5,0),C(0,5),

.(5k+b=0

"tb=5'

解得：,J]，

・•・直线BC的解析式为：y=-%+5,

过点。作DE||y轴，交BC于点E,

设点。的坐标为(zn,-TH?+4m+5),则E(?n,-zn+5),

•••DE=-m2+4m+5—(—m+5)=—m2+5m,

22

•••SABCD=SABDE+SXCDE=1X(-m+5m)x5=-|m+ym=-j(m-1)+等,

ZZZZ\Z/o

当加=?时，△BCD的面积最大，最大值为当；

28

(3)解：•・•点P在抛物线对称轴上，且对称轴为：x=-2=2,