二次函数知识归纳与题型突破（16类题型清单）原卷版-2024-2025学年苏科版九年级数学下册

二次函数知识归纳与题型突破（16类题型）

01思维导图

二次函数的概念

开口方向、对称轴、顶点、增减性

二次函数的图象

图象与系数的关系

二次函数的解析式

二次函数

二次函数的图象与几何变换

与X轴交点

二次函数与一元二次方程

与y轴交点

二次函数与实际问题

02知识速记

一、二次函数的概念

1.形如y+bx+c（其中。，“C是常数，。片0）的函数叫做二次函数，称。为二次项系数，b为一

次项系数，。为常数项.

注意：二次项系数而b,C可以为零.二次函数的自变量的取值范围是全体实数.

2.二次函数尸办2+6x+c的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，尤的最高次数是2.

⑵a,6,c是常数，。是二次项系数，6是一次项系数，c是常数项.

二、二次函数的图象

1.二次函数y（awO）的图象是一条抛物线，它关于歹轴对称，顶点是坐标原点.当a〉0时,抛物

线开口向上，顶点是抛物线的量低点；当。＜0时，抛物线开口向下,顶点是抛物线的最高点.

2.二次函数y=a(x-机y(awO)的图象的顶点坐标是(加，0),对称轴是直线x=/.图象的开口

方向：当。〉0时，开口向上；当。＜0时，抛物线开口向下.

3.二次函数y=a(x-机I+左(＜70)的图象的顶点坐标是(m,k),对称轴是直线x=加.图象的开

口方向：当。〉0时，开口向上；当。＜0时，抛物线开口向下.

4.二次函数y+―+。(。00)的图象是一条抛物线,它一对称轴是直线x=-2,顶点坐标

2a

是1b,当。〉0时，抛物线开口向上,顶点是抛物线上的最低点;当。＜0时，抛物线开口包

120'^a)

工，顶点是抛物线上的最高点.

三、二次函数的图象与系数的关系

二次函数y+8+。(awo)的系数与图象的关系

(1)。的符号由抛物线y=ax?+bx+c的开口方向决定：开口向上=。〉0,开口向上=。〉0；

(2)b的符号由抛物线＞=办2+反+。的对称轴的位置及。的符号共同决定：对称轴在y轴左侧)

同号，对称轴在y轴右侧o。力异号；

(3)c的符号由抛物线y=ax?+Zzx+c与y轴的交点的位置决定：与y轴正半轴相交=c〉0,与y轴

正半轴相交=c＜0

四、二次函数的图象与几何变换

I.二次函数的平移

(1)平移步骤：

①将抛物线解析式转化成顶点式＞=。«-犷+左，确定其顶点坐标仅，左)；

②保持抛物线＞=A?的形状不变，将其顶点平移到仅，外处，具体平移方法如下:

(2)平移规律

在原有函数的基础上“分值正右移，负左移；左值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下

减”.

2.二次函数图象的对称

(1)关于无轴对称

y=ax2+bx+c关于x轴对称后，得到的解析式是y=-ax2-bx-c

y=a(^x-h)2+k关于x轴对称后，得至U的解析式是y-k；

(2)关于y轴对称

y=ax2+历:+<?关于了轴对称后，得到的解析式是〉=ax?-6x+c；

y=a(^x-h)2+k关于y轴对称后，得到的解析式是y=a(x+/?)2+k；

(3)关于原点对称

y=ax2+b无+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-办?+bx-c-,

y=a(x-h)2+k关于原点对称后，得至U的解析式是y=-a(x+/7『-k；

4.关于顶点对称

y=ax2+6x+c关于顶点对称后，得到的解析式是y=-ax?-6x+c-2~；

2a

y=a\x-hf+k关于顶点对称后，得至！J的解析式是y=-a(x-/zy+k.

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此时永远不变.求抛物

线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物

线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后

再写出其对称抛物线的表达式.

五、二次函数的解析式

1.二次函数解析式的表示方法

(1)一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a*0)；

(2)顶点式：y=a(x-h~)2+k(a,h,左为常数，axO)；

(3)两根式：y=a(x-%1)(x-x2)(aH0,再，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标).

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只

有抛物线与x轴有交点，即/-4℃20时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的

这三种形式可以互化.

2.二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.

用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.

一般来说，有如下几种情况：

(1)已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

(2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式；

(3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

(4)已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.

六、二次函数的开口方向、对称轴、顶点

函数y=ax2+Z7x+c(a〉0)y=ax2+Z7x+c(tz<0)

图象的开口方向向上向工

直线x=-2

对称轴直线x=―-—

2a2a

(b4ac-/](b4ac-]

顶点坐标

12/4aJ12/4QJ

七、二次函数的增减性

函数y=ax2+Z7x+c(q〉0)y=ax2+Z7x+c(q<0)

当X<_二时，y随X的增大而减小；当x<-3时，y随x的增大而增大;

2a2a

增减性

当时，V随X的增大而增大；当时，V随X的增大而减小；

2a2a

二次函数的最值

函数y=ax2+Zzx+c(q〉0)y=ax2++c(tz<0)

当一£时一有最小值4"/,当户一j时,y有最大值片/,

最值

无最大值；无最小值.

八、二次函数与一元二次方程

二次函数y=ax2+6x+c(a,b,c是常数，aWO)

1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程a^+bx+c^的解.

2.若已知二次函数yuaN+bx+c的函数值为S,求自变量X的值，就是解一元二次方程办2+云+°=5.

九、二次函数与x轴交点情况

对于二次函数y=^2+6x+c(a,b,c是常数，aWO)△=〃-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：

①△=庐-4℃>0时，抛物线与无轴有2个交点；

②△=y-4碇=0时，抛物线与x轴有1个交点；

③△=庐-4℃<0时，抛物线与x轴没有交点.

03题型归纳

题型一二次函数的识别

例题：(23-24九年级下•江苏连云港•阶段练习)下列函数中是二次函数的有()

①了=3-瓜2；②"烹；③y=x(3-5x)；(4)=(1+2x)(1-2x)+4x2

A.1个B.2个C.3个D.4个

巩固训练

1.(2024九年级上•全国•专题练习)下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是()

A.y=(a+2)x2+1B.y=^+lC.y=(x+2)(x+l)-/D.y=2x2+3x

2.(2024九年级下•江苏•专题练习)下列函数关系式中，二次函数的个数有()

(1)-1)2+1；(2)尸1—;(3)S=3-2〃；(4)y^x4+2x2-l；(5)y=3x(2-x)+3x2；(6)

x-x

y=mx2+8.

/.1个氏2个C.3个D4个

3.(23-24九年级上•山东青岛•阶段练习)下列各式：(1)歹=22-3x；(2)y=3—2x+5/；(3)

y=J+2x-3；(4)y=ax2+bx+c；(5)>=(2x-3)(3%-2)-6/；(6)

y=(m2+l)x2+3x-4；(7)y=m2x2+4x-3.是二次函数的有()

4・1个5.2个C.3个4个

4.（2024九年级上•全国・专题练习）在函数①了3+云+%（2）y=（x-1）2-x2,③>=5/_?，④

y=-/+2中，〉关于x的二次函数是.（填写序号）

题型二利用二次函数的定义求参数

例题：（23-24八年级下•云南・期末）若函数y=（〃-2）xm2r"+x-l是关于X的二次函数.则常数根的值是.

巩固训练

1.（23-24九年级上•广东广州•阶段练习）已知函数y=（m+l）/%+2x,当机=时，它是二次函数.

2.（23-24九年级上•四川凉山•阶段练习）若y=（机-2）尤阿+2x+3是关于x的二次函数，则用的值是.

3.（23-24九年级上•四川绵阳・期末）已知函数y=（疗一3时一一2小的图象是抛物线，则机=.

4.（23-24九年级上•全国・单元测试）若函数夕=（左-l）/a+4+2x_l是二次函数.

（1）求上的值.

（2）当x=0.5时，求了的值.

题型三二次函数中各项的系数

例题：（23-24九年级下•全国•课后作业）若二次函数了=-/7的二次项系数为内一次项系数为6,常数项

为C,贝,b=,C=.

巩固训练

1.（23-24九年级上•安徽芜湖•阶段练习）关于函数了=（10-”（尤+1）,下列说法中正确的是（）

A.二次项系数是18.一次项系数是9C.常数项是-10D.了是关于x的一次函数

2.（23-24九年级上•四川南充•阶段练习）二次函数了=/-3x+5的二次项是,一次项系数是,

常数项是______.

3.（23-24九年级上•浙江绍兴•阶段练习）已知二次函数了=1-5》+3-,则二次项系数4=—,一次项系数

b=

题型四把y=ax1+bx+c化成顶点式

例题：（23-24九年级上•浙江温州•期末）将二次函数的解析式y=/-6x化成y=。（工+加/+上的形式为.

巩固训练

1.（23-24九年级上•黑龙江绥化•期末）将二次函数>=2?—12x+3转化为y=a（x-为了+左的形式

为.

2.（23-24九年级上•湖北孝感•阶段练习）用配方法把二次函数y=-2--4x+l写成y="Xi）?+后的形式

为.

3.（23-24九年级上•北京东城•期末）用配方法将二次函数y=%--2x-4化为>=。卜一〃『+左的形式

为.

题型五已知二次函数上一点，求字母或代数式的值

例题：（2023・四川南充•一模）点网出9）在函数y=4f_3的图象上，则代数式（2“+3乂2”3）的值等于.

巩固训练

1.抛物线y=ax?+6x-3过点（2,4）,则代数式8a+4b的值为（）

A.14B.2C.-2D.-14

2.若抛物线y=-x2+bx+c经过点（一2,3）,贝12c-4b-7的值是（）

A.6B.7C.8D.20

3.二次函数7="2+法-3（"0）的图象经过点（2,-2）,则代数式2a+b的值为—.

题型六二次函数j^H+bx+c的图象和性质

例题：（2024・四川绵阳•模拟预测）关于二次函数v=/-2x+3的性质说法正确的是（）

A.对称轴为x=2B.函数最小值为2

C.当x>0时，y随x的增大而增大D.当x<2时，7随x的增大而减小

巩固训练

1.（23-24九年级上•浙江绍兴•期中）对抛物线y=-/+4x-3而言，下列结论正确的是（）

A.开口向上B.与y轴的交点坐标是（0,3）

C.与两坐标轴有两个交点D.当x=2时，有最大值1

2.（2024•河南周口•模拟预测）如图，抛物线了=江+加+。交x轴于（1,0）,（3,0）,则下列判断错误的是

A.抛物线的对称轴是直线x=2

B.当x>2时，了随x的增大而减小

C.一元二次方程依2+加+°=0的两个根分别是1和3

D.当夕<0时，x<1

3.（2024九年级上•全国•专题练习）已知一个二次函数>="2+云+。的自变量x与函数y的几组对应值如

下表:

X-4-2035

y-24-80-3-15

则下列关于这个二次函数的结论正确的是（）

A.图象的开口向上

B.当x>0时，y的值随x值的增大而减小

C.图象经过第二、三、四象限

D.图象的对称轴是直线x=l

4.（2024・河北•模拟预测）若二次函数了=办2-2"+。-3是不为0的常数）的图象与x轴交于4,5两

点.下列结论：

①a>0；

②当x>-l时，7随x的增大而增大；

③无论a取任何不为0的数，该函数的图象必经过定点。,-3）；

④若线段45上有且只有5个横坐标为整数的点，则a的取值范围是;<。<；.其中正确的结论是（）

①②B.②④C.①③D.③④

题型七画二次函数y=M+〃x+c的图象

例题：(23-24九年级下•广东深圳•阶段练习)已知二次函数y=-x2+4x+5,完成下列各题:

(1)将函数关系式用配方法化为y=a(x+〃)2+左的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴.

(2)求出它的图象与x轴的交点坐标.

(3)在直角坐标系中，画出它的图象.

(4)当为x何值时，函数y随着x的增大而增大？

(5)根据图象说明：当x为何值时，y>o.

巩固训练

1.(23-24九年级上•福建厦门•期中)已知二次函数了=X2-2尤一3.

5-

4-

3-

2-

1-

-5-4-3-2-\O-\2345x

(1)求它的图象的顶点坐标和对称轴；

(2)画出它的图象.并结合图象，当x>0时，则歹的取值范围是.

2.(23-24九年级下•四川达州•阶段练习)已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标》的对应值

如表所示：

X-3-2-101

y0-3-4-30

（1）这个二次函数的解析式是;

（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；

⑶当-3<xW3时，y的取值范围为.

3.（23-24九年级上•安徽安庆•阶段练习）如图，函数>=-苫2+阮+。的图象经过点/,B,C.

⑴求6,c的值；

（2）画出这个函数的图象；

（3）结合函数图象，当0Mx43时，y的取值范围为.

题型八利用二次函数的性质比较大小

例题：（24-25九年级上•广西南宁•阶段练习）已知/（-1,乂）、8（3,%）、C（4,%）是抛物线y=1-4x+l上

的三点，则%、%、%的大小关系是.（用符号连接）

巩固训练

1.（24-25九年级上•江苏苏州•阶段练习）已知点（-1,%），（-3.5,%）,（0.5,%）在函数了=3尤2+6尤+12的图

象上，则必，力，%的大小关系为（用号连接）

2.（24-25九年级上•重庆巴南•阶段练习）已知/（T%）,5（2,外），C（4,%）三点在二次函数y=xz-4x+l

图象上，则将必，％,为按照从小到大的顺序排列为.

3.（24-25九年级上•山东滨州•阶段练习）已知抛物线y=a（x-2）2+4（。＞0,人为常数），

8（3,%）,。（4,%）是抛物线上三点，则为由小到大依次排列为.

题型九已知二次函数上对称的两点求对称轴

例题：（23-24九年级上•湖南湘西•期末）某二次函数的图象过点（0,-8）,（-3,7）利（5,7）,则此二次函数的图

象的对称轴为.

巩固训练

1.（23-24九年级上•江苏宿迁•阶段练习）若二次函数了="2+乐+，的图象经过/（1,0）、3（3,0）两点，则这

个函数图象的对称轴为.

2.（23-24九年级上•山西临汾・期末）已知二次函数y=a/+6x+c的x/的部分对应值如下表：

X12345

y-3-5-5-31

则该二次函数图象的对称轴为直线.

3.（2024•内蒙古乌兰察布•二模）如图，抛物线y=a/+6x+c与x轴相交于点A、8（加+2,0）与V轴相交于

点C,点。在该抛物线上，点。的坐标为（加,。），则点A的横坐标是.

题型十根据二次函数的增减性求最值

例题：（2024•广西•三模）已知二次函数y=x2-2x+3,当-3Wx40时，此时函数的最小值是

巩固训练

1.（2024•山东泰安•二模）已知二次函数＞=/-4》-7,当-24xW3时，函数的最大值为.

2.（22-23九年级上•浙江衢州•期末）已知二次函数y=Mx-I）?-左（左/0）,当-14xV4时，y的最大值为4,

则k的值为.

3.（2023九年级•安徽•专题练习）（1）将二次函数y=x?-6x+2配方后变成了=,对称轴是直线.

（2）将二次函数了=-/+5工-10配方后变成了=,顶点坐标是.当0VxW2时，函数的最大

值为，最小值为;当1VXV3时，函数的取值范围是.

（3）二次函数夕=5/-20》+12的对称轴是直线,顶点坐标是.当-34xv3时，函数的最大

值为，最小值为.

（4）将二次函数了=办2+加+＜?配方后变成＞=,对称轴是直线,顶点坐标是_____当。0

时，二次函数有最小值，最小值为.

4.（2024•安徽淮南•三模）已知二次函数了=G2-2办-3a（a*0）.

（1）若。=-1,则函数了的最大值为.

（2）若当-14x44时，V的最大值为5,则。的值为.

题型十一二次函数的平移

例题：（23-24九年级上•山东济南•期末）要将函数丫=〃2+法的图象向右平移3个单位长度.再向上平

移2个单位长度得到的二次函数为丁=2/-4x+3,那么a+6+c=.

巩固训练

1.（23-24九年级上•广东东莞•期中）把抛物线＞=3/向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物

线的解析式是.

2.（23-24九年级下•北京顺义•阶段练习）将二次函数了=》2-4x+5向左平移2个单位，再向下平移1个单

位，得到的函数表达式是.

3.（24-25九年级上•全国•假期作业）抛物线＞=2/-4x+3是由抛物线y=2/+&c+c先向右平移2个单位,

再向上平移3个单位得到的，求b、c的值为—.

题型十二求二次函数与龙轴、j轴的交点坐标

例题：（23-24九年级上•海南海口•期中）抛物线.y=Y-3x+2与y轴的交点坐标是，与x轴的交点

坐标是和.

巩固训练

1.（23-24八年级下•福建厦门•期末）二次函数y=（x-2）2-l图像与了轴交点坐标为.

2.（23-24九年级上•湖北武汉•阶段练习）抛物线V=2（x-l）（x-2）与x轴的交点坐标是.

3.（23-24九年级上•河南驻马店•期中）己知y=f+3x+机的图象与x轴的一个交点为（-1,0）,则另一个交

点为•

题型十三图象法确定一元二次方程的近似根与一元二次不等式的解集

例题1：（2024九年级上•全国•专题练习）已知二次函数y=x2+2x-4中x和〉的值如下表所示，根据表格

估计一元二次方程f+2x-4=6的一个解的范围是（）

X-10123

+2x—4-5-4-1411

A.-l<x<0B.0<x<lC.1<x<2D.2<x<3

例题2：（23-24九年级上•广东东莞•期末）如图是二次函数必="2+瓜+。和一次函数为=必+〃的图象,

观察图象，当%>外时，x的取值范围是（）

A.-2<x<lB.%<-2或%>1C.x>-2D.x<l

巩固训练

1.（23-24九年级上•全国•单元测试）下表给出了二次函数歹二炉+2%-5中了,歹的一些对应值，则一元二

次方程2犬=10-4x的一个近似解（精确到0.1）为（）

X1.21.31.41.51.6

y-1.16-0.71-0.240.250.76

A.1.3B.1.4C.1.5D.1.6

2.（23-24八年级下•福建福州•期末）已知抛物线歹="2+反+。上的某些点的横坐标、与纵坐标3；的对应

值如下表:

X-7.21-7.20-7.19-7.18-7.17

y-0.04-0.030.010.020.03

则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（）

A.—7.21<x<—7.20B.—7.20<x<—7.19

C.—7.19<x<—7.18D.—7.18<x<—7.17

3.（23-24九年级上•新疆塔城•期中）如图是二次函数＞="2+6x+c的部分图象，由图象可知不等式

a/+bx+c＞0的解集是（

4.-1<x<5B.x>5

C.%<—1且x〉5D.%<-1或x>5

4.（2024・四川成都・三模）如图是二次函数〉="2+区+°的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（

A.Q<0,b>0B.不等式a/+bx+c>o的解集是0<xv5

1

C.b—4ac>0D.方程ax?+6x+c=0的解是再=5,x2=-1

题型十四求二次函数的表达式

例题：（23-24九年级上•上海•阶段练习）二次函数＞=6+bx+c的变量％与变量y的部分对应值如下表:

X-3-2-1015

70-5-8-97

(1)求此二次函数的解析式；

(2)写出抛物线顶点坐标和对称轴.

巩固训练

1.(23-24九年级上•浙江衢州•期末)已知二次函数y=-/+6x+c(b,c为常数)的图象经过点4(0,-4),

5(6,-4).

(1)求函数表达式.

(2)判断点C(2,5)是否在这个二次函数图象上，并说明理由.

2.(23-24九年级上•上海•阶段练习)二次函数y=a/+6x+c的变量x与变量y的部分对应值如下表：

X-3-2-1015

y70-5-8-97

(1)求此二次函数的解析式；

(2)写出抛物线顶点坐标和对称轴.

3.(2024•浙江嘉兴•二模)已知二次函数了=/-2次-3(a为常数).

(1)若该二次函数的图象经过点(2,-3)；

①求。的值.

②自变量x在什么范围内时，了随x的增大而增大？

⑵若点/(加,0),3(",0),。(刃+1,0),。(力+1，4)均在该二次函数的图象上,求证:p+q=2.

4.(2023•青海海东•统考二模)抛物线与x轴交于/、B两点,与y轴交于点C,其中点/的坐标为(-3,0),

点C的坐标为(0,-3),对称轴为直线x=-l.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)若点尸在抛物线上，且/咏=4S谶.，求点尸的坐标；

(3)设点。是线段4C上的动点，作8〃V轴交抛物线于点。，求线段。。长度的最大值.

题型十五二次函数与x轴的截线长

例题：(23-24九年级上•内蒙古呼伦贝尔•期中)已知二次函数v=--2法+4的图象与x轴只有一个交点.

(1)若6>0,请求出函数解析式;

（2）设直线y=7与该抛物线的交点为4B,求的长.

巩固训练

1.（23-24九年级上•河南新乡•阶段练习）如图，二次函数j=Y-x-2的图象与x轴交于A,8两点（点A

⑴若尸（-2,加）为二次函数j=/-x-2的图象上一点，求加的值；

（2）求48的长.

2.（23-24九年级上•河南安阳•阶段练习）如图，已知抛物线-bx+c过点/与8（2,0）,与了轴交于点

。（0,-3），点。在抛物线上，且直线CD〃x轴.

（1）求该抛物线的函数表达式和顶点坐标；

⑵求CO的长.

3.（2023•安徽宿州•三模）已知点（。，1）在二次函数了=/+b