概率与其他知识交汇问题（含马尔科夫链 ）（3大题型）-2025年高考数学复习热点题型专项训练（解析版）

i重难题型•解题技巧攻略

J----------------------------------------

专题17概率与其他知识交汇问题（含马尔科夫链）

检-----------题型归纳•定方向-----------*>

目录

题型01概率与数列结合（马尔科夫链）..........................................................1

题型02概率与导数结合........................................................................17

题型03概率与其他知识点结合..................................................................29

•-----------题型探析・明规律-----------<>

题型01概率与数列结合（马尔科夫链）

【解题规律•提分快招】

一、基本原理

1、转移概率：对于有限状态集合s,定义:P]j=Ix,i）为从状态i到状态J的转移概率.

2、马尔可夫链：若==即未来状态xm只受当前

状态X”的影响，与之前的X“T,X„_2，…,X0无关.

无记忆性：下一个状态只与当前状态有关，与更前面的状态没有关系

高中阶段考察的马尔科夫链，其实很简单，找到初始状态和递推关系即可

3、完备事件组：如果样本空间Q中一组事件组｛A，4,…4』符合下列两个条件：

（1）4cAj=0,ij,i,j=1,2,…”；

（2）U4=Q.

k=l

则称｛4,4,…AJ是Q的一个完备事件组，也称是Q的一个分割.

4、全概率公式：设｛4,4,…4J是一个完备事件组，则有

p（B）=^p（4）p（5i4）

k=l

5、一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻f=0时，位于点

x=i（i&N+）,下一个时刻，它将以概率a或者夕（ae（0,l）,o+，=l）向左或者向右平移一个单位.若

记状态x$表示：在时刻才该点位于位置x=®eN+),那么由全概率公式可得：

P(X-)=P(X,a).P(X—|X,e)+P(X$+)P(X田,|Xe)

另一方面，由于P(Xf+1=;.|X』_i)=1P(Xr+l=i|Xu"a，代入上式可得：

6=a.Pi+l+(3-8_i.

进一步，我们假设在x=0与x=m(根＞0,根eN+)处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游

走.于是，好=0,&=1.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.

进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为a,原地不动，其概率为6,向右平

移一个单位，其概率为c,那么根据全概率公式可得：Pi=aP,-Pi.[

二、解题技巧

①找到当下状态下的“前一次事件”的所有可能性

②结合对应概率写出“前一次”状态下所有可能性的数列递推关系(一阶递推数列或二阶递推数列)

③利用数列递推关系求出数列的通项公式

【典例训练】

重难点17素材01

一、解答题

1.(24-25高三上•上海嘉定•阶段练习)甲乙两人轮流投掷骰子(正方体型，六个面分别标记有1,2,3,4,

5,6点)，每人每次投掷两颗，

⑴甲投掷一次，求两颗骰子点数相同的概率；

(2)甲乙各投掷一次，求甲的点数和恰好比乙的点数和大8点的概率；

⑶若第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.求先投掷人的获胜概率.

【答案】(1。

6

【分析】(1)根据古典概型的概率公式计算可得；

(2)记投掷一次两颗骰子点数为X,则X的可能取值为2,3,……，11,12,求出所对应的概率，再由

相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；

7

(3)由(2)可知同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为石，分析可得先投掷的人第〃(〃21且〃eN*)

2«-2

轮获胜，其概率为匕=J,再由无穷等比数列求和公式计算可得，

【详解】(1)记两颗骰子点数相同为事件A,则P(A)=以=1；

6x66

(2)记投掷一次两颗骰子点数为X,则X的可能取值为2,3,……，11,12,

1x11

所以尸(X=2)=尸(X=12)===二，

6x636

p(/x=3)=p(zx=n)、—21

18

p(X=4)=P(X=10)=^l=—

'7v76x612

2+2_1

p(X=5)=尸(X=9)=

6x6~9

2+2+15

p(X=6)=P(X=8)=

6x636

2+2+2

p(X=7)=

6x66

记甲的点数和恰好比乙的点数和大8点为事件B,

则尸包)=___x___|___x___|___x__—____

361218181236~648

(3)由(2)可知同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为：+2+]+±+上+右=3=1，

63691218363612

若先投掷的人第一轮获胜，其概率为4=74；

若先投掷的人第二轮获胜，即第一轮两人的点数之和都小于或等于6,则其概率为上

2<12j12

若先投掷的人第三轮获胜，即前两轮两人的点数之和都小于或等于6,则其概率为鸟=(9丫*工；

3{12J12

若先投掷的人第四轮获胜，即前三轮两人的点数之和都小于或等于6,则其概率为乙

U2J12

"21且〃eN*)轮获胜，其概率为匕=(»]X—.

分析可得，若先投掷的人第〃

"U2J12

所以6、0八…、尸”组成吗为首项，目为公比的无穷等比数列，

2n

7

1-3

12J2

所以片+2+…+巴=—

2

1-

7

712—」2

x+|X五十…

从而，先投掷人的获胜概率为历+lH,2-17•

1-

12

2.（24-25高三上•广东・开学考试）马尔科夫链因俄国数学家安德烈•马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”

的性质，即第〃+1次状态的概率分布只跟第〃次的状态有关，与第〃-1,，，-2,〃-3上.次状态无关.马尔科夫链

是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、

天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有A,3两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从A,B两个盒

子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行〃eN*）次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为x”,

恰有1个红球的概率为Pn.

⑴求Pi，P2的值;

（2）求p”的值（用〃表示）；

⑶求证:X"的数学期望E（X“）为定值.

549

【答案】⑴­

n-1

23

(2)%=------x+-

455

⑶证明见解析

【分析】（1）根据古典概型运算公式，结合组合的定义进行求解即可;

（2）根据古典概型运算公式，可以得到含Pi的代数式表示P“，运用构造法，结合等比数列的定义进行求

解即可;

（3）根据古典概型运算公式，结合题意得到外、q-、P"、Ri之间的关系，结合数学期望的运算公式进

行求解即可.

【详解】（1）设第次操作后A盒子中恰有2个红球的概率为纵，则没有红球的概率为

C；C；+C；C；5

由题意知Pi

C；C；—9'

二一c'2c!,2

名

99

c；c；+c：c；

+

Pl=Pi-+^1cV'

C3C3。-口-好|1号

c；c；+c；c；C©二12

(2)因为％=

c；c；+9〃T•清3+C；C；

3I3

所以P〃-g

95

又因为。「|=-＞。，所以卜得是以q为首项，1为公比的等比数列.

/、EdC；CCC；21小

(3)因为为纵一1二3。〃一1+鼻/一1，①

eV1c'c1?1

PT1-

1-%-%=Pn-i+。-%-i-")=gPn-i+~(-Pi)，②♦

所以①一②，得2qn+必T=；(2q“T+p--1).

又因为2%+乌一1=0,所以2q“+p”-l=。，所以为=?.

X”的可能取值是0』,2,

尸(X“=0)=l-几-%=?,

尸(X“=I)=P.，

P(XL2)=%=7.

所以X”的概率分布列为

X.012

1-P”

PPn

22

所以矶X“）=0X-L+1X%+2X_^=1.

所以X”的数学期望E（X"）为定值1.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是寻求P,T、P”之间的关系，利用等比数列的定义进行求解.

3.（2024•河北,模拟预测）一个不透明的袋子中装有大小、质地相同的40个小球，其中10个红球，10个黄

球，20个绿球，依次随机抽取小球，每次只取1个小球，完成下列问题：

⑴若取出的小球不再放回，

①求最后取完的小球是黄球的概率；

②求红球比其余两种颜色小球更早取完的概率；

③设随机变量X为最后一个红球被取出时所需的取球次数，求E（X）；

⑵若取出的小球又放回袋中，直到取到红球就停止取球，且最多取〃次球，设随机变量y为取球次数，证明：

4〃

幻)=4-产

【答案】（i）①:;②卷；③平,

（2）证明见解析

【分析】（1）①最后一次取出的是黄色小球，利用古典概率可求；②利用全概率公式可求答案；③求出X

的所有取值，利用期望公式，结合组合数的性质可求答案.

（2）先求y的分布列，写出期望，结合错位相减法可求答案.

【详解】（1）①最后取完的小球颜色是黄色，则第40次取球恰好为黄色小球，设事件A:第40次取球恰好

为黄色小球.

则P（A）=W=L

v7404

②设事件B:最后取完的小球是黄球，事件C：最后取完的小球是绿球，事件D:红球比其余两种颜色更早取

完.

P（D）=P（BD）+P（CD）=P（B）P（D|B）+P（C）P（£>|C）

102020105

___x___।___x__—__■

―40304020-127

③X的可能取值为10,11,12,L,40.

「94009140

尸(x=3声一1y鼠（左T）

E(X)=I>T^=M

攵=101^40。40k=10C2总9!（^-10）!

10qk!10弋

理马10!传一10）!一磅合

40in410

因为之c；o=c；：+c；；+…所以E（X）『C（F.

攵=10。4011

两式相减可得#（¥）=；+那+；xg

+

【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用组合数的性质进行转化求解；二是利用数列的错

位相减法求和.

4.(23-24高三上•江苏南京•阶段练习)在某公司组织的团建活动中，A,B,C三个人进行传排球游戏，

规定：甲将排球抛出，乙接住或自己接住为一次传球，假设每次传球都能成功.当排球在A手中时，A传给8

的概率为J,A传给自己的概率也为J；当排球在B手中时，3传给A的概率为:，3传给C的概率为£；

当排球在C手中时，C传给A,B的概率均为，游戏开始时，排球在A手中，经过〃(附eN*)次传球后，设

排球在A手中的概率为册，排球在B手中的概率为4.

(1)求%,4的值；

(2)经过50次传球后，排球在谁手中的概率最大？请说明理由.

【答案】⑴%=(

(2)A手中的概率最大，理由见解析

【分析】(1)由题意得g=l-。”一切，an+l=1<7„+^-bn-bn),bn+l=^an~bn),c„+1=^bn,

乙J乙乙乙J

由递推式可求出％也,c“，从而可求出打，。3的值；

(2)由(1)可求出60也0，。50，作差可比较大小.

【详解】(1)由题意得，经过”(“eN*)次传球后，排球在C手中的概率为

_1,1_

一弓也一万，。［-0n,

第〃+l(〃eN*次传球后，排球在A手中的概率为。用，在8手中的概率为匕向，在C手中的概率为C.M，

1117、_11,

anl=5%+1仇7+5（Z1_2）。〃+1=7一22

+Zo

,_1_1,

则由题意得■或+i=]%+/（l—%—6”）>则・bn+1_22'

2,_2卜

c,+i=耳"。〃+1

由么，得或

223乙、3)36

所以［2-4I是以-《为公比，)为首项的等比数列，

〔3J26

所以2-1

〃3

4

9KJ

而％也满足上式,

n-\

1，n>2,而9=0也满足上式,

M-1

所以c“=j1一

所以％=:“一!，!411

9924

（2）由（1）得,

所以。50>40，

因为么。一。5。3|1一［口［一|］1+&

所以人50>C50，

所以“50>。50>C50>

所以经过50次传球后，排球在A手中的概率最大.

【点睛】关键点点睛：此题考查概率与数列的综合问题，解题的关键是根据题意融合概率知识求出递推式，

考查推理能力和计算能力，属于较难题.

5.（24-25高三上•浙江,期末）某篮球集训队中甲、乙、丙三人进行传球训练.假设当球在甲手中时，甲将球

12

传给丙的概率为否则甲将球传给乙；当球在乙手中时，乙将球传给甲的概率为否则乙将球传给丙；

当球在丙手中时，丙将球传给甲的概率为J,否则丙将球传给乙；初始时，球在甲手中.

（1）求传球3次后，球恰好在乙手中2次的概率；

（2）"次传球后（〃eN*）,记球在丙手中的概率为

①求数列｛。,｝的通项公式；

—1n1S

②设%=7"不，求证：一亏.

（-3）P〃Pn+l占7

【答案】（叫

（2）①+②证明见解析

【分析】（1）根据条件有两种情况：乙、甲、乙，乙、丙、乙，再利用相互独立事件同时发生的概率公式

及互斥事件有一个发生的概率公式，即可求解；

（2）①根据条件得到2出=：（1-进而有是首项为5,公比为一的等比数列，即可求解;

1，利用裂项相消法得到二

②根据条件得到%=121>,12，再分〃为

i=i

奇数和偶数两种情况讨论，即可求解.

【详解】（1）传球3次后，球恰好在乙手中2次分为两种情况：

第一种情况：乙、甲、乙，概率为=

2111

第二种情况：乙、丙、乙，概率为§义]义2=3；

所以

27927

（2）①由于n次传球后，球不在丙手中的概率为1-。,，

此时无论球在甲手中还是球在乙手中，均有;的概率传给丙，故有P用=；（「以），

整理得P"+]J，

▽11

又1"“一『谈

所以是首项为5,公比为一的等比数列.

则得到二

②由①可得必=（一;X

所以

fq=12111111

-------------------;---------------------------H------------------------------------------------+•,•H----------------------------------------------------r

Z=1

n1O

所以＜-3＜一~—,

z=l/

当n为偶数时,

，

所▼以W-亍18.

1=1'

n1O

综上所述，£%4-三,所以命题得证.

【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）中的①问，根据条件得到）用=；。-0），通过变形得到

P“+「；=从而转化成等比数列来解决问题.

6.（24-25高三上•江西•开学考试）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其过程具备"无记忆"的性质：

下一状态的概率分布只能由当前状态决定，即第”+1次状态的概率分布只与第〃次的状态有关，与第

-2,”-3,…次的状态无关,即尸（X.|天氏,…,Xi，X“）=P（X“+JX“）.已知甲盒中装有1个白球和

2个黑球，乙盒中装有2个白球,现从甲、乙两个盒中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复〃次（〃eN*）

这样的操作，记此时甲盒中白球的个数为X“，甲盒中恰有2个白球的概率为%，恰有1个白球的概率为幻.

（1）求％,4和口也.

（2）证明：｛氏+22-勺为等比数列.

⑶求X”的数学期望（用”表示）.

21S1

【答案】（1）6=§,4=§，。2=§也="

（2）证明见解析；

⑶颐x“）=|W（）尸.

【分析】（1）利用古典概率计算即得；按第1次交换球的结果分类讨论，结合相互独立事件的概率、互斥

事件的概率求出4,4.

（2）按第〃次交换球的结果分类讨论，结合相互独立事件的概率、互斥事件的概率用对，么表示4+1，。用即

可推理得证.

（3）利用（2）的结论，求出随机变量X”的分布列，再求出数学期望.

【详解】（1）若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，

2

概率q=］；

若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率4=；,

研究第2次交换球时的概率，根据第1次交换球的结果讨论如下：

①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为4=1,

此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，

乙盒中的球仍为1白1黑，概率为=

若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为％x=x2njq；

326

211

若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为％x§X5=§q；

若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为

211

②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为

此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，

乙盒中的球变为1白1黑，概率为=

若甲盒取白球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为=

_,112,5,11,1

综上，%=§•

(2)依题意，经过“次这样的操作，甲盒中恰有2个白球的概率为％,

恰有1个白球的概率为a,则甲盒中恰有3个白球的概率为1-%，

研究第〃+1次交换球时的概率，根据第鼠次交换球的结果讨论如下：

①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为巴,

此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，

乙盒中的球仍为1白1黑，概率为=

326

若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为%=；

326

211

若甲盒取白球、乙盒取黑球,互换,则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白,概率为=

若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为

211

Qx-x-=—a

〃3239

②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为勾，

此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率

为或,2尹2翔

若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为=

③当甲盒中的球为3白，乙盒中的球为2黑时，对应概率为1-%-或，

此时，甲盒只能取白球、乙盒只能取黑球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，

乙盒中的球变为1白1黑，概率为

人Ia=1a+1a+2b,+1ab7=11a1b77=1a+1b7

综上，n+\^n~2n~n^~n~n^~~n~~n^n+\~n~n

mtl〃6111,22,611,1

贝！I%+1+24+1_£=2—£=工%+［勿一£,

523335635

整理得an+i+2bn+i=2(a,+2bn一2)，又q+24一《=R。,

565515

所以数列K+2bn一?｝是公比为5的等比数列.

56

(3)由(2)知“〃+22一4='x(：)"T,则%+22=4+gx(

随机变量匕的分布列为

X“123

pb„an1-4-2

92

所以E（X）=b”+2a”+3-36“-3an=3-（an+2bn）=--—x

【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：

①根据题中条件确定随机变量的可能取值；②求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列

③根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望.

7.（24-25高三上•云南昆明•阶段练习）设〃eN,数对（%,2）按如下方式生成：（/也）=（0,0）,抛掷一枚

均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若a”>b”,则（一,%）=（%+1也+1）,否则（%,%）=（4+1也）；

当硬币的反面朝上时，若或>4,则（%,%）=（%+1也+1）,否则（%,%）=&,2+1）.抛掷"次硬币

后，记%=2的概率为匕.

⑴写出（生也）的所有可能情况，并求6,鸟；

匕-g是等比数列，并求匕;

⑵证明:

⑶设抛掷〃次硬币后%的期望为E“，求纥.

【答案】⑴答案见详解

n-1

（2）证明见详解，

⑶纥=2:呜1£

9

【分析】（1）列出所有（须乙）和（％，4）的情况，再利用古典概型公式计算即可;

一1口匕一1'再利用等比数列公式即可;

（2）构造得匕

2

（3）由⑵得Q“=；（T）=；1-

，再分a”>bn,an=优和an<bn讨论即可.

【详解】（1）当抛掷一次硬币结果为正时，（％，4）=。,0）；

当抛掷一次硬币结果为反时，（％4）=（。,1）.

当抛掷两次硬币结果为（正，正）时,（%也）=（2,1）;

当抛掷两次硬币结果为（正，反）时,3也）="）；

当抛掷两次硬币结果为（反，正）时,（%也）=。，1）；

当抛掷两次硬币结果为（反，反）时,（%也）=（1,2）.

21

所以，P1=Q,P2=-=-

（2）由题知，修VI,

当。”>6“，且掷出反面时，有（%也+1）=（%，，+1），此时％=%,

当为<么，且掷出正面时，有（%,%）=（。,+1也），此时4+1=%,

所以E，M=：P（a.>d）+gp（a“<d）=；［P（a.>d）+P（a“<a）］=g（l-e），

所以却

所以是以片为首项,一万为公比的等比数歹U,

所以

（3）设%>2与可<£的概率均为。“，

由（2）知，e„=1（i-^）=|i—1；）

显然，&=lxg+o*g=g.

若册〉",则4=2+1,当下次投掷硬币为正面朝上时，an+l=an+l,当下次投掷硬币为反面朝上时,

若4=或，则当下次投掷硬币为正面朝上时，。用=%+1,当下次投掷硬币为反面朝上时，an+l=an-

若a“<b“,则％=4+1,

当下次投掷硬币为正面朝上时，all+l=an+l,当下次投掷硬币为反面朝上时，an+t=an+l.

111「（1Y

所以时，期望不变，概率为J。,+J匕2+--；

2ZoIJ

%+1=%+1时，期望加1,概率为1一&。“+；匕［=1-［2+［一；］=［4-］-］-

所以"纥x/+E卜纥+1词4一信讣纥+「一居：

故纥=纥-+不

+...+

经检验，当”=1时也成立.

【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是分。向=。“和。“+1=4,+1时讨论，最后再化简纥的表达式即可.

8.（2025•黑龙江•模拟预测）对于一个有穷整数列。：《，%,L,a„,对正整数〃?eN*,若对于任意的

,有穷数列。中总存在％,aM,L,ai+j,自然数/20使得q+4*1+…+q+j=〃，则称该数

列为1到，"连续可表数列.即1到加中的每个数可由。中的一个或连续若干项表示，而帆+1不可由Q中连续

若干项表示.例如数列2,1,3则。2=1，4=2,a3=3,/+/=4,而%+。2*5,%+生35,at+a2+a3^5,

所以数列2,1,3是1到4连续可表数列.

⑴数列Q：l,1,1,1,1是否为1到5连续可表数列？若数列。2：2,1,4是一个1到机连续可表数列,

求加的值.

⑵若有穷数列。：4,出，L,。,其调整顺序后为一个等比数列，则该数列称为准等比整数列（等比数列本

身也可看作准等比数列），调整后的公比称为该数列公比.若准等比整数列出，L,a“为1到5连续可

表数列，且公比4为整数，求数列的公比4的值.

1m1

⑶对正整数"，geN*（g>2）,存在唯一的数列4，L,已使得,n=ai-g°+a2-g+...+am-g-,且满足

a“尸0,0<a,<g-l,i=l,2,3…加数列％-g°,a2-g\L,a,“•g%】称为正整数〃的g进制残片.记事

件“随机挑选区间［1/］内的整数（r为大于等于2的正整数），该数的g进制残片调整顺序后能成为1到5连

续可表数列"的概率为Pg&）,求⑺的表达式.

【答案】（1）5

（2）1,2,-1,-2

L+1

Q

（3）4⑺=r--/一，g=2,

0,g>3

【分析】（1）利用给定定义证明并求值即可.

（2）利用给定定义对参数范围进行讨论，求解公比即可.

（3）利用给定定义分类讨论求解解析式即可.

【详解】（1）依题意设数列a的通项为凡，

贝[|G]=1,q+%=2,%+/+=3,

q+2+•♦•+4=4,q+/+.••+%+%=5,

由于数列只有5项，不可能表示大于等于6的正整数，

故数列2为一个1到5连续可表数列，

对于数列。2,设其通项为灯，直接计算可知，

该数列的打=1，4=2,4+4=3,4=4,b2+b3=5,

而6无法用连续的项表示出来，故该数列为1到5连续可表数列，得到%=5.

（2）当准等比数列公比为1,-1,2,-2时，

可以对应构造数列Q：l,1,1,1,1,。2：1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,Q：2,1,4QJ8,

-4,-1,2,

其中由（1）可知2,Q,2为1到5连续可表数列，

对于最后一个数列。4,有1=-1+2,2=2,

3=8+（-4）+（-1）,4=8+（T）,5=8+（Y）+（-l）+2,

而6不能连续若干项表示，故这数列也为1到5连续可表数列，

现在，假设qeZ,满足@23,

数列。a2,…，””为一个公比为4的1到5连续可表准等比数列，

则可以设生=a♦qg（i=1,2,…,

其中叫，啊为0,L,〃一1的一个排列，

则该数列的连续表出具有4+4+1+…+4+1+4'""'+…+4国）的形式，

其绝对值不小于同，由于1可以被表出，有12时，故a=l或a=T,

n，M

如果。不参与表出1到5,贝!|q+aM+...+ai+j=a.（/",+q+...+/""，）不包含q°,

m

故可提出4,即q+aM+...+ai+J=a-q[q^+q5+...+户）,

由于•4标3,V，T+/e+…+必是非零整数,

而卜.q（尸+q"+…+个T）|>3,

无法表示L2这个数字，故L2的表出有。的参与，

如果。参与表出1和2,有两种可能，

一是当。独立表出1,2,二是。与其他若干项一起表出，

若当。和其他项一起表出时，其他项绝对值不小于3的数而。为1或T,

所以。与其他若干项一起表出其绝对值不小于2.故1只得由。独立表出，

所以。=1,现在，2的表出是1和一个绝对值不小于3的值之和，

故不大于-2,不小于4,矛盾.所以123不可能成立，

综上4的可能取值为1,2,-1,-2

（3）我们在（2）中的论证可以推出更一般的结论：1至5连续可表的数列,

如果满足,…，cjg"的形式,

则其中一项必定为1或-1,且国m2,

从而当g23时，任一个g进制残片都不可能排列成一个1至5连续可表数列.

故/⑺=0,g>3,当g=2时，残片的各项可能取值为2L

即0,1,2,4,8,L.由于残片各项一定非负，

则1,2,3,4,5的表出一定没有23=8,24=16,…等值参与，

注意到两个元素最多表出三个值，三个元素最多表出六个值，

而。对这5个数字的表出没有贡献，

故残片能够排列成1到5连续可表数列当且仅当残片中含有1,2,4三项

即所挑选的数字x应当满足x=L2°+l"+1.22+%g3+...+%g",

其中国表示不超过x的最大整数,

综上，%⑺=，L8J—,g=2.

0,g>3

【点睛】关键点点睛：本题考查求数列新定义，解题关键是合理利用给定定义，然后利用分类讨论思想得

到所要求的解析式即可.

题型02概率与导数结合

【典例训练】

重难点17素材02

一、解答题

1.（24-25高三上•四川成都•阶段练习）某学校高三年级组织举办了知识竞赛.选拔赛阶段采用逐一答题的

方式，每位选手最多有5次答题机会，累计答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰.初赛阶段

参赛者每两人一组进行比赛，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到

每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得。分，选手抢到试题

但没有回答正确得0分，对方选手得5分，2道试题抢答完毕后得分少者被淘汰，得分多者进入决赛(若分

数相同，则同时进入决赛)

2

⑴已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进入初赛的概

率；

⑵已知初赛中选手甲答对每道试题的概率为3:，对手答对每道试题的概率为12,两名选手回答每道试题是

否正确相互独立，求初赛中甲的得分y的分布列与期望；

⑶进入决赛后，每位选手回答4道试题，至少答对3道试题胜出，否则被淘汰，已知选手甲进入决赛，且

决赛中前3道试题每道试题被答对的概率都为(pe(0,1)),若甲4道试题全对的概率为乙，求甲能胜出的概

率的最小值.

【答案】⑴6?4

O1

(2)分布列见解析，—

6

【分析】(1)根据独立事件概率公式结合互斥事件和概率公式计算即可;

(2)先应用独立事件概率乘积公式，再列分布列计算数学期望即可；

(3)先应用n次独立重复实验求概率再结合导函数求出概率的最小值.

【详解】(1)设X为甲的答题数，则X可能取3,4,5,

2

P（X=3）I=*

2|2128

P（X=4）=C；xx—x—=——

13327

P(x=5)=cm：x|=》

所以甲进入初赛的概率为三+三+雪=粤

2/2/o1o1

(2)由题知，-可能取0,5,10,15,20,

1313Q

贝！|P（y=20）=_x_x_x_=—

17242464

1X2111

p（y=15）=XXX2=

24238

4

p（y=io）Ux3xlxax2+lx3xlxix2+lxlxlxi=^

17242324242323576

1121188

p(y=5)=-x-xlx—x2H—x—x—x—x2—---

'724232323576

八、1111c11121212⑵

P11—(J)——x—x—x—F2x—x—x—x—|—x—x—x——---■

,7242424232323576

所以y的分布列为：

Y05101520

12188214£9

P

516?76576864

所以E(y)=Ox坦+5X%+10X或+15X卫+20X生=理=结

v75765765765765765766

⑶因为甲4道试题全对的概率为分所以第4道试题答对的概率为六,

所以甲能胜出的概率一>]+C)2(l-p)^

33

即=--