高考数学二轮复习：妙解离心率问题（12大核心考点）（讲义）（解析版）

专题16妙解离心率问题

【目录】

................................................................................................................................................................2

考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题........................................4

考点二：焦点三角形顶角范围与离心率............................................................6

考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题.............................................................7

考点四：椭圆与双曲线的4a通径体..............................................................7

考点五：椭圆与双曲线的4a直角体..............................................................8

考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题.........................................................9

考点七：双曲线的4a底边等腰三角形............................................................10

考点八：焦点到渐近线距离为b...........................................................................................................................................11

考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形.....................................................12

考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题...................................................13

考点十一：渐近线平行线与面积问题............................................................14

考点十二：数形结合转化长度角度..............................................................15

求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等.

考点要求考题统计考情分析

离心率问题一直是高考每年

2023年新高考I卷第5、16题，10分

必考，对圆锥曲线概念和几

2023年甲卷第9题，5分

何性质的考查为主，一般不

2022年甲卷第10题，5分

离心率会出太难，二轮复习我们需

2022年浙江卷第16题，4分

要掌握一些基本的性质和常

2021年甲卷第5题，5分

规的处理方法，挖掘椭圆双

2021年天津卷第8题，5分

曲线的几何性质下手.

求离心率范围的方法

一、建立不等式法：

1、利用曲线的范围建立不等关系.

2、利用线段长度的大小建立不等关系.月，鸟为椭圆1+[_=1（4＞。＞0）的左、右焦点，尸为椭圆上

22,

的任意一\点，|尸用e[a-c,a+c];斗心为双曲线匕=1（〃>0,6>0）的左、右焦点，尸为双曲线上的

a2b2

任一点，|PF；|Nc-a.

3、利用角度长度的大小建立不等关系.石，凡为椭圆W+£=i的左、右焦点，尸为椭圆上的动点，

a2b2

若NF,PF2=e，则椭圆离心率e的取值范围为Sin^we<1.

4、利用题目不等关系建立不等关系.

5、利用判别式建立不等关系.

6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系.

7、利用基本不等式，建立不等关系.

1.（2023•新高考I）设椭圆G：A+y2=i（a>i）,c?：±+9=1的离心率分别为,，e,「若g=若6,则

a4

。二（）

A.空B.72C.A/3D.y[6

3

2.（2023•甲卷）已知双曲线-4=l（a>0,6>0）的离心率为«,C的一条渐近线与圆

ab

（x-2）2+（y-3）2=l交于A,3两点，贝。|A8|=（）

2石「36D.逑

A好B.

5"I"55

3.（2022•甲卷）椭圆C:与+斗=1（。>6>0）的左顶点为A,点尸，。均在C上，且关于y轴对称.若直线

ab

AP,AQ的斜率之积为1,则C的离心率为（）

A且5/21

B.—C.D.-

2223

4.（2021•甲卷）已知尸月是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且/片产乙=60。，\PFi\=3\PF2\,则

C的离心率为（）

A.A/7B.A/13C.—D.—

22

22

5.（2021•天津）已知双曲线。-七=1（。>0,力>0）的右焦点与抛物线/=2p龙（p>0）的焦点重合，抛物线

的准线交双曲线于A,3两点，交双曲线的渐近线于C,。两点，若|CD|=&|A8|,则双曲线的离心率为

（）

A.A/2B.gC.2D.3

丫2v21

6.（2022•甲卷）已知椭圆C:=+马=l（a＞6＞0）的离心率为-，A,,&分别为C的左、右顶点，B为C

ab3

的上顶点.若瓯1,则。的方程为（）

2222

VVVy

A.一+—=1B.一+—=1

181698

C.—+^=1D.—+y2=1

322

22

7.（2022•全国）若双曲线C:丁-当=1（。＞0,6＞0）的一条渐近线与直线y=2x+1垂直，则C的离心率为（）

ab

A.5B.A/5C.-D.—

42

8.（多选题）（2022•乙卷）双曲线C的两个焦点为月，尸?，以C的实轴为直径的圆记为。，过月作。的

切线与C交于M,N两点,S.COSZF}NF2=-,则C的离心率为（）

A.6B.3C.叵D.姮

2222

22

9.（2023•新高考I）已知双曲线C:二-二=1（。＞0力＞0）的左、右焦点分别为耳，居.点A在C上，点3

ab

__ko______________

在y轴上，FiA±F\B,F\A=--F^B,则C的离心率为.

Y2v?h

10.（2022•浙江）已知双曲线-—==1（。＞0乃＞0）的左焦点为尸，过尸且斜率为2的直线交双曲线于点

ab4。

,%）,交双曲线的渐近线于点，％）且为＜0＜9•若IEB1=31以I，则双曲线的离心率是

考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题

规律总结

顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题，如图所示:

双曲线：e=————=-------------，根据a范围求解值域.

cosa-sma^cos（a+^）

・题型悖训

22

【例1】（2024.重庆沙坪坝.高三重庆八中校考阶段练习）已知椭圆方=1（。>6>0）上一点A,它关于

TTnA

原点的对称点为8,点厂为椭圆右焦点，且满足设NABb=a,且ce—则该椭圆的离

心率e的取值范围是（）

A."B.[fC.（退一1,用D.『中

【变式1-1]（2024.高三单元测试）已知椭圆£+?1=1（a>b>0）上有一点A,它关于原点的对称点为

ab

JIJI

B,点F为椭圆的右焦点，且AFLBF,设NABb=a,且ae—则该椭圆的离心率e的取值范围为

126

（）

A」QTgB.[痒1,也

3J[2

c.[44]D.吟

【变式1-2]（2024•宁夏银川・高三银川二中校考阶段练习）已知椭圆二1+三=l（a>b>0）上有一点A,它

ab

关于原点的对称点为3,点F为椭圆的右焦点，且满足厂,设加/即且9五耳，则该椭

圆的离心率e的取值范围为（）

儿?，?B.

C.当D.冷当

22

【变式1-3]（2024•河南驻马店•高三统考期末）已知双曲线C:=-]（a>b>0）右支上非顶点的一点A关

ab

jrSir

于原点。的对称点为8,P为其右焦点，若衣.丽=0,设且6苍言），则双曲线C离心率

412

的取值范围是（）

A.（0,2]B.[j2,+»）C.（72,+oo）D.（2,+<»）

考点二：焦点三角形顶角范围与离心率

耳,£是椭圆「+4=1（。>匕>0）的焦点，点「在椭圆上，NFiPF?=9,则cosO'l-2e?（当且仅当

ab

动点为短轴端点时取等号）.

—题型特训_____

22

【例2】（2024.辽宁葫芦岛.高三统考期末）已知点耳，耳分别是椭圆「+1=1（。>6>0）的左、右焦点，

ab

点尸是椭圆上的一个动点，若使得满足斗鸟是直角三角形的动点尸恰好有6个，则该椭圆的离心率为

（）

A.1B.在C.—D.走

2223

【变式2-1]（2024•江西抚州•高三统考期末）设耳,月是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P,使

N1P❷=120。,则椭圆离心率的取值范围是（）

C4D商

a-[°4]b-[°4]-[T]-

22

【变式2-2]（2024•宁夏.高三校联考阶段练习）已知耳，Fz是椭圆C,—+^Y=Ka>b>0)的两个焦点,

Cb

若椭圆C上存在点尸，使得尸居，PE，则椭圆的离心率的取值范围为)

人•居B-制

C'（°'fl。・崎

22

【变式2-3]（2024•高三课时练习）已知椭圆:亍+方=Ka>b>0）的两个焦点分别为耳F2,若椭圆上存在

1

点尸使得/耳P玛是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（

C-H）D.团

考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题

—规律总结

—3+—1=1,与基本不等式联姻求解离心率的取值范围

e椭e双

一题型特训

【例3】（2024•全国•高三专题练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点匕，F2,P是它们的一个交点，且

JI1

瑞PF?=g记椭圆和双曲线的离心率分别为G，出，则当一取最大值时，与，与的值分别是（）

A.星B.三，6C.g&D.昱,73

222234

【变式3-1］（2024・湖南•高三校联考期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点耳，居，P,。分别是它们在

第一象限和第三象限的交点，且。耳，耳尸，记椭圆和双曲线的离心率分别为G，4则4e；+e；最小值等

于.

【变式3-2］（2024•湖北咸宁•校考模拟预测）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别

为用工，且两条曲线在第一象限的交点为尸，△跖居是以尸耳为底边的等腰三角形，若|「制=24,椭圆

与双曲线的离心率分别为G，4,则3e©的取值范围是（）

A.B.（l,+oo）c.Ip+°°|D.佶，+8］

考点四：椭圆与双曲线的4a通径体

规律总结

椭圆与双曲线的4a通径体

如图，若耳，易知恒用=2，若诙'=4耳夙彳>1）,则一定有体耳|=彳、？，根据

体娟+|4用=2。可得等.,=2”，即q1（1一/）=lne=J|||

■k题型特训

22

【例4】（2024.河南新乡•高三统考期末）设双曲线C:=-==l（a>0,b>0）的左、右焦点分别是耳、区,

ab

过月的直线交双曲线C的左支于“、N两点，若|陛|=闺乙|,且2|"周二|八%|,则双曲线C的离心率是

（）

A.-B.-C.6D.-

3322

22

【变式4-1］（2024•甘肃庆阳•高三校联考阶段练习）已知耳，B分别是椭圆C：a+方=1（。>6>0）的

左、右焦点，过点耳的直线交椭圆C于/,N两点.若|MN|+|N闾=2|出局，且工，则椭圆Q的离

心率为（）

A.立B.好C.立D.逅

3526

22

【变式4-2］（2024.湖南衡阳•校联考模拟预测）己知椭圆。:=+2=1（4>。>0）的左、右焦点分别为百、

ab

F2,过百作直线/与椭圆相交于V、N两点，NMF"=90。,且4医N|=3优M，则椭圆的离心率为

（）

A.-B.；C.@D.在

3235

考点五：椭圆与双曲线的4a直角体

规律总结

如左图，若A%_LAB,Afi过原点，S.AFi=AF\B,ZAT^K=a,则ecosa=------可得离心率.

2+1

如右图，若AB过原点，且赤2=4而（0<4<1）,通过补全矩形，可得

|4居|=4±1.工，借助公式《85£=艮习可得离心率.

1-12aA+l

^题型特训

22

【例5】（2024.山东济南.校联考）设片，工分别是椭圆E:=+与=l（a>6>0）的左、右焦点，过F?的直

ab

线交椭圆于A,B两点，且观・而=0,雨=2福，则椭圆E的离心率为（）

A.-B,-C.叵D.立

3434

22

【变式5-1］（2024.安徽池州.高三统考期末）设耳耳分别是椭圆£：=+3=1（。>6>0）的左、右焦点，

ab

过点耳（—0）的直线交椭圆E于AB两点，若|4月|=3|£可，且则椭圆E的离心率是（）

A.1B.史C.也D.克

2222

22

【变式5-2］（2024•湖北黄冈•高三统考期末）已知椭圆C:=+3=l（a>6>0）的左、右焦点分别为月，

ab

F2,过外的直线交椭圆于A，B两点,耳耳=九战，且丽.亚'=0,椭圆c的离心率为等，则实数4=

（）

21

A.—B.2C.—D.3

33

考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题

同角余弦定理使用两次

【例6】已知椭圆C的焦点为月（-1,0），鸟（1,0）,过尸2的直线与C交于4B两点.若I4闻=2|F2B\,

IA同=|m则C的方程为（）

22,2

YV

A.f+/=lB.f+f=lC.J匕=1D.—+匕=1

4354

22

【变式6-1］（2024•江西九江•高三九江一中校考期末）己知双曲线夕-a=1（。>0,6>0）左右焦点为",

F2,过尸2的直线与双曲线的右支交于尸，。两点，且而2=2破，若△尸。月为以0为顶角的等腰三角

形，则双曲线的离心率为（）

A.77B.V2

C.fD.出

22

【变式6-2］（2024•辽宁沈阳•高三沈阳二中校考阶段练习）已知双曲线二-与=l（a>0,6>0）左右焦点为

ab

K，F2,过工的直线与双曲线的右支交于尸，。两点，且标2=3@,若△PQ片为以。为顶角的等腰三

角形，则双曲线的离心率为（）

A.3B.2C.72D.73

考点七：双曲线的4a底边等腰三角形

规律总结

当优A|=|6邳或者|A却=4.时，令NA大凡=&,则一定存在①闺必=|《同，②6=亍上=

vcos2a

■k题型特训

22

【例7】（2024.河南.高三校联考阶段练习）设尸2为双曲线C：3-2=1（a>0,6>0）的右焦点，直线

ab

I：尤-3y+c=0（其中c为双曲线C的半焦距）与双曲线C的左、右两支分别交于M,N两点，若

MN.（•+口）=。，则双曲线C的离心率是（）

A.巫B.@C.-D.亚

3332

丫2v*23

【变式7-1］（2024.贵州•校联考模拟预测）设工为双曲线C：a啧=1（。>0,“0）的右焦点，直线/：

x-2y+c=0（其中c为双曲线C的半焦距）与双曲线C的左、右两支分别交于M,N两点，若

丽.（甄+月可=0,则双曲线C的离心率是（）

A.-B.-C.巫D.更

3333

22

【变式7-2］（2024.全国•高三长垣市第一中学校联考开学考试）设双曲线C:=-4=l（a>0,b>0）的左、右焦

ab

点分别为耳，耳，过点写作斜率为正的直线/与双曲线C的左、右两支分别交于M,N两点，且

3

（皿+可）.丽=0,则双曲线C的离心率为（）

A.V2B.6C,-J5D.2

22

【变式7-3］（2024.全国•模拟预测）已知耳，F?分别为双曲线C：=-==l（a>0,b>0）的左、右焦点，过

ab

月的直线与双曲线C的左支交于A,3两点，连接A工，BF,,在△AB且中，sin幺丝=^,

一24

|钿|=|熙则双曲线c的离心率为（）

A.3B.V2C.6D.2

考点八：焦点到渐近线距离为b

规律总结

双曲线的特征三角形，如图所示，设渐近线4：y=2x，4：>=一2元过右焦点作

aa

FN皿由于渐近线方程为I〉，故耨=陶=j且斜边I*=C，故耨=陶=3故

\OM\=\ON\=a,\MF2\=\NF2\=b.

22

【例8】（2024.河南新乡.高三校联考阶段练习）己知双曲线C*f=1（°>08>0）的左、右焦点分别为

用6,过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线/,垂足为//,直线/与双曲线C的左支交于E点，且H恰

为线段E居的中点，则双曲线C的离心率为（）

A.\p2B.y/3C.2D.y/5

22

【变式8-1］（2024•吉林白山•高三校联考阶段练习）已知双曲线，芯=1（。>0,10）的左右焦点分别为

耳，F2,以。片为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M（异于坐标原点O）,若线段烟交双曲线于

点尸，且沙〃。尸则该双曲线的离心率为（）

A.72B.&C.与D.76

【变式8-2］（2024•山西运城•高三统考期末）已知双曲线二-1=1（。>0乃>0）的左、右焦点分别为匕、

ab

F2,以。［为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M,若线段加片交双曲线于点尸，且|尸鸟|=5归耳

则双曲线的离心率为（）

A.叵B.叵C.72D.6

44

22

【变式8-3］（2024•辽宁・统考模拟预测）已知双曲线C：二-与=1（。>08>0）的一个焦点为尸，过尸作双

ab

曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A.若AOE4（。为坐标原点）的面积等于,c2（c为双曲线c的半焦距），

4

则双曲线C的离心率为（）

A.夜B.73C.2D.75

22

【变式8-4］（2024.广西南宁•统考）已知双曲线2=1（a>0/>0）的左焦点为耳，过点耳的直线与

ab

两条渐近线的交点分别为M、N两点（点月位于点〃与点N之间），且丽=2而，又过点片作片尸，0M

于P（点。为坐标原点），且|ON|=|OP|,则双曲线E的离心率0=（）

A.75B.&C.9D.迈

32

考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形

利用几何法转化

一题型特训

22

【例9】（2024•江西九江.高三九江一中校考阶段练习）尸是双曲线1r-方=1（。>0,6>。）的左焦点，过点

尸作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A,交另一条渐近线于点B.若3两=丽，则此双曲线的离心率

为（）

A.2B.-C.友D.目

33

22

【变式9-1］（2024•广西玉林•校考模拟预测）过双曲线C「一与=1（介0,b>0）的右焦点尸引一条渐近线

ab

的垂线，与另一条渐近线相交于第二象限，则双曲线。的离心率的取值范围是（）

A.（血，+co）B.（6，+oo）C.（2,+oo）D.（3,+oo）

22

【变式9-2］（2024.江西新余•统考）已知双曲线C:一-方=l（a>0,b>0）,过右焦点尸作C的一条渐近线

的垂线/,垂足为点A,/与。的另一条渐近线交于点3,若=则。的离心率为（）

A.画D.好

B.2c

5¥2

考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题

规律总结

以用工为直径作圆，交一条渐近线y=于点3,屏1交另一条渐近线于点A,则令48。居=々，则

a

/BF/z=%,e-A/1+tan*2a

・题型特训

22

【例10］（2024•全国•校联考）过双曲线C:5-%=l（a>0,8>0）的右焦点?作X轴的垂线，与双曲线C及其

ab

一条渐近线在第一象限分别交于A2两点，且炉=2双-砺（O为坐标原点），则该双曲线的离心率是（）

A.2.B.6C.—D.空

23

22

【变式10-1］（2024•山西晋城・统考）设尸1，B是双曲线C：亍=1（。>0,6>0）的左、右焦点，以线段

与居为直径的圆与直线法-0=。在第一象限交于点A,若tan/AKO=2,则双曲线C的离心率为（）

C.目D.2

22

【变式10-2]（2024.河北衡水•高三河北衡水中学校考阶段练习）已知双曲线c：[-[=1（。>0,b>0）的

ab

左，右焦点分别为F2,若以尸7尸2为直径的圆和曲线C在第一象限交于点P,且△POB恰好为正三角

形，则双曲线C的离心率为（）

A.B.C.1+百D.1+非

22

22

【变式10-3]（2024•陕西宝鸡•统考）已知双曲线。:二-2=1（"0,6>0）的左、右焦点分别为尸-F2,且

ab

以耳耳为直径的圆与双曲线C的渐近线在第四象限交点为尸，尸久交双曲线左支于Q,若2而则双

曲线的离心率为（）

A.包里B.回C.D.75

22

考点十一：渐近线平行线与面积问题

②双曲线C：工一£=1上的任意点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，分别交于A,3两点，则

a2b2

*--—»/72—h2

归小尸倒是一个常数彳，SAOBP=^-,OAOB=--—

^题型特训

22

【例11】（2024・北京•人大附中校考）已知片，F?分别为双曲线C：=1（。>0乃>0）的左、右焦点，过

ab

尸2作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M,N两点.若cosNMf；N=A，则C的离心率为（）

A.2B.qC.>/5D.1

22

【变式11-1】（2024•山东潍坊•高三统考期末）已知双曲线C京-方=1（°>0,"0）上一点尸坐标为

（V5,"2）（7">0），尸为双曲线C的右焦点，且Pb垂直于x轴.过点p分别作双曲线C的两条渐近线的平行线,

它们与两条渐近线围成的图形面积等于1,则该双曲线的离心率是.

22

【变式11-2】（2024•重庆沙坪坝•高三重庆八中校考阶段练习）过双曲线C：5-2=1（«>0,b>0）

ab

右支上一点尸作两条渐近线的平行线分别与另一渐近线交于点M,N,。为坐标原点，设AOMN的面积

h-

为S,若52幺，则双曲线C的离心率取值范围为.（用区间作答）

2

考点十二：数形结合转化长度角度

・规律总结

数形结合

一题型特训

【例12］（2024•四川泸州•高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知耳月分别为双曲线

22

C:-—3=1（4>0力>0）的左、右焦点，P是C左支上一点，|尸周=2「百］,若存在点M满足

FiP=2MP,OMF^=0,则C的离心率为.

/2

【变式12-1］（2024•内蒙古赤峰•高三校考期末）已知双曲线-2V=1（。>0/>0）的左、右焦点分别为

ab

FB，点A在r上，且丽•瓯=0,射线AO，AB分别交「于民C两点（。为坐标原点），若

\F2B\=\F2C\,则「的离心率为.

22

【变式12-2］（2024•福建龙岩•高三福建省连城县第一中学校考期末）如图，已知双曲线G=一上=1的

aa+2

左、右焦点分别为居，区,M是C上位于第一象限内的一点，且直线与y轴的正半轴交于A点，AAMF\

的内切圆在边M居上的切点为N,若|MN|=2,则双曲线C的离心率为.

专题16妙解离心率问题

【目录】

....................................................................17

....................................................................18

考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题................