高考数学二轮复习专练：正弦定理和余弦定理【八大题型】

专题4.3正弦定理和余弦定理【八大题型】

【新高考专用】

►热点题型梳理

【题型1正、余弦定理求三角形的边与角】......................................................17

【题型2正、余弦定理判定三角形形状】........................................................19

【题型3正弦定理判定三角形解的个数】.......................................................21

【题型4证明三角形中的恒等式或不等式】.....................................................23

【题型5求三角形(四边形)的面积1.......................................................................................27

【题型6求三角形中的边长或周长的最值或范围】...............................................30

【题型7距离、高度、角度测量问题】..........................................................34

【题型8正、余弦定理与三角函数性质的结合应用】.............................................38

►命题规律

1、正弦定理、余弦定理解三角形

正弦定理、余弦定理解三角形是高考的热点内容，是每年高考必考内容之一.从近几年的高考情况来看,

正弦定理、余弦定理在选择题、填空题中考查较多，也会出现在解答题中，在高考试题中出现有关解三角

形的试题大多数为较易题、中档题.对于解答题，一是考查正弦定理、余弦定理的简单应用；二是考查正、

余弦定理与三角形面积公式的综合应用，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合命题，需要学生灵活

求解.

►知识梳理

【知识点1解三角形几类问题的解题思路】

1.正弦定理、余弦定理解三角形的两大作用

(sina士cosa)2—1±2sinacosa；sina—tana-cosa.

(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想,

即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素。

(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的

三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.

2.判定三角形形状的途径：

(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；

(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.

无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意

挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.

3.对三角形解的个数的研究

已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.

已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三

角形不能被唯一确定.

(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以己知

。力和A,解三角形为例加以说明.

由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：

①若sinB=24>l,则满足条件的三角形的个数为0；

a

②若sinB=54=l,则满足条件的三角形的个数为1；

a

③若sin8=04<l,则满足条件的三角形的个数为1或2.

a

显然由0<5也8=公”3<1可得8有两个值，一个大于90。，一个小于90。，考虑至广大边对大角”、“三

a

角形内角和等于180。”等，此时需进行讨论.

4.与三角形面积有关问题的解题策略：

(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；

(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.

【知识点2测量问题的基本类型和解决思路】

1.测量问题

1.测量距离问题的基本类型和解决方案

当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：

类型简图计算方法

测得AC=6,BC=a,C的大小，则由余弦定理

A,B间不可达

也不可视得48=a2-\-b2—2abcosC

C

\

-1—

一—。测得8C=a,B,C的大小，贝ij4=兀-(8+O，

B,C与点A可*____________

\由正弦定理得.sinC

视但不可达fl

T;T_______U”=sin(3+C)

BaC

AB测得CD=a及/BDC,NACD,NBCD,NADC

CQ与点A,B的度数.在△AC£)中，用正弦定理求AC；在

均可视不可达△。中，用正弦定理求；在中，

一BCBCAABC

用余弦定理求AA

酒

Ca_____D

2.测量高度问题的基本类型和解决方案

当A3的高度不可直接测量时，求的高度有以下三种类型:

类型简图计算方法

A

底部

测得BC=a,C的大小,AB=atanC.

可达

CaB

A

//测得CD=a及/ACB与/ADB的度数.

点B与

//先由正弦定理求出AC或AO,再解直角三角形

C,D共线»一、—

得的值.

Ca©-----B

底

部

不

可

达A

点、B与测得CD=a及/BCD/BDC/ACB的度数.

C,。不/8-在^BCD中由正弦定理求得BC,再解直角三

一/八二

共线角形得AB的值.

CaD

3.测量角度问题的解决方案

测量角度问题主要涉及光线（入射角、折射角），海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方

位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图

形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.

►举一反三

【题型1正、余弦定理求三角形的边与角】

【例1】（2023•江西上饶•统考二模）在AABC中，NC的角平分线交4B于点D,ZB=-,BC=3百，AB=3,

6

贝l|CD=（）

A.延B.C.逑D.三

2222

【变式1-1]（2023•四川巴中•统考一模）在4力BC中，若2cos2人—cos力=2cos2B+2cos2c—2+cos（5—C）,

则A=（）

【变式1-2]（2023.四川泸州.泸州老窖天府中学校考模拟预测）在2L4BC中,角4B、C的对边分别为a、b、

c,若a=l,c—2A/3,bsinA=asin（^―Bj,则sinC=（）

A.隹B.叵C.叵D.圾

771219

【变式1-3］（2023•河南南阳•统考二模）△ABC是单位圆的内接三角形，角4B,C的对边分别为a,b,c,且

a2+b2—c2=4a2coSi4—2accosB,贝!Ja等于（）

A.2B.2V2C.V3D.1

【题型2】

【例2】（2023•北京海淀・中央民族大学附属中学校考模拟预测）在△ABC中，若a=26cosC,则AABC一

定是（）

A.正三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰三角形

【变式2-1］（2023•甘肃酒泉•统考三模）在△力BC中内角48,C的对边分别为a,b,c,若弓=当能，则AABC

smBcosA

的形状为（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【变式2-2］（2023•内蒙古呼和浩特•统考一模）在ATIBC中，。是8C边的中点，且4B=3,AC=2,AD=V3,

贝I△力BC的形》犬为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.无法确定

【变式2-3］（2023・河南开封•开封高中校考模拟预测）在^力/©中，若COSA=sinAi，cosB=sinB］，

cosC=sinG则（）

A.△力BC与AaiBiG均是锐角三角形

B.△ABC与AaiBiCi均是钝角三角形

C.△ABC是钝角三角形，AZiBiG是锐角三角形

D.△ABC是锐角三角形，△4/iG是钝角三角形

【题型3正弦定理判定三角形解的个数】

【例3】（2023•广西南宁・南宁三中校考模拟预测）在AABC中，cosA=£,sinB=m，若角C有唯一解，

则实数m的取值范围是（）

A。（MDB.岛，1］C.g|,l］u局D.（O4］U{1}

【变式3-1］（2023下•河南开封•高一校联考期末）在AABC中，内角的对边分别为a,6,c.已知a=

2V2,b=4,A=p则此三角形（）

6

A.无解B.有一解

C.有两解D.解的个数不确定

【变式3-2］（2023•全国•高一专题练习）在AABC中，内角力、B、C所对的边分别为a、b、c,不解三角形,

确定下列判断正确的是（）

A.B=60°,c=4,b=5,有两解B.B=60°,c=4,b=3.9,有一解

C.B=60。，c=4,6=3,有一解D.B=60。，c=4,b=2,无解

【变式3-3］（2023•贵州・统考模拟预测）AABC中，角4B,C的对边分别是a,b,c,A=60°,a=8.若这个

三角形有两解，贝防的取值范围是（）

A.V3<fa<2B.V3<fa<2

C.1<<2V3D.l<b<2

【题型4证明三角形中的恒等式或不等式】

【例4】（2023•全国•高三专题练习）在△ABC中，Z^cos?>2s呜cosg=遮

⑴求B的大小；

（2）若百（a+c）=26,证明：a=c.

【变式4-1】（2023下・北京•高一校考期中）在△ABC中，角A,2,C的对边分别为a",c,且丫=黑罂

⑴求角C的大小;

（2）。为△ACB的内角平分线，且与直线AB交于点D

/.、［、-、-y*ADAC

(1)求证:一=—；

BDBC

(ii)若a=2,c=V19,求CD的长.

【变式4-2](2023•高一课时练习)如图，已知△A8C内有一点P,满足々MB=NPBC=APC4=a.

⑴证明：PBsinABC=Xfisina.

(2)若乙4BC=90°,AB=BC=1,求PC.

【变式4-3](2023•全国•高三专题练习)已知△ABC的外心为。，为线段4B,4C上的两点，且。恰为MN

中点,

(1)证明：\AM\•\MB\=\AN\•\NC\

(2)若|2。|=V3,\OM\=1,求沁州勺最大值.

【题型5求三角形(四边形)的面积】

【例5】(2023•湖南永州•统考一模)在A4BC中，设4,8,C所对的边分别为a,b,c,且满足ccosA-acosC=

a+b.

(1)求角C；

(2)若c=5,AABC的内切圆半径r="，求4ABC的面积.

4

【变式5-1](2023•西藏日喀则•统考一模)已知△ABC的三个内角分别为“、B、C,其对边分别为a、b、c,若

-------FcosC=tanBsinC.

b

(1)求角B的值；

(2)若b=2,求A/IBC面积S的最大值.

【变式5-2](2023・江西•校联考二模)在△ABC中，角4B,C所对的边分别为a,hc,已知sindsinB+cos?4+

cos2B+sin2c=2.

(1)求角C；

(2)若A4BC为锐角三角形，且6=2,求△ABC面积的取值范围.

【变式5-3](2023•河北邢台•宁晋中学校考模拟预测)在AABC中，内角45C的对边分别为a,b,c,且

(1)求B；

(2)如图，D,8在AC的两侧，b2=ac且4。=CD=2,求四边形4BCD面积的最大值.

【题型6求三角形中的边长或周长的最值或范围】

【例6】(2023•全国•模拟预测)己知AABC为锐角三角形，其内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cosB=

cos2A

(1)求《的取值范围；

(2)若a=l,求△ABC周长的取值范围.

【变式6-1](2023•全国•模拟预测)在锐角三角形ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且siM/l-

r3

2sin4cosBsinC+sin2C=

4

⑴求角B的值.

(2)求答的取值范围.

【变式6-2](2023・四川雅安・统考模拟预测)记AaBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

(a+c)sinA-bsinB.「

------------------=smC.

a-b+c

⑴求角A的大小；

(2)若△4BC的面积为4必，求AABC周长/的最小值.

【变式6-3](2023・全国•模拟预测)从①2sinB=2sinXcosC+sinC,②4Ssin4=absinCtanA(S为4ABC的

面积)，③6cos4+acosB+2acosC=26这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并加以解答.

在△ABC中，内角力、B、C的对边分别为a、b、c,且______.

(1)求角4的大小；

(2)若4sin8=bsinA,求6+c的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【题型7距离、高度、角度测量问题】

【例7】(2023•全国•高一专题练习)如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30。相距历+迎海里的B处有一艘

走私船，正沿东偏南45。的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以2企海里/小时的速度沿

着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改

变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以3或海里/小时的速度沿着直线追击

B

CF

(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里

(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船

【变式7-1](2023・湖北孝感・校联考模拟预测)汾阳文峰塔建于明末清初，位于山西省汾阳市城区以东2

公里的建昌村，该塔共十三层，雄伟挺拔，高度位于中国砖结构古塔之首.如图，某测绘小组为了测量汾阳

文峰塔的实际高度AB，选取了与塔底8在同一水平面内的三个测量基点C,D,E,现测得ABCD=30。，

Z.BDC=70°,4BED=120°,BE=17.2m,DE=10.32m,在点C测得塔顶A的仰角为62。.参考数据：取

tan62°=1.88,sin70°=0.94,“44.9616=12.04.

⑴求BD；

(2)求塔高4B(结果精确到1m).

【变式7-2](2023下•河南濮阳•高一濮阳一高校考阶段练习)某海域的东西方向上分别有A,8两个观测

点(如图)，它们相距25逐海里.现有一艘轮船在。点发出求救信号，经探测得知。点位于A点北偏东45。,

B点北偏西75。，这时位于B点南偏西45。且与8相距80海里的C点有一救援船，其航行速度为35海里/小

(1)求B点到D点的距离BD-,

(2)若命令C处的救援船立即前往。点营救，求该救援船到达。点需要的时间.

【变式7-3】(2023下•上海宝山•高二校考期中)某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.4处有

一栋大楼,某学生选(与4在同一水平面的)8、C两处作为测量点，测得BC的距离为50m,乙48c=45。,NBC4=

105°,在C处测得大楼楼顶。的仰角a为75。.

□□

□□

□口

□口

□□

□口

□□

□□

□口

□□

□

口

□口

□口

(1)求4c两点间的距离；

(2)求大楼的高度.(第(2)问不计测量仪的高度，计算结果精确到1m)

【题型8正、余弦定理与三角函数性质的结合应用】

【例8】(2023•河北邯郸•统考一模)已知函数/'(x)=V5sin2a)K-2cos+2(3eN+)在(it号)上单调.

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)若△A8C的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a=3,/g)=2,求△ABC周长的最大值.

【变式8-1](2023・湖南•模拟预测)已知函数/(%)=2V3sinxcosx—2cos2x.

(1)求函数y=log2/。)的定义域和值域；

(2)已知锐角A4BC的三个内角分别为A,B,C,若/停)=0,求?的最大值.

【变式8-2](2023•全国•高三专题练习)已知函数/'(%)=sin2：—,sin：cosm+1.

(1)求函数y=/(*)的单调递减区间；

(2)在ATIBC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a?—=accos8—之儿，求/'(B)的取值范围.

【变式8-3](2023•全国•高一专题练习)已知函数/⑺=sink.)+小，将y=/(久)的图象横坐标变为原

来的|,纵坐标不变，再向左平移籍单位后得到g(x)的图象，且y=g(x)在区间[臂]内的最大值为宗

(1)求血的值；

(2)在锐角A4BC中,若“£)=亨，求tanA+tanB的取值范围.

►直击真题

1.(2023•北京.统考高考真题)在A4BC中,(a+c)(sinA-sinC)=6(sin&-sinB),则“=()

A.-B.-C.—D.—

6336

2.(2023•全国•统考高考真题)在△力BC中，内角4B,C的对边分别是a,仇c,若acosB-bcosA=c,且C=泉

则N8=()

3.(2023•全国•统考高考真题)在△4BC中，2LBAC=60°,XB=2,BC=V6,NB4C的角平分线交BC于。,

贝！|力。=.

4.(2023•全国•统考高考真题)记A/IBC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知此孑=2.

cos/

⑴求be；

acosB—bcosA

(2)若,-=1,求△ABC面积.

acosB+bcosA

5.(2023・全国•统考高考真题)在AABC中，己知NB4C=120。，AB=2,AC=1.

⑴求sinNABC；

(2)若。为BC上一点，且NBA。=90。，求△ADC的面积.

6.(2023・天津•统考高考真题)在△4BC中，角4B,C所对的边分别是a,4c.已知a=屈,6=2,乙4=120°.

(1)求sinB的值；

(2)求c的值；

(3)求sin(B-C).

7.(2023•全国•统考高考真题)已知在△力BC中，A+B=3C,2sin(X-C)=sinB.

(1)求sin4；

(2)设=5,求AB边上的高.

8.(2023•全国•统考高考真题)记△ABC的内角4民C的对边分别为见瓦c,已知的面积为遮，D为BC

中点，且AD=1.

(1)若Z710C=p求tanB；

(2)若炉+c2=8,求瓦c.

9.(2022•全国•统考高考真题)记△48C的内角A,B,。的对边分别为曲b,c,已知sinCsinQ4-B)=

sinBsin(C—A).

⑴若4=28,求C；

(2)证明:2a2=b2+c2

10.(2022,全国.统考高考真题)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=三吧-

1+sinAl+cos2B

(1)若。=y,求&

(2)求学的最小值.

专题4.3正弦定理和余弦定理【八大题型】

【新高考专用】

►热点题型梳理

【题型1正、余弦定理求三角形的边与角】......................................................17

【题型2正、余弦定理判定三角形形状】........................................................19

【题型3正弦定理判定三角形解的个数】.......................................................21

【题型4证明三角形中的恒等式或不等式】.....................................................23

【题型5求三角形(四边形)的面积】..........................................................27

【题型6求三角形中的边长或周长的最值或范围】...............................................30

【题型7距离、高度、角度测量问题】..........................................................34

【题型8正、余弦定理与三角函数性质的结合应用】.............................................38

►命题规律

1、正弦定理、余弦定理解三角形

正弦定理、余弦定理解三角形是高考的热点内容，是每年高考必考内容之一.从近几年的高考情况来看,

正弦定理、余弦定理在选择题、填空题中考查较多，也会出现在解答题中，在高考试题中出现有关解三角

形的试题大多数为较易题、中档题.对于解答题，一是考查正弦定理、余弦定理的简单应用；二是考查正、

余弦定理与三角形面积公式的综合应用，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合命题，需要学生灵活

求解.

►知识梳理

【知识点1解三角形几类问题的解题思路】

1.正弦定理、余弦定理解三角形的两大作用

(sin«士cosa)2=1±2sinacosa；sina=tana-cosa.

(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想,

即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素。

(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的

三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.

2.判定三角形形状的途径：

(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；

(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.

无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意

挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.

3.对三角形解的个数的研究

已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.

已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三

角形不能被唯一确定.

(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角“时三角形解的情况，下面以已知

和4,解三角形为例加以说明.

由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：

①若sin8=久犯且>1,则满足条件的三角形的个数为0；

a

②若sin2=公曳且=1,则满足条件的三角形的个数为1；

a

③若$出2=箜叱<1,则满足条件的三角形的个数为1或2.

a

显然由0<sin8=%~a<l可得8有两个值，一个大于90。，一个小于90。，考虑至「大边对大角”、“三

a

角形内角和等于180。”等，此时需进行讨论.

4.与三角形面积有关问题的解题策略：

(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；

(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.

【知识点2测量问题的基本类型和解决思路】

1.测量问题

1.测量距离问题的基本类型和解决方案

当AB的长度不可直接测量时，求A8的距离有以下三种类型：

类型简图计算方法

测得AC=6,BC=a,C的大小，则由余弦定理

A,B间不可达

也不可视得4B=-\/a2+b2—2abcosC

一」

--------

测得B,。的大小，则A=TI-(3+C),

民C与点A可

由正弦定理得61sinC

视但不可达"=sm(3+C)

I3--a~%

/B测得CD=a及NBDC/ACD/BCD/ADC

C,D与点A,B的度数.在△AC。中，用正弦定理求AC；在

均可视不可达n~~△BC。中，用正弦定理求BC；在△ABC中，

-yI-用余弦定理求AA

火汉

CaD

2.测量高度问题的基本类型和解决方案

当A8的高度不可直接测量时，求A8的高度有以下三种类型:

类型简图计算方法

A

底部

测得BC=a,C的大小，AB=tz-tanC.

可达

CaB

A

//测得CD=a及NACB与NADB的度数.

点8与

//先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形

CQ共线工〃

4得A8的值.

Ca00

底

部

不

可

达

八A一

点、B与测得CD=a及NBCD/BDC/ACB的度数.

C,D不在ABC。中由正弦定理求得BC,再解直角三

共线二//,、-2^-角形得A3的值.

CaD

3.测量角度问题的解决方案

测量角度问题主要涉及光线（入射角、折射角），海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方

位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图

形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.

►举一反三

【题型1正、余弦定理求三角形的边与角】

【例1】（2023•江西上饶•统考二模）在A4BC中，NC的角平分线交4B于点D,乙B=-,BC=3V3,AB=3,

6

则CD=()

3A/63A/2

【解题思路】先在△ABC中，由余弦定理求得AC=3,即可知△ABC为等腰三角形，再解出NC和然后

在△力CD中，由正弦定理求解CD即可.

【解答过程】

如图所示，在△ABC中，由余弦定理得

2ns

AC2=BC2+AB2-2BC-AB-cosB=(3⑹+32-2x3V3x3x/=9,

：.AC=3=AB,.•.△ABC为等腰三角形，^ACB=zS=z4=it-2x-=—,

663

又为角平分线，

・•・在UCC中，〃九54T三

由正弦定理得•

sinz.ADCsinA

ACsinA3xsin-3x与376

sinz.ADC

故选：A.

【变式1-1X2023•四川巴中•统考一模)在AABC中，若2cos24-COST!=2cos2B+2cos2c-2+cos(B-C),

则A=()

A.-B.-C.—D.—

6336

【解题思路】根据平方关系、诱导公式、余弦两角和差角关系式化简已知等式为siMB+siMC-siMAn

sinBsinC,再结合正余弦定理即可得角”的大小.

【解答过程】因为2cos2/—cosA=2cos2B+2cos2c—2+cos(B—C),

所以2(1—sin27l)—COS[TT—(B+C)]=2(1—sin2B)+2(1—sin2C)—2+3s(B—C),

则2—2sin2X+cosBcosC—sinBsinC=2—2sin2B—2sin2C+cosBcosC+sinBsinC,

整理得：sin2B4-sin2c—siMZ=sinBsinC

由正弦定理可得：b2+c2-a2=bc,再由余弦定理得cosA=注也=?='

2bc2bc2

因为ze(o^ir),故a=p

故选：B.

【变式1-2］（2023•四川泸州・泸州老窖天府中学校考模拟预测）在2L4BC中，角4、B、C的对边分别为a、b、

c,若a=1,c=2V3,bsinA=asin—贝（IsinC=（）

A.如B.叵C.叵D.场

771219

【解题思路】利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得tanB=在，可得出B=3然后利用余弦定理求

36

出b的值，最后利用正弦定理可求出sinC的值.

【解答过程】bsinX=asin售一B）=?acosB—|asinB,

即sinAsinB=fsin/lcosB-fsin/lsinB,即3sin4sinB=每inAcosA,

sinA>0,3sinB=75cos8,得tanB=—,v0<B<TT,B=-.

36

由余弦定理得b=yja2+c2—2accosB=Jl+12-2xlx2V3xy-=近,

符^_叵

由正弦定理£：=号，因此，sinC=2

sinCsmBbV7~7,

故选：B.

【变式1-3］（2023•河南南阳•统考二模）△ABC是单位圆的内接三角形，角4,8,C的对边分别为a,b,c,且

a2+b2—c2=4a2coSi4—2accosB,贝!Ja等于（）

A.2B.2V2C.V3D.1

【解题思路】根据给定条件，利用余弦定理、正弦定理及和角的正弦化简给定等式，求出角A,再利用正弦

定理求解作答.

【解答过程】在△48C中，由已知及余弦定理得2abeosC=4a2cos?l—2accosB,即2acos2=bcosC+ccosB,

由正弦定理边化角得：2sin4cos4=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sin力，

而0<4<p,即sim4>0,贝!IcosA=%即有4=（又AABC的外接圆半径R=1,

所以a=2RsinA=2sing=V3.

故选：C.

【题型2】

【例2】（2023•北京海淀・中央民族大学附属中学校考模拟预测）在△ABC中，若a=26cosC,则AABC一

定是（）

A.正三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰三角形

【解题思路】由余弦定理化简计算即可.

【解答过程】由a=2bcosC及余弦定理得：a=2bx""一。=>a2=a2+h2—c2=>h2=c2,即b=c.

2ab

故选：D.

【变式2-1](2023•甘肃酒泉•统考三模)在△ABC中内角4B,C的对边分别为a,4c,若吗=当段，则AABC

DZsmBcosA

的形状为()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【解题思路】由正弦定理，余弦定理化角为边，化简已知等式可得(a?—炉)缶2+62一02)=0,即可判断

△4BC的形状.

【解答过程】由正弦定理，余弦定理及a2cosAsinB=Z^cosBsinA得，a2-"•b=b?•"一"'a,

2bc2ac

a2(b2+c2-a2)=62(a2+c2-炉),即a4-b4+c2(b2-a2)=0,

则(a?+h2)(a2—h2)+c2(b2—a2)=0,BP(a2—&2)(a2+b2—c2)=0,

a=b或a?+b2=c2,.­.△ABC为等腰三角形或直角三角形.

故选：D.

【变式2-2](2023•内蒙古呼和浩特•统考一模)在AABC中，。是BC边的中点，且4B=3,AC=2,AD=V3,

则A4BC的形状为()

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.无法确定

【解题思路】分别在△力BD和AACD中，利用余弦定理得到两个等式，然后两式相加，得到BC,然后在AABC

中，由余弦定理判断.

【解答过程】解：在△力BD中，由余弦定理得482=402+8£)2一24。・BD-cosN4DB,

在△2CD中，由余弦定理得AC?=AD2+DC2_2AD.pc-cos^ADC,

两式相加得BZ)2+DC2=7,则DC="，SC=V14,

在△力BC中，由余弦定理得cos/1=卑痣％=-2<0,

2AB-AC12

所以AABC是钝角三角形，

故选：C.

【变式2-3X2023•河南开封•开封高中校考模拟预测)在AABC和Aa/iG中，若cosA=sin4,cosB=sin2,

cosC=sinCi则（）

A.AABC与A&BiCi均是锐角三角形

B.AABC与△4/iG均是钝角三角形

C.△ABC是钝角三角形，△&B1Q是锐角三角形

D.△ABC是锐角三角形，△4/iG是钝角三角形

【解题思路】根据题意，由三角形的正弦值一定大于零，即可判断△力BC是锐角三角形，然后再由sin4>0,

判断△的形状即可得到结果.

【解答过程】在△2BC和△AiBiG中，因为sinA]=cosX>0,sin8i=cosB>0,sin^=cost>0,

所以4B,C均为锐角，即△ABC为锐角三角形.

另一方面sinA】=cosA=sin（彳-4）>。，可得4+&=]或1-A+=TI

即A1—A=^,

所以4为锐角或者钝角，

同理可得Bi，G为锐角或者钝角，

但是力i，Bi，Q中必然有一个为钝角，否则不成立，所以△4为钝角三角形.

故选:D.

【题型3正弦定理判定三角形解的个数】

【例3】（2023•广西南宁・南宁三中校考模拟预测）在UBC中，cosA=茅sinB=6，若角C有唯一解，

则实数小的取值范围是（）

A・舟1）B.信,1]C,[f,l]u{1}D.（0,1]u{l}

【解题思路】由cosA=",得到三=当=2，以C为圆心，a为半径画圆弧，当圆弧与边4B有1个交点时

13bsmB13m

满足条件，结合图象，列出关系式，即可求解.

【解答过程】在AABC中，cos4=sinB=m,若NC有唯一解，则AABC有唯一解,

设内角力，B,C所对应的边分别为a,b,c,

由8sa=||,则4为一确定的锐角且sin力量，所以^5

13m'

如图以C为圆心，a为半径画圆弧，当圆弧与边4B有1个交点时满足条件,

如图示：即圆弧与边48相切或与圆弧与边2B相交有2个交点，

其中一个交点在线段48的反向延长线上（或在点/处），故。=bsinA=卷6或Q之b,

由2=旦，即。=旦儿得旦人=三力或三方之力，

b13m13m13m1313m

解得血=1或。v771〈亮

故选：D.

【变式3-1］（2023下•河南开封•高一校联考期末）在△ABC中，内角的对边分别为a,b,c.已知a=

2近力=4,A=j则此三角形（）

6

A.无解B.有一解

C.有两解D.解的个数不确定

【解题思路】利用正弦定理解出sinB,再根据a<6,得到4<B,可得角B有两个解.

【解答过程】由正弦定理三=白，得孥=白，解得sin8=¥.

sinAsmB-sinB2

2

因为a<b,所以.又因为86（0,兀），所以8=3或8=与，故此三角形有两解.

故选：C.

【变式3-2］（2023•全国•高一专题练习）在AABC中，内角4、B、C所对的边分别为a、b、c,不解三角形,

确定下列判断正确的是（