高考数学模拟大题规范训练15（含答案及解析）

高三数学大题规范训练（15）

JT

15.如图1,四边形A3CD为菱形，ZABC=~,E,产分别为A。，。。的中点，如

3

图2.将ABC沿AC向上折叠，使得平面ABC1平面ACFE,将”•所沿所向上折

叠.使得平面DEFL平面ACFE,连接BD.

CD求证：A,B,D,E四点共面：

（2）求平面与平面ED3C所成角的余弦值.

16.教练为了解运动员甲的罚篮情况，记录了甲罚篮前30次的投篮情况，得到下表（用

“1”表示投中，用“0”表示没有投中）：

序号123456789101112131415

投篮情况110111101110001

序号161718192021222324252627282930

投篮情况101100111001110

把频率估计为概率：

（1）若认为甲各次投篮是独立的，计算甲第31,32两次投篮恰好一次投中，一次没有投

中的概率；

（2）若认为甲从第2次投篮开始，每次投篮受且仅受上一次投篮的影响，记甲第31,32

两次投篮投中的次数为X,写出随机变量X的分布列，并求EX.

17.已知椭圆E：W+/=l（a〉6〉0）的离心率为e=¥，过点C（L。）作斜率为左直线

/与椭圆E交于A,B两点交于A,B（A在*轴上方），当上=—1时，|A3|=£1—.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）过点A作直线x=4垂线，垂足为N,连接8N与x轴交于点若四边形

AC儿W为等腰梯形，求直线/的斜率左.

18.定义：若变量x,y>0,且满足：=1,其中a力>O,meZ,称）是关

于的“加型函数”.

（1）当a=2,b=l时，求>关于尤的“2型函数”在点1,处的切线方程;

（2）若y是关于X的“T型函数”,

（D求x+y的最小值：

n+1

j_（_n__n_A/

（ii）求证：+an+i+bn+in，）.

19.数列｛a,｝满足%+iW%+；”+2,则称数列｛4｝为下凸数列.

（1）证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列；

（2）设c“=Z+e"，其中｛4｝分别是公比为名，如的两个正项等比数列，且

证明：｛%｝是下凸数列且不是等比数列；

2

（3）若正项下凸数列前九项和为S"，且'〈I,求证：al+^~^<an<ai.

n

高三数学大题规范训练（15）

7T

15.如图1,四边形A3CD为菱形，ZABC=~,E,产分别为A。，。。的中点，如

3

图2.将ABC沿AC向上折叠，使得平面ABC1平面ACFE,将”•所沿所向上折

叠.使得平面DEFL平面ACFE,连接BD.

CD求证：A,B,D,E四点共面:

（2）求平面与平面ED3C所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解答

⑵」

5

【解答】

【分析】（1）利用线面垂直的性质得到5M〃DN,结合中位线定理得到最后证

明四点共面即可.

（2）找到对应二面角的平面角，放入三角形中，利用余弦定理求解即可.

【小问1详解】

取AC,ER的中点分别为N,连接BM，DN,

取AM,的中点分别为G,H,连接G",HD,GE,

E

E

P

由题意知_ABC,JJEF都是等边二角形，

所以DN±EF,

因为平面ABC1平面ACEE,平面DEF，平面ACEE,

所以1平面ACFE,0N1平面ACFE,所以BMHDN,

因为A"，8M的中点分别为G,H,距以、GEIIMN

所以HM=DN,所以DHHMN,

所以DH〃GE,又因DH=GE,

所以GH〃DE,

因为AM,的中点分别为G,H,

所以GH〃AB,

所以AB//DE,所以A,B,D,E四点共面；

【小问2详解】

连接AD,DC,且延长AE,b交于点P,由题意知AP=A5,BD=DP，

所以AD15D,同理CDL3D,

所以NADC就是二面角A—£>B—C的平面角,

设AB=2a,则AC=2a,DN=^~a,AN=^-a>

22

所以由平a，同理心辛,

1010242

2H--—4a

—aa1

所以cosZADC=44

5

所以平面AEDB与平面FDBC所成角的余弦值为1.

16.教练为了解运动员甲的罚篮情况，记录了甲罚篮前30次的投篮情况，得到下表（用

“1”表示投中，用“0”表示没有投中）：

序号123456789101112131415

投篮情况110111101110001

序号161718192021222324252627282930

投篮情况101100111001110

把频率估计为概率：

（1）若认为甲各次投篮是独立的，计算甲第31,32两次投篮恰好一次投中，一次没有投

中的概率；

（2）若认为甲从第2次投篮开始，每次投篮受且仅受上一次投篮的影响，记甲第31,32

两次投篮投中的次数为X,写出随机变量X的分布列，并求EX.

【答案】（1）小

450

579

（2）分布列见解答，——

475

【解答】

1911

【分析】（1）由题可得甲投篮投中的概率片=.，投不中的概率为£=玄，故所求概率

为恰有一次投中，一次没有投中的概率为尸=C；《E，代入数据即可求解；

（2）表格中的数据可以知道：上一次投篮投中，这一次也投中的概率为上，上一次投篮没

19

3

有投中，这一次投篮投中的概率为X的所有可能取值为0,1,2,然后求出对应概率即

可得解.

【小问1详解】

根据表中的数据，在甲前30次的投篮过程中，有19次投中，11次没有投中，因此因动员

1911

甲投篮投中的概率6=二，投不中的概率为鸟=二，若甲各次投篮互相独立，那么第

31,32次投篮，恰有一次投中，一次没有投中的概率为

PC2xtx片|||

【小问2详解】

根据表格中的数据可以知道：上一次投篮投中，这一次也投中的概率为一,

19

3

上一次投篮没有投中，这一次投篮投中的概率为《，

X的所有可能取值为0,1，2,且由表格可知第30次运动员甲没有投中，

则p（x=o）=r|MW，

P(X=1)=

「(x=i)3U0,

51995

所以随机变量X的分布列为:

17.已知椭圆E:j+}=l（a〉人〉0）的离心率为e=乎，过点。（1,0）作斜率为左直线

/与椭圆E交于A,3两点交于A,B（A在x轴上方），当上=—1时，|A3|=」一.

5

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）过点A作直线x=4的垂线，垂足为N,连接与x轴交于点M,若四边形

AC儿W为等腰梯形，求直线/的斜率左.

【答案】（1）—+y2=l

4-

(2)一匹

6

【解答】

【分析】(1)由离心率可得。=24将椭圆方程化为炉+4产=4〃，联立直线与椭圆方程,

消元，列出韦达定理，利用弦长公式求出b,即可得解；

(2)不妨设的中点为G,则必有BGLGW,则问题只需要求点3的坐标，设4(%,%)，

，直线A5的方程为》=阳+1,(加。0),联立直线与椭圆方程，求出巧，为，

即可求出直线的斜率.

【小问1详解】

因为e=£=Jl-与=1,所以2即a=2b,

a\a22a2

22

X

不妨设椭圆的方程为—+匕—1，即x2+4y2=4".

4/b2

x2+4y2=4b2

并与直线y=-x+l联立方程，\,消去y得5x~—8x+4—4Zr=0,

、y=-x+l

、/\\84-4b2

设A(%3,%)，%)，则有%3+冗4=1，X3,X4—-----，

55

1

由IAB|=V2|X3-X4|=&J(X3+X4)2-4X3X4=四小I]-16=172>

所以l—b2=o，即匕=1或。=」(舍去)，

所以椭圆E的标准方程为—+/=1；

4-

【小问2详解】

因为四边形ACMN为等腰梯形，则必有NBCM=NB/WC,

即|BC|=|8M|,不妨设CM的中点为G,则必有3GLCM,

要求直线/的斜率，只需要转化为求点8的坐标，则有%=%=上?，

设A(再5(孙%),则有N(4,yJ,

有直线BN的方程为了一%=与二"(x—4),令y=0,则有为—4y+4,

4一%

不妨设直线AB的方程为％=阳+1,(mwO),

myK-3y,

则有工2=7冲2+1，X“=—~—+44,

一%一%

x+4y=4/9\7

并与椭圆联立方程《，，消去X得（次+4）^+2冲—3=0,显然A>0,

x=my+1

_2m_33/\

则有X+%=^~7，则有的1%=彳（%+%），

m十rra-rH-乙

35

则有_2(X+为)-3%5,所以I.

卜无M2_2.'

…f"-2”一北一

2—2一4

所以为

所以左=f-=—叵.

Z-16

4

丹

/\m/xm

18.定义：若变量x,y>。，且满足：2+2=1，其中a,b>O,〃zeZ,称y是关

于的“加型函数

(1)当a=21=1时，求>关于x的“2型函数”在点,手］处的切线方程；

(2)若V是关于％的“-1型函数”，

(i)求％+y的最小值：

n+\

1(〃〃/\

(ii)求证：(九〃+an+i+bn+i，(〃wN)

7

【答案】(1)x+2伤-4=0

(2)(i)(&+扬＞；(ii)证明见解答

【解答】

'2、21(2、2,［、

【分析】(1)根据题意，得到y=1—三求得y，=L1—土\,结合导数

I4；2(4)I2J

的几何意义，即可求解；

ab.

(2)根据题意，得到一+一=1,

xy

(i)化简(尤+y)=(尤+y)—I—=a+b-\——H,结合基本不等式，即可求解;

Uy)xy

b

(ii)由题意，得到(x—a)(y—瓦)=ah,^x-a=at,y-b=-,其中te(0,+8),化

nn,记/z«)=a"(l+/)"+夕［1+；］,利用导数求

简得到x"+y"=a(l+ty+b(l+^

得函数单调性和最小值，即可求解.

【小问1详解】

(2、

解：当a=2力=1时，可得,=1_土

所以＞［-=—£,所求切线方程为丁一#=一日(x—1),即X+2括y—4=0.

【小问2详解】

解:由y是关于x的“t型函数"，可得上［+［工［=1,即@+2=1,

因为

(x+y)=(x+y)—+—=a+b+—+^>a+b+2—+—=(y/a+y/b)2,

y)xyyxy

ay_bx

当且仅当1%v即<%=a+7ab

L时取得最小值.

x+y=(布+扬『y=b+<ab

(ii)由=1>即0+。=1,则(x-a)(y—ZO=ab,S.x>a,y>b,

UJ\bxy

可设x-a=a/,y-b=—,其中/e(0,+8),

于是x"+y"=[a(l+/)]"+小+'=废(1+/)〃+小+；

记帖)=a"(1+/)"+""[1+，

由“⑺=0,

当0＜/＜办时〃'（。＜0,当/＞务时，”U）＞0,则

1丫(nIy\n

a+bn+1-an+1+b+a'l+1-bn+1

)\)7

【小结】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略:

1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；

2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分

离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，

就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

19.数列｛4｝满足。"+1（咄产，则称数列｛q,｝下凸数列.

（1）证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列;

(2)设%=4,+，，其中｛4｝,｛e“｝分别是公比为名,0的两个正项等比数列，且

%*%，证明：｛g｝是下凸数列且不是等比数列；

(3)若正项下凸数列的前〃项和为5“，且求证：q+型二小

n

【答案】(1)证明见解答

(2)证明见解答(3)证明见解答

【解答】

【分析】(1)根据数列新定义即可证明结论；

(2)根据定义只需证明+J+24。即可,从而结合正项等比数列的性质即可证明；

利用反证法可证明｛%｝不是等比数列；

(3)先用反证法证明｛4｝不可能从某一项开始单调递增，可得出a“-a,+i20,令

2

b),—a/—4+i,%=%+以+i，可推出4即得OW-a.+iW,从而

“(”+1)

-2-一一二］<。,+1—4<0,利用累加法即可证明结论.

\nn+Lj

【小问1详解】

设正项等比数列｛0｝的公比为4,

则匕舟+2+2=匕g_2+优才=f.国工工0，即

n+12〃/2〃22

所以任意一个正项等比数列｛%｝为下凸数列.

【小问2详解】

显然%>0,

C+2

Cn+1"^=(<+l+gn+l)-

2

jd〃+4〃+2与+，+2

+en+\

n+122

(2、

4+6/2+'禺2

-+一

27\

所以正项数列｛%｝为下凸数列.

下面证明：正项数列｛g｝不是等比数列.

若｛%｝是等比数列,则(dn+l+)2=(或+e.)«+2+en+2),

所以d"+l+e”+l+2d”+ie“+i=^n^n+2+^n^n+2+"”的+2+^n+2^n'

因为数列｛""｝,｛'｝分别为两个正项等比数列，

e=ee

所以d：+i=dndn+2,n+lnn+2，

所以2d“+ie“+i—"”e“+2+,

所以2d“e”%%=d“e“4+4。端,

因为4,e,产0,所以2%g=4；+q：,

所以(%—《if=0，所以%=%，与%力%矛盾，

所以数列｛%