广东省江门市某中学2024-2025学年高二年级上册期末考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期末考试

高二级数学科试题

本试卷共4页，19小题，满分150分，测试用时120分钟.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的，

1.已知向量加=（一3,2,4）,〃=（1,—3,-2）,则|zn+”|=（）

A.2A/2B.8C.3D.9

【答案】C

【解析】

【分析】利用空间向量的坐标运算及模的坐标表示计算即得.

【详解】由向量1=（一3,2,4）,7=（1,—3,-2）,得加+〃=（—2,—1,2）,

所以|加+川=7（-2）2+（-1）2+22=3.

故选：C

2.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.

某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》

的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共

有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.

【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70,则其与该校学生人数之比为70-100=0.7.故

选C.

【点睛】本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养.采取去重法，利用转化与化归思想解题.

3.双曲线和椭圆q~+y2=l共焦点，且一条渐近线方程是JJx-y=0,则此双曲线方程是（）

2

A.y2B.2L—d=i

3

C.x2-^=lD.-y2=1

33-

【答案】C

【解析】

22

【分析】求出椭圆的焦点坐标（）从而设双曲线的方程为__2L

±2,0,二1,即4+/=4,再由渐近线可

得2=石，求出a,b即可求解.

a

2

【详解】椭圆方程为：y+/=l,所以焦点坐标为（±2,0）,

因为椭圆与双曲线有共同的焦点，

22

则设双曲线的标准方程为2r=1（。〉0力〉0）,且〃+廿=4①，

ab

因为双曲线的一条渐近线方程是氐-y=0,所以？=百②，

a

联立①②，解得a=l,b=6,

2

所以双曲线方程为必一2L=i.

3

故选：C.

4.样本数据：11,12,15,13,17,18,16,22,36,30的第70百分位数是（）

A.16B.19C.20D.22

【答案】C

【解析】

【分析】利用百分位数的定义进行求解.

【详解】共有10个数，10x70%=7,故从小到大排列，选择第7个数和第8个数的平均数作为第70百

分位数，即20为第70百分位数.

故选：C.

5.直线xsinc+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）

A.[0,K)B.

【答案】B

【解析】

【分析】根据直线方程求出斜率的取值范围，结合正切函数图象及性质求解即可.

【详解】设直线邓ina+y+2=。的倾斜角为巴6>e[O,7l）,

因为xsin<z+y+2=0的斜率为％=-sintze[-1,1],即左=tan。G[—1,1],

兀33兀兀

由正切函数的图象及性质得，e0,—o—,7i

444

713兀）

所以直线耶ina+y+2=0的倾斜角的取值范围是0,—O

_4_

故选：B.

6.下列说法正确的是（）

A.若A,8为两个事件，则“A与8互斥”是“A与8相互对立”的必要不充分条件

B.若A,B为两个事件，则P（A+8）=P（A）+P（8）

C.若事件A,B,C两两互斥,则尸（A）+P（5）+尸（C）=l

D.若事件A,B满足P（A）+P（5）=1,则A与B相互对立

【答案】A

【解析】

【分析】根据互斥事件与对立事件的概念判断A,根据和事件的概率公式判断B,利用反例说明C、D.

【详解】对于A,若事件A与B互斥，则A与8不一定相互对立，

但A与8相互对立，则A与3一定互斥，故"A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，故A正

确；

对于B,若A,B为两个事件，则P(A+3)=P(A)+P(5)-P(A3),故B错误;

对于C,若事件A,B,C两两互斥，则尸(A)+P(3)+尸(C)=l不一定成立，

如：抛掷一枚均匀的骰子一次，记人="向上的点数为1”，3="向上的点数为2"，C="向上的点数为

3”，

事件A,B,C两两互斥，但P(A)+P(3)+P(C)=L+_1+L=!.故c错误；

6662

对于D,抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是3，

抛掷一枚硬币，正面向上的概率是满足P(A)+P(5)=1,但是A与5不对立，故D错误.

故选：A.

7.已知抛物线C的方程为丁=：必，厂为其焦点，点N坐标为(0,-4),过点厂作直线交抛物线C于

A、B两点，。是x轴上一点，且满足|£凰=|。口=|。叫，则直线的斜率为()

A.土巫B.土处C.+V2D.±73

22

【答案】B

【解析】

【分析】设力(%,%),B(x2,y2),D(a,0),直线AB方程为丫=丘+1，联立直线与抛物线方程，消元,

得至也々=—4,再由=忸同=|£)N|=+不,可得a%,%),83，%)是方程

x?+丁-2ax-16=0的解，将丁=麻+1代入方程，由占了2=-4求出左.

【详解】设力(久1，%),5(%2,y2),D(a,0),直线AB方程为丁=丘+1，

y=kx+1

联立直线与抛物线方程《12可得f-4kx-4=0,

显然A>0,所以占%=-4.

X|DA|=\DB\=\DN\=y/a2+4-2,即—a]+y；=-a^+=Ja?+4?，

即x；+—2axi-16=0,x：+y；—2axl_16=0,

故a(xi，乃),8(久2，了2)是方程12+/-2ax-16=0的解,

将丫=依+1代入方程/+丁-2ax-16=0,

整理得(1+左一)尤2+(2左—2t7)x—15=0,显然A>0,

故选：B.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

(1)设直线方程,设交点坐标为01，为)、(x2,y2)；

(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，必要时计算A；

(3)列出韦达定理；

(4)将所求问题或题中的关系转化为七+%、西々的形式；

(5)代入韦达定理求解.

8.设a<c</?,如果把函数y=/(x)的图象被两条直线x=a,x=b所截的一段近似地看作一条线段，则

下列关系中，/(c)的最佳近似表示式是()

A./(c)=-1[/(a)+/(/7)]

B./(c)=J/(a)./3)

C—CL

c./(c)=/(«)+-"⑼-/⑷]

b-a

c—ci

D./(c)=/(«)--

b-a

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，求出经过点(a,/(a)),S,/S))的直线方程，进而求得答案.

【详解】依题意，经过点(a,/(a)),S,/S))的直线方程为y-/(a)=,⑻一以_编，

b-a

而点(c,/(c))在以点(a,f(a)),(b,f(b))为端点的线段上，

因此以c)一于(a)=坐二(c—a),所以/■©=/(a)+="(»-/(a)],C正确，D错误；

b-ab-a

当且仅当(c,/(c))是线段中点时，/(c)=1[/(a)+/(&)],而它是线段上除端点外的任意点，A错

误；

显然/(a),/0)可能异号，此时选项B无意义，B错误.

故选：C

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.点P在圆。]：必+丁2=i上，点。在圆6x+8y+24=0上，则()

A.|PQ|的最小值为3B.|PQ|的最大值为7

4

C.两个圆心所在的直线斜率为D.两个圆相交弦所在直线的方程为6x-8y-25=0

【答案】ABC

【解析】

【分析】分别找出两圆的圆心G和C2的坐标，以及半径厂和火，利用两点间的距离公式求出两圆心间的

距离laczi，根据iGCzi大于两半径之和，得到两圆的位置关系是外离，又尸为圆a上的点，。为圆C2上

的点，便可求出其最值，用斜率公式求出左cc.

【详解】圆。]：必+丁2=1的圆心坐标£(0,0),半径厂=1

圆。2：一+/—6x+8y+24=0,即(x—3了+(y+4)2=1的圆心坐标。2(3,-4),半径尺=1

圆心距|&0?|=—Of+(3-0)2=5

又P在圆G上，。在圆C?上

则|PQ|的最小值为|PQ1mto=|。£|一RT=3,最大值为|尸。L=|。均+尺+厂=7.

故A、B正确;

-4-04

两圆圆心所在的直线斜率为左cc=------，C正确；

圆心距|1=J(T—0)2+(3—0)2=5大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D错误.

故答案为：ABC

22

10.已知椭圆C：工+2r=l(a〉6〉o)的左，右焦点分别为耳,B，点尸在。上，且归国的最大值为

ab

3,最小值为1,贝1J()

A.椭圆C的离心率为g

B.「工耳的周长为4

C.若则「工五1的面积为3

D.若|「耳忸月|=4,则N"4=60

【答案】AD

【解析】

【分析】对A,根据题意可得a+c=3,a—c=l,即可求解；对B,根据椭圆的定义判断即可；对C,根

据余弦定理结合椭圆的定义判断即可；对D,根据余弦定理与椭圆的定义求解即可.

c1

【详解】对A,由题意〃+c=3,a-c=l,故。=2,c=l所以e=—=—,故A正确;

fa2

对B,.耳的周长为2a+2c=6,故B错误；

版「+质2TMi2(|%+|*)2-2阀|.朋|-|野『

对C,cosZFPF=

2l2|尸周•尸马2附闾

_(附|+忙闾)2—怩周21、(|%+¥2|)2优小]」

2附卜|明-Jl^l+l^lY/2，

[2J

当且仅当归耳|=忸闾时，等号成立，

因为y=cos。在(0,兀)上递减，所以此时/月尸耳最大，N8的最大值为60°，N6P£=90。不成

立，故C错误；

22

对D,由余弦定理比制2

=|PT7|+|P27|_2|P^|-|P^|COSZKP^

=（附|+户闾）2—2附卜归闾（l+cosN&PG）,即4=16—2x4（l+cosN4P耳）,

解得cos/^P4=g,故/工「片=60。，故D正确；

故选：AD

11.如图，在棱长为2的正方体A3CD—AgC2中，M是棱5C的中点，N是棱。，上的动点（含端

点），则下列说法中正确的是（）

A.三棱锥A-AMN的体积为定值

B.若N是棱。2的中点，则过AM,N的平面截正方体ABC。-AgG2所得的截面图形的周长为

述

V376

C.若CN与平面世C所成的角为。，贝UsinOe

D.若N是棱。2的中点，则四面体，-AMN的外接球的表面积为7兀

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A,根据线面平行可知，点N到平面AAM的距离为定值，继而可判定；对于B,根据题意画

出截面图，计算即可；对于C,建立空间直角坐标系，利用空间向量求得sin。的表达式，进一步计算求

范围即可；对于D,作出图形，根据题意建立方程组，解出即可；

【详解】对于A,连接4加，因为DDl//A41,A41u平面4AM,D2a平面AAM,

所以。，//平面

又点N是棱。2上的动点（含端点），所以点N到平面的距离为定值，设为d,

则匕AMN=VNAAM'XSA.xd'x经避xd=^d，为定值，故A正确；

zlj-rMVllNIN一zij/lzKl3rlj/liW323

对于B,如图，四边形为过A,M,N的平面截正方体ABCD-A6C12所得的截面图形,

因为平面AA。，//平面田BCg,

且平面4AD，1平面AMHN=AN，平面BXBCCXn平面AMHN=MH,

根据面面平行的判断定理知，AN//MH,

又因为V,N为中点，所以H为四等分点，则四边形AMHN的周长为：

|AM|+|A/H|+|HA^|+|A^|=V5+^+理+石=述纠Z,故B错误;

对于C,以A为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系，

ZA

>

y

则A（0,0,0），4（2,0,2）,C（2,2,0）,N（0,2"）,/le[0,2],

则做=（2,0,2）,AC=（2,2,0）,QV=（-2,0㈤，

,、n-AB,=02x+2z=0

设平面ABC法向量力=（羽y,z）,贝叫=><

nAC=02x+2y=0

令无=1,则y=z=—l,故〃

则sin”cos（，,CN）|=^^==旦产+41立rjT

'，|n|-|civ|百々4+分3V22+43V22+4

当；1=0时，sin0^-1

3

_y/6

1+j走

当/two时，3V万+43一

2+-

2

当且仅当4=2时等号成立，又sin6=

3V分+43

V3匹

综上可知，sinCe,故C正确,

对于D,如图所示，连接AD一取AD的中点为M',

连接W,设./2N外接圆圆心。，外接球球心为0,

连接O'M',^\OE^O'M,

在,ARN中，设其外接圆半径为厂，

由正弦定理知，sinZAD]N=£=M=2一,所以「=巫，即。凶=巫，

依题易得，AND^.D.M'A,故NAMA=/ANR,弦所对的圆周角相等,

故A,",N,R四点共圆，则0，"，=0凶=巫

2

设外接球半径为R,过。作OE_LMM'，交E,

则在Rtz^O石M中，OM?=OE?+ME?,BPR~=(2-0。/①

在RtOO'N中，ON2=OO'2+O'N2>即R?=。。'，②

7

联立①②，解得=1,4=—,故外接球的表面积为4成2=1471，故D错误;

2

故选：AC.

【点睛】方法点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切

点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体

各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对

角线长等于球的直径.

三,填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.总体由编号为01,02,03,,49,50的50各个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第1行和

第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出

来的第4个个体的编号为.

6667406714640571958611056509687683203790

5716001166149084451175738805905227411486

【答案】09

【解析】

【分析】根据随机数表法选出满足要求的编号，依次是14,05,11,09,得到答案.

【详解】从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始，

依次是14,05,11,09,

第四个数字是09.

故答案为：09.

22

13.如果双曲线土-乙=1上一点尸到它的右焦点的距离是8,那么点P到它的左焦点的距离是

412

【答案】4或12

【解析】

【分析】根据双曲线的定义求解即可.

【详解】设点尸到它的左焦点的距离是d,

22

由土—二=1可知，42=4,即。=2,

412

则由双曲线定义口―8|=4,解得2=12或d=4,

故答案为：4或12

14.已知抛物线C：V=8x的焦点为尸,加（4,0）,过点M作直线x+（a—退）y—耳―2=0的垂线，

垂足为。，点尸是抛物线C上的动点，则⑴抛物线C的准线方程为,（2）归耳+归0的最

小值为.

【答案】①x=-2②.—

2

【解析】

【分析】①根据抛物线方程，得2夕=8,所以曰=2,故抛物线的准线方程为x=—2.

②先求出直线过定点，再求出。的轨迹方程，数形结合，求出最值.

【详解】①根据抛物线方程，得2夕=8,所以孑=2,故抛物线的准线方程为x=-2.

②由直线方程X+(Q_A/^)y-G'a-2=0得，x—y/3y—2+a(y—s/3)=0

所以直线过定点4卜,、疗），连结40,则AM=jrZ?=2,

由题意知点。在以AM为直径的圆上，设。（x,y）,所以点Q的轨迹方程为［x-+y--=1

I2J（2,

（不包含点（4,石）），记圆［x—q］+y—与=1圆心为

过点Q,尸,N分别作准线x=—2的垂线，垂足分别为B,D,S，连接DQ,

911

则|P司+|PQ|=］尸。|+|PQ|>\DQ\>\QB\>\NS\-l=-+2-l=-,

当且仅当8,P,Q,N四点共线且点。在尸N中间时等号同时成立，

所以|PE|+|PQ|的最小值;

故答案为：x=—2；—

2

四，解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将

得分分成以下6组：［40,50),［50,60),［60,70),……,［90,100］,统计结果如图所示:

.频率

0.030-------------------

0.020----------------

0.015--------1-----------------

0.010—1------------------------1

(9%05060708090100

(1)试估计这100名学生得分的众数、中位数；(中位数保留小数点后2位)

(2)试估计这100名学生得分的平均数(同一组中的数据用该组区间中点值代表);

(3)现在按分层抽样的方法在［80,90)和［90,100］两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次

竞赛的交流会，求至少有一人在［90,100］的概率.

【答案】(1)众数75；中位数71.67

⑵70.5

(3)—

10

【解析】

【分析】(I)利用众数与中位数的定义结合频率分步直方图即可得到这100名学生得分的众数、中位数估计

值；

(2)利用平均数定义结合频率分步直方图即可得到这100名学生得分的平均数估计值.

(3)利用古典概型概率求法即可求得从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会且至少有一人在

［90,100］的概率.

【小问1详解】

由频率分布直方图可知，第4组频率最大，估计众数为：75；

在［40,70)内频率之和为10x(0.010+0.015+0.020)=0.45,

设中位数为优，由图可知中位数在［70,80),

由0—70)x0.03=0.05,得中位数71.67

【小问2详解】

由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数：

元=(45x0.01+55x0.015+65x0.02+75x0.03+85x0.015+95x0.01)x10=70.5

【小问3详解】

在［80,90)和［90,100］两组中的人数分别为：

100x(0.015x10)=15人和100x(O.Olx10)=10人,

所以在［80,90)分组中抽取的人数为5x±一=3人，记为a,b,c,

10+15

在［90,100］分组中抽取的人数为2人，记为1,2,

所以这5人中随机抽取2人的情况有：

Q={(血(ac),(be),(al),(a2),(况),(⑷,(cl),(c2),(12)},

共10种取法，至少有一人得分在［90,100］的情况有7种，

7

所以所求概率为2=一.

10

16.已知A(l,2),3(3,6),动点P满足=T，设动点尸的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的标准方程；

(2)求过点4(1,2)且与曲线C相切的直线的方程.

【答案】(1)(x-2)2+(y-4=1

(2)%=1或3%-4y+5=。

【解析】

【分析】(I)设p(匹y),根据得到方程，整理得到曲线c的标准方程；

(2)曲线C是以。(2,4)为圆心，1为半径的圆，当斜率不存在时，满足要求，当斜率存在时，设出直线

方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，求出答案.

【小问1详解】

设P(尤,y),则PA=(1—x,2—j),PB=(3—x,6—y),

故".P*=(l_x)(3_x)+(2_y)(6_y)=-4,

化简整理得(x—2)2+(y—4)2=1,

故曲线C的标准方程为(x-2)2+(y-盯=1；

【小问2详解】

曲线C是以。(2,4)为圆心，1为半径的圆，

当过点A(l,2)的直线斜率不存在时，直线方程为x=l,

此时C(2,4)到无=1的距离为1,故％=1与圆C相切，满足要求，

当过点4(1,2)的直线斜率存在时，设切线方程为y—2=左(4—1),即日—y+2—左=0,

综上，过点4。,2)且与曲线(？相切的直线方程为兀=1或3%-4丁+5=0.

17.在四棱锥P—ABCD中，底面ABC2O〃AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=6

（1）证明：AB〃平面PZJC；

（2）证明：BD±PA；

（3）求与平面所成的角的正切值.

【答案】（1）证明见详解

（2）证明见详解（3）I

【解析】

【分析】（1）根据AB〃C。，结合线面平行的判定定理分析证明；

（2）作DEJ.AB于E,CPLAB于产，利用勾股定理证明AD1.BD,根据线面垂直的性质可得

PD±BD,从而可得§£>_/平面PAD,再根据线面垂直的性质即可得证；

（3）以点。为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求线面夹角，即可得出答案.

【小问1详解】

因为AB〃C。，AB<Z平面PDC,CDu平面PZJC,

所以A3〃平面P0C.

【小问2详解】

在四边形ABCD中，作。于E,CRLA5于尸，

因为CD//AB,AD=CD=CB=1,AB=2,

可知四边形ABCD为等腰梯形，则AE=3E=L,

2

可得DE=咚，BD=yjDE2+BE2=73-

即A£>2+=452,所以A£）_LBD,

因为。平面ABCD，MDu平面ABCD，所以PDLBD,

又因PDcAD=D,可得3D1平面MD，

且F4u平面/J40，所以BDLRV

【小问3详解】

如图，以点。为原点，D4,D3,DP分别为羽yz轴，建立空间直角坐标系,

因为50=百，则4（1,0,0）,5（0,6,0）,。（0,0,6）,

可得40=卜1,0,也）,5尸=（0,-也,6）,£>。=倒,0,小），

.、n-AP=-x+y/3z=0

设平面P/LB的法向量自=（x,y,z）,则有《厂广

n-BP=-V3y+V3z=0

令x=G，则y=z=i,可得〃=

CDn-DP逐

则3"'°尸=丽^=与’

设PD与平面EA5所成角为。则sin6=正，

可得cos。=Vl_sin20=,tan。=‘垣"=—,

5cos02

所以与平面PAB所成角的正切值为去

18.某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知

4321

某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为且各轮问题能否回答正确互不影响.

（1）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;

（2）求该选手至多进入第三轮考核的概率.

【答案】（1）——

625

【解析】

【分析】（1）根据相互独立事件和对立事件的概率公式计算可得；

（2）根据相互独立事件的概率公式、互斥事件的概率公式和对立事件的概率公式计算可得.

【小问1详解】

记41=1,2,3,4）表示该选手能正确回答第，个问题，则

4321

P(A)=-,P(A)=-,P(A)=-,P(A4)=-.

该选手进入第四轮才被淘汰就是前三轮答题成功，第四轮没有成功，

各轮问题能否回答正确互不影响，

所以所求概率是P（44A3A）=P（A）P（4）P（A3）P（4）=gx|x|x[l

【小问2详解】

该选手至多进入第三轮考核，即可能第一轮被淘汰，可能第二轮被淘汰，

可能第三轮被淘汰，这三种情况又是互斥的，

所以所求概率为P（A+4A+4AA）=P（A）++尸

19.对抛物线丁=丁]/（2〉0）,定义：点尸I0,与