函数与方程【8类题型】（解析版）-2025年高考数学题型重难点专项突破

热点专题2-7函数与方程

近5年考情(2020-2024)

考题统计考点分析考点要求

2024年天津卷第15题，5分从近几年鬲考命题来看，高考

(1)理解函数的零点与方

年全国甲卷，第题分对函数与方程也经常以不同的

202416,5程的解的联系.

方式进行考查，比如：函数零

年天津卷第题，分(2)理解函数零点存在定

2023155点的个数问题、位置问题、近

理，并能简单应用.

似解问题，以选择题、填空题、

(3)了解用二分法求方程

2021年北京卷第15题，5分解答题等形式出现在试卷中的

的近似解.

不同位置，且考查得较为灵活

模块一卜热点题型解读(目录)

【题型1】求函数的零点

【题型2】求函数零点所在区间

【题型3】二分法求近似解

【题型4】判断函数零点个数或交点个数

【题型5】利用函数的零点所在区间求参数范围

【题型6】已知零点个数求参数范围

【题型7】比较零点的大小

【题型8］求零点的和

模块核心题型•举一反三

【题型1］求函数的零点

基础知识

函数的零点

1、函数零点的概念：对于一般函数y=/(%),我们把使/(x)=0的实数％叫做函数y=/(x)的

零点.即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值.

【要点辨析】

(1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零;

(2)函数的零点也就是函数y=/(x)的图象与1轴交点的横坐标；

(3)函数y=/(x)的零点就是方程/(%)=0的实数根.

2、函数的零点与方程的解的关系

函数V="X)的零点就是方程/(%)=0的实数解，也就是函数y=/(%)的图象与x轴的公共点的

横坐标.所以方程/(%)=0有实数根0函数丁="X)的图象与x轴有交点o函数y=/(x)有

零点.

3、函数零点存在定理

如果函数/(£)在区间可上的图象是一条连续不断的曲线，且/(a)"仅)<0,那么，函数

y=/(无)在区间(2，)内至少有一个零点，即存在ce(a"),使得/©=0,这个c也就是方程

/(九)=0的解.

1.函数/(%)=3'-1的零点为()

A.(0,0)B.(1.1)C.0D.1

【答案】C

【解析】令/(力=3,-1=0,解得x=0,故选:C.

【巩固练习1］函数〃x)=l-lg(3，+2)的零点为()

A.log38B.2C.log37D.log,5

【答案】A

【解析】令外力=1一坨(3工+2)=。，得3*+2=10,则x=log38.故选：A

【巩固练习2】

【巩固练习3】已知定义在(0,+8)上的/(x)是单调函数，且对任意xe(O,y)恒有

f/(x)+logi%=4,则函数的零点为()

I3)

A.—B.-C.9D.27

279

【答案】A

［解析］设/(x)+bgM=a,即/'(x)=TogiX+a,

/、3'3

因为/f(x)+log产=4,可得〃。)=4,

\37

所以-1%。+。=4,解得°=3,所以/(x)=T°g/+3,

33

令〃x)=0,可得一现产+3=0,即bgj=3,解得x=J_.故选：A.

3327

【题型2】求函数零点所在区间

基础知识

判断函数零点所在区间的步骤

第一步：将区间端点代入函数求函数的值；

第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断；

第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点;

若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。

2.函数/(x)=2，+x-4的零点所在区间为()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

【答案】C

【解析】因为y=2"和y=x-4均是R上的增函数，所以函数/(%)=2"+尤-4是R上的增函数,

又/⑴=-1<0,〃2)=2>0,/(1)./(2)<0,

所以函数/的零点所在区间为(1,2).故选：C.

【巩固练习1】函数/(x)=ln(2x)-/的一个零点所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【解析】因为〃x)的定义域为(0,+e),且y=ln(2x),y=-工在(0,+8)内单调递增，

X

可知“X)在(0,+8)内单调递增，

JL/(l)=ln2-l<0,/(2)=ln4-1>0,

所以函数的唯一一个零点所在的区间是(1,2).

【巩固练习2】函数/(x)=ln(2x)-g的一个零点所在的区间是()

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】B

【解析】因为“X）的定义域为（0,+e）,且y=ln（2尤）,y=-工在（0,+8）内单调递增,

x

可知〃尤）在（0,+功内单调递增，

JL/（l）=ln2-l<0,/（2）=ln4-1>0,

所以函数的唯一一个零点所在的区间是（1,2）.

【题型3】二分法求近似解

基础知识

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.

求方程〃龙）=0的近似解就是求函数〃龙）零点的近似值.

3.（2024•广东梅州•二模）用二分法求方程log4X-[=0近似解时，所取的第一个区间可以是（）

2x

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】B

【解析】^f（x）=log4x-^~,

因为函数y=log4x,y=-*在（0,+功上都是增函数,

所以函数/⑺=log4x-1在（0,+oo）上是增函数，

所以函数/（%）=log4x-—区间（1,2）上有唯一零点，

所以用二分法求方程logs%--=0近似解时，所取的第一个区间可以是（1,2）.

【巩固练习1]一块电路板的线段之间有60个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落

造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测（）

A.4次B.6次

C.8次D.30次

【答案】B

【解析】利用二分法检测，每次取中点，焊接点数减半，不妨设需要〃次检测，则|?vi,

即2"260,因为25<60<26,故〃的最小值为6,即至少需要检测6次.

【巩固练习2】已知函数/（无）=log2尤-L在区间CU）内存在一个零点，在利用二分法求函数/⑴近

X

似解的过程中，第二次求得的区间中点值为.

7

【答案】-

4

【分析】根据题意，利用对数的运算法则，结合零点二分法，准确计算，即可求解.

【详解】由函数/（x）=log2%-，为单调递增函数，且在（1,2）内存在一个零点，

X

又由/⑴=—1"（2）=；,则/⑴/（2）<0,

3323-

第一次用二分法，由/（5）=1。825-§=1。82]-1。8223,

因为丁<4,可得（M）3<43,即三<23,可得log：<log,23,所以/■（）<（）,

o8222

3

所以确定函数的零点所在区间为（-,2）；

7741R电

7

第二次用二分法，由/（-）=log2--y=log27-y=log27-log22,

18187

因为7>2兀可得1。与7-log227>0,即/（/>0

7373

所以4E）<°，所以确定函数的零点所在区间为（牙万），

7

所以第二次求得的区间的中点值为一.

4

【巩固练习3】（2024.辽宁大连.一模）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法.对于非线性可

导函数〃可在「附近一点的函数值可用/（%卜/（5）+/'（2（》T。）代替，该函数零点更逼近方程

的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解.利用这个方法，解方程尤3一3》+1=0,

选取初始值％=；，在下面四个选项中最佳近似解为（）

A.0.333B.0.335C.0.345D.0.347

【答案】D

【解析】令〃力=/一3x+l,贝1刊^）=31-3,

f(x]

令〃x)=0,即〃%)+/'(%0)(%-不卜0,可得了Q,

KG。），

迭代关系为4+1

f,M

03[2x—10312x--1

取尤则占12x-1_2725

0=:,2^0~18x=—«0.34722

3r2-31“无23丫2_3i

"oJ3x--3州J3x--372

49

【题型4】判断函数零点个数或交点个数

基础知识

零点个数的判断方法

(1)直接法：直接求零点，令/(尤)=0,如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.

(2)定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间句上是连续不断的曲线，且

结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.

(3)图象法：

①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数了(%)的图象，函数/(X)的图象与X轴交点的个

数就是函数了(X)的零点个数.

②两个函数图象：将函数/(X)拆成两个函数/z(x)和g(x)的差，根据/(x)=Oo/z(x)=g(x),

则函数八X)的零点个数就是函数y=/z(x)和y=g(九)的图象的交点个数.

(4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是

周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.

4.函数〃x)=xlgx-l的零点个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】令/(x)=xlgx-l=。，^lgx=-,

X

画出函数y=lgx与y=」的图象，

X

可得这两个函数在(0,+00)上的图象有唯一公共点，

故/'(X)的零点个数为1.故选：B

5.函数/(犬)=——2，的零点个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】通过图形可以得出/(%)=%2-2”有3个零点

【巩固练习1】函数/(无)=§厂-/一2在定义域内的零点个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】函数y=(|r,y=V-2分别是R上的减函数和增函数，则函数/(%)=(；)'-尤3-2是减函数，

而〃T=g［-(-1)3-2=1>0,7(0)=-1<0,

所以函数/(x)在R上的零点个数是1.故选：B

【巩固练习2】(2024.江苏盐城.模拟预测)函数y=c。次与y=lg|x|的图象的交点个数是()

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【分析】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数.

【详解】函数y=COSA'与y=lgN都是偶函数，其中cos2兀=cos4?t=l,坨4兀>IglO=1>1g2兀，

在同一坐标系中，作出函数丫=85与y=lg|x|的图象，如下图，

如

尸馆团尸COSX|

-4兀-2兀752兀4兀攵

由图可知，两函数的交点个数为6.

【巩固练习3】(2019•全国•高考真题)函数/(%)=2sinx-sin2x在［0,21］的零点个数为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】令/(%)=。,得sinx=0或cosx=l,再根据光的取值范围可求得零点.由

f(x)=2sinx—sin2x=2sinx—2sinxcosx=2sinx(l—cosx)=0,

得sini=0或cosx=l,,/xG［0,2TT］,

二.x=0、〃或2%.

/(1)在［0,2句的零点个数是3

x2+2xxW0

【巩固练习4】已知函数/("=大唇］I；。—'则函数g(x)=〃x)—3的零点个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】由题意可知，<?(%)=/(%)-3的零点个数可以转化为了(力和函数y=3的图象交点个数，

它们的函数图象如图所示.故选：C.

【题型5】利用函数的零点所在区间求参数范围

基础知识

本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数的等量关系，列关于

参数的不等式，解不等式，从而解决.

6.函数y=工2一2以+。-1在(0,1)上存在零点，则实数〃的取值范围是()

A.0<«<1B.或C.a>\D.av-l或。〉0

【答案】B

［解析］令/(x)=x2-2ax+a-l,

因为A=4八4(“-1)=4(4a+l)=4[”?+3〉。，

所以函数图象与无轴有两个交点，

因为函数/(x)=Y-2以+。-1在(0,1)上存在零点，且函数图象连续,

/(0)>0Q—1>0

所以/(0)/(1)<0,或/⑴>。，所以(4一1)(一。)<0,或<—4>0,

0<a<l0<a<l

解得〃<0或Q>1

7.函数〃x)=log2尤+/+机在区间0,2)存在零点.则实数机的取值范围是()

A.(—00,—5)B.(-5,-1)C.(1,5)D.(5,+co)

【答案】B

【解析】由M=log2X在(。,+8)上单调递增，%=+加在(。,+8)上单调递增，得函数

2

/(x)=log2x+x+m在区间(0,+8)上单调递增，

因为函数/(^)=log2x+f+机在区间(1,2)存在零点，

f/(l)<0flogl+l2+m<0&

?2

所以[乂八，即〈2，解得—5<根<—1,

,2

[/(2)>0[log22+2+m>0

所以实数机的取值范围是(-5,-1).

【巩固练习1】(2024・高三・浙江绍兴・期末)已知命题P：函数/(工)=2/+工_。在(1,2]内有零点，则

命题P成立的一个必要不充分条件是（）

A.3<a<18B.3<a<18C.a<18D.a>3

【答案】D

【解析】函数/（x）=21+x-a在R上单调递增，由函数/（x）=21+x-a在（1,2］内有零点,

得《［小、C，解得3<a<18,即命题。成立的充要条件是3<aV18,

"（2）=18-aN0

显然3<aV18成立，不等式3<a<18、3<口<18、a<18都不一定成立，

而3<aV18成立，不等式恒成立，反之，当时，3<。<18不一定成立，

所以命题〃成立的一■个必要不充分条件是41>3.

【巩固练习2】（2024•山西阳泉.三模）函数/（力=现2%+尤?+机在区间（L2）存在零点.则实数机的

取值范围是（）

A.（―co,—5）B.（―5,—1）C.（1,5）D.（5,+co）

【答案】B

【解析】由》=log2x在（0,+oo）上单调递增，%=—+根在（0,+8）上单调递增，得函数

2

/（^）=log2x+j;+根在区间（0,+8）上单调递增，

因为函数/（x）=log2x+Y+”?在区间（1,2）存在零点，

/(1)<0log,1+12+机<0/、

所以/(2)>0,即‘log2+22+m>0,解得一5,根（一1，所以实数”的取值范围是（-5,-1）.

【巩固练习3】（2024•四川巴中•一模）若函数〃x）=2加+3x-l在区间（-1,1）内恰有一个零点，则

实数a的取值集合为（）

9、

A.{a\-l<a<2]B.{a\a=——或一Iva〈2}.

8

9

C.{a\-l<a<2]D.{a\a=一一或一1<々<2}.

8

【答案】D

【解析】由函数/(%)=262+3%-1,

若。=0,可得〃x)=3x-l,令〃x)=0,即3x—1=0,解得尤=g,符合题意;

若awO,令Fp2ax2+3x—1=0,可得A=9+8〃,

992

当A=0时，即9+8〃=0,解得。=—,此时/(冗)=—x2+3x—1,解得x=一,符合题意;

8''43

当A>0时,即且"0,则满足/(T"(l)=(2a-4)(2a+2)W0,

8

解得一1＜。＜2且awO,

若a=—1,可得+3x—1,令/(兀)=0,即2%2—3%+1=0,

解得x=l或x=g,其中尤=ge(-l,l),符合题意；

若〃=2,可得/(%)=4f+3x—1,令〃尤)=0,Fp4x2+3x—1=0,

解得x=—1或龙=!，其中x=[e(-l,l),符合题意；

44

9

综上可得，实数〃的取值范围为{。|。=—-或

8

【题型6】已知零点个数求参数范围

基础知识

已知函数零点个数，求参数取值范围的方法

(1)直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解；

(2)数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化

为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；

(3)分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.

求函数的零点个数就是求函数图象与x轴的交点个数，因此只要作出函数图象即可.如果函数图象

不易作出，可将函数转化为y=m(x)—72(x)的结构，然后转化为m(x)与n(x)的图象交点个数的问

题.

解决步躲

第一步：将函数化为y="z(尤)-〃(％)的形式，机(x)与“(％)一个含参，一个不含参.

第二步：画出两个函数的图象.

第三步：确定满足题意时含参函数的图象的移动范围，从而求出参数的取值范围.

8.若函数/八I有两个不同的零点，则实数。的取值范围是()

A.(0,2]B.(0,2)C.(0,1)D.~,1)

【答案】A

【解析】当X＞1时,由ln(x-l)=O,得x=2,

因为函数={/、有两个不同的零点，

则当X41时，函数/(x)=2*-。还有一个零点,

因为0<2*42i=2,所以0<。<2,

所以实数。的取值范围是(0,2].故选：A

9.函数/(x)=|2x-耳-心乂有且只有一个零点，则机的取值范围是.

【答案】(f,ln2+l)

【解析】由题意可得，问题等价于y=|2x-司与y=|lnx|有且只有一个交点.

考虑他们的临界情况，即y=|2x-对与y=|1时相切时，如上图，即y=机一2%与"-加、相切时,

仅有一个交点.

设切点为(冗。,%),

,1c

贝”=----=-2,

%

所以％=；，%=—ln；=ln2,

所以ln2=m-2x；=nt-l,m=ln2+l,

但因为y=\2x-rr^与y=|lnR有且仅有一个交点，

所以ln2>?n-l,即加<In2+1

【巩固练习1】若函数/。)=2'-3|-1-掰有2个零点，则机的取值范围是

【答案】(-1,2)

【解析】由〃r)="3卜i=0,得归-3卜1=m.

2-2x,x<log3一/、-

设函数g(x)=|2、'-3|-1=2x-4x>log?3,作出式力的大致图象，如图所示・

函数/(x)=2'-31-1-也有2个零点，即函数g(X)与函数y=用的图象有两个交点,

由图可知，m的取值范围是(-1,2).

'\2x-]\,x<2

【巩固练习2】已知函数，(x)=3，若方程/(尤)=。有三个不同的实数根，则实数。的取

----,x〉2

.x—1

值范围是()

A.(1,3)B.(0,1)C.(0,3)D.[0,1]

【答案】B

【解析】方程有三个不同的实数根，即函数y=/(x)与函数的图象有三个不同交点.

作函数y=/(x)的图象如下图所示，"2)=3

由图可得，0<。<1.所以实数。的取值范围是：(0,1).故选：B.

2'x,x<0

【巩固练习3】已知函数/(x)=h,g(x)=f(x)-x-a,若g(x)有2个零点，则实数a的取

—%,x>0

值范围是()

A.[-1,0)B.[0,+co)C.D.[1,+co)

【答案】D

【解析】x>o时，y(x)=1-x,函数在(o,+8)上单调递减，/⑴=。，

令g(x)=0可得/(x)=x+a,作出函数y=/(无)与函数y=x+a的图象如图所示:

由上图可知，当。上1时，函数y=/(x)与函数y=x+a的图象有2个交点，

此时，函数y=g(无)有2个零点.因此，实数a的取值范围是口,水»).故选：D.

【题型7】比较零点的大小

基础知识

利用数形结合、等价转化等数学思想.

10.(2024•新疆乌鲁木齐•二模)设尤>0,函数y=x2+x-7,y=2*+x-7,y=log2X+x-7的零点分

别为a,b,C,则()

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

【答案】A

【分析】由题意。也。分别为函数丁=-％+7与函数y=x2,y=2",y=log2X图象交点的横坐标，作出

函数y=y=—X+7,y=2=y=log2x的图象，结合函数图象即可得解.

【详解】分别令y=M+%—7=0,y=2"+x—7=0,^=log2x+x-7=0,

2

则x——x+7,2"——x+7,log2-^=—%+7,

则。,4。分别为函数了=一％+7与函数>=工2,,=2，,,=1082元图象交点的横坐标，

2x

分别作出函数y=x,y=-x+7,y=2,y=log2x的图象，如图所示，

【巩固练习1】(2024•广东梅州•二模)三个函数/(九)=d+%—3,g(x)=lnx+x—3,/z(x)=e%+x-3

的零点分别为名氏c,则。之间的大小关系为()

A.a<b<cB.c<a<b

C.a<c<bD.b<c<a

【答案】B

【分析】先判断各函数的单调性，再根据零点的存在性定理求出函数零点的范围，即可得出答案.

【详解】因为函数y=V,y=e',y=\nx9丁=%-3都是增函数，

所以函数/(x)=/+x-3,g(x)=lnx+x-3,/z(x)=e"+%—3均为增函数，

因为/⑴=—1(0"(2)=7>0,

所以函数/(X)的零点在(1,2)上,即a«1,2),

因为g(2)=ln2—l(0,g(3)=ln3)0,

所以函数g(x)的零点在(2,3)上,即be(2,3),

因为Zi(o)=—2(0,/i(l)=e-2)0,

所以函数/z(x)的零点在(0,1)上，即ce(O,l),

综上，c<a<b.

【巩固练习2］(2024・海南•模拟预测)已知正实数。，瓦。满足log3Z?,c=log1c,则

&m咱=3

)

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】D

【分析】利用数形结合法，根据题意结合图象交点分析判断.

［详解］因为c=l°g"=T°g3C,即-c=log3。，

3

由题意可知："为y=与y=bg3x的交点横坐标；

万为与y=bg3尤的交点横坐标；

。为y=-x与y=log3》的交点横坐标；

在同一平面直角坐标系中作出y=,y=logj羽y=,y=-x的图象,

由图可得：c<a<b.

【巩固练习3】设正实数。，"c分别满足=61og36=clog2c=1,则。也c的大小关系为()

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.a>c>b

【答案】B

【分析】作出y=2",y=log2羽y=log3%的图像，利用图像和图像交点的横坐标比较大小即可.

X

【详解】由已知可得4=2°,y=log3b,-=log2c,

abc

作出y=2*,y=log2x,y=log3x的图像如图所示：

由图像可得b>c>a

【题型8】求零点的和

基础知识

结合函数的对称性以及交点个数，数形结合

11.(2024•青海西宁•二模)函数/(x)=4sin]xT尤-1|的所有零点之和为()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】令/(幻=。两个解为零点，将零点问题转换成g(x)=4sin]x,"(%)=卜-1|两个函数的交点

问题，作图即可求出零点，且g(x)和〃(力的图象关于x=l对称，零点也关于九=