几何动态与函数图象问题-中考数学答题技巧（解析版）

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题型解读

学习几何动态问题需要学生能够将实际问题转化为函数的问题并准确的画出函数图象理解函数的性质；

其次能利用函数的图象及其性质解决简单的实际问题；最后提高解决实际问题的能力.函数的学习需要学生

真正理解函数的定义，熟练运用函数的基本性质去解相关题型.本专题主要对函数与几何图形结合的相关题

型的解法进行归纳总结，所选题型为近年各省市中考真题或模拟题型.

几何动态与函数图象问题，常以选择题、填空题的形式出现.命题方式常涉及三种题型：①分析实际问题

判断函数图象;②结合几何图形中的动点问题判断函数图象;③分析函数图象判断结论正误;④根据函数性质

判断函数图象.题目难度中等，属于中考热点题型.

模型01动点问题

动点问题结合的函数题型，首先需要理清是哪种动点移动问题,是单动点还是双动点问题.在几何中

的动点问题中，由于动点位置改变需要学生能够将实际问题转化为函数的问题，并能判断出自变量与因变

量，根据变量的变化特点准确的画出函数图象，根据函数图象理解函数的性质；其次能利用函数的图象及其性

质解决简单的实际问题.

模型02线动问题

线动问题的函数图象题,该题型对于用图象描述分段函数的实际问题,要抓住以下几点：①自变量变

化而函数值不变化的图象用水平线段表示，②自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，③自

变量变化函数值也变化的增减变化情况,④函数图象的最低点和最高点.根据图象要对图象及其数量关

系进行一定分析，要抓住图象中的转折点及拐点，这些拐点处往往是运动状态发生改变或者相互的数量

关系发生改变的地方.

模型03函数图象判断

函数图象判断该题型对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点：①自变量变化而函数

值不变化的图象用水平线段表示，②自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，③自变量变化

函数值也变化的增减变化情况，④函数图象的最低点和最高点.

ism

模型01动点问题

考I向I颗I捌

动点问题的函数图象题本题型主要考查的是动点问题的函数图象,确定函数的表达式是解本题的关键.这类

问题需要学生具有一定的想象能力、分析能力和运算能力及分类讨论的解题思想.本题型主要是以选择、填空

为主，具有一定的难度,是学生主要的失分题型之一.

答I题I技I巧

I根据运动判断图象,关键是判断运动变化的节点，运动变化的节点往往就是函数图象分段的节

••

第一步：点；

第二步：找到节点后分段研究运动过程,列出关系式,进而判断图象；

第三步：根据选项做出选择；

题型示例

题目1（2024.河南南阳・一模）如图1,在△ABC中，AB=BC,6。，AC于点D（AD>BD）.动点加■从A

点出发，沿折线方向运动，运动到点。停止.设点M■的运动路程为以△AMD的面积为“"与

，的函数图象如图2,则AC的长为（）

图I图2

A.6B.8C.10D.13

【答案】A

【详解】解：由图2知，AB+BC=2，叵，

■：AB^BC,

A=,

,;AB=BC,BD±AC,

：.AC=2AD,AADB=90°,

在Rt/\ABD中,AD2+BD~=AB2=130,

设点用■到AC的距离为％,

Si1AoM=-AD-h,

•：动点M■从A点出发，沿折线AB-BC方向运动,

：.当点M■运动到点B时，/XAMD的面积最大，即/z=5。，

由图2知，△AMD的面积最大为3,

~~AD,BD—3,

AD・BO=6②，

①+2X②得，AD2+BD2+2AD-BD^13+2X6^25,

：.（AD+BD）2=25,

AD+BD=5（负值舍去），

.•.BD=5—AD③，

将③代入②得，人。（5-4D）=6,

/.AD=3或AD=2,

•：AD>BD,

/.AD=3,

/.AC=2AD=6,

故选：4

题目②（2023•北京）如图是一种轨道示意图，其中AOC和均为半圆，点“，4C,N依次在同一直线

上，且4W=CN.现有两个机器人（看成点）分别从M,N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速

移动，其路线分别为M->A->C->N和N->CTBTATM.若移动时间为①,两个机器人之间距禺为

”则g与c关系的图象大致是（）

【答案】。

【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从两点同时出发，

设圆的半径为

两个机器人最初的距离是AM+CN+2A,

•.•两个人机器人速度相同，

.•.分别同时到达点A,C,

：.两个机器人之间的距离"越来越小，故排除力，C-,

当两个机器人分别沿力一。一。和C-BA移动时，此时两个机器人之间的距离是直径27？,保持不变,

当机器人分别沿CTN和4一州移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C,

故选：D.

模型02线动向星

考|向|颗|恻

线动问题的函数图象题，根据几何图形的线动要对图象及其数量关系进行一定分析，抓住图象中的转折

点及拐点，这些拐点处往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方.该题型一般以选

择题的形式出现，具有一定的难度，需要学生综合运用几何与函数的相关知识.

答I题I技I巧

第一步：找准变量；

第二步：抓住图象中点转折点和拐点，几何图中的转折点往往是函数图中的拐点；

第三步：数据分析，结合几何与函数图形的数据得出相应结论；

第四步：根据题意解答；

题型示例

题目工（2024.河南许昌•一模）如图1,在Rt^ABC中，=90°,=30°,点P从点A出发运动到点B时

停止,过点P作PQ，AB,交直角边AC（或BC）于点Q,设点P运动的路程为c,/\APQ的面积为沙，沙与

【答案】。

【详解】解:根据图2知，AB=8,

当±=5时，4「=5,近=3,

•/48=30°,

/.PQ—BPxtan30°=V3,

S^APQ=^APxPQ=j-V3,

故选：C.

题目区（2023•海南）如图，Rt/XABC中，/。=90°,AB=5,BC="，点。在折线ACB上运动，过点。作

的垂线，垂足为区设AE=C,SAADE=。，则沙关于立的函数图象大致是（）

•/Rt/XABC中，90°,AB=5,BC=方,

AC=y/AB2-BC2=2V5,

..ACB1

・2=密=5，

•：DE_LAE

..A_DE_CF

AEAF2

・.E_ACxBC_V5X2V5_

,CF-AB--5一—29,

：.AF=4,

当点。在AC上时，即0<z<4时，

AE=x,S^ADE—y,

:.DE=L,n=±AExDE="2

2w24

当点。在CB上时，即4W，<5时，

如图所示，连接AD,

：.DE=2EB=2(5—x)

y=2(5—x)x=-2/2+10rc,

综上所述，当0VIV4时，抛物线开口向上，当44力＜5时，抛物线开口向下,

・・

故选：A.

模型03函数图象判断

者|向|森|恻

函数图象判断该题型对于用图象描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点:①自变量变化而函数值不

变化的图象用水平线段表示，②自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示，③自变量变化函数

值也变化的增减变化情况，④函数图象的最低点和最高点.

答I题I技I巧

第一步：一变一不变，图象是直线；

第二步：两个都变图象是曲线；

第三步：同增同减口向上；

第四步：一增一减口向下；

题型示例

题目①（2024.山东聊城・一模）如图,在矩形ABCD中，A。=6cm,AB=3cm,E为矩形ABCD的边4D上

一点，4E=4cm,点P从点B出发沿折线B-E-D运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C

停止，它们的运动速度都是0.5cm/s，现两点同时出发,设运动时间为Ms）,/XBPQ的面积为ycm2,则

沙关于，的函数图象为（）

【答案】。

【详解】解：在矩形ABCD中，4B=3cm,AD=6cm,AD〃BC,点E在A。上，且AE=4cm,

则在直角LABE中，根据勾股定理得到BE=y/AB2+AE2=V42+32=5cm,

①当0W1<10,即点P在线段BE上，点Q在线段BC上时，过点P作PF_LBC于F,

6

E

AD

5

・・•AD//BC,

・•・/AEB=/PBF,

sinZFBF=sinAAEB=君=§,则PF=BP•sinZFBF=^-t,

BE510

...片知Q.PF^X孕、景=步:

此时，该函数图象是开口向上的抛物线在第一象限的部分；

②当1041&12,即点「在线段。6上，点（2在线段5。上时，此时2/=53（2・。0=9x：tx3=1•力，此

时该函数图象是直线的一部分；

③当12<tW14,即点P在线段DE上，点Q在点。时，△BPQ的面积=Jx6x3=9cm2,此时该三角形

面积保持不变；

综上所述，。正确.

故选：C.

型目幻（2023-吉林）如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=5,点P是BC边上的一个动点（点P与点B,。都

不重合）,现将△PCD沿直线PO折叠,使点。落到点F处;过点P作ABPF的角平分线交AB于点E,设

【答案】。

【详解】由已知可知ZEPD=90°,

：.NBPE+NDPC=9Q°,

NDPC+"DC=90°,

：.ZCDP=ZBPE,

/B=/C=90°,

:.4BPE〜4CDP,

：.BP:CD—BE:CP，即/：3=g:（5—i）,

.•・沙=^^（。＜，＜5）;

故选c.•••

题目工（2023•湖北）如图，在TttAAB。中，点。为AC边中点，动点P从点。出发，沿着D-A-B的路径

以每秒1个单位长度的速度运动到B点，在此过程中线段CP的长度"随着运动时间，的函数关系如图2

【答案】。

【详解】解：；动点P从点。出发，线段CP的长度为y,运动时间为，的，根据图象可知，当c=0时，沙=2

CD=2,

•.•点。为AC边中点，

：.AD=CD=2,CA=2CD=4：,

由图象可知，当运动时间2=（2+，Hjs时，9最小，即CP最小，

根据垂线段最短，

・・.此时CPJ_4B,如下图所示，此时点P运动的路程。A+AP=lx（2+，五）=（2+VTT）,

所以此时AP=(2+VTT)-AD=V1T,

・・・ZA=ZA,AAPC=AACB=90°,

・・・丛APC〜丛ACB,

.APAC

••应一石’

即巫一，

4AB,

解得：AB=16”,

在Rt^ABC中，BC={AB1-AC1=.

故选C.

1题目0（2023•山东）如图（l）,RtZVLBC中，乙4cB=90°,CD是中线，点P从点。出发，沿的方

向以1cm6的速度运动到点B.图⑵是点P运动时，AAOP的面积？/（cm?）随时间x（s）变化的图象，则a

的值为（）

Avcm

「f'M—二Us

图图⑶

A.2B.1-C.D.V5

【答案】。

【详解】解：由点P的运动可知，CD=acm,BC=a+2-a=2cm，且当点P运动到点C时，△ADC的面积

为2cm2,

过点。作。ELA。于点E,

.•.。4＞。£=2,即4。._0£；=4,

；CD是中线，乙4cB=90°,

：.AD=CD,

：.。为AC中点，

.•.DE是△ABC的中位线，

DE--^-BC—1cm,

AC=4cm,

在Rt/XABC中，由勾股定理可知，AB=V42+22=2A/5cm

a—CD--^-AB=V5cm,

故选：D.

CS(2023•广西)如图1,点F从四条边都相等的LJABCD的顶点A出发，沿A一。一B以lcm/s的速度

匀速运动到点B,图2是点F运动时，△FBC的面积7/(cm2)随时间c(s)变化的关系图象，则a的值为

()

图1图2

5

A.V5B.2cr-TD.2V5

【答案】。

【详解】解:过点。作DE_LBC于点E

■：LJABCD的四条边都相等，

:.AB=BC=CD=AD.

由图象可知，点F由点A到点。用时为as,△FBC的面积为acm2.

AD—BC—a,

：.^-DE-BC=a,

:.DE—2,

当点F从点D到点B时，用时为V5s

BD=V5,

Rt/\DEB中，

BE=^BD2-DE2=V(A/5)2-22=1,

•/UABCD的四条边都相等，

EC=a—1,DC=a

Rt/XDEC中，

a2=22+(a—I)2,

解得：a=~1

故选：C.

题目回（2023•江苏）如图①,在正方形ABCD中,点M是的中点，设DN=x,AN+MN=y.己知V与

2之间的函数图象如图②所示，点E（a,2通）是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（）

D.2V5

【答案】。

【详解】解:如图，连接4。交BD于点O,连接NC,连搂MC交BD于点、NL

四边形ABCD是正方形，

.•.4、。关于BD对称，

：.NA=NC,

：.AN+MN^NC+MN,

当河、N、。共线时，夕的值最小，

二"的值最小就是的长，

：.MC=2V5,

设正方形的边长为Tn,则

在Rt/\BCM中，由勾股定理得：MC2=BC2+MB2,

20=m2+（十加）,

二772=4（负值已舍），

.•.正方形的边长为4.

故选：C.

题目回（2023-贵州）把两个全等的等腰直角三角形透明纸片ABC、FGH如图1放置（点。与点H重合），若

将4FGH绕点、C在平面内旋转，HG、分别交边AB于点E、。（点。、E均不与点A、B重合）.设AE

=c,BD=O,在旋转过程中，夕与①的函数关系图象如图2所示，则下列结论中正确的是（）

【答案】。

【详解】由题意可知，若点。与点4重合，则CG，AB,AE=2,

.•.a=AB=2AE=4,故选项人中的结论不正确，

由AB=4可得4。=3。=22，

ACEA=ZB+ZBCE=45°+ABCE=2DCE+ABCE=ABCD，/B=NA,

/\AEC〜/\BCD,

.AE_AC

,•京—访'

：.xy=8,故选项B中的结论不正确，选项。中的结论正确,•M

•：AE=xfBD=y,AB=4,

AD=4—g,BE=4—K，DE=力+g—4,

*/AD2+BE2—(4—g)2+(4—x)2=x2+y2—8x—8g+32,DE2—(x+?/—4)2=x2+?/2—8rr—8g+2xy+

16=力？+^2―8%一8g+32,

・・.AD2+BE2=DE2,故选项。中的结论不正确,

故选：。,

题目回(2023•北京)如图，△48。中，/。=90°,AC=15,BC=20.点。从点力出发沿折线A—C—B

运动到点8停止，过点。作DE，AB,垂足为E.设点。运动的路径长为①，岫DE的面积为y,若y与x

的对应关系如图所示，则a—6的值为()

A.54B.52C.50D.48

【答案】B

【详解】解：当2=10时，由题意可知，

AD=10,CD=5,

在Rt^CDB中，由勾股定理得BD2=CD?+BC2=52+202=425,

设AE—z,BE—25—z,

BE2=(z-25)2=z?-50z+625,

在Rt/XADE中，由勾股定理得DE?=AD2-AE2=100-22,

在Rt^DEB中，由勾股定理得BD2=DE?+BE2,

即425=100-z?+z?—50z+625,

解得z=6,

DE=6,BE=19,

a=SABDE=5X19X8=76,

当，=25时，由题意可知，CD=BD=W,

设BE=q,AE=25—q,

AE2=(25-q)2=625-50g+丁,

在Rt^CDA中，由勾股定理得AD2=AC2+CD2=152+102=325,

在Rt/^BDE中由勾股定理得DB2=BD2-BE2=100-q2,

Rt^DEA中，由勾股定理得AD2=DE2+AE2,

即325=100-q2+625-50g+片,

解得q=8,

DE—6,

b—SABDE=3X6X8=24,

二a—6=76—24=52.

c

D

B

E

A

故选：A

题目0（2023•上海）如图,△ABC中,AACB=90°,ZA=30°,AB=16,点P是斜边AB上任意一点,过点

P作垂足为P,交边力。（或边CB）于点Q,设4P=/,A4PQ的面积为“则9与力之间的函数

图象大致是（）

【答案】。

【详解】解：；乙4cB=90°,乙4=30°,AB=16,

：.ZB=60°,BC=yAB=8,

"CD=30°,

：.BD=^-BC=4：,

：.AD=AB—BD=12.

如图1,当04AD412时，

AP—x,PQ—AF*tan30°=——x,

o

"y236'

如图2:当12Vrr<16时，BP=AB-AP=16—c,

PQ=BF«tan60°=V3(16—a?),

y--yrc>V3(16—x)——^-x2+8V3x,

：.该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下,

故选D

c

图1图2

题目回（2023•广西）如图，矩形4RCD中，=3,5,点P是6。边上的一个动点（点P不与点B,C

重合），现将AFCD沿直线PO折叠，使点。落下点G处;作/BPG的平分线交于点石,设=力，

班;="那么g关于力的函数图象大致应为（）

【答案】。

【详解】由翻折的性质得，（CPD=4C'PD,

・・・PE平分NBPG,

・・・4BPE=/C]PE,

：./BPE+/CPD=9U°,

vZC=90°,

・・・/CPO+NPZX7=90°,

・・・4BPE=/PDC,

又•・•ZB=ZC=90°,

••.△PCD〜A^BP,

.BE=PB

''~PC~~CD'

函数图象为。选项图象.

故选c.

题目10（2023.内蒙古）如图1,点P从等边三角形ABC的顶点人出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从

该点沿直线运动到顶点设点P运动的路程为，，暮■=",如图2所示为点P运动时沙随c变化的函数

JO

关系图象,则等边三角形ABC的边长是（）

图1图2

A.2V3B.4C.6D.4^/3

【答案】A

【详解】如图，点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O,再从点。沿直线运动到顶点B,

A

结合图象可知，当点p在4。上运动时，缁=i,

：.PB=PC,AO=2,

又△ABC为等边三角形，

ABAC=60°,AB=AC,

：.AAPB空AAPC（SSS）,

zLBAO=Z.CAO=30°,

当点P在。B上运动时，可知点P到达点B时的路程为4,

.•.03=2,即40=03=2,

ZBAO=AABO=30°,

过点。作O。，AB,垂足为。，

AD=BD,则AD=AO-cos30°=V3,

：.AB=AD+BD=2V3,

即等边三角形ABC的边长为2，^.

故选：A.

直目电（2023・杭州）如图1,点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从

该点沿直线运动到顶点B.设点P运动的路程为以修=如图2是点P运动时沙随，变化的关系图象，

JTO

则等边三角形ABC的边长为（）

15

Z(P)

【答案】A

【详解】解:如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O,再从点。沿直线运动到顶点B.

结合图象可知，当点P在AO上运动时，需=1,

-tO

:.PB=PC,AO—2V3,

又・・・△48。为等边三角形，

・・.ABAC=60°,AB=AC,

・・・AAFB岂△APO(SSS),

・・.ABAO=ACAO,

：.ZBAO=ZCAO=30°,

当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为4V3,

：.OB=2A/3,即AO=OB=2A/3,

・•.ZBAO=ZABO=30°,

过点O作O。LAB,

AD=BD,则AD=AO•cos30°=3,

/.AB=AD+BD=6,

即：等边三角形的边长为6,

故选：4

题型通关

题目工（2024・河南・一模）如图1,在△48。中，CA=CB,直线Z经过点A且垂直于AB.现将直线,以

1cm公的速度向右匀速平移，直至到达点B时停止运动,直线I与边AB交于点M■，与边AC（或CB）交于点

N.设直线Z移动的时间是c（s）,ZYAMN的面积为.沙（CT"）,,若"关于C的函数图象如图2所示，则

△A3。的周长为（）

图1图2

A.16cmB.17cmC.18cmD.20cm

【答案】。

【详解】解:过。作CD_L43于。，如图，

由函数图像知，当直线Z与CD重合时，y的值最大为6,

此时AM=AD=4,为AD-CD=6,

:.CD=3,

・・・AC=BC,CD_LAB,

:.AB—2AD—8,

由勾股定理得：AC=y/AD2+CD2=5,

△ABC的周长为AC+BC+AB=2AC+AB=18（cm）,

故选：C.

图1

题目可（2024.河南安阳.一模）如图1，①A4BC中，点P从点。出发，沿折线C—B—A匀速运动，连接

AP,设点P的运动距离为以AP的长为y，夕关于x的函数图象如图2所示,则当点P为BC的中点时,

AP的长为（）

D.5

【答案】B

【详解】解：因为P点是从。点出发的，。为初始点，

观察图象c=0时？/=4,则47=4,P从。向B移动的过程中，AP是不断增加的,

而P从B向A移动的过程中，4P是不断减少的，

因此转折点为B点,P运动到B点时，即N=Q时，_BO=PC=Q，此时g=a+2,

17

即AP=AB=a+2,AC=4,BC=Q,AB=Q+2,

VZC=9O°,

由勾股定理得：(a+2)2=42+a2,

解得：Q=3,

:.AB—5,BC—3,

当点P为8。中点时，CP=^,

：.AP=VAC2+CP2=^42+(-|-)2=,

故选：B.

题目区（2024.四川广元.二模）如图,在梯形ABCD中，/B=90°,AB=4,CD=3,AD=视,点P,E

分别为对角线AC和边BC上的动点，连接PE.点P在CA上以每秒1个单位长度的速度从点C

运动到点A,在这个过程中始终保持PELBC.设△CPE的面积为“则？/与点P的运动时间2的函数

关系图象大致可以表示为（）

【答案】。

【详解】解:如图所示，过点4作AF_LCD,交CD的延长线于点F,

则四边形ABCD是矩形，

vCD=3,AB=4

：.CF=AB=4.,FD=1,

,/AD=VlO,

CB=AF=^AD2-FD2=3

在Rt/\ABC中，4C=VAB2+BC2=5,

•e•S^ABC~4BxBC-x3x4=6

・・,点P在C4上以每秒1个单位长度的速度从点C运动到点A,

・・.04£&5

•：PE_LBC

：.PEAB

：./XCPE^/XCAB

.S^PCE

S4ACB

•■-y=^-<2（0<i<5）

当t=l时，y=2=0.24

观察函数图象，只有。选项符合题意，

故选：。.

题目©（2024・河南信阳・一模）如图1,已知口ABCD的边长为4代，/B=30°,3。于点E.现将

△ABE沿8。方向以每秒1个单位的速度匀速运动,运动的△4BE与口ABGD重叠部分的面积S与运动

时间力的函数图象如图2,则当t为9时，S的值是（）

图I图2

A.-B.3V3C.D.5V3

O/

【答案】。

【详解】解：为4，^,/8=30°,于点E.

/.AE=2V3,

BE=y/AB2-AE2=6,

由运动的△ABE与UABCD重叠部分的面积S与运动时间1的函数图象得：

当运动到6时，重叠部分的面积一直不变，

CE=6,

BC=12,

由函数图象得：当运动时间方>6时，为二次函数，且在t=6时达到最大值，对称轴为直线1=6,

二次函数与坐标轴的另一个交点为（0,0）,

设二次函数的解析式为$=砒«—12）（力>6）,

将点（6,6遍）代入得：a=--^~,

6

19

S——_12）（t>6）,

o

当土为9时，$=呼二

故选：C.

题目回（2023•广西）如图，在放A4BC中，乙4cB=90°,乙4=30°,4B=4，^cm,CD_L4B,垂足为点。,

动点河从点A出发沿48方向以V3cm/s的速度匀速运动到点B,同时动点N从点。出发沿射线。。方向

以lcm/s的速度匀速运动.当点州停止运动时，点N也随之停止,连接MN,设运动时间为ts,/\MND的

面积为San?,则下列图象能大致反映s与土之间函数关系的是（）

【答案】B

【详解】解：,.•/ACB=90°,ZA=30°,AB=4V3,

ZB=60°,BC=yAB=2V3,AC=V3BC=6,

•：CD±AB,

：.CD=^-AC=3,AD=V3CD=3V3,BD=qBC=B

：.当〃■在AD上时，0Wt<3,

MD=AM-AD=3工一代t,DN=DC+CN=3+t,

：.S=yMD-DN=-1-(3V3-V3t)(3+垃=-兴/,

当加在上时，3<t<4,

MD=AD—AM--A/3t—3A/3,

.\S=yAiD-n7V=y(V3i-3V3)(3+t)=^t2--^,

故选：B.

—

题目⑤（2023•辽宁）如图，矩形ABCD中，AB=8cm,AO=12cm,AC与BD交于点。，河是BC的中点.

P、Q两点沿着B-C-。方向分别从点B、点河同时出发，并都以lcm/s的速度运动，当点。到达。点

时，两点同时停止运动.在P、Q两点运动的过程中，与△OPQ的面积随时间t变化的图象最接近的是

【答案】B

【详解】解：；矩形ABCD中，48=8cm,AD=12cm,AC与BD交于点

11

.•.点。到BC的距离=1■力B=4,到CD的距离=^AD=6,

•.•点M是BC的中点，

：.CM=^-BC=6,

.•.点Q到达点。的时间为6+1=6s,

点P到达点。的时间为12+1=12s,

点Q到达点。的时间为(6+8)+1=14s,

①0WC46时，点P、Q都在BC上，PQ=6,

/\OPQ的面积="j"x6x4=12;

②6<£412时，点P在BC上，点Q在CD上，

CP=12—t,CQ=t-6,

SbOPQ-S'COP+S〉COQ-S'PCQ，

—Jx(12—t)x4+x(t―6)x6—~x(12—t)x(t—6),

/乙乙

21

=yi2-8i+42,

=*”8）2+10,

③12Vt414时，PQ=6,

△OPQ的面积=/X6X6=18;

纵观各选项，只有B选项图形符合.

故选：B.

意目可（2024.山东淄博.一模）如图1,点P从△ABC的顶点B出发，沿B-C—A匀速运动到点4图2是

点P运动时，线段BP的长度沙随时间土变化的关系图象，其中曲线部分为轴对称图形，M为最低点，则

△ABC的面积是（）

A.6B.9C.12D.15

【答案】。

【详解】解：由图得，当点P运动到点。和店4处时，BP长都是5，即BC==5,

当BP最短时，即BP垂直时长为4,

,:BC=5,BP=4,

:.PC=NBC2—BP2=3,

•：BC=BA,BP±AC,

.•.CP=AP=3,

AC=6,

•••SA^BC=:AC-BP=4X6X4=12.

故选：C.

题目§（2023•山东）如图，在中，4B=10cm,sinA=1■，乙4cB=90°,过点。向AB作垂线，垂

5

足为D直线垂直于AB,直线馆分别与48,47相交于点河,N,直线九分别与ABIC相交于点P、

22

Q.直线山从点A出发，沿AB方向以1cm店的速度向点。运动,到达点D时停止运动；同时,直线n从点

B出发，沿B4方向以相同的速度向点。运动,到达点D时停止运动.若运动过程中直线小、九及△ABC

围成的多边形MNCQP的面积是y(cm2)，直线m的运动时间是，(s),则"与多之间函数关系的图象大致

【答案】A

【详解】解：AtAABC中，乙4cB=90°,过点。向AB作垂线，

ZCDB=90°,

ZA+AACD=90°2BCD+AACD=90°,

2A=4BCD,

同理/B=/ACD

3

AB=10cm,sinA=,

5

:.BC-AB•sinA=6,

在Rt/\ABC中，运用勾股定理得AC=89

•：^-AB-CD=^-AC-BC,：.CD=^,

z/o

由sin力=-得：cosA=ternA二3,

553

当OV/V单时，AM=BP=xf

5

由tanA=3,tanB=-7-得：MN=^-x,QP=^-x,AD=竺,_BD=单,

344355

.八小_

・・IvLL)_32X)DP—-18x,

55

y=SEMNCQP/（MN+CD）.MD+与（QP+GD）-DP

=3（等+%）（学一”）+5（卷+—（管—，）=4F+24；

士18V/32什

当丁丁《力Vk时，

55

y=Sg边球MND=y（MN+CD）,MD=］序0+吊）（等~x）

3,384

一一2百

翁"+24（0<c〈卷）

，根据函数解析式判断人选项符合题意,

“1-妙+警

故选：A.

题目回（2024.山东聊城・一模）如图，在△ABC中，4B=10,BC=6,AC=8,点P为线段AB上的动点，以

每秒1个单位长度的速度从点力向点3移动,到达点B时停止.过点P作PNLAC于点河，作PNL

BC于点N,连结MN,线段AW的长度沙与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低

点E的坐标为.

【详解】解:连接CP,如图,

•.•AB=10,BC=6,AC=8,

BC2+AC2=36+64=100,AB2=100,

BC2+AC2^AB2,

：./ACB=90°,

•：PM±AC,PN±BC,

：.NPMC=4PNC=4MCN=90°,

四边形MPM7为矩形，

:.MN=CP,

•.•点P为线段AB上的动点，由于垂线段最短，

当CPL4B时，CP取得最小值，即夕=MN取最小值,

过点。作CP_LAB于点P,

c

：ZAGB=90°,CP-LAB,

・・ZAPC=ZACB=90°,

又ZA=ZA,

・・△AGP〜△ABC,

.ACCP=AP

'~AB~^C~~AC9

,8_CP_AP

•.CP=VAP=W，

oo

当t—^-时，g取最小值为,

55

•・函数图象最低点E的坐标为（孚,爸）,

故答案为：（警,筌）.

\557

题目也如图①，在菱形ABCD中，/。=120°,点E是3。的中点，点P是对角线力。上一动点，设PC的长

①②

【答案】■伍2代）

【详解】图像上最低点表示的意义为y=PB+PE最小，

•••菱形4BCD,

.•.B、。关于AC对称，

/.连接OE交人。于P,此时夕=PB+PE最小，最小值为DE长度,

•.F=0即点P与点C重合时，g=6,

・・.BC+CE=6,

25

•.•点E是BC的中点,

；.BC=4,CE=2.

连接BD

•/菱形ABCD,/ADC=120°,

；.AD=AB=CD=BC=4,ZBCD=60°,ZACB=ZACD=3O°,

：.AADB是等边三角形，

•.•点E是AB的中点，

：.DE±AB,2CDE=30\BE=CE=：BC=2,

：.DE=d®一》=2V3，即夕=2V3.

cosZ-ACB=,

/Jo

图像上最低点Q的坐标为（容,26），

故答案为：（专3,2，^）.

题目正(2024•山东枣庄•一模)如图1,在AABC中，点P从点A出发向点。运动,在运动过程中，设立表示

线段AP的长，沙表示线段BP的长，夕与。之间的关系如图2所示，则小一九=.

【答案】展

【详解】解：由图2知：当/=0,P和A重合，则AB—2,

当n=1,g最小，最小值为打，此时BP_LAB,AP—1,

：.n=V22—l2=V3,

当力=4时，P和B重合，则BC=m,

/.m=y/(V3)2+(4—I)2=2V3,

-n—2V3—V3=V3,

故答案为：，

题目词如图1,在平行四边形ABC©中，/B=60°,BC=2AB,动点P从点A出发，以每秒1个单位的速

度沿线段AB运动到点B停止，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿折线B—C-。运动到

点。停止.图2是点P、Q运动时，的面积S与运动时间t函数关系的图象，则a的值是.

图1图2

【答案】

【详解】解：由题图2得，t=6时，点P停止运动，

.♦.点P以每秒1个单位速度从点A运动到点B用了6