解一元一次方程（六大类型）解析版-2024-2025学年浙教版七年级数学上册

解一元一次方程(六大类型)

【题型1解一元一次方程-合并同类与移项】

【题型2解一元一次方程-去括号与去分母】

【题型3新定义运算-解一元一次方程】

【题型4判断解一元一次方程的过程】

【题型5运用一元一次方程-无限循环小数化为分数】

【题型6含绝对值的一元一次方程】

-国情殳空位_____________________

【题型1解一元一次方程-合并同类与移项】

【典例1］解下列方程：

(1)6%—2=—5%+9；

(2)0.4y+2.8—3.6y=1.6—1.7y

【答案】⑴龙=1

(2)y=?

【分析】本题考查了解一元一次方程；

(1)根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可；

(2)根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可.

【详解】(1)解：移项得：6x+5x=9+2,

合并同类项得：llx=ll,

系数化为1得：乂=1;

(2)解:移项得：0.4y—3.6y+l.7y=1.6-2.8,

合并同类项得：一1.5y=-1.2,

系数化为1得：y=1

【变式1-11解方程：

(1)2%—8=10—4x；

(2)l-1x=x+1.

1

【答案】(l)x=3

(2)x=5

【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键.

(1)先移项、合并同类项，再将系数化为1即可得到方程的解；

(2)先移项、合并同类项，再将系数化为1即可得到方程的解；

【详解】(1)移项、得2x+4x=10+8,

合并同类项，得6x=18,

系数化成1,得x=3；

(2)移项，--x—x=--1

合并同类项，得一

系数化成1,得X=*

【变式1-2］解下列方程：

(1)3%-9=-3；

(2)5—(2%—1)=2%.

【答案】⑴%=2

(2)久=|

【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基

本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可.

(1)先移项合并同类项，再将未知数系数化为1即可；

(2)先去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可.

【详解】(1)解：3%-9=-3,

移项合并得：3%=6,

系数化为1得：%=2；

(2)解：5-(2x-1)=2x,

去括号得：5—2%+1=2%,

移项合并得：4%=6,

系数化为1得：%=|.

【变式1-3］解方程.

2

1

(1)3%+产=13；

(2)3%+4=9—2x.

【答案】(l)x=4

(2)x=1

【分析】本题主要考查解一元一次方程；

(1)先去分母，合并同类项，系数化为1,即可求解;

(2)移项，合并同类项，系数化为1,即可求解.

1

【详解】(1)解：3x+-x=13

去分母得，12x+x=52,

合并同类项得，13久=52,

系数化为1得，x=4；

(2)解：3x+4=9—2%

移项得，3乂+2%=9-4,

合并同类项得，5%=5,

系数化为1得，x=l.

【变式1-4］解下列方程：

(1)32—2%=3%+7；

(2)2—0.3%—3—0.4%；

(3)1x-0.7=卜+0.5；

⑷10%+7=14%—5—3%.

【答案】⑴%=5

(2)%=10

(3)%=1.2

(4)%=12

【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键.

(1)根据移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可;

(2)根据移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可;

(3)根据移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可;

(4)根据移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可.

3

【详解】(1)解：32-2%=3%+7

-2%—3%=7-32

—5x=-25

x=5

(2)解：2-0.3%=3—0.4%

—0.3%+0.4%=3—2

0.1%=1

%=10

E1

解：-%-

(3)40.7=4-x+0.5

51

—%——%=0.5+0.7

44

%=1.2

(4)解：10%+7=14x—5—3x

10%+7=11%—5

10%-11%=-5-7

-%=-12

x=12

【题型2解一元一次方程-去括号与去分母】

【典例21解方程：

(1)4(%+1)=3-%；

s\2(x+l)_5(x+l)

(2匕一=F

【答案】⑴X=—9

(2)x=5

【分析】本题主要考查了解一元一次方程，理解并掌握解一元一次方程的方法和步骤是

解题关键.

(1)按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可；

(2)按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可.

【详解】(1)解：4(%+1)=3-%,

4

去括号，得4%4-4=3—x,

移项、合并同类项，得5%=—1,

系数化为L得比=—'

2(x+l)_5(x+l)

(2)解:

36-1,

去分母，得4(%+1)=5(%+1)—6,

去括号，得4%+4=5%+5—6,

移项、合并同类项，得—％=—5,

系数化为1,得x=5.

【变式2-1】解方程:

(1)8%-3(3%+2)=6；

(2)3(%-2)=2-5(x+2)；

⑶与_]=平;

...%—1y2x4-3x+1

4———1=-------------

B463

【答案】(1)%=-12:

1

(2)%=_不

(3)y=-1：

(4)x=-5.

【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

(1)先去括号,再移项,然后去括号，合并同类项，最后系数化1,据此即可作答.

(2)先去括号,再移项,然后去括号，合并同类项，最后系数化1,据此即可作答.

(3)先去分母,再括号,再移项，然后去括号，合并同类项，最后系数化L据此即可

作答.

(4)先去分母,再括号,再移项，然后去括号，合并同类项，最后系数化L据此即可

作答.

【详解】(1)解：8x—3(3x+2)=6,

去括号，8%—9%—6=6,

移项，8%—9%=6+6,

合并同类项，一x=12,

5

系数化1,x=-12；

(2)解：3(%-2)=2-5(x+2),

去括号，3x-6=2-5%-10,

移项，3%+5%=2—10+6,

合并同类项，8%=—2,

系数化1,x=_；；

⑶解：与1_1=等，

去分母,3(3y—l)-12=2(5y-7),

去括号，9y-3-12=10y-14,

移项，9y-10y=12+3-14,

合并同类项，一y=l,

系数化1,y=-1；

/〃、左刀x-1y2x+3,x+1

⑷解：--1=—+—

去分母，3(%—1)—12=2(2%+3)+4(x+1),

去括号，3x—3-12=4x+6+4x+4,

移项，3%一4比一4%=3+6+12+4,

合并同类项，一5%=25,

系数化1,x--5.

【变式2-2］解下列方程

(1)6%—7=4x—5

(2)2(3-%)=-4(%+5)；

⑶券=平

⑷等-1=2+牛

【答案】⑴x=1

(2)x=-13

17

⑶久=一W

(4)%=4

【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是:

6

(1)按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；

(2)按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；

(3)按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；

(4)按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可..

【详解】(1)解:6x-7=4%-5,

移项，得6%—4久=-5+7

合并同类项，得2尤=2,

系数化为1,得x=l;

(2)解：2(3—%)=-4Q+5),

去括号，得6—2%=-4%—20,

移项，得—2x+4x=-20-6

合并同类项，得2%=-26,

系数化为1,得久=—13；

(3)解：等=智，

去分母，得3(3x+5)=2(2X—1),

去括号，得9x+15=4x—2,

移项、合并同类项，得5x=-17,

系数化为1,得％=—9；

/A、5x+lYr,2—X

(4)解：---1=2+—,

去分母，得2Q+1)—4=8+2—x,

去括号，得2久+2—4=8+2—x,

移项、合并同类项，得3%=12,

系数化为L得x=4.

【变式2-3］解下列方程：

(1)3%+5=5%—7；

(2)%+2(%—3)=3(1—%)；

⑶?=牛-1・

3+x

⑷1-平~6~

7

【答案】(1)%=6:

(2)%=|:

(3)%=0；

(4)x=1

【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键;

(1)根据移项，合并同类项，化系数为1计算即可；

(2)根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可；

(3)根据去分母，合并同类项与移项，化系数为1计算即可；

(4)根据去分母，去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可.

【详解】(1)解：3x+5=5x-7

移项合并得：2%=12,

解得：x=6；

(2)久+2Q—3)=3(1-%)

去括号，得：x+2x—6=3—3%,

移项、合并同类项，得：6%=9,

系数化为1：X=|;

/c、3x—2x+24

(3)D=-O-1

去分母得：6%—4=%+2—6,

移项合并得：5x=0,

解得：x=0

/、2x-l3+x

⑷1---=—

去分母，得：6—2(2%—1)=3+%,

去括号，得：6—4x+2=3+%,

移项、合并同类项，得：-5x=—5,

系数化为1,得：%=1.

【变式2-4］解下列方程

(l)6x—7=4%—5

(2)2(3-%)=-4(%+5);

8

⑶等=等

⑷等-1=2+牛

【答案】(1)%=1

(2)x=-13

17

⑶久=一W

(4)%=4

【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是：

(1)按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；

(2)按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；

(3)按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；

(4)按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可..

【详解】(1)解：6x—7=4x—5,

移项，得6x—4久=一5+7

合并同类项，得2%=2,

系数化为1,得x=l；

(2)解:2(37)=-4(%+5),

去括号，得6—2%=—4x—20,

移项，得—2x+4x=—20—6

合并同类项，得2x=-26,

系数化为1,得％=—13；

(3)解：等=学

去分母，得3(3x+5)=2(2x—1),

去括号，得9x+15=4x—2,

移项、合并同类项，得5x=-17,

系数化为1,得x=—?；

(4)解：亨—1=2+牛,

去分母，得20+1)—4=8+2—%,

去括号，得2x+2—4=8+2—x,

9

移项、合并同类项，得3x=12,

系数化为1,得x=4.

【题型3新定义运算-解一元一次方程】

【典例3】若定义一种新的运算"*",规定有理数a*6=4ab,如2*3=4x2x3=24.

(1)求3*4的值；

(2)若2*3%=12,求x的值.

【答案】(1)48；

⑵！

【分析】本题考查了有理数的混合运算及一元一次方程的应用，理解定义的新运算是解

题的关键.

(1)按照定义的新运算进行计算，即可解答；

(2)按照定义的新运算进行计算，即可解答.

【详解】(1)解：由题意得：

3*4

=4x3x4

=48；

(2)解：由题意得：

2*3%=12

4x2x(3%)=12

24%=12

1

x=r

,21Qr

【变式3-1】定义运算=a*+b+3例如：；(g)3=l*+3+3=*

⑴计算卷可

Q22

(2)-0%=—,求x的值.

O

【答案】⑴1

碇

【分析】本题主要考查的是有理数的混合运算，根据新规定的运算法则列出算式和方程

10

是解题的关键.

（1）根据新定义的运算规则，将得和!代入计算即可;

（2）根据新定义的运算规则，将看和x代入可得关于x的一元一次方程,解方程即可.

【详解】（1）解：

936

---:---1----3

10,25

9261

=10X3+5X3

32

=—I-

55

=1;

Q92

⑵解：W<8）久=爵,

o

93,023

92,123

3.123

•〈+/=正

-1x=—5

324

5

ab

【变式3-2］定义一种新的运算：对于任意的有理数Q,b,c,d都有cd=ad—be,

应用新运算计算:

⑴求|，4

1的值;

I2-%+3

(2)如果|_|—2=5,求x的值.

【答案】（1）—10

【分析】（1）先根据新运算进行变形，再根据有理数的运算法则进行计算即可;

（2）先根据新运算进行变形，再根据等式的性质求出方程的解即可.

【详解】（1）解：,4I3

=2X1-(-3)X(-4)

11

=2-12

=—10；

2—x+3

(2)3n—5,

一无一2

2(%—2)—(—x+3)-(—=5,

3Q

2%—4--%+-=5,

3Q

2%--%=5+4-

736

36

【点睛】本题考查了解一元一次方程和有理数的混合运算，能正确根据有理数的运算法

则进行计算是解(1)的关键，能正确根据等式的性质进行变形是解(2)的关键.

【变式3-3】定义一种新运算"®"：a®bab-a+6.例如：3㊉1=3x1—3+1=1,

(2a)㊉2=(2a)-2—2a+2=2a+2.

⑴计算4㊉(-2)的值；

(2)已知(2zn)㊉3=2㊉zn,求冽的值.

【答案】(1)—14

(2)m=—5

【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数的四则混合计算，正确理解题意是解

题的关键.

(1)根据题目所给的新定义进行求解即可；

(2)根据题目所给的新定义建立方程6根一2根+3=2根一2+根，解方程即可得到答

案.

【详解】(1)解：由题意得：4㊉(-2)=4X(—2)—4+(—2)=—14；

(2)解：・・•(2TH)㊉3=2㊉TH,

••.6m—2m+3=2m—2+m,

解得771=-5.

【题型4判断解一元一次方程的过程】

12

【典例4】下面是小严同学错题本上的一道题：当_空=写！

解：2x3x—(6—3x)=4(3%+1)第一步

6%-6+3%=12%+4第二步

6x+3x-12x=4-6第三步

—3%=—2第四步

x=|第五步

(1)以上解题过程中，小严从第步开始出错误；

(2)请计算出该方程的正确结果.

【答案】⑴三；

(2)K=-y.

【分析】本题考查解一元一次方程.

(1)第三步开始出现错误，原因是移项时，没有变号；

(2)按照解一元一次方程的步骤，进行求解即可.

熟练掌握等式的基本性质，解一元一次方程的步骤，是解题的关键.

【详解】(1)解：第三步移项时，没有变号，则开始出现错误，

故答案为：三；

/一、3%6—3x3x4-1

(2)-----------=------

482

去分母，得：2X3%—(6—3%)=4(3%+1)

去括号，得：6%—6+3%=12%+4

移项，得：6%+3%—12%=4+6

合并同类项，得：一3刀=10

系数化L得：%=-y

【变式4-1】下面是小贝同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务.

2%—13%—2

~32~=1

解：2(2久—1)—3(3久一2)=6...第一步

4%-2-9%+6=6...第二步

4%-9%=6+6—2...第三步

—5x=10...第四步

13

x=—2...第五步

任务一：填空：（1）以上解题过程中，第一步是依据进行变形的；第二步是

依据（运算律）进行变形的；

（2）第步开始出现错误，这一步的错误的原因是;

任务二：请直接写出该方程的正确解：.

【答案】任务一：（1）等式的性质2；乘法分配律；（2）三；移项没变号；任务二:

2

%=-5

【分析】任务一：（1）根据等式的性质和乘法分配律判断即可；

（2）根据等式的性质即可判断解方程的对错；

任务二：根据等式的性质（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1）求解即

可.

本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键.

【详解】解：（1）以上解题过程中，第一步是依据等式的性质2进行变形的；第二步

是依据乘法的分配律进行变形的，

故答案为：等式的性质2,乘法的分配律；

（2）第三步开始出现错误，这一步的错误的原因是移项没变号，

正确解法为：

左刀2x—13x—2.

解：-------=1.

去分母,得2（2%—1）-3（3%—2）=6,

去括号，得4比一2—9久+6=6,

移项，得4x—9x=6—6+2,

合并同类项，得一5久=2,

系数化成1,得X=—今

故答案为：三，移项没变号，比=—|.

【变式4-21以下是亮亮解方程苦工-1=x的解答过程.

解：去分母，得3%—1—1=2%.

移项，得3%—2%=1+1.

合并同类项，得、=2.

14

亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程.

【答案】亮亮的解答过程有错误，解答过程见解析

【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方

法，准确计算；先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为1即可得

解.

【详解】解：亮亮的解答过程有错误.

正确的解答过程：

去分母，得：3x—1—2=2x,

移项，得：3x—2x=1+2,

合并同类项，得：久=3.

【变式4-3](1)解方程：3Q+1)=1—(％+4).

(2)下面是小明同学解一元一次方程亨一导=1的过程，请认真阅读并完成相应的任

务.

解:去分母，得2(x+1)—(x—1)=4.................................................第一步

去括号，得2%+2—x—1=4................................................................第二步

移项，得2x—x=4—2+1....................................................................第三步

合并同类项，得％=3..........................................................................第四步

任务

①第一步的依据是;

②第步开始出现错误，错误的原因是；

③该方程的正确解为.

【答案】(1)%=-|;(2)①等式的基本性质；②二，括号前是"一”号，把括号和

它前面的"一"号去掉后，原括号里的第二项没有变号；@%=1

【分析】本题考查解一元一次方程.掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键.

(1)去括号，移项，合并同类项，系数化1,解方程即可；

(2)①根据等式的基本性质作答即可；②第二步，去括号出现错误；③按照步骤正确

的求解即可.

15

【详解】解：(1)去括号，得3久+3=1—久一4.

移项，得3久+x=1-4-3.

合并同类项，得4x=-6.

方程两边同除以4,得％=—1.

(2)①第一步的依据是等式的基本性质；

故答案为：等式的基本性质；

②第二步开始出现错误，错误的原因是括号前是"一"号，把括号和它前面的"一"号去掉

后，原括号里的第二项没有变号；

故答案为：二，括号前是"一"号，把括号和它前面的"一"号去掉后，原括号里的第二项

没有变号；

③去分母，得2Q+1)—Q—1)=4.

去括号，得2久+2—刀+1=4.

移项，得2x—x=4—2—L

合并同类项，得工=1.

故答案为：%=1.

【题型5运用一元一次方程-无限循环小数化为分数】

【典例5］阅读下面把无限循环小数化为分数的解答过程：

设x=0.3=0.3332①，

贝也0刀=3.3333(2),

由②一①得9久=3,即x故0.3=(

根据上述提供的方法，把①07②化为分数.

【答案】@0.7=101.3=|

【分析】此题主要考查了无限循环小数和分数的转换，一元一次方程的解法.仿照题中

给出的例子进行运算即可求解.

【详解】解:设x=0.7=0.777①，贝以0%=7.777②

则由②一①得：9x=7,

解得：K=三,

16

故0)=3

设X=o.g=0.33g①，则10%=3.332②

则由②一①得：9%=3,

解得：x=I，

故0.8=9；

••14

故1.3=1+0.3=1+-=

【变式5-1]下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务.

解方程：；詈=1

解：,得3x—(x—2)=6第一步

去括号，得3x—x+2=6第二步

移项，得3万一％=6+2第三步

合并同类项，得2久=8第四步

方程两边同除以2,得x=4第五步

⑴以上求解步骤中，第一步进行的是;

(2)以上求解步骤中，第步开始出现错误；

⑶请写出正确解方程的过程.

【答案】⑴去分母

(2)三

⑶见解析

【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，等式的基本性

质是解题的关键.

(1)根据解一元一次方程的步骤解答即可；

(2)根据解一元一次方程的步骤解答即可；

(3)按照解一元一次方程的步骤进行计算即可.

【详解】([)解：以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，

故答案为：去分母；

(2)解：以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项时没有变号，

故答案为：三；

17

(3)解：等=1

两边同乘6得：3%—(x—2)=6£—1,

去括号得：3x—x+2=6,

移项得：3万一刀=6-2,

合并同类项得：2久=4,

两边同除以2,得x=2.

【变式5-2】先阅读下面材料，再完成任务：

【阅读理解】你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方

法.

例题，利用一元一次方程将0.6化为分数，设尤=0.6,则10x=6.6,而6.6=6+0.6

一77

所以10久=6+久，化间得9x=6,解得X=§.所以0.6=§

【问题探究】

(1)请仿照上述方法把0.7化成分数为分数为；(直接写出结果)

(2)请类比上述方法，把循环小数0.23化为分数，写出解题过程

【答案】⑴g

(2)|1,过程见解析

【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能选择适当的方法求解是解

此题的关键.

(1)设X=0；①，贝打Ox=7；②，②一①得出9x=7,再求出x即可；

(2)设x=0.23,贝iJ100x=23.23,贝iJlOOx=23+%,再求出x即可.

【详解】(1)解：设x=0；①，则10x=7；②，

②一①，得9久=7,

解得：x=3

即0.7=(

故答案为：g；

18

(2)解:设x=0.23,则100x=23.23

而23.23=23+0.23

.-.10Ox—23+x

解得x=H

23

••-0.23=-

【变式5-3】方程思想，解决问题

【阅读理解】

你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法.

例题：利用一元一次方程将0.6化成分数，设久=0.6,那么10x=6.b,而6,6=6+0.6,

所以10x=6+x,化简得9久=6,解得久=提所以，0.6=:.

【问题探究】

(1)请仿照上述方法把0)化成分数为；(直接写出结果)

(2)请类比上述方法，把循环小数0.北化为分数，写出解题过程.

【答案】(瑞

(2)见解析

【分析】(1)设x=0；①，则10x=7；②，②-①得出9x=7,再求出x即可；

(2)设y=O；Z①,则100y=②,②-①得出99y=16,再求出y即可.

【详解】(1)设x=0；①，贝UlOx=7；②，

②-①，得9x=7,

7

解得：X=~,

即0.7=(

故答案为：

(2)设y=0.16①，贝iJIOOy=16.16②,

②-①，得9Q=16,

解得：y嗡，

19

即o.iZ嗡.

【点睛】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能选择适当的方法求解是解

此题的关键.

【题型6含绝对值的一元一次方程】

【典例6】有些含绝对值的方程，可以通过分类讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解.

例如：解方程％+2因=3

解：当比20时，方程可化为：x+2x-3

3%=3

x=1,符合题意

当久＜0时，方程可化为：x-2%=3

-%=3

%=-3,符合题意

所以原方程的解为：％=1或%=-3

仿照上面解法，解方程：x+3|x-1|=7

【答案】X=|或—2

【分析】按照所给解法，结合绝对值的意义解方程即可.