空间向量与立体几何（八大题型8大易错题）-2025年高考数学一轮复习（原卷版）

专题13空间向量与立体几何（八大题型8大易错题）

述题型专练

【题型1用基向量表示指定向量的方法】

1.（24-25高二上•天津滨海新•阶段练习）如图在三棱锥P-4BC中，”是4B的中点，若P4a,PB=b,

PC=c,则下列向量中与CM相等的向量是（）

Ai,irf

A.—CL—b-cB.-CL-b+c

22

「ITir.-»

C.—CL—bcD.a+b—c

22

2.（24-25高二上•海南•阶段练习）如图，空间四边形0ABC中，0A=a,OB=b,OC=c,点M为BC中

点，点N在侧棱OA上，且。N=2M4,则丽=（）

A2T,17，1TD2flrIT

A.——a+-D+-cB.—u—b—c

322322

2Tll.t

C「.一iad.—irb—I-cCD.——IaT——b+-c

222232

3.（23-24高二上•黑龙江哈尔滨•期中）如图，空间四边形OABC中，0A=a,OB=b,=落点M在

04上，且砺=|市，点N为BC中点，则而等于（）

也

A1^,17*1f

A.-a+-b——cB.--a+-b+-c

222322

「2Tl2TIT

C--a+-b——cD.——a+-b——c

332332

4.（24-25高二上•陕西咸阳•阶段练习）如图，三棱锥。一ABC中，OAa,~0B=b,OC=c,点M为8c中

点，点N满足加=2涵，则丽=（）

B

AA.-1a-——irb——2TcB.-1a-——irb+.-2c

233233

「2TlrIT1-2Ei1一

C.-a——b——cD.—a—-D+-C

322232

【题型2三点共线和空间四点共面的问题】

5.（24-25高二上•四川•期末）已知向量日=（2,-1,—3）,3=（尢2,〃），若五,3共线，贝以一〃=（）

A.-2B.2C.-10D.10

6.（24-25高二上•安徽蚌埠•阶段练习）设e「e2是空间两个不共线的非零向量，已知荏=2瓦＜+前=

q+3/，京=温-瓦,且力、B、D三点共线，则实数k的值为（）

A.—2B.-4C.-8D.8

7.（24-25高二上•山西•阶段练习）若何石码构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）

A.a+b,c,a+b+c,B.a—c,a,a+c

C.3+冷b,c—bD.a+b,b+c,c+d

8.（24-25高二上•贵州六盘水•期末）已知向量丽=（2,1,2）,而=（—2,1,1）,而=（8,6,4）,若。,M,N,P四

点共面，则向量而在而上的投影向量的模为（）

A.12B.—C.—D.—

393

9.（24-25高二上•河南•阶段练习）已知三个向量五=（1,1,0）5=（一1。2）1=（%,2,5）共面,则%=（）

A-B-IC-D-1

10.（24-25高二上•贵州贵阳•阶段练习）。为空间任意一点,若加=三瓦？+工赤+若a,B,c,p四点

48

共面，贝亚=（）

A.1B-1c-:D-;

【题型3空间向量数量积的应用】

11.（24-25高二上・北京•阶段练习）在正方体中，ACABD=0,D】OB]D=P,

则直线PZ与直线PB夹角的余弦值为()

A.包B.叵c.匹D.四

6352

12.（24-25高二上・贵州贵阳•期中）若2=通=(1,2,3),则Q+K)-(2a-6)=()

A.4B.5C.21D.26

13.（24-25高二上•四川眉山•期中）棱长为1的正四面体4BCD中,点E是4D的中点，则瓦？・厘=（）

在_V3

ABc.D.

-;-44

14.（24-25高二上•北京•阶段练习）已知空间向量由b,［满足2+b+c=6,且向=2,\b\=3,|c|=4,则

cos(a,b)=(.)

在「V3

AB.C.—D.-

-1224

15.（2024高三・全国•专题练习）空间四边形。4BC中，OB=OC,Z71OB=乙4。。=以则cos阮）的值

是（）

返

AB.CD.0

-12-

16.（24-25高二上•安徽黄山•期中）如图，在平行六面体4BCD中，AB=AD=1,4的=4,AA1=3,

N&AB=N&4D=p贝此艮4D=()

11

AA.-D.-

32

【题型4利用空间向量证明空间线面位置关系】

17.（20-21高二上•山东荷泽•阶段练习）如图，正方形ADEF与梯形A2C。所在的平面互相垂直，AD1CD,

AB//CD,AB=AD=2,CD=4,M为CE的中点.

（1）求证：BM3平面AOEP；

⑵求证：BC_L平面BDE.

18.（23-24高二上•新疆阿克苏•阶段练习）如图，在正方体4BCD—中，E,F,G分别是棱力

的中点.

⑴证明：EF||&G；

（2）证明：4/1C1E；

19.（2024高三・全国•专题练习）如图，在四棱锥P—ABCD中，PAVAB,底面4BCD是矩形，且4B=4,

AD=3.侧面PBC是面积为季的直角三角形，其中BC1BP.点分别为线段4B,PC的中点，连接EF.

⑴证明：直线EF〃平面PAD；

（2）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.

【题型5用向量法求异面直线所成角】

20.（23-24高二上•山西吕梁•阶段练习）如图，在直三棱柱2BC-4BiCi中，AB1BC,AB=BC,441=

AC=2V2,点E为棱A声1的中点，点尸是棱BC上的一点，且BF=3FC,则直线4E与C】F所成角的余弦

值为（）

168V33口16回

AA.——

9999・99

21.（24-25高二上•辽宁大连•期中）如图所示，在棱长为2的正方体ABC。-&B1GD1中，E为BC的中点,

CF=?CCi，则异面直线EF与Bi%所成角的余弦值为（）

A.2B.遗

36

22.（24-25高三上,吉林•期末）正三棱台ABC-DEF中，AB=2AD=2DE,G,”分别为48,DE的中点,

则异面直线GH,BF所成角的余弦值为（）

DF

A-B-;

23.（24-25高二上•四川成都,期末）如图，在平行六面体力BCD-4/1中，AB=AD=l,AAr=

2,乙4"。=乙4遇8=或乙BAD=p则异面直线4。1与82所成角的余弦值为（）

A.iB.四C.迤D.亚

23510

24.（24-25高二上•广东东莞•期中）若空间中三个点4（—1,0,0）,8（0,1,—1）,C（—2,—1,2）,则直线力B与直线AC

夹角的余弦值是（）

A.-迥B,巫C.=D.i

3333

【题型6用向量法求解直线与平面所成角】

25.（24-25高二上,河南驻马店•阶段练习）如图，在四棱锥P—4BCD中，平面4BCD，平面PAD,AB1AD,

=BC=CD=4。=24=PD=2,点E是线段P2的中点.

⑴求异面直线CE与PB所成角的余弦值；

（2）求直线24与平面BCE所成角的正弦值.

26.(24-25高二上•山东泰安•阶段练习)如图，在三棱锥P-ABC^,AB=BC=2vLPA=PB=PC=AC=

4,。为AC的中点.

(1)证明：P。_L平面ABC；

(2)若点M在棱8c上，且二面角M—24—C为30。，求PC与平面P4M所成角的正弦值.

27.(24-25高二上•河南南阳•阶段练习)在图1的直角梯形ABC。中，乙4=AD=90°,AB=BC=2,DC=3,

点E是。C边上靠近于点。的三等分点，AC交BE于点F,以2E为折痕将ABCE折起，使点C到达G的

位置，且力G=V6,如图2.

(1)求四棱锥G-4BED的体积U；

⑵求QB与平面的4。所成角的正弦值.

【题型7利用向量法解二面角问题】

28.(2024•浙江温州•一模)如图，在三棱柱ABC—A/】Q中，平面ABC11平面ABC,AQ，平面BCqB1.

⑴求证：BCr1BC；

（2）若二面角的正弦值为亨，且2B=2BC=2,求4Q

29.（24-25高二上•河南南阳•阶段练习）如图，在四棱锥尸-4BCD中，底面四边形ABCD为正方形，E为

棱尸。的中点，。为边的中点.

⑴求证：AE〃平面尸OC；

(2)若侧面PAB_L底面ABCD,且NPA8=5AB=2PA=4,求二面角P-BD-4的余弦值.

30.（24-25高三上•广西•阶段练习）如图在三棱柱ABC-&B1G中，平面/GCB1平面48C,△28C是等

边三角形，B©=CC]=2,NBCQ=120°.

⑴求棱锥B—ace1的体积;

(2)若。为棱&G的中点，求二面角A-B1D-C的正弦值.

【题型8利用空间向量求空间距离】

31.(24-25高三上•辽宁•阶段练习)如图，在四棱台4BCD—a/CA中，441，平面A8CD,4/〃平面

CDD^.ADIIBC,AB=AD=CD2AA1=24祖=2.

(1)求证：AD=

(2)求平面CDDiQ与平面844/1所成角的正弦值;

⑶求点4关于平面4BC的对称点M到平面CDD©的距离.

32.(24-25高二上•山东济宁•阶段练习)如图，在四棱锥P-4BCD中，底面4BCD是平行四边形，且BC=

242,AB=2,/.ABC=45°,平面P48_L平面ABCD,P2=PB=BC.

⑴求证：平面P4B1平面P4C；

(2)点Q是棱PC上靠近点P的三等分点，求直线2。与平面BDQ所成角的正弦值;

⑶求点C到平面BDQ的距离.

33.(24-25高二上•天津•阶段练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面4BCD是正方形，侧棱PD1底面4BCD,

PD=DC=2,E是PC的中点，作ET1P8交PB于点F.

(1)求证：P4〃面EDB；

(2)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小;

⑶求点B到平面EFD的距离.

34.(24-25高二上•广西河池•阶段练习)如图，在四棱锥P-4BCD中，侧棱PA1底面ZBCD,AB1BC,

且P4=2,AB=BC=V2,AD=CD=V5,E为PC中点.

①求点C到平面瓦4D的距离；

（2）求平面PBC与平面R4D夹角的正弦值.

r易错摞醍

1.（24-25高二上•山西•阶段练习）如图，在棱长为6的正四面体4BCD中，E,尸分别为棱4D,48的中点,

则异面直线BE,CF所成角的余弦值为（）

2.（24-25高二上•广西玉林・期中）如图,在直三棱柱ABC-4当前中，△ABC是等边三角形,441=a,4B=2,

则点C到直线力当的距离为（）

3.（24-25高二上•江苏南通•阶段练习）已知点Q（l,2,3）,平面a={P|元•所=0},其中元=（2,-1,2）,则

点2（—1,0,1）到平面a的距离是（）

C.2D.3

4.（2023•上海嘉定,一模）正四棱台4BCD-4