【初中数学】简单的轴对称图形（第2课时）教学设计+2024-2025学年北师大版数学七年级下册

第二节简单的轴对称图形（第2课时）教学设计一、教学内容和内容解析（一）教学内容教材128～130页，《线段垂直平分线的性质》（二）教学内容解析本节课是在学生感受了现实生活中的轴对称图形，探索并体验了轴对称图形的特征的基础上进一步认识简单的轴对称图形——线段，主要学习线段的轴对称性，线段的垂直平分线定义及性质。这既是对前面知识的深化和应用，又是后续画图形的对称轴和画轴对称图形的基础，还是今后探究等腰三角形、矩形、菱形、正方形等轴对称图形的性质的预备知识和方法指导，因此处于非常重要的位置，起着承上启下的作用。二、课程标准内容要求（一）知识与技能1.理解概念：学生要理解线段垂直平分线的定义，明确它是垂直且平分一条线段的直线。2.掌握性质：掌握线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，能够准确地用文字语言和符号语言表述这一性质。3.学会作图：会用尺规作线段的垂直平分线，清楚尺规作图的步骤和原理，能独立完成作图。（二）数学思考1.直观感知到抽象概括：经历从折纸、画图等具体操作活动中，抽象出线段垂直平分线性质的数学模型的过程，发展数学抽象素养。2.逻辑推理能力培养：在探究和证明线段垂直平分线性质的过程中，进行简单的逻辑推理，能从已知条件出发，依据定义、定理等进行有条理的思考和推导。（三）问题解决1.实际问题转化：能运用线段垂直平分线的性质解决一些简单的实际问题和数学问题，将实际问题中的距离相等问题转化为线段垂直平分线性质的数学模型来解决。2.方法与策略运用：在解决问题的过程中，学会运用观察、测量、猜想、验证等方法，体会数学知识之间的联系，积累解决问题的经验，提高解决问题的能力。（四）情感态度1.学习兴趣激发：通过感受线段垂直平分线在生活中的广泛应用，如建筑设计、桥梁构造等领域，体会数学与生活的紧密联系，激发学习数学的兴趣和积极性。2.科学态度培养：在探究线段垂直平分线性质的过程中，培养严谨的科学态度和勇于探索的精神，养成良好的数学学习习惯。三、教学目标和目标解析（一）教学目标1.学生能从具体的实例和图形中，抽象出线段垂直平分线的概念和性质，理解其本质特征，并用准确的数学语言进行描述。2.经历线段垂直平分线性质的探索与证明过程，能运用演绎推理和归纳推理等方法，证明性质定理及判定定理，发展逻辑思维能力。3.通过观察、操作、折纸等活动，直观感受线段垂直平分线的对称性，能想象出线段垂直平分线上的点与线段两端点的位置关系，培养空间观念和几何直观能力。4.能运用线段垂直平分线的性质，将实际问题转化为数学模型，如解决选址问题等，提高解决实际问题的能力。（二）目标解析《义务教育数学课程标准（2022年版）》中明确指出：目标1的要求：学生要能从生活中的建筑结构、图案设计等实例，以及几何图形中，忽略其他非本质属性，提炼出线段垂直平分线“垂直且平分线段”这一关键特征，并用文字语言、符号语言准确表达性质，如“若直线MN是线段AB的垂直平分线，点P在MN上，则PA=PB”。目标2的要求：在探索性质时，学生要通过观察、测量、折叠等方法提出猜想，再运用三角形全等的知识进行严谨证明。在证明过程中，能清晰地阐述每一步的依据，从已知条件逐步推导出结论，培养逻辑推理的严密性和条理性。目标3的要求：学生通过动手折纸、观察图形等活动，直观认识到线段沿垂直平分线对折后两端点重合，进而想象出垂直平分线上任意一点到两端点的距离相等。能在复杂图形中识别出线段垂直平分线的模型，想象出点与线段的位置关系，为解决几何问题提供直观支持。目标4的要求：当遇到如确定到两个村庄距离相等的公交站点位置等实际问题时，学生能意识到可以利用线段垂直平分线的性质，将其转化为数学问题，建立数学模型，通过作线段的垂直平分线来确定点的位置，从而解决实际问题，体会数学与生活的紧密联系。四、学生学情分析（一）学生基础情况七年级学生此前已接触了线段、角等基本图形，对图形的直观认识有一定基础。同时，他们掌握了全等三角形的相关知识，这为理解线段垂直平分线性质的证明过程提供了理论支撑。比如，在之前的学习中，学生通过测量、折叠等方法探究过一些图形的特征，具备初步的动手操作和观察归纳能力。而且，他们已经能够运用简单的几何语言进行表达，为学习线段垂直平分线的性质及其相关证明奠定了语言基础。（二）学生学习难点1.抽象概念理解难：线段垂直平分线的性质较为抽象，学生难以从具体的图形中准确提炼出其本质特征。2.逻辑推理难掌握：在证明线段垂直平分线性质的过程中，需要运用严谨的逻辑推理和规范的证明步骤，这对正处于从形象思维向抽象思维过渡阶段的七年级学生来说，难度较大。他们常常在证明思路的构建以及证明过程的书写上出现错误，难以清晰地阐述每一步的依据。3.知识应用迁移难：将线段垂直平分线的性质应用到实际问题或复杂的几何图形中时，学生很难准确识别出问题中蕴含的数学模型，难以将所学知识灵活迁移运用，无法快速找到解决问题的方法。（三）学生学习需求1.方法指导需求：在证明过程和解决问题的方法上，学生急需教师给予详细的指导。他们希望教师能够逐步引导如何分析问题、构建证明思路以及规范书写步骤，从而掌握逻辑推理和解决几何问题的方法。2.实践应用需求：学生对贴近生活实际的数学应用场景充满兴趣，希望通过解决实际问题来加深对知识的理解和掌握。五、教学策略分析（一）情境导入策略创设生活情境，比如展示城市地图，提问如何确定到两个地铁站距离相等的公交站点位置。通过这样的方式激发学生的好奇心与探索欲，让他们意识到数学与生活的紧密联系，快速集中注意力，积极投入到线段垂直平分线性质的学习中。探究式教学策略组织学生开展探究活动，如让学生自己画线段、作垂直平分线，在垂直平分线上任取点测量到两端点距离，自主归纳猜想性质。之后引导学生小组讨论，尝试证明猜想，教师巡视指导，最后小组代表发言展示成果，培养学生自主探究与合作交流能力。分层教学策略依据学生的学习能力、知识基础分层，设计基础、提高、拓展等不同层次的练习题，如基础题是直接运用性质计算线段长度，提高题是在简单几何图形中运用性质证明线段相等，拓展题是解决实际生活中的复杂问题。布置分层作业，让每个层次的学生都能得到发展。数学思想渗透策略在教学过程中，有意识地渗透转化、类比、数形结合等数学思想。如在证明性质时，将证明线段相等的问题转化为证明三角形全等，体现转化思想；在探究性质时，将新知识与已学的轴对称知识类比，帮助学生理解，通过图形展示性质体现数形结合思想，提升学生数学思维能力。六、教学重难点（一）重点：线段垂直平分线的性质定理。（二）难点：线段垂直平分线的性质定理的探索与应用。七、教学过程教学流程活动一：旧知回顾，新课导入【问题引入】1.什么样的图形叫作轴对称图形？如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴。2.下列各图中，可看作轴对称图形的是（B）3.线段是轴对称图形吗？设计意图：通过复习旧知，并设问直接引出本节课的学习内容，激发学生的求知欲。活动二：交流合作，探究新知探究点1线段的垂直平分线的性质操作1如图（见教材128页图5-12），在纸片上画一条线段AB，然后对折AB，使A，B两点重合，设折痕与AB的交点为O。问题1（1）点O是线段AB的中点吗？折痕与线段AB垂直吗？点O是线段AB的中点，折痕与线段AB垂直。（2）线段AB是轴对称图形吗？请描述它的对称轴的特点。归纳总结：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴。(3)如何定义线段的这条对称轴呢？概念引入：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。操作2如图（见教材129页图5-13），直线l是线段AB的垂直平分线，点C是l上的任意一点。在线段AB上画出以直线l为对称轴的一组对应点D和D′，连接CD和CD′。问题2（1）你认为线段CD和CD′之间有什么关系？说说你的理由。CD=CD′。可以通过说明三角形全等，再利用其对应边相等的性质得到CD=CD′。（2）特别地，当点D与点A重合时，点D′位于什么位置？此时，线段CD和CD′之间还有（1）中的关系吗？由此你能得到什么结论？点D′与点B重合。线段CD和CD′之间还有（1）中的关系，即CD=CD′。例1如图，在△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，求△BDC的周长。解：因为边AB的垂直平分线交AC于点D，所以AD=BD。所以△BDC的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=6+4=10。【对应训练】教材P130随堂练习第1题。设计意图：通过折纸活动使学生认识到线段的对称性，从而引入线段的垂直平分线的概念，并在此基础上探索其性质，再通过例题运用这一性质巩固所学，使知识在传授的过程中达到层层深入、循序渐进的教育教学效果。探究点2线段的垂直平分线的作法如图，已知线段AB，如何作出它的垂直平分线？假设线段AB的垂直平分线已作出，请回答下列问题：问题1这条直线有什么特征？这条直线与AB的交点是AB的中点，且与AB垂直，任取直线上一点，到点A，B的距离相等。问题2如何确定这条直线上的两个点？用三角尺、量角器、圆规等工具试一试。如果只用尺规呢？用三角尺确定AB的中点，再用量角器在A，B处于AB的同一侧作同样大小的角，交点即为另一个点，或是用圆规分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径在AB的同一侧作弧，交点即为另一个点。如果只用尺规也可以。例2（教材P129例2）如图，已知线段AB，请用尺规作线段AB的垂直平分线。作法：1.分别以点A和点B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D（如图）；2.作直线CD。直线CD就是线段AB的垂直平分线。思考如图，已知直线l和l上的一点P，如何用尺规作l的垂线，使它经过点P？能说明你的作法的道理吗？作法：1.以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B（如图）；2.分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C；3.作直线CP。直线CP就是l的垂线。这种作法的道理实际上是作以P为中点的线段AB的垂直平分线。【对应训练】教材P130随堂练习第2题。设计意图：引入线段的垂直平分线的尺规作图方法，锻炼学生作图能力。活动三：综合运用，巩固提升例如图，在△ABC中，MP，NQ分别垂直平分AB，AC。（1）若△APQ的周长为12，求BC的长；（2）若∠BAC=105°，求∠PAQ的度数。解：（1）因为MP，NQ分别垂直平分AB，AC，所以AP=BP，AQ=CQ。所以△APQ的周长=AP+PQ+AQ=BP+PQ+CQ=BC。因为△APQ的周长为12，所以BC=12。（2）因为AP=BP，AQ=CQ，所以△ABP与△ACQ都是等腰三角形，所以∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ。因为∠BAC=105°，所以∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-105°=75°，所以∠PAQ=∠BAC-(∠BAP+∠CAQ)=105°-75°=30°。【对应训练】如图，AD是△ABC的高，AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F。（1）若∠B=40°，求∠AEF的度数；（2）试说明：∠B=∠AED。解：（1）因为EF是AD的垂直平分线，所以EF⊥AD。因为AD是△ABC的高，所以BC⊥AD，所以易得EF∥BC，所以∠AEF=∠B=40°。（2）因为EF是AD的垂直平分线，所以EA=ED，所以△ADE是等腰三角形。又因为EF⊥AD，所以EF平分∠AED，所以∠AEF=∠AED。由（1）可知，∠AEF=∠B，所以∠B=∠AED。设计意图：利用线段的垂直平分线的性质，综合其他知识点如平行线、三角形的内角和、“三线合一”等出题，巩固学生对于新知的理解和运用，强化解题能力。活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】相应练习。【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.线段是轴对称图形吗？它的对称轴有什么特点？2.什么是线段的垂直平分线？它具有什么性质？你能用它的性质解决相关问题吗？3.怎么用尺规作一条线段的垂直平分线？能解决相关作图的实际应用题吗？【作业布置】1.教材P133～135习题5.2第2，3，8，13题。2.相应课时训练。八、板书设计第2课时线段垂直平分线的性质1.线段的轴对称性：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴。2.线段的垂直平分线的概念：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线。3.线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。4.线段的垂直平分线的作法。九、教学反思（一）课前反思1.思考依据2022版新课程标准所设定的教学目标，是否精准对应线段垂直平分线性质这一内容的核心素养要求。比如，培养学生数学抽象素养，能否通过具体实例引导学生准确抽象出线段垂直平分线的概念和性质，要确认目标的合理性与可达成性。2.回顾对学生学情的分析是否全面深入。学生虽有一定图形基础和逻辑思维萌芽，但从具体到抽象的跨越仍存困难。思考是否充分考虑到不同层次学生的接受能力，在教学方法和内容呈现上，能否满足基础薄弱学生理解性质，又能为学有余力学生提供拓展空间。3.反思计划采用的情境导入、探究式教学等策略是否贴合教学内容与学生特点。如创设的生活情境，能否真的激发学生兴趣并自然引出课题；探究活动的环节设置是否合理，是否能有效引导学生自主发现和证明性质，确保教学策略切实可行。（二）课后反思1.对照教学目标，检查学生对线段垂