圆锥曲线大题：非韦达定理形式归类-高考数学一轮复习热点题型专项训练（解析版）

专题9-6圆锥曲线大题：非韦达定理形式归类

目录

热点题型归纳...........................................................................1

【题型一】椭圆“点代入”型............................................................1

【题型二】双曲线“点代入”型..........................................................3

【题型三】抛物线“点代入”型..........................................................4

【题型四】知道一根或者求根公式硬算....................................................6

【题型五】非对称型：韦达定理代入消去..................................................8

【题型六】非对称型：韦达定理线性“互函”.............................................10

【题型七】无韦达......................................................................11

真题再现..............................................................................13

模拟检测..............................................................................19

热点题型归纳

【题型一】椭圆“点代入”型

【典例分析】2z

已知椭圆C：||+g=l(a>b>0)的左焦点分别为Fl(-c,0),F2(C,0),过F2作垂直于x轴的直线1

交椭圆C于A、B两点，满足|AF2|=2C.

(1)椭圆C的离心率；

(2)M、N是椭圆C短轴的两个端点，设点P是椭圆C上一点(异于椭圆C的顶点)，直线MP、NP分

别和x轴相交于R、Q两点，0为坐标原点，若［0R|・|0Q|=4,求椭圆C的方程.

【答案】(I)e=逅；(II)-+y2=1.

24

【解析】

试题分析：(I)法一：把a点横坐标代入椭圆求得|y|,从而得到a,c的关系式，进而求得离心率；法二：

直角/40尸2中，由勾股定理得到a,c的关系式，从而求得离心率；(II)设M(0,b),N(0,-6),P(%o，yo)，则

由MP、NP的方程中分别令y=0得到R与Q点横坐标，从而由|。川•\OQ\=4求得a的值，进而求出c,b值,

得到椭圆方程.

试题解析：(I)法一必点横坐标为代入椭圆需1,解得|y|=?=|伍I，•4=*.即/J=

—aCf设*=e,e2+—e—1=0,解得e=@.

6a62

法二：直角2M6F2中，l&BI=2c,/F2l=fc，•,•由勾股定理得I4F/2=±c2+4C2,即|2FI|=§C,

6126

•07V3.V34A/3,CV3日口V3

・・2ci=—c4----c=—c,••一=—,R|Je=—

663a22

(ID设M(0,b),N(0,-b),P(x0,yo)，

则MP方程为y=^x+b,令丫=0得到R点横坐标为患；

22匕2—yW

NP方程为y=Qx—b,令y=0得到Q点横坐标为争；|。印•|OQ|=|膏gI=I°|=a?=4,

xoD+y。°-yo°_y0

**.c2=3,b2=1,，椭圆，的方程为？+y2-1.

4

【变式演练】

已知椭圆C:£+[=1（。＞b＞0）的一个焦点与抛物线y2=4瓜的焦点重合，且椭圆C的离心率为昱.

a'b~2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）直线/交椭圆C于A、B两点，线段A3的中点为直线机是线段A3的垂直平分线，求证：直

线加过定点，并求出该定点的坐标.

【答案】（1）y+/=l；（2）证明见解析，直线机过定点

【分析】

（1）由抛物线丁=4氐的焦点为（6,0）,求得C,再根据椭圆c的离心率6=£=且求解.

a2

（2）设4周,%）,8（%，%），利用点差法结合线段A3的中点为/（：）,求得线段AB的垂直平分线的方

程即可.

【详解】

（1）抛物线丁=4瓜的焦点为（省,0）,则0=五2-62=5

椭圆C的离心率6=£=且，则。=24=/_/=1.

a2

故椭圆C的标准方程为三+y2=1.

4-

（2）显然点MCU）在椭圆C内部，故一且＜”走，且直线/的斜率不为0.

22

22

当直线/的斜率存在且不为0时，设4演,为）,2（尤2，%），贝情?+犬=1，亭+¥=1，

两式相减得、+%*/）+（%+%）以一%）=0.由线段A3的中点为M（L。，则为+%=2,X+%=2f,

故直线/的斜率左=入二^=-4.因为直线机是线段AB的垂直平分线，故直线my—=4f（x-l）,QP

为一X24r

y=t（4x-3）.

令4x—3=0,止匕时x=：,y=0,于是直线机过定点g,o]

当直线/的斜率不存在时，易知f=0,此时直线机。=0,故直线机过定点1,o]

综上所述，直线冽过定点(j,0

【题型二】双曲线“点代入”型

【典例分析】

已知椭圆C:£+［=1(。>b>0)的一个焦点与抛物线V=4瓜的焦点重合，且椭圆C的离心率为B.

ab~'2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)直线/交椭圆C于4、8两点，线段的中点为直线机是线段AB的垂直平分线，求证：直

线加过定点，并求出该定点的坐标.

【答案】(1)y+y2=l；(2)证明见解析，直线机过定点

【分析】_

(1)由抛物线产=4年的焦点为(6,0),求得c,再根据椭圆C的离心率6=£=3求解.

a2

(2)设B(x2,y2),利用点差法结合线段A3的中点为MCU),求得线段AB的垂直平分线的方

程即可.

【详解】

(1)抛物线>2=4瓜的焦点为(后,0),则0=行万=6.

椭圆C的离心率e=£=3,则。=2万=/-2=1.

a2

故椭圆C的标准方程为上+V=1.

4-

(2)显然点MCM)在椭圆C内部，故一立</<走，且直线/的斜率不为0.

22

当直线/的斜率存在且不为0时，设4(演,弘)，2(尤2，%)，贝U有?+犬=1，.+£=1，

两式相减得、+岑「々)+(%+%)(%_%)=0.由线段A3的中点为V(1,。，则%+%=2,%+%=21,

故直线/的斜率左="^=一'.因为直线加是线段45的垂直平分线，故直线-=今5-1),即

y=t(4x-3).

令4x—3=0,此时x=1,y=。，于是直线加过定点［jo:

当直线/的斜率不存在时，易知t=0,此时直线机：y=0,故直线机过定点g,o］.

综上所述，直线加过定点

【变式演练】

已知双曲线Q：£-1=1(〃>0,6>0),4(2,0),，一一呼］,年］,£)(-1,0),以4,0)五点

ab

中恰有三点在。上.

(1)求。的方程；

(2)设P是。上位于第一象限内的一动点，则是否存在定点。(孤0)(〃?<0),使得NPQA+g/P4E=；,

若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.一

2

【答案】(1)/-(=1(2)存在，定点。(TO)

【分析】

(1)、根据五点的坐标及双曲线的对称性和顶点的特征确定AGO都在。上，得到方程组，求得白,

即可得。的方程；

(2)、根据条件及补角的定义得到2/P0A=NPAQ,分外上了轴与必不与x轴垂直两种情况分析求解.

(1)

若4(2,0),£>(-1,0),E(4,0)在双曲线Q上,则4(2,0),0(-1,0),E(4,0)只能是双曲线Q的顶点,

(3后、

.•.A(2,0),D(-l,0),石(4,0)三点中只能有一点是顶点，.•出C都在双曲线。上，Q3-于-三,

平J,两点关于(0,。)上对称，由双曲线顶点的位置特征分析可知，。(-1,0)在。上，将

915

//-T、22------2-----------2-=]

0(-1,0),B代入双曲线Q的方程与一斗=1中，贝步，得片=1,廿=3,故。的

22ab1

2

方程为f一匕=1.

3

1兀

(2)假设存在定点。满足题意，QZPQA+-ZPAE=~,:.2ZPQA+ZPAE=it,2ZPQA=n-ZPAE,

:.2.ZPQA=ZPAQ.

设尸(x。,%),贝-巾=3,tanNPQ4=3p

尤0十_1

2%(%+1)2%(%+1)二%

tan2ZPQA=又tanZPAQ=%

(%+1广-¥(%+1)-3片+32-%2_%o

.•.tan2NPQA=tanNPAQ,即2NPQA=NPAQ,所以假设成立.故存在定点。(-1,0),使得

171

ZPQA+-ZPAE=-

【题型三】抛物线“点代入”型

【典例分析】

已知抛物线G：f=丫，圆。2：/+（厂4）2=1的圆心为点M.

（1）求点”到抛物线G的准线的距离;

（2）已知点P是抛物线C|上一点（异于原点），过点尸作圆的两条切线，交抛物线G于A,B两点,

若过M,P两点的直线/垂直于AB,求直线/的方程.

【答案】（1）—；（2）y=土乳叵+4.

4115

【分析】

（1）求出抛物线的准线方程以及圆心坐标，利用点到直线的距离公式即可求出结果；

（1）设点P（%,君），4（占，才），BQ2,只），进而表示出PAP8的斜率，由于M到直线PAP3的距离相

等，因此可得出关系式，根据韦达定理得到表达式，然后再结合/与垂直即可求出点尸的坐标，进而得

出结果.

（1）

由于抛物线G：/=y准线方程为：y=-;，圆J/+（>-4）2=1的圆心"（0,4）,

利用点到直线的距离公式可以得到距离〃=4-（-；）=?.

（2）设点尸（%0，*），4%,才），B（X2,名）；由题意得：入0工±1,玉工工2，

设过点尸的圆的切线方程为：y-考=左（%-%）即>=丘-辰。+君①

则=1，即（片T）公+2豌（4-x；）左+（片-4）2-1=0

设K4,PB的斜率为左,质伏1中/2），则尤，仅应该为上述方程的两个根，

…=2咚；4）,..右=（%2:4）;一\代入①得：/-点+国-君=0贝％应为此方程的两个根，

[J,77c2%0（%。2_4）尤。2_4

故石=尢_/,x2=k2-xQo：.kAB=玉+%2=仁+&_2%o=---2~~；----2%o,4“p=------

尤o-1%

由于MP,AB,.=Tn%2=§。故p（土仁]）;.直线/的方程为：产土¥px+4.

【变式演练】

已知抛物线C的顶点为原点，其焦点尸（0,c）（c>0）到直线/：x-y-2=o的距离为旧1.

2

（1）求抛物线C的方程；

（2）设点P®,%）为直线/上一定点，过点P作抛物线C的两条切线B4,PB,其中A,8为切点，求

直线A3的方程，并证明直线A3过定点。.

【答案】（1）x2=4y（2）直线AB的方程为无/-2y-2x°+4=0,证明见解析

【分析】（1）根据题意，由1°一12|二述求解;

V22

2X2

（2）设尸（毛，x0-2）,切点为（工二），求得y=；,利用切线斜率由1—5—2）X,得到

42--2

%2-2/x+4尤0-8=0,结合韦达定理表示直线方程即可.

(1)解：抛物线C的焦点F(0,c)(c>0)到直线/：丈->-2=0的距离为£1,.•./一『=逆,

2V22

解得c=l或c=-5,(舍)，，抛物线C的方程为f=4y.

(2)设尸(毛，*-2),设切点为(x,q)，因为曲线C：y=《，所以旷=：,则切线的斜率为一壬

y

442x_Xg--2

化简，得炉-2X0X+4X。-8=0,设4(不，予，B值,1-),则为,々是以上方程的两根，

.•.占+%=2尤。，尤也=4尤。-8,=则直线A3方程为：l¥=与(尤_占)，化简得:

2x0x+%,_2x0xl_4y=0,

因为号—2%0玉+4x0-8=0,所以工0%_2,_2%0+4=0,即X0（J；-2）+2（2-）；）=0,

所以直线AB过定点Q（2,2）.

【题型四】知道一根或者求根公式硬算

【典例分析】

已知抛物线方程外=轨，/为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物线的交点，定义：d(P)=霭.

(1)当p(—L—9时，求d(P)；

(2)证明：存在常数a,使得2d(P)=|PF|+a；

(3)Pi，P2/3为抛物线准线上三点，且回221=四2P31判断d(Pj+d(P3)与2d(P2)的关系.

【答案】(1)/(2)2；(3)见解析

【分析】

(1)求解出Q点坐标，然后得到|PF|和|FQ|,从而求得d(P)；(2)通过假设P点坐标得到直线PF方程，

与抛物线联立后得到y(2，代入2d(P)—|PF|,整理得到结果；(3)由IP/2I=|P2P31可知「2为P1J3中点，

假设三点坐标，代入2[d(Pj+d(P3)]-4d伊2),将式子整理为yi和为的形式，然后通过平方运算可得到

2[d(Pj+岫)]一4d。2)>O从而得到结论：d(Pi)+d(P3)>2d(P2).

【详解】

由题意可知：F(l,0),准线方程为：x=-1

(1)因为七尸=+=：今y=―1)联立方程3("1)=>XQ=

Iy2=4%4

则[|PF|=J(-l-l)2+(-|-0)2=?=以咫=£

I\QF\=XQ+1=^

(2)当P(—1,0)时，易得a=2d(P)-|P尸|=2

设P(-l,yp),yP>0,直线PF:%=my+1,则myp=-2

联立y2nJ1，y?—4my—4=0=4瓶+"霆士^—27n+2Vm2+12d(P)—\PF\=2y--

222

G~~;--7--2,2yjl+moy/m+l-m,2Vl+mo

△+n=2，“⑵”2丫/+1)+=一2—^―+=2

由对称性可知yp<。亦成立。综上所述，存在a=2,使得2d(P)=\PF\+a

(3)由IP1P2I=IP2P3I可知「2为七，23中点

设PI(一1,丫1)/2(—1,%)/3(—1，乃)，则2[d(P[)+d(P3)]-4d(P2)=|P/|+\P3F\-2\P2F\=依+4+

依+4-2。资+4=J资+4+依+4-+;=，比+4+依+4-+为乃+16

因为“比+4+收+4)2-[(yi+内尸+16]=2依+4依+4-2yly2-8

又因(资+4)(泊+4)-(y，3+4尸=4(yf+谒)-8yly3>°。所以d(Pj+d(P)>2Mp

3。

【变式演练】

如图所示，椭圆C:二+]=1(。>6>0)的离心率为其右准线方程为x=4,A、8分别为椭圆的左、右

顶点，过点A、B作斜率分别为a、k2,直线AM和直线2N分别与椭圆C交于点M,N(其中M在无轴

(2)若直线恒过椭圆的左焦点耳，求证：，为定值.

22

【答案】(1)土+工=1；(2)证明见解析.

43

(1)由题可得£=」,且=4,求出G。，再利用a2=〃+c2,即可求出椭圆C的方程;

a2c

丫2v2瓯2+612匕、

(2)设的方程为>=左(》+2),联立土+二=1,利用韦达定理求得点M,同理求

433+44，3+4婷)

UUUUUUL1Uk.

-6-12右t

出N,再利用向量共线/片//NT；,求出尢-3&=0,即证7为定值.

色之‘3+4左2?/vn

【详解】(1)由题可得£=工,土=4,解得C=1,“=2

a2c

22

又/=廿+片，可得廿=3,所以椭圆C的方程为：土+匕=1

43

（2）A（-2,0）,设4M的方程为y=K（x+2）,设加（4乂），

y=K（x+2）

由<彳2丫2,消去y整理得（3+4左j）/+16Al-尤+16Al~-12=0,A>0,

—+—=1

16婷

x-2=--------H-

3+4/一8%，+612k,

由韦达定理可得：“2；0，解得见=三六二，代入y=4（x+2），求得M,即

16k]-123+4/C]

3+4婷

-8彳+6

M

3+4短

5（2,0）,设8N的方程为、=右（彳一2）,设N（%,%），

y=/（x-2）

由2,消去y整理得（3+4公2）/一16鼠，+16鼠2-12=0,A>0,

——+—=1

143

c16匕2

无2+2=——

-3+4《2一612k,

由韦达定理可得：，解得X,=。2.，，代入y=%（x—2）,求得%诟，即

16&2_123+4左2

3+4始

8左；—6-12k、

13+的2，3+的「

UULUUL1LUL

又直线MN恒过椭圆的左焦点耳，则M片〃N岂

UUUITf-4k；+9辟（12&。3-12%、

又〃耳=[3+4/21（3+牝2,3+40

4：+9-12&12勺12^-3

3+4婷,3+4始-3+4婷*3+4修,即（4自e+3）（左一3七）=0

&=3

Q勺，女2>。/.4^^2+3>0勺一3左2=。即左2

【题型五】非对称型：韦达定理代入消去

【典例分析】

22

已知P点坐标为（0,2）,点A8分别为椭圆£言+3=1（。>"0）的左、右顶点，直线转交E于点Q/ABP

-3f

是等腰直角三角形，且2。=5。4

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点M（l,0）的直线/交椭圆E于C,O两点，其中点C在x轴上方.设直线AD的斜率为勺，直线BC的

斜率为心，探究?是否为定值，若为定值，求出定值；若不是定值，说明理由.

【答案】（1）椭圆E的方程为：—+/=1；（2）曾是定值为

4/23

【分析】（1）根据题意可知。=2,A（-2,0）,设。（毛，％）,由向量等式可得。的坐标，代入椭圆方程求

出b的值，从而得到椭圆E的方程；

(2)设出CO方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系即斜率公式即可求得%为定值.

k2

【详解】(1)ABP是等腰直角三角形，，。=？，A(-2,0),已知尸(。,2),

6

-3，3%=一3

设。(%,%),由PQ=jQA,得(％,y0-2)=-(-2-x0-y0),贝叫，代入椭圆方程得〃=1,

2，4

2

，椭圆E的方程为：3r+

y=k（x-I）

(2)当直线/的斜率存在时,设直线I的方程为y=k(x-l),联立/，得（4公+1）/-8%—+4%2-4=0.

——+y2=1

14/

8k24k2-4

设CO,%）,（X%），则%+%=k

D2,,Xi1Xy2-zi=f

4/+14F+1x2+2x1-2

贝心二%（-）=无区-1）（占-2）芭％2-2々-Xj+2_2（百+/）+玉+2—2—4k2+百£

—

」k2yx（%+2）（玉-1）（%2+2）西％2+2%一%2—2%工2—（玉+/）+3%一26—12k之+3%3

当直线/的斜率不存在时，C、。分别与A、B重合，不符合C在X轴上方，舍去.

十是定值为(

【变式演练】

已知椭圆C：工+y2=i3>1)的离心率为诿.

a2-3

(I)求椭圆C的方程；

(II)设直线/过点M(l,0)且与椭圆C相交于两点.过点A作直线x=3的垂线，垂足为。.证明直线3。

过x轴上的定点.

【答案】(1)三+丁2=1;(2)见解析.

【分析】(1)由离心率列方程可求得椭圆方程；

(2)当直线AB的斜率不存在时，直线BD过点(2,0).当直线AB的斜率存在时，设直线AB为y=k

(x-1),联立方程组，消去y整理得：(l+3k2)x2-6k2x+3k2-3-0.利用韦达定理、直线方程，结合已知条

件求出直线BD过x轴上的定点.

b=l

【详解】(1)解：由题意可得$=£，解得。=石，b=l,所以椭圆C的方程为江+产=1.

a33

a2=b2+c2

(2)直线8。恒过x轴上的定点N(2,0).证明如下

(a)当直线/斜率不存在时，直线/的方程为尸1,不妨设A(1,乱，B(1,一耳，D⑶立).此

333

时，直线2。的方程为：y=^~(x-2),所以直线8。过点(2,0).

3

(b)当直线/的斜率存在时，设A5,〃)，B(X2,y2),直线A8为产上Cx-1),D(3,yi).

'，尸6H3左2一3

由■{+3y~=3得：(1+3F)x2-6Fx+3F-3=0.所以尤/+芯=-,xiX2=—；.........(*)

3k2+\3k-+\

直线BD:y-y尸上?(X-3),只需证明直线8。过点(2,0)即可.

%2-3

得片3=」"…3y2—3，i一+3,13y2一，1犬24X-3-xx

令,所以二2x2

y=0,x%一%~-%一%

必一M

4x-3-X.X三/、

即证0[79=2,即证2(尤2+%)_玉/=3.

12k23k2-39k2+3

将（*）代入可得2（%+工1）一%入2=

3V+13k2+13V+1

所以直线8。过点（2,0）o综上所述，直线8。恒过工轴上的定点（2,0）.

【题型六】非对称型：韦达定理线性“互函”

【典例分析】

设椭圆C的左、右顶点为48（。刀），过右焦点尸（1,。）作非水平直线/与椭圆C交于P,。两点，记直线

AP,8Q的斜率分别为尤，k2,试证：，为定值，并求此定值（用a的函数表示）

22

【详解】证明：设/：下。+1,代入椭圆方程.+工=1得（（/-1）/+。2）/+2（/_］）日_（/一1）2=0

2（a2-l）z

设尸（药,％）,。伍M，则%+%=一行_1）入/

两式相除得答=/‘,少/=?5+%）-

由题意知心出k2=—^—%

tyx+a+\x2-a—〃+1

%(92—。+1)_(/-1)(%+%)/2—a％+%_2cl+1)M+(a?_])%

从而4=

左2%(供+〃+1)(6—1)(%+%)/2+晒+%_1)必+(/+2a+])%

rmAL/—2a+1廿z7_i二二/72_i所以亡k.百a-\

因为一S-------

a2-}

【变式演练】

22

已知椭圆c：=+当=l（a>6>0）的离心率为:，其短轴长为2百，设直线/:x=4,过椭圆右焦点厂的直

ab/

线（不与X轴重合）与椭圆C相交于A、B两点,过点A作AD_U,垂足为。.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求证：直线8。过定点E,并求出定点E的坐标.

【答案】（1）—+^=1;（2）证明见解析,定点E佶,。］.

43U）

【分析】（1）根据已知条件可得出关于。、6、c的方程组，解出这三个量，即可得出椭圆C的标准方程;

（2）设直线A5的方程为》=冲+1,设点4&,乂）、仪9,％）、。（4,另），将直线AB的方程与椭圆C的

方程联立，列出韦达定理，求出直线即并化简，由此可得出直线所过定点E的坐标.

c1

a2a=2

22

【详解】（1）由题意可得26=2«,解得,b=B故椭圆C的方程为土+匕=1；

a2=b2+c2143

（2）证明：由题得尸（1,0）,设直线AB:x=my+l（加eR）,

设4（%,%）、8（%,%）、。（4,%）,

x=my+1

联立方程//，^（3m2+4）y+6mj-9=0,①

143

所以有％+,y=-,且2〃%%=3（%+%），

3m6,+4yi23mf+4

因为8（々,%）、。（4,%）,所以直线3。的方程为y-X=±^（x-4）,

得看上Q3L.4+「上虫口S3

由％=my+1,②

my2-3my2-3my2-3my2-3

将2切=3（X+%）代入②，则直线BD的方程为V=比苫1--

故直线3D过定点||,oj,即定点E为

【题型七】无韦达

【典例分析】

已知C过点A（0,l）,圆心。在抛物线炉=2'上运动，若为：C在x轴上截得的弦，设|40|=小

\AN\=t2.

（1）当。运动时，|MN|是否变化？证明你的结论.

⑵求，+夕的最大值，并求出此时C方程.

hh

【答案】（1）不变，证明见解析；（2）2&，（x±6?+（y—1）2=2

【详解】（1）设C（%，x）,C方程为（％—Xi『+（y—%）2=4。2,

.•.（X-X］『+（y-/=%；+（M—1）2与y=0联立.得X2-2%逮+2%-1=0.

2

MN|=A/（2x1）-4（2y1-l）=-8^+4.。（%,必）在抛物线上，

X：=2%,代入|MN|,得|MN|==2为定值.BMN|不变.

（2）由（1）可设M（x—l,O）、N（x+l,O）,%='（x—iy+i,.=J（x+1）?+j,

「2X_2+「4_至±±L4封

=24^=21+二一不“2垃当且

7（x-i）2+i-7（^+i）2+i6+4Vx+4.

XH----亍

X

仅当x=±应时取等号，将％=土夜代入抛物线可得丁=1，即圆心为：(土夜」)，r=®，此时圆。方

程为(x±^2)2+(y-1)?=2.

【变式演练】

E:--+—\(a>b>Q\c(c\H~~

已知椭圆夕b-经过点J3力，离心率为2,0为坐标原点.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设A、3分别为椭圆E的左、右顶点，。为椭圆E上一点(不在坐标轴上)，直线CD交x轴于点P,

。为直线A。上一点，且OP・OQ=4,求证：C、B、。三点共线.

2

【答案】(1)—+y2=l；(2)证明见解析.

4'

0

【详解】上二(1)将点。的坐标代入椭圆E的坐标可得6=1，由题意可得

cy/3

e=—=——

a2

a=2丫2

a2—c2=1,解得《广，因此，椭圆£的标准方程为二+9=1；

c=V34

c>0

(2)椭圆E的左、右顶点分别为4(—2,0)、5(2,0),

丫2

设点%)(%0%*。),则才+y；=1，则4-无；=4y；,

x

直线CZ)的斜率为七。=3—，则直线CD的方程为y=T—X+1,令y=0,可得X=丁0―，即点

/、1一%

P

/、.4(1-yn)7%

设点。(玉,x)，由0P0。=石M=4,可得再=—~—，直线AD的斜率为kAD，则直线AD

xo%+2

的方程为丁=一\(x+2),将X=40一为)代入直线AD的方程得y=2%(>-2与2)

%+2/％(5+2)

[4。-%)2%(x0—2%+2))直线5c的斜率为⑥c=E1

所以点。的坐标为

2

%(5+2)?

X_2%(%-2%+2)_-2yo+2%

直线3Q的斜率为原2=

石-22(x0+2)(2-2y0-x0)4-尤；-2%%-4yo

=-2y；+2%=_1=卜

4y；-2%%-4%2BC，

又BQ、5c有公共点3,因此，C、B、。三点共线.

出鼠真题再现

1.(四川高考理科21)椭圆有两顶点4(—1,0)、5(1,0),过其焦点/(0,1)的直线/与椭圆交于C,。两

点，并与x轴交于点尸.直线AC与直线交于点Q.

(I)当|8|=［血时，求直线/的方程；

(II)当点尸异于A,3两点时，求证：OPOQ为定值。

解析：(I)由已知可得椭圆方程为］+M=1,设/的方程为y—1=攵(％—0)次为/的斜率，设。(尤］,弘)，

y=Ax+1

。(孙％)。则由八2得(2+左2)炉+2履—i=o,

------FX=1

可得,12：+」，所以,1+k2.'(苞+々)2_452=Jl+52J']；：)=3叵

X,X=------7-'一

[J22+k2

整理得，左2=2,所以左=±JJ,.•./的方程为y=±JLc+l

(II)由题可得，—±o],直线AC的方程为y=^^(x+l),直线30的方程为y=^^(x—1),

\k)Xj+1x2+1

>=含(》1)

可得三口=%'石+?=+3+石+1,(西，々的系数出现了不对称)

x-1yjz+l)kxxx2-kx1+x2-l

2k-12k

由x+x,=------=-----------7，得M=-----T—X)，代入上式可得，

122+小勺22+4212