专项训练：PISA类解直角三角形的应用（解析版）-2024-2025学年浙教版九年级数学下册

PISA类解直角三角形的应用

1.（2024•温州模拟）“圭表”是中国古代用来确定节气的仪器.某“圭表”示意图如图所示，ACLBC,NC=3米,

测得某地夏至正午时“表”的影长CD=1米，冬至时的正午太阳高度角N/2C=a,则夏至到冬至，影长差

的长为（）

表

北（子）南（午）

圭f

冬立春春分立夏夏

至立冬秋分立秋至

线

线

A.(3sina-1)米B.品D米

C.(3tanaT)米D米

【分析】根据垂直定义可得N/C8=90。，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出2c的长，从而利

用线段的和差关系进行计算，即可解答.

【解答】-：AC±BC,

/.ZACB=90°,

在RtzX/BC中，ZABC=a,NC=3米,

：.BC=AC-―3_(米)，

tanCltanCl

9：CD=1米，

:.BD=BC-CD=(-3__-1)米，

tanCL

影长差2。的长为(37)米，

tana

故选：D.

2.（2020秋•越城区期末）下表是小红填写的实践活动报告的部分内容:

C.x-10=xtan50°D.x=（x+10）sin50°

【分析】过。作。〃，跖于〃，则四边形。是矩形，根据矩形的性质得到/汨=CD=10,CE=DH,求得

FH=x-10,得到C£=x-10,根据三角函数的定义列方程即可得到结论.

【解答】解：过。作于凡

则四边形DCEH是矩形,

：.HE=CD=10fCE=DH,

：.FH=x-10,

■:NFDH=CL=45°,

：.DH=FH=x-10,

：.CE=x-10,

*/tanB=tan50°=^-=--—,

CEx-10

Ax=（x-10）tan50°,

故选：A.

3.（2024•瑞安市二模）如图，在RtA4BC中，ZACB=90°,以其三边为边向外作正方形，记△45。的面积为

三个正方形的面积和为出，过点。作CM,/G于点连结CG交45于点N,设N4BC=a,ZMCG=^,

若（寒■）2二tana-tan叩则足：必为（）

A.AB.C.3D.二

4488

【分析】设CW与45交于点P,证明四边形APMG为矩形得尸8=MG,PM=BG=AB,再证△CPNs/XCA/G,

可得tanB・tana=/L0」l一进而「史）2」!^,解得CN=1二ING,再由三角形面积及勾股定理

MGCGCN+NG、NG）CN+NG2

分别计算用,$2即可.

【解答】解：设CM与N8交于点尸，

在RtZXCPN中，tanB=fll,

CP

在RtZiCPB中，tana=S^,

BP

tanp,tana=更".史-上^,

CPBPBP

'：CMLFG,BGLFG,

C.PM//BG,

:AB〃FG,

：.四边形BPMG为矩形，

：.PB=MG,PM=BG=AB,

tanB•tana=WL,

MG

\'PN//MG,

.,.△CPNs4CMG,

•PNCNCPCNCP

"MC"CG'PM_NG-AB'

tanp,tana=~——,

MGCG=CN+NG

tanp"tana=（翳产

•（CN）2二CN,

,•喻）=CN+NG'

.,.Cl^+CN-NG-必=0,

，CN=Y1二ING（负值已舍），

2

•CPCNVs-1即Cp=Vs-i

ABNG22

S-BC=工XXCP=痣二4炉=Si,

24

：△NBC为直角三角形，

:.AC2+BC2^AB2,

2222

：.S2=AC+BC+AB=2AB,

S22AB2

故选：D.

4.(2024•嘉善县一模)为了改善自己书房的照明，小明在书房内圆桌中央的上方安装了一个吊灯，根据小明的设

计，吊灯到桌面的距离可以调节，这样桌面上的光线亮度可以根据不同需要加以选择.根据光学中的相关定律,

电灯/到圆桌边缘3的照度1叵叫，其中人是电灯的发光强度"为常数且左＞0),/是电灯到圆桌边缘的

I2

距离，e是电灯到圆桌边缘的光线与桌面所成的角.当e=60°时，电灯的照度记作人，当电灯到圆桌距离与圆

桌半径相等时，电灯的照度记作七，则上=_®

126

【分析】由照度I=ksin8,得当。=60°时，电灯的照度/i=KSin600,当电灯到圆桌距离与圆桌半径相等

I2(V30B)2

时，电灯的照度“KSin,。，得」_=

OB2T26

【解答】解：由照度i=ksi18,

I2

得当6=60°时，电灯的照度/i=KSin60°正邑,当电灯到圆桌距离与圆桌半径相等时，电灯的照度

（V30B）260B2

KSin45°_V2K

------------------------，

OB22OB2

得土=运

T26

故答案为：运.

6

5.（2024春•乐清市期中）如图1是某位游客拍摄的景区缆车实景图.如图2是该段索道抽象出的平面示意图，索

道N8的倾斜角为30°,长度/8=82米，其两端由BC、AD两座等高的支架架设，这一时刻索道N8之间如图

均匀分布着五个车厢，车厢的宽高之比（PN：MN）是2：3,若点J,L,。恰好在同一直线上，KC=21米,

【分析】过点G作X7〃3c交48于X,交CD于点匕过点X作XZLG8于点Z,构造两个含30°的直角三角

形，由题意可得/6彩=/70丫=30°,在RtZXMy中，根据含30°的直角三角形的性质得出。Y=2Jy=2X21

=42（米），进而得出/r=DY=42米.再根据题意索道之间如图均匀分布着五个车厢，/2=82米，由此得

出8G=/G=41米，在RtZ\G¥Z中，根据30°角的直角三角形的性质得出GZ=/GX卷米，再根据勾股定理

得出XZ的长度，由30°角直角三角形的性质得出〃，即PN的长度，再根据车厢的宽高之比（PN：MN）是2：

3,进而得出答案.

【解答】解：如图，过点G作交N8于X,交CD于点匕过点X作AZLG”于点Z,

Y

:索道48的倾斜角为30°,

：.ZGXZ=AJDY=30°,

；KC=21米，BC=XY,BK=XJ,

：.JY=KC=2\米.

在Rt/voy中，£>y=2Jy=2X21=42（米），

.,.AX—DY—42米.

:这一时刻索道之间如图均匀分布着五个车厢，45=82米,

•••3G=/G1AB卷x82，

=41（米），

GX=AX-AG=42-41=1（米）.

在Rt^GM中，GZ^GX.（米），

由勾股定理，得G/G=GZ2+XZ2,

•'-XZ=VGX2-GZ2

=返_（米），

2

.=2AZ=2X与（米），即尸N=毒米，

:车厢的宽高之比（PN：MN）是2：3,

MN^PN^-XV3=3^^（米）.

故答案为：1^2.

6.（2024•鹿城区一模）图1是一个水平地面上的长方体密封容器，内部装有水，其正方形底面的边。。=8C加，棱

ND上标有刻度，水面与交于点读得。M=30c"?,如图2将容器放在斜坡。£上，此时水面分别与ND,

8c交于点N,P〈NP〃OF）,读得DN=25ca若容器厚度不计，贝Utan/E。尸=_9_.

【分析】过点P作尸0，4D于点0,确定尸。和0N的长度，再根据三角函数的定义即可解决问题.

【解答】解：过点尸作于点。，

A

图1图2

由将容器放在斜坡上，水的体积没变，可知M为N。的中点，

,:MN=DM-DN=3Q-25=5(cm),

：.QN=2MN=l0cm,

在Rt/\PNQ中，

PQ—CD—Scm,QN—lOcm,

tan/EOA=12.=-L=A.

QN105

故答案为：A.

5

7.(2024•湖北模拟)图1是临安区一地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图

形，AC^40cm,则双翼边缘端点C与。之间的距离为(60-80sina)5(用含a的三角函数表示).

【分析】作直线£尸，交双翼闸机于点£、F,由题意可得CE=DREF=60cm,解直角三角形/CE求出CE=

40sina,然后根据CD=EF-2CE即可得出答案.

【解答】解：如图，作直线斯，交双翼闸机于点E、F,则CEL/E,DFLBF,

由题意可得CE=D尸，EF=60cm,

在直角三角形/CE中，

,"c；nrY—CE—CE

AC40

CE=40sina,

：.CD=EF-2CE=(60-80sina)cm；

故答案为：(60-80sina)cm.

8.(2024•鹿城区校级开学)利用无人机探照灯测量坡面的角度.如图，一架无人机探照灯在点。处，测得它的下

边缘光线落在坡脚点/处，上边缘光线。8落在斜坡点3处，此时无人机离地面12米，将无人机沿水平方

向前进5米到达点E处，探照灯的上下边缘光线EC,即落在斜坡2,C处，AD//BE,DB//CE,此时点E恰

【分析】连接/E,作2尸，于尸，根据题意△NDE是直角三角形，根据勾股定理求出的长，证明

s^BCE,根据对应线段成比例，推出旭1=工，求出8E,推出△NDEs△即尸，分别求出8尸和£尸，进而求出

BE6

AF,BF//MN,ZABF=ZBAN,进而求出tan/BNN.

【解答】解：如图，连接作于下，

•点E恰好在/的正上方,

.•.△4DE是直角三角形，

又,：DE=5,AE=\2,

根据勾股定理得，

^=VAE2+DE2=13,

,:AD〃BE,DB//CE,

：./DAB=ZEBC,ZABD=/BCE,

：.△NBAs△BCE,

.ADAB7

,•而同T

又,：AD//BE,

：.ZDAE=ZBEF,

/AED=NBFE=90°,

：.AADEsAEBF,

.DE_AE_AD；

"BF"EF'EB'

：.BF=迎,EF=TL,

77

:.AF=AE-EF=12-隹=卫，

77

■:/AFB=NF4N=9Q°,

J.BF//MN,

：.ZBAN=ZABF,

.".tanZBAN=tanZ.ABF=

BF5

故答案为：2.

5

9.（2023秋•乐清市校级期中）图1为手机支架实物图，图2为它的侧面示意图，“工型”托架N-C-E用于放置

手机，支架8。两端分别与托架和底座儿W（其厚度忽略不计）相连，支架8端可调节旋转角度，已知

6cm,AB=2BD=4BC,支架调整到图2位置时，/BDM=60°,/ABD=120；因实际需要，现将支架2端

角度调整为//8。=150°,如图3所示，则点N的位置较原来的位置上升高度为_（12-6愿）_c加.

图1图2图3

【分析】如图2,过点N作/交MN于点0,过点3作3G〃儿W交N0于点G,过点8作8尸，MN于点

F,如图3,延长3c交MV于点V在Rta/BG和RtAB。尸中分别算出/G和2R求出点/到的距离，

再在RtABDH中，算出BH,AH,再作差即可求得.

【解答】解：如图2,过点N作NQLMN交MN于点0,过点3作BG〃〃N交于点G,过点8作8

于点尸，如图3,延长BC交MN于点、H

旋转前如图3：

:NBDM=60°,ZABD=UOa,BG//MN,

：./ABG=NDBG=60°,

,;AB=2BD=4BC,BD=6cm,

：・AB=12cm,BE=3cm,

VZAGB=ZBFD=90°,

在RtZX/BG和RtA5DF中,

AG=AB-sin600=12建~=啦皿

BF=BD'sin60°=6X与=3^加，

故点A到MN的距离为：673+373=^[3cm,

VAABD=150°,

ND3c=30°,

VZBDM=60°,

AZDHB=90°，

在RtABDH中,

BH=BD-sin600=6X亨=3^（皿），

故AH=AB+BH=（12+3f）cm,

点/的位置较原来的位置上升高度为：12+3F-5回=（12-6）行）（cm）,

故答案为：（12-6盗）.

10.（2024•鹿城区校级开学）新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源，综合车辆的动力控制和驱动方

面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车.如图1是某新能源汽车侧面示意图，图2是

该车后备厢开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：cm）,且NC=8£>,AF//BE,sinZ^F=0.8,箱盖开

起过程中，点N,C,尸不随箱盖转动，点8,D,E绕点/沿逆时针方向转动相同角度，分别到点女，D

E1的位置，气簧活塞杆8随之伸长CD',已知直线E',CD'=HcD,则CD=45

cm.

3

图1

【分析】过N作过8作由角相等得sinN3/M=sin/3/尸=0.8,故幽=9，4ABM%△

AB5

B'AN,再利用勾股定理计算即可.

【解答】解：过/作过夕作

ZBAM=ZBAF,

sinZBAM=sinZBAF=0.8,

・・・幽=生

**ABT

・••设/Af=4加，AB=5m,

:・BM=3m,

VZB'AN+ZMAB=90°,

ZABM+ZMAB=90°,

・•・ZB'AN=NABM,

在和中，

'/B'NA=ZAMB

"NB'AN=ZMBA-

AB'=AB

：.AABM四八B，AN（AAS）,

:・B'N=AM=4m,

:・EM=B'N=4m,

・・・4冽+3加=£5=105,

••YYl~~15,

・・・5W=60,45=75,

设C0=机，

：.AC=DB」5-m,

2

AD'=/D=/C+CD=75-m+w?=75tm,

22

：.CD'=5CD=^-m,

33

在RtZX/CZT中，

2

（75―）2+（75-m2=（叵q

223

Am=45,

故答案为：45cm.

11.（2023秋•义乌市期末）有一长杆花艺剪如图1所示，上刀片与上把手固定在长杆上，把手杆8GE的点G

固定在45上，NEG“大小不变，当手握N5G“两边时，G£绕着点G旋转，带动杆尸E,杆尸£再带动刀片杆

8尸绕固定点。旋转，且NCD尸=90°.图2是该花艺剪自然张开状态下的示意图，CD、斯都与48平行，

测得。尸=5<?加，CD=20cm,FE、49间的距离为lc〃z,当杆“GE绕点G逆时针旋转a时，花艺剪完全闭合，

点C落在边上，如图3所示，此时GE_L/8,且EF还是与48平行，则sina=_2Y5__.

—5—

AGB

⑹F

D

（图1）

（图2）（图3）

【分析】利用三角函数定义表示出线段长，进而结合所杆两端点移动的距离始终相等列等式，化简求值即可得

到答案，

【解答】解：根据题意，作出平面图形，如图所示：

DM

VZCZ）F=90°,

由题意可知，a=ZEGEr=NNEG=/FDF'=ZDFM,

在RtdADFM中，sina=剪_,

,.・尸。=5,

.,.DAf=5sina,

在RtzXE'GN中，tana=N-,

由图2知，FE、AB间的距离为1cm,

则NG=tana,

由题意可知DVf=GN,

即5sina=tana=^122_

cosCL

解得：cosa=X,

5

则sina=，

5

故答案为：2VL.

5

12.（2023秋•新化县期末）小明家的脚踏式垃圾桶如图，当脚踩踏板时垃圾桶盖打开最大张角N/8C=50°,为节

省家里空间，小明想把垃圾桶放到桌下，经测量桌子下沿离地面高55c加，垃圾桶高50=33.10%,桶盖直径8C=

28.2cm,当垃圾桶放到桌下踩踏板时，桶盖完全打开有没有碰到桌子下沿？（参考数据：sin50°^0.76,cos500

^0.64,tan50°仁1.19）

【分析】过点C作CGIDE交AB于H.想办法求出CG与55比较即可解决问题;

【解答】解：过点C作CHLOE分别交N2,DE于尸、H,如图所示，

:.HF=BD=33.1cm,

在RtZXFBC中，ZCBF=50°,ZCFB=90°,BC=28.2cm,

.,.CF=2C・sin/C3尸=28.2Xsin50°^21.4（cm）,

：.CH=CF+HF=21A+33.1=54.5（cm）,

V54.5<55,

桶盖完全打开没有碰到桌子下沿.

C

13.（2024•下城区校级模拟）如图，氨气球位于西溪湿地慢生活街区，是目前唯一由我国自主研发、制造的载人观

光氢气球，也是杭州目前唯一的高空氧气球体验项目.从气球/上测得正前方的河流的两岸8,C的俯角分别为

75°,30°,此时气球的高是60m，求河流的宽度2c的长度.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：

sin75°^0.97,cos75°心0.26,tan75°仁3.73,日仁1.73)

【分析】根据题意可得：AE=60m,AD//CE,从而可得乙DNC=N4CE=30°,ZDAB=ZABE=75°,然后

分别在RtAABE和RtAACE中，分别利用锐角三角函数的定义求出BE和CE的长，从而利用线段的和差关系

进行计算即可解答.

【解答】解：如图:

由题意得：AE=60m,AD//CE,

：.ZDAC^ZACE^30°,NDAB=NABE=75°,

在Rtz\48E中，BE——AE----弋6。—16.1(m),

tan7503.73

60

在RtzX/CE中，CEAE■—60y[3(m),

tan30°g

~3~

:.BC=CE-BE=6QM-16.1-88(m),

河流的宽度BC的长度约为88m.

14.（2024•温岭市一模）如图，某电脑显示器由显示屏（矩形/BCD）和支架组成，显示屏对角线/C中点。固定

在支架直杆。尸一端处，显示屏可绕点。顺时针或逆时针旋转，已知N8=36cHz,ZBAC=5S°.

（1）求3c长度;

（2）为避免在旋转过程中显示屏与支架平台即发生磕碰，则支架直杆。尸的最小值是34cm

(结果精确到1cm,参考数据：tan58°心1.60,cos58°~0.53,sin58°-0.85)

【分析】(1)根据矩形的性质可得：ZABC=90°,然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即

可解答；

(2)在中，利用锐角三角函数的定义求出/C的长，然后利用线段中点的定义可求出OC的长，从而

可得当OP=OC时，旋转过程中显示屏与支架平台跖刚好不发生磕碰，即可解答.

【解答】解：(1):四边形/BCD是矩形，

AZABC=90°,

在RtzX/BC中，AB=36cm,/3/C=58°,

：.BC^AB^an5S°^36X1,6=57.6^58(cm),

：.BC长度约为58c加；

(2)在RtZUBC中，AB=36cm,/A4c=58°,

；./C=__^_3L_^67.92(cm),

cos5800.53

:点。是NC的中点，

/.OC=X4C=33.96(cm),

2

...当。尸=OC时，旋转过程中显示屏与支架平台跖刚好不发生磕碰，

.•.支架直杆OP的最小值约为3452,

故答案为：34c”?.

15.(2024•青田县校级模拟)为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1,某社区服务中心在文化活动室

墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为8C,遮阳篷长

为5米，与水平面的夹角为16°.

(1)求点A到墙面BC的距离；

(2)当太阳光线4D与地面CE的夹角为45°时，量得影长8为1.8米，求遮阳篷靠墙端离地高2c的长.(结

果精确到0.1米；参考数据:sinl6°~0.28,cosl6°仁0.96,tanl6°-0.29)

【分析】(1)过点N作垂足为尸，在RtZX/B尸中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答；

(2)过点/作NGLCE,垂足为G,根据题意可得：4G=CF,4F=CG=4.8米，从而可得。G=3米，然后在

及△/DG中，利用锐角三角函数的定义求出/G的长，从而求出CF的长，再在尸中，利用锐角三角函

数的定义求出8尸的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答.

【解答】解：（1）过点/作/尸，2C,垂足为尸，

在RtzX/2下中，A8=5米，ZBAF^16°,

尸=/2・cosl6°仁5X0.96=4.8（米），

/.点A到墙面BC的距离约为4.8米；

（2）过点/作/GLCE,垂足为G,

由题意得：AG=CF,4F=CG=4.8米，

：CD=1.8米，

：.DG=CG-C£>=4.8-1.8=3（米），

在RtZ\4DG中，N4DG=45°,

：.AG=DG-tan450=3（米），

:.CF=AG=3米，

在RtZ\4B尸中，48=5米，/BAF=16°,

：.BF=AB-sinl6°^5X0.28=1.4（米），

：.BC=BF+CF=1.4+3=4.4（米），

遮阳篷靠墙端离地高BC的长为4.4米.

16.（2023秋•浙江期末）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一.如图是小红同学安装的化学实验装置，安装

要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处.已知试管N8=24cm,BE』AB，试管倾斜角

3

a为10°.

（1）求酒精灯与铁架台的水平距离CZ）的长度（结果精确到0.1c机）；

（2）实验时，当导气管紧贴水槽延长期交CN的延长线于点尸，且（点C,D,N,尸在一条

直线上），经测得：DE=21.36cm,MN=8cm,ZABM=145°,求线段DN的长度（结果精确到0.1cm）.（参考

数据：sinlO0-0.17,coslO°仁0.98,tanlO0心0.18）

【分析】(1)求出NE、的长，再根据直角三角形的边角关系进行计算即可；

(2)通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出答案即可.

【解答】解：(1)如图，过点£作EG_LNC于点G,

•：AB^24cm,BE.AB，

o

.\BE=8cm,AE=16cm,

在RtZX/EG中，AE=\6cm,ZAEG=10°,

：.EG=cos100*AE

^0.98X16

p15.7(cm)=CD,

答：酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度约为15.7cm；

(2)如图，过点5分别作BPLFC,垂足分别为〃、P,

在RL^AETf中，BE=10cm,ZEBH=10°,

.,./ffi=sinlO°・EBF36(cm),BH=cosT0°・EBF.84(cm),

：.HD=DE-/ffi=27.36-1.36=26(cm)=BP,

VZABF=145°,

AZPBF=145°-90°-10°=45°,

:.BP=PF=HD=26cm,

■:MNLCF,NNMF=45。,MN=8cm,

：.MN=NF=8cm,

：.DN=DP+PF-NF

=7.84+26-8

七25.8(c加)，

答：线段。N的长度约为25.8c冽.

17.（2024•浙江模拟）如图1是我国古代提水的器具桔棒，创造于春秋时期.它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架

在作为杠杆的竹梯上.大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水

桶.其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井.当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就

会回到井里.如图2是桔椁的示意图，大竹竿48=6米，。为的中点，支架。。垂直地面EF.

图1图2图3

（1）当水桶在井里时，N4OD=120。，求此时支点。到小竹竿NC的距离（结果精确到0.1%）；

（2）如图3,当水桶提到井口时，大竹竿旋转至小约的位置，小竹竿NC至小。的位置，此时/小。。=

143°,求点/上升的高度（结果精确到0.1加）.

（参考数据：73^1.73,sin37°-0.6,cos37°七0.8,tan37°"0.75）

【分析】（1）过点。作OGL/C,垂足为G,根据垂直定义可得N/GO=90°,再根据题意可得：AC//OD,从

而可得NDOG=//GO=90°,进而可得//OG=30°,然后根据线段的中点定义可得04=3米，从而在RtA

NOG中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答；

（2）设OG交小Q于点〃，根据题意可得：OG_LNCi，ODZ/AiCi，。小=。4=3米，从而可得/小=37°

然后在RtACMi8中，利用锐角三角函数的定义求出小〃的长，最后进行计算即可解答.

【解答】解：（1）过点。作。GL/C,垂足为G,

N/GO=90

由题意得：AC//OD,

：.ZDOG^ZAGO^9Q°,

VZAOD=nO°,

ZAOG=ZAOD-ZDOG=30°,

•；O为AB的中点，

'.OA=1-AB=3（米），

2

在RtZUOG中，

：.AG=X4O=1.5（米），OG=V§4G=1.5我七2.6（米）,

2

此时支点O到小竹竿/C的距离约为2.6米；

（2）设。G交小。于点H,

由题意得：OG_L/iG，OD//AXCX,。4=。/=3米，

Z^i=180°-/4。。=180°-143°=37°,

在RtAO/声中，/iH=CM「cos37°=3X0.8弋2.4（米），

：/G=1.5米，

：.AXH-AG=2A-1.5=0.9（米），

...点A上升的高度约为0.9米.

18.（2024春•镇海区校级期末）小明在周末去方特游乐园乘坐了海盗船，海盗船是一种绕水平轴往复摆动的游乐项

目，它的主体是由一个大型的船身和两侧的摇摆机械臂构成.游客坐在船内，随着机械的运动，仿佛置身于一场

海盗航海的冒险之中.当它静止时，我们可以把它抽象成如图1所示的图形，中心转轴点。位于铅垂线OC上,

两条摆臂ON和OB均匀分布在铅垂线两侧，它们的长度相同.

小明在乘坐过程中遇到了下列问题：

（1）如图2,当海盗船右侧船头转到最高点）时，左侧船头看最高点2'的仰角为23°,即

23°,已知两摆臂之间的夹角/4。8=50°,求海盗船的最大摆角NCO夕的度数.

（温馨提示：在△H。8,由。H=。9可得NO49=/。夕4）

(2)如图3,已知转轴。到地面的距离。。=10加，在乘坐的过程中，当海盗船右侧船头在位置尸时，此时测得

点尸到地面的距离尸尸=7〃?；当左侧船头摆动到点尸'处时，POLP,O.求点P'至UOC的距

【分析】(1)如图2,根据等腰三角形的性质得到/OHB'=NOB‘A'^180°~50°=65°，求得NQ4'

2

D=ZB'A'D+ZOA'B'^23°+65°=88°,根据平行线的性质得到。£=180°-ZOA'。=92°,于是得到

结论；

(2)过点P作PM_LOC于点过点尸作尸ALLOC于点N,再证明M会△PON,可得PM=ON,

证明CN=PF=1m,从而可得答案.

【解答】解：(1)如图2,:。!'=OB',ZA'OB'=50°,

C.ZOA'B'=/0B'A'=1800-50°=65。,

2

：.ZOA'D=ZB'A'D+ZOA'B'=23°+65°=88°,

'：OE//AD,

。£=180°-ZOA'0=92°,

图2

：NCOE=90°,

0C=92°-90°=2°,

：.ZCOB'^50°-2°=48°；

(2)如图，过点P作PATLOC于点M,过点P作尸NJ_OC于点N,

图3

•：PO±P'O,P1MLOC,

：./OP'M=ZNOP,

在△OPM与丛PON中,

'/0P'M=ZP0N

<NOMP'=/PNO，

.OP'=0P

：./\OP'M^/\PONCAAS)

：.P'M=ON,

'：PN±OC,CFLOC,PF1.CF,

四边形CFPN是矩形，

:.CN=PF=1m,

：OC=10加，

：.ON=OC-CN=3m,

：.P'M=3m.

答：点P到OC的距离为3加.

19.(2024•龙湾区二模)如图1,拐尺与水平尺是生活中重要的测量工具.图2是某排水管道系统的部分实物图，

图3是其示意图.已知管道与8c的长度相同，8c与地面4D平行.现将拐尺和水平尺放在N8上，使PN

//AD,测得MN=12厘米，河尸=5厘米.

(1)求tan/24D的值.

(2)若12.5米，求C到地面的距离CD的长.

c

D

图3

【分析】（1）在中，利用锐角三角函数的定义可得tan/MVP=±_,然后利用平行线的性质可得NHW

12

=/BAD,从而可得tan/84D=tan/MA?=-5-,即可解答；

12

（2）过点8作垂足为£,根据题意可得：BC=DE,BE=CD,然后在中，利用锐角三角函

数的定义可设2E=5x厘米，则/E=12x厘米，从而利用勾股定理可得/2=13x厘米，进而可得48=2C=DE=

13x厘米，最后根据AE+DE^AD列出关于x的方程，进行计算即可解答.

【解答】解：（1）在RtAACVP中，ACV=12厘米，MP=5厘米,

MN12

,JPN//AD,

：./PNM=/BAD,

tan/BAD=tan/ACVf*=-^-；

12

由题意得：BC=DE,BE=CD,

在RtZk/BE中，1211/切。=些=且,

AE12

...设BE=5x厘米,则NE=12x厘米，

A^=VAE2+BE2=V(12X)2+(5X)2=13X(厘米)，

■:AB=BC,

：.AB=BC=DE=13x厘米,

9：AD=12.5米=1250厘米,

：.AE+DE=1250,

A12x+13x=1250,

解得：x=50,

：.BE=CD=250厘米,

；.C到地面的距离CD的长为250厘米.

20.（2024•海宁市校级模拟）综合与实践：测算校门所在斜坡的坡度.

【背景】如图1,某学校校门在一道斜坡上，该校兴趣小组想要测量斜坡的坡度.

图1|?|2

【素材1】校门前的斜坡上铺着相同的长方形石砖，如图2,从测量杆到校门所在位置在斜坡上有15块

地砖.

【素材2】在点/处测得仰角tan/1=工，俯角tan/2=工；在点2处直立一面镜子，光线2。反射至斜坡CE

95

的点N处，测得点8的仰角tan/3=§；测量杆上/8：8c=5：8,斜坡CE上点N所在位置恰好是第9块地

24

砖右边线.

【讨论】只需要在Nl,N2,/3中选择两个角，再通过计算，可得CE的坡度.

任务1分析规划选择两个测量角的正切值：N2和Z3.（填“/

1"，“/2”或“/3）

求NE：CN的值.

任务2推理计算求坡度tan/ECW的值.

【分析】任务1,选择N2和/3,由CE=15,CN=9,可求得NE：CN=2：3；

任务2,过点E和N作/C的垂线，证明△CGNs/\C,推出”=典=里=3,设CG=3无，CH=5x,HG

CHHECE5

=x,BH=a,贝!]BG=a+2x,求得〃£=Wit?+15x,GN=5a+10x,根据坦1=2，列式计算即可求解.

5HE5

【解答】解：任务1,选择两个测量角的正切值/2和/3,

：CE=15,CN=9,

:.NE=15-9=6,

:.NE：CN=6：9=2：3.

任务2,过点E和N作/C的垂线，垂足分别为点〃和G,

：.GN//HE,

：.4CGNS4CHE,

.CG=GN=CN=9=3

"CHIffiCE75

设CG=3x,CH=5x,HG=2x,BH=a,则2G=a+2x,

,:AB：BC=5：8,BPAB：（a+5x）=5：8,

=$（0+5x）,4H■=48+&/=乌/+空x,

888

由题意得/BNG=/4=/3,ZAEH=Z2,

tanZ2=A,tan/3=-^-,

524

•AH=XBG_=_5_；

,•瓦TGN24）

:.HE=5（乌+至r）=%+磔_X,8G=%+组，

8888555

.•.GN—_—3，

HE5

2448

.55_3

"651255"

整理得x=L,

3

tanZECM=tanZHEC=空=«,二—=_L.

HE65.1258

l-ayx

21.（2024•浙江模拟）我们在科学课中学过，光从空气射入水中会发生折射现象（如图1）,记入射角为a,折射角

为B，我们把”=里吗用为水的折射率.为了观察光的折射现象，进行如下实验：如图2,/BCD为一圆柱形

敞口容器的纵切面，BC=32cm,容器未盛水时激光笔从。处发射光线，点。，A,C恰好共线，此时NA4C=

53°.往容器内注水，当水面所到达容器高度一半时，激光笔在容器底面光斑落在点G处，测得CG=

7。加.（参考数据：sin53°七当，cos53°七3,tan53°七三）

553

（1）求容器的高度AB.

（2）求水的折射率机

（3）若继续往容器内注水，光斑会往左侧移动，如图3,当光斑G'移动到2c的三等分点处（CG'=1CB）,

3

求水面上升的高度（结果精确到0.1c加）.

Si

【分析】(1