最值问题之阿氏圆-2025中考数学专项复习（含答案）

最值问题之阿氏圆-2025中考数学专

项复习含答案

最值问题之阿氏圆

【模型展示】

UPA+际PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。

1、当R值为1时，即为“24+PR”之和最短问题，用''饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来

处理。

2、当k取不为1的正数时，再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。此类问

题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类：

点P在直线上运动和点P在圆上运动。其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；

点尸在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点48,则所有满足M=标"0片1）的点的轨迹是一个

圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆

如图1所示，圆。的半径为7',点人、8都在圆0外，「为圆0上一动点，已知7=豆汨,连接~4、P8,则

当“R4+fcPB”的值最小时，尸点的位置如何确定？

如图2,在线段OB上截取OC使△BPO与"CO相似，即k-PB=PC。故本题中“R4+k-PB,f的最小

值可以转化为“上4+PC”的最小值，其中A与。为定点，P为动点，故当4、P、。三点共线时，“上4+

PC”值最小，如图3

1、一般将含有k的线段两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP;

2、计算出线段OP与OB及OP与OA的线段比，找到线段比为k的情况

3、连接AC,与圆O的交点即为点尸

4、将图2中△BPO单独提取出，如图4,八？。。〜△BPO（母子型相似模型）

（构造由△P8〜ABPO,就可以得到OC7OP=OHOB,进而推出OP=OBOC,即“半径的平方=原

有线段x构造线段”，确定。的位置后，连接40,求出4。的茯度“阿氏BF即可畋解）

结论：“E4+bPB”型的最值

【题型演练】

一、单选题

1.如图，在①△ABC中，ZACB=90°,CB=7,AC=9,以。为圆心、3为半径作。C,P为。。上一动

点，连接AP.BP,则^-AP+BP的最小值为（）

O

C.4+V10D.2V13

二、填空题

2.如图，在△4BC中，48=90°,48=CB=2,以点B为圆心作圆口与47相切，点尸为圆口上任一动

点，则B4+—PC的最小值是.

3.如图，已知正方ABCD的边长为6,圆B的半径为3,点P是圆口上的一个动点，则尸。一］PC的最

大值为.

4.如图,边长为4的正方形，内切圆记为。O,P是。O上一动点，则V2PA+PB的最小值为.

5.【新知探究】新定义:平面内两定点A,B，所有满足偌=k（k为定值）的P点形成的图形是圆,

我们把这种圆称之为“阿氏圆”，

【问题解决】如图，在△ABC中，=4,AB=2AC，则△ABC面积的最大值为

A

6.如图，在中，AB=AC=4,点E,尸分别是AB,AC的中点，点P是扇形人即的靛上任意

一点，连接BP,CP,则得口？+8的最小值是

7.如图，已知正方形4BCD的边长为4,。口的半径为2,点P是。8上的一个动点，则PO-qPC的

最大值为.

8.如图，在△ABC中，乙4cB=90°,BC=12,AC=9,以点。为圆心，6为半径的圆上有一个动点。.连

接AD,BD、CD,则2AD+3BD的最小值是.

三、解答题

9.如图1,在ATA4BC中，ZACB=90°,CB=4,CA=6,圆。的半径为2,点P为圆上一动点，连接

AP,BP,求

4

①AP+,BP,

②24F+BF,

③14P+BP,

O

④AP+38P的最小值.

10.如图，Rt/\ABC,ZACB=9O°,AC=BC=2,以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、尸四个顶点按

逆时针方向排列）可以绕点。自由转动，且CD=2,连接4斤，8。

(1)求证：4BDC咨4AFC

（2）当正方形CDEF有顶点在线段上时，直接写出8。+夸AD的值;

（3）直接写出正方形CDE尸旋转过程中，BD+去AD的最小值.

11.如图，点4、口在。。上，且04=08=6,且。4,OB,点。是。4的中点，点。在OB上，且O0=

4,动点P在。。上.求2PC+P。的最小值.

12.婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程

等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接

四边形称为“婆氏四边形”.

（1）若平行四边形4BCD是“婆氏四边形"，则四边形4BCD是.（填序号）

①矩形;②菱形;③正方形

（2）如图1,Rt/\ABC中，ZBAC=90°,以4B为弦的。。交4c于。，交BC于E,连接DE、AE、

8D,4B=6,sinC=1■，若四边形是“婆氏四边形"，求DE的长.

（3）如图2,四边形ABCD为。O的内接四边形，连接OA,OB,OC,OD,已知NBOC+

NAO。=180°.

①求证：四边形4BCD是“婆氏四边形”；

②当4D+8C=4时，求。。半径的最小值.

图1图2

13.阅读以下材料，并按要求完成相应任务.阿波罗尼斯（Ap。〃。淑usq/Perga）,古希腊人（公元前

262~190年）,数学家，写了八册圆锥曲线论著,其中有七册流传下来，书中详细讨论了圆锥曲线的各种

性质，阿波罗尼斯圆是他的论著中一个著名的问题.一动点P与两定点4,6的距离之比等于定比

则点P的轨迹是以定比1）内分和外分线段AB的两个分点的连线为直径的圆，这个

圆称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”.

如图1,点A,B为两定点，点P为动点，满足景=色，点Af在线段人口上，点N在AB的延长线上

PBn

且端=德=%（色#1），则点P的运动轨迹是以MN为直径的圆•

MBNBn'n）

下面是“阿氏圆”的证明过程（部分）：

过点B作BO〃AP交JW的延长线于点D.

・・.ZA=AABD,ZAPM=ABDM.

:•/\APM〜/\BDM.

.PAMA

又..MA_rn_PA

乂•~MB~1PB9

.PA=PA

：.BD=BP.

：.ABPD=ABDP.

：.NAPD=/BPD.

如图2,在图1（隐去MD,BD）的基础上过点B悴BEUPN交AP于点E,可知篦=舄，……

JyjDrrfj

任务：

（1）判断PN是否平分/8PC,并说明理由；

⑵请根据上面的部分证明及任务⑴中的结论，完成“阿氏圆”证明的剩余部分；

⑶应用：如图3,在平面直角坐标系xOy中，4—2,0）,B（l,0）,_B4=2PB,则点P所在圆的圆心坐标

为

14.如图1,抛物线夕=a/+be—4与c轴交于A、B两点，与0轴交于点。，其中点A的坐标为(—1,0)，

⑴求抛物线的解析式；

(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点,是否存在点P使四边形ABPC的面积为16，若存在,

求出点P的坐标若不存在,请说明理由；

⑶如图2,过点B作BF±BC交抛物线的对称轴于点F,以点C为圆心，2为半径作。C,点Q为。

C上的一个动点，求卒BQ+9Q的最小值.

15.如图1所示，。。的半径为r,点4、口都在。。外，P为。。上的动点，已知「=如。口・连接

PA.PB,则当“B4+的值最小时，P点的位置如何确定？

•••

16.问题提出：如图①，在电△ABC中，NC=90°,CB=4,C4=6,。。的半径为2,P为圆上一动点，连

接AP、,求AP+[BP的最小值.

（1）尝试解决：为了解决这个问题,下面给出一种解题思路:如图①，连接CP,在CB上取一点D,使

CD=1,则禺=寡=】.又NPCD=4BCP,所以4PCD〜MCP.所以黑=悬=4.

OT0-0NJDiO.Z2

所以=所以4P+QP=AP+PD

请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+aBF的最小值为；

（2）自主探索:在“问题提出”的条件不变的前提下，求!AP+BP的最小值；

O

（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形CO。中，NCOD=90°,OC=6,OA=3,OB=5,P是（55上一

点，求2B4+PB的最小值.

17.如图1,在平面直角坐标系中，直线夕=一5①+5与多轴，0轴分别交于4。两点，抛物线y=靖+b①+

c经过A,。两点，与刀轴的另一交点为B

(1)求抛物线解析式及8点坐标；

⑵若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA.MB、BC,当点河运动到某一位置时，四边形

面积最大,求此时点河的坐标及四边形41阳。的面积；

⑶如图2,若P点是半径为2的。B上一动点，连接PC、24,当点P运动到某一位置时，PC+

的值最小,请求出这个最小值，并说明理由.

•M

18.如图，抛物线夕=+近+C与立轴交于A（V3,0）,口两点（点B在点A的左侧）,与y轴交于点C,

且OB=3OA=V3OC,AOAC的平分线AD交y轴于点。，过点A且垂直于AD的直线I交y轴于

点E,点P是7轴下方抛物线上的一个动点，过点P作P尸，2轴，垂足为尸,交直线4D于点X.

⑴求抛物线的解析式;

⑵设点P的横坐标为小,当EH=K尸时，求小的值；

（3）当直线P尸为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，义发。为半径作。H，点Q为。H上的一个动

点，求:AQ+EQ的最小值.

12

19.阅读以下材料,并按要求完成相应的任务.

已知平面上两点A、8,则所有符合卷=%(R>0且%W1)的点P会组成一个圆.这个结论最先由古

希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆.

阿氏圆基本解法:构造三角形相似.

【问题】如图1,在平面直角坐标中，在工轴，9轴上分别有点。(巾,0),。(0,切，点P是平面内一动点，

且OP=r■，设织=%，求PC+kPD的最小值.

图1

阿氏圆的关键解题步骤：

第一步:如图1,在OD上取点河,使得OM-.OP=OP-.OD=fe；

第二步：证明kPD=PM；第三步:连接CM,此时CM即为所求的最小值.

下面是该题的解答过程(部分)：

解:在OD上取点河,使得OM：OP=OP-.OD=k,

又乙POD=AMOP,：.4PoM〜/\DOP.

任务：

(1)将以上解答过程补充完整.

(2)如图2,在Rt/\ABC中，ZACB=90°,AC=4,8。=3,。为4ABC内一动点,满足CD=2,利用

(1)中的结论，请直接写出人。+薮8。的最小值.

O

13

20.数学概念

如图①，AE是AABC的角平分线，。是直线8C上一点，如果点。满足0A=DE,那么点。叫做

△48。的边上的“阿氏点”.

概念理解

（1）在图②中，利用直尺和圆规作△ABC的边上的“阿氏点”，用字母。表示（不写作法，保留作图

痕迹）；

性质探究

（2）在⑴中，求证：ADAB〜ADCA；

知识运用

（3）如图③，四边形ABCD内接于。O,对角线AC、8。相交于点E,以。为圆心，。凶为半径的圆恰

好经过点C,且与交于点F.

①求证:点。是4ABE的边8E上的''阿氏点"；

②若跳;=白，0石=2,AE=3,则。。和。。的半径长分别为，

••

最值问题之阿氏LI

【模型展示】

UPA+EPB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点.

1、当R值为1时，即为“24+PR”之和最短问题，用''饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来

处理。

2、当k取不为1的正数时，再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。此类问

题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类：

点P在直线上运动和点P在圆上运动。其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；

点尸在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

“阿氏BT又称“阿波罗尼斯BT,已知平面上两点4B,则所有满足的点的轨迹是一个

圈，这个轨篷最早由古希腊教学家阿波罗尼斯发现，故卷“阿氏国”。

加图1所示，圄O的半径为r,点A、B善在国O外，P为圄。上一动点，已知r=fcOB,连接EA、

当“E4+kPB”的值最小时，P点的位置品何确定？

如图2,在线段QB上就取便△BPO与△P8相似，即LPB=R7.故本题中“R1+AFB”的最小

值可以精化为“E4+PG”的最小值，其中A与。为定点，尸为动点，故当4尸、。三点共线时,“R1+

FO”值最小，如图3

1、一般将含有k的线段两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP;

2、计算出线段OP与OB及OP与OA的线段比，找到线段比为k的情况

3、连接AC,与圆O的交点即为点尸

4、将图2中△BPO单独提取出，如图4,八？。。〜△BPO（母子型相似模型）

（构造由△P8〜ABPO,就可以得到OC7OP=OHOB,进而推出OP=OBOC,即“半径的平方=原

有线段x构造线段”，确定。的位置后，连接40,求出4。的茯度“阿氏BF即可畋解）

结论：“E4+bPB”型的最值

【题型演练】

一、单选题

1.如图，在①△ABC中，ZACB=90°,CB=7,AC=9,以。为圆心、3为半径作。C,P为。。上一动

点，连接AP.BP,则^-AP+BP的最小值为（）

O

C.4+V10D.2V13

【答案】B

【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM,使得CM=1,连接PM,PC,BM.利用相似三角形的性质证

明MP=~PA,可得^-AP+BP=PM+PB>BM,利用勾股定理求出即可解决问题.

OO

答案详解:如图，在C4上截取CM,使得CM=1,连接PM,PC,BM.

vFC=3,CM=1,。4=9,

・・.PC?=CM・CA,

.PCCM

"'CA~'CPf

・・・ZPCM=AAGP,

:.XPCM〜丛ACP,

.PM=PC=1

''TRT-AC--3J

：.PM=^-PA,

o

^-AP+BP=PM+PB,

o

■：PM+PB>BM,

在Rt^BCM中，•；4BCM=90°,CM=1,BC=7,

.,.BM=V12+72=5V2,

••。”+BP>5仅

0

.,.[■AP+BP的最小值为5V2.

o

故选：B.

二、填空题

2.如图，在△ABC中，4B=90°,48=CB=2,以点B为圆心作圆口与AC相切，点P为圆口上任一动

点，则出+与尸。的最小值是.

【答案】西

【分析】作BH_L4C于H,取BC的中点D,连接PD,如图，根据切线的性质得瓦/为©B的半径，再根据

等腰直角三角形的性质得到BH=^AC=V2,接着证明△BPD〜ABCF得至］PD=容PC,所以24+

%PC=_R4+PD,而24+RD>AD（当且仅当4、P、。共线时取等号），从而计算出AD得到PA+

容PC的最小值.•M

【详解】解:作BH_LA。于H,取B。的中点D,连接P。,如图,

1/AC为切线，

:.BH为OB的半径，

VZABC=90°,AB=CB=2,

：.AC=V2BA=2V2,

：.BH=^-AC=V2,

：.BP^V2,

..PB=V2BD_1_V2

'而一〒'而一白一〒’

而NPBD=ZCBP,

：./\BPD-/^BCP,

.PD_PB_V2

••而一而一亏’

：.PD=^PC,

：.PA+^PC^PA+PD,

而24+0。>40（当且仅当A、P、。共线时取等号），

而〃。=〃22+12=坨

.•.Q4+PD的最小值为V5,

即。4+等PC的最小值为V5.

故答案为：'后.

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.解决问题的关键是利用相似比确定线

段PD=%PC,也考查了等腰直角三角形的性质.

3.如图，已知正方ABCD的边长为6,圆B的半径为3,点P是圆B上的一个动点，则PD-^-PC的最

大值为-

【答案】号

（分析】如图，连接BP,在BC上取一点使得BM=|■，进而证明4BPM〜ABCP,则在点P运动的任

意时刻，均有=£PC,从而将问题转化为求PD—PA/的最大值.连接PD,在ATOM中，PD-PM

<DM,故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为第大值，勾股定理即可求得DM.

【详解】如图，连接BP,在BC上取一点M,使得BM=得,

••旦”=Z=JLBP_3_\

'BP—1"一「，瓦厂7一万

.BM_BP

"BP-BC

•.•ZPBM=ZCBP

：.ABC?

.MP_BM=\

'''PC~BP~^2

:.MP=±PC

：.PD-：PC=PD-MD

在APDM中，PL>—PM<DM,

当。、A/、P共线时，PO—PM=DM为最大值,

四边形ABCD是正方形

ZC=90°

在RtACDM中，DM=y/DC2+MC2="+居?=詈

故答案为：号.

【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造/PC是解题的关键.

4.如图，边长为4的正方形，内切圆记为。O,P是。。上一动点，则V2PA+PB的最小值为.

【答案】2西

【分析】V2PA+PB^V2（Q4+夸PB）,利用相似三角形构造冬FB即可解答.

【详解】解:设。。半径为r,•M

OF=r=yBC=2,OB=V2r=2V2,

取OB的中点/,连接H,

:.OI—IB—V2,

•:吐=与=瓜,亚=巫=戊,

OI42OP2，

•.O•P•»O=B/，/c。正口八公也共缶角，

.-.△BOP-APO7,

.PI_OI=42

"TB~~OP'

：.PI=^-PB,

：.AP+除PB=AP+PI,

A当A、P、/在一条直线上时，AP+W^B最小，

作";_L4B于E,

•.•/ABO=45°,

：.IE=BE=^BI=1,

：.AE=AB—BE=3,

A/=V32+l2=V10,

AP+乌PB最小值=A/=m，

•/V2PA+PB=V2(<PA+^PB),

：.R4+PB的最小值是，^4/=血*，m=2，^.

故答案是2函.

【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形.

5.【新知探究】新定义:平面内两定点A,B，所有满足卷=k（k为定值）的P点形成的图形是圆,

我们把这种圆称之为“阿氏圆”，

【问题解决】如图，在△ABC中，CB=4,AB=2AC，则△ABC面积的最大值为.

【答案】孚

O

【分析】以4为顶点，为边，在△ABC外部作ACAP=ZABC,AP与BC的延长线交于点P,证出

△APC〜ABPA，列出比例式可得BP=2AP,C尸=<AP,从而求出AP,BP和CP,即可求出点A的运

动轨迹，最后找出距离最远的4点的位置即可求出结论.

【详解】解：以A为顶点，4。为边，在△ABC外部作ZCAP=/ABC,AP与的延长线交于点P,

vAAPC^ABPA,AB=2AC

：.△APC〜ABQ4,

.AP=CP=AC=1

：.BP=2AP,CP=^-AP

•：BP-CP=BC=4

・・・2AP-»P=4

解得:AP—

o

.•.BP=¥，CP=1■，即点P为定点

oo

.•.点A的轨迹为以点P为圆心，■为半径的圆上，如下图所示，过点P作BC的垂线，交圆P于点A,此时

O

力1到BC的距离最大，即/\ABC的面积最大

SAAIBC=-^BC-AXP=yX4X

即4ABC面积的最大值为当

O

故答案为：

O

【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质、确定点的运动轨迹和求三角形的面积，掌握相似三角形的

判定及性质、圆的定义和三角形的面积公式是解决此题的关键.

6.如图，在中，AB=AC=4,点E,尸分别是AB,的中点，点P是扇形人即的防上任意

一点，连接8P,CP,则得BP+CP的最小值是

【答案】47.

【分析】在AB上取一点T,使得AT=1,连接PT,R4,CT.证明△上4T〜△R4P,推出粤=第=1,

IJDA.B2

推出推出6+CP=CP+PT,根据求出CT即可解决问题.

【详解】解：在48上取一点T,使得AT=1,连接PT,R4,CT.

：PA=2.AT=1,AB=4,

，.B42=4=/T・AB,

,PA=AB

,方一启，

；APAT=APAB,

:AR4T〜ABAP,

,FT=AP=X

*PB-AB

；FT=yFB,

-j-FB+CP=CP+PT,

•：PC+PT>TC,

在Rt/\ACT中,

•.•/CAT=90°,AT=1,AC=4,

CT=VAT2+AC2=V17,

：.^-PB+POV17,

/PB+PC的最小值为47.

故答案为67.

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，

圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键.

7.如图，已知正方形ABCD的边长为4,。6的半径为2,点P是。B上的一个动点，则尸。一的

最大值为.

【答案】5

【详解】分析：由PD-qPC=PD—PGWDG,当点P在0G的延长线上时，PD-}PC的值最大，最大

值为Z?G=5.

详解：在BC上取一点G,使得BG=1,如图，

..PB^2=„BC=4

'而一了一》~PB~1

.PB_BC

"BG-FB*

•••NPBG=4PBC,

.•.△PBG〜△CBP,

.PG=BG

"PC~PB~2

：.PG=^PC,

当点P在。G的延长线上时，—的值最大，最大值为当G=942+32=5.

故答案为5

点睛：本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三

角形解决问题，学会用转化的思想思考问题,把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考

压轴题.•••

8.如图，在△48。中，ZACB=90°,BC=12,AC=9,以点。为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连

接AD.BD、CD,则2AD+3BD的最小值是.

【答案】12VB

（分析】如下图，在C4上取一点E,使得CE=4,先证△DCE〜AACD，将日AD转化为DE,从而求得

O

9

看AD+BD的最小距离，进而得出2AD+3BD的最小值.

【详解】如下图，在CA上取一点E,使得CE=4

VAC=9fCD=6,CE=4

.CDAC

"~CE~~CD

・・・ZECD=ZACD

：./\DCE-/\ACD

.ED=DC=6

**AD-AC-g-

9

•••ED.AD

o

在/^DB中，ED+DB>EB

；.ED+DB最小为EB,即ED+DB=EB

9

:.々AD+DB=EB

在Rt^ECB中，EB=V122+42=4V10

：.-^-AD+DB^4VTO

o

2AD+3DB=12V10

故答案为：

【点睛】本题考查求最值问题，解题关键是构造出〜A4CD.

三、解答题

9.如图1,在灭TZX4BC中，ZACB=90°,CB=4,CA=6,圆。的半径为2,点P为圆上一动点，连接

AP,BP,^：

①AP+JBP,

②2AP+BP,

③[AP+BP,

o

④4P+38P的最小值.

【答案】①俯;②2俯;③2篝;④2府.

【分析】①在CB上取点。，使CD=1,连接CP、DP、根据作图结合题意易证ADCF〜△PCB,即可

得出PO=-1~BP,从而推出AP+]BP=AP+PQ,说明当4P、。三点共线时，AP+PD最小，最小值

即为40长.最后在Rt^ACD中，利用勾股定理求出AD的长即可；

②由2Ap+BP=2（AP+^BP）,即可求出结果；

③在CA上取点E,使CE号,连接CP、EP、BE.根据作图结合题意易证^ECP〜APCA,即可得出

O

EP=9AP,从而推出曰40+政=呼+近,说明当反「、后三点共线时，的+跳>最小，最小值即为

OO

BE长.最后在中，利用勾股定理求出班;的长即可；

④由AP+3BP=3（?AP+8P）,即可求出结果.

【详解】解:①如图，在CB上取点。，使CD=1,连接CP、DP、4D.4

•・・CD=1,CP=2,CB=4,卜

.CD=CP=1N

"CP-CB-T*；\'\

又・・・4DCP=/PCB,\\\

・・・/XDCP〜AFCB,r

•••器\，即P。制取（

1I<•»I*

AP+^-BP=AP+PD,\

：.当4P、D三点共线时，AP+PD最小，最小值即为AD长.

•/在RtAACD中，AD=VAC2+CE>2=V62+l2=V37.

AP+&BP的最小值为V37;

②•/2AP+BP=2（AP+：BP）,

2AP+BP的最小值为2xV37=2737;

③如图，在C4上取点E,使CE=1■，连接CP、EP、BE.

O

10

：CE=^2-,CP=2CA=6,

of

,CE=CP=1

'~CP~~CA~^,

又•・•AECP=APCA,

•••△ECP〜AFC4,

■=!，即庭=/，

《AP+BP=EP+BP,

o

当3、P、E三点共线时，EP+BP最小，最小值即为BE长.

在Rt^BCE中，BE=VBC2+CE2=/+传?=.

.♦.《AP+BP的最小值为考2；

OO

④；AP+3BP=3令AP+BP),

.­.AP+3BP的最小值为3x2算=2V37.

O

【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理.正确的作出辅助线，并且理解三点

共线时线段最短是解答本题的关键.

10.如图，Rt/\ABC,乙4cB=90°,AC=BC=2,以。为顶点的正方形CDEF（C、D、E、斤四个顶点按

逆时针方向排列）可以绕点。自由转动，且CD=方,连接4斤，8。

（1）求证：4BDC咨4AFC

（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD+乎人。的值；

（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD+^AD的最小值.

【答案】（1）见解析；（2）2+1或2+啰；（3）75

【分析】（1）利用SAS,即可证明△FC4空△DCB;

（2）分两种情况当点。，E在AB边上时和当点E,F在边AB上时，讨论即可求解；

（3）取AC的中点河.连接DM,BM.则CM=1,可证得〜A4CD,可得。河=卓40,从而得

到当B,D,M共线时，BD+^AD的值最小,即可求解.

【详解】（1）证明：•.•四边形CEEF是正方形，

CF=CD,ZDCF=NACB=90°,

/.AACF=ADCB,

1/AC=CB,

：./XFCAZM)CB(SAS);

(2)解:①如图2中，当点。，E在43边上时,

VAC=BC=2,/ACS=90°,

•：CD±AB,

：.AD=BD==ACxsin45°=V2,

BD+A。==-\/2+x,\/2^=y/2+1;

②如图3中，当点在边AB上时.

=CF=BCXsin45。=2X字=偿

AD=^BD2+AB2=VW,

BD+AD=A/2+xV10=V2+,

综上所述，BD+%AD的值2+1或2+弱；

(3)如图4中.取47的中点M.连接则CW=1,

vCD=V2,CM=1,CA=2f

：.CD2=CM・CA,

.CD=CM

9，~CA~~CD9

・・・ZDCM=ZACDf

：./\DCM^^ACDf

.DM=CD=2

**AD-AC

12

：.BD+彳AD=BD+DM,

：.当共线时，BD+亨AD的值最小，

最小值BM=^CB2+CM2=75.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函

数，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

11.如图，点4、B在。。上，且。4=06=6,且。4,OB,点。是。4的中点，点。在OB上，且00=

4,动点P在©。上.求2PC+PD的最小值.

【答案】4师

【分析】连接OP,在射线0A上截取AE=6,连接PE.由题意易证△OPC〜/\OEP,即得出PE=2PC,

从而得出2PC+PD=PE+PD,由此可知当P、D、E三点共线时，PE+PO最小，最小值为DE的长，最

后在Rt/XOED中利用勾股定理求出DE的长即可.

【详解】如图，连接QP,在射线上截取AE=6,连接PE.

。是。4的中点，

OC=~-OA=^-OP.

(/COP=/POE

：.在△OPC和dOEP中，＜生=上=工，

VOP~~OE~~2

：.△OP。〜△OEP,

:.焉，即PE=2PC,

：.2PC+PD=PE+PD,.

.♦.当P、。、E三点共线时，PE+PD最小，最小值即为DE的长,如图,

在Rt/\OED中，DE=y/OD2+OE2=V42+122=4V10,

：.2PC+PD的最小值为4V10.

【点睛】本题考查同圆半径相等、三角形相似的判定和性质和勾股定理等知识.正确作出辅助线并理解当

。、。、后三点共线时，。£+也最小，最小值为「底的长是解答本题的关键.

12.婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程

等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接

四边形称为“婆氏四边形”.

(1)若平行四边形ABCD是“婆氏四边形"，则四边形ABCD是.(填序号)

①矩形;②菱形;③正方形

(2)如图1,电△4BC中，NR4C=90°,以4B为弦的。。交47于。，交于E,连接。E、AE、

AB=6,sinC=V，若四边形4BED是“婆氏四边形"，求］汨的长.

5

(3)如图2,四边形4BCD为。O的内接四边形，连接OA,OB,OC,OD,已知/BOC+

乙40。=180°.

①求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”；

②当4D+8C=4时，求。。半径的最小值.

图1图2

【答案】⑴③;（2）3;（3）①见解析;②血

【分析】（1）根本圆内接四边形对角互补和平行四边形对角相等可得/4BC=/40。=90°,从而可证明四

边形ABCD为矩形，再根据对角线互相垂直的矩形是正方形即可判断；

（2）根据垂径定理和圆周角定理可得A。=DE,NDEB=NDEC=90°,设A。=DE=m■，则=8-小,

后。=10—6=4,在1^八0£；。中解直角三角形即可；

（3）①根据圆周角定理即可得出ADCA+ABDC=90°,从而可得ACED=90°，继而证明结论;②作OM,

ON分别垂直与AD,BC,证明△O4M空ABON，设ON=AM=n,则AD=2n,BC=4—2n,BN=2—

n,在RtABON中，根据勾股定理和二次函数的性质即可得出半径的最小值.

【详解】解：（1）如下图，

平行四边形ABCD为。O的内接四边形，

ANABC=AADC,AABC+NADC=180°,

乙48。=/ADC=90°,

A平行四边形ABCD为矩形，

•.•四边形ABCD是“婆氏四边形”，

AACYBD,

矩形ABCD为正方形，

故答案为：③；

（2）V90°,AB=6,sinC=孑,

5

BC==10,AC=y/BCP-AB2=&BD为直径，

sinC

4BED=4DEC=90°,

•.•四边形ABED是“婆氏四边形”，

：.AE±BD,

:.AD=DE,AB=BE=6,

设AD=DE=,则DC—8—m,EC=10—6=4,

在Rt^EDC中，根据勾股定理，

DE2+EC2DC2,即力2+42=（8—馆）2,解得小=3,即。£=3;

（3）①设AC,BD相交于点E如图所示

•/ZDCA=yZAOD,ZBDC=-yZBOC,ABOC+AAOD=18Q°,

：.ZDCA+Z.BDC=-j-（AAOD+ZBOC）=~-X180°=90°,

/CED=90°,

即AC±BD,

又♦.•四边形ABCD是0。的内接四边形，

四边形ABCD是''婆氏四边形”；

②如下图，作OM,ON分别垂直与AD,BC,

：.AM=^AD,BN=~^BC,AAMO=ABNO=90°,

AAAOM+AOAM^90°,

•：OA=OB=OC=OD,

：.ZAOM=yZAOD,ABON=yZBOC,

•：ABOC+AAOD=180°,

ANAOM+4BON=90°,图2

ZOAM=ABON,

在△OAAf和ABON中

rZAMO=ZBM）=90°

•：\AOAM=ABON

[OA=OB

：.△O4ZW岂/\BON（AAS）,

：.ON=AM=^-AD,

■：AD+BC=4：

设ON=n,则AD^2n,BC=4-2n,BN=2-n,

在RtABON中,

OB=-JON2+BN2=Vn2+（2-n）2=V2（n-l）2+2,

当n=1时，取得最小值2，即OO半径的最小值为2.

【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质、勾股定理、正方形的判定定理、二次函数的

性质等.（1）中能正确证明出四边形的一个角是90°是解题关键；（2）中能正确表示出AtAED。的三个边

是解题关键；（3）中①正确利用圆周角定理是解题关键;②正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键.

13.阅读以下材料，并按要求完成相应任务.阿波罗尼斯（49。〃。威加切尸叫"），古希腊人（公元前

262〜190年）,数学家，写了八册圆锥曲线论著,其中有七册流传下来，书中详细讨论了圆锥曲线的各种

性质，阿波罗尼斯圆是他的论著中一个著名的问题.一动点。与两定点的距离之比等于定比

m：打，则点P的轨迹是以定比m:n（m:n¥1）内分和外分线段AB的两个分点的连线为直径的圆，这个

圆称为阿波罗尼斯圆，简称‘‘阿氏圆".

如图1,点4B为两定点，点P为动点,满足果="，点M在线段4口上，点N在AB的延长线上

PBn

且燎=篇=如（色片1），则点P的运动轨迹是以MN为直径的圆•

MBJXJ3n'n）

下面是“阿氏圆”的证明过程（部分）：

过点B作BO〃AP交PM的延长线于点D.

・・.ZA=AABD,ZAPM=NBDM.

：./\APM-/\BDM.

.PAMA

,■WAffi*

又..AM_in_FA

乂•~MB~TB"

.PA=PA

,•访一市.

：.BD=BP.

：./BPD=/BDP.

：.AAPD=ZBPD.

如图2,在图1（隐去MD,8。）的基础上过点B作BE//PN交AP于点E,可知篇=景，……

I\JDJrh/

任务：

（1）判断PN是否平分NBPC,并说明理由；

（2）请根据上面的部分证明及任务⑴中的结论，完成“阿氏圆”证明的剩余部分；

（3）应用：如图3,在平面直角坐标系力Og中，人（一2,0）,B（l,0）,24=2PB,则点P所在圆的圆心坐标

为.

【答案】⑴PN平分ZBFC.理由见解析；（2）点P的运动轨迹是以7WN为直径的圆，见解析；（3）（2,0）

（分析】（1）利用相似三角形的判定及性质仿照图1的证明即可得证；

（2）根据90°的圆周角所对的弦是直径即可证得点P